概率論與數理統(tǒng)計答案匯總

1、1第二章隨機變量及其分布1、解：設公司賠付金額為X，則 X 的可能值為；投保一年內因意外死亡：20 萬，概率為 0.0002投保一年內因其他原因死亡：5 萬，概率為 0.0010投保一年內沒有死亡：0,概率為 1-0.0002-0.0010=0.9988所以X的分布律為：0250P000.0002.0010.9988再列為下表X：0,1,c2212P:,2、一袋中有 5 只乒乓球，編號為 1、 取出的三只球中的最大號碼，寫出隨機變量解：X 可以取值 3，4，5，分布律為2、3、4、5,在其中同時取三只，以X 表示X 的分布律P(X=3) =P(球為 3 號,兩球為 1,2 號)=21 C；C5

2、P(XP(X1xC2=4) =P(球為 4 號，再在 1,2,3 中任取兩球)31C5=5)=P(球為 5 號，再在 1,2,3,4 中任取兩球J46也可列為下表X：P：3、3,4, 5丄 2 _6_10,70,70設在 15 只同類型零件中有 2 只是次品，在其中取三次,放回抽樣，以 X 表示取出次品的只數， 解：任取三只，其中新含次品個數C；322P(x=八袞它C；心3P(X =1)C35每次任取一只，作不(1)求 X 的分布律，(2)畫出分布律的圖形。 X 可能為0, 1, 2 個。P(X =2)二1235135213511O12設每次成功的概率為p，失敗的概率為 q =1 p(0p1)

3、以 X 表示所需的試驗次數，求 X 的分布律。x235 354、進行重復獨立實驗，(1)將實驗進行到出現一次成功為止，(此時稱 X 服從以 p 為參數的幾何分布。)(2)將實驗進行到出現 r 次成功為止，以 Y 表示所需的試驗次數， 求 Y 的分布律。3(此時稱 Y 服從以 r, p 為參數的巴斯卡分布。)(3)一籃球運動員的投籃命中率為45%,以 X 表示他首次投中時累計已投籃的次數，寫出 X 的分布律，并計算 X 取偶數的概率。解：(1) P (X=k)=qk1pk=1,2,(2)Y=r+ n= 最后一次實驗前 r+n 1 次有 n 次失敗，且最后一次成功 P(Y =r n)nqn卩和=C

4、：nqnpr, n =0,1,2,其中 q=1 p, 或記 r+n=k，貝 V PY=k=C： ；pr(1 p)k，k =r,r 1,k1(3)P (X=k) = (0.55)k0.45k=1,2 11P (X 取偶數)=送P(X=2k)=Z (0.55)20.411k1k315、一房間有 3 扇同樣大小的窗子，其中只有一扇是打開的。有一只鳥自開著的 窗子飛入了房間，它只能從開著的窗子飛出去。鳥在房子里飛來飛去，試圖飛出房間。 假定鳥是沒有記憶的，鳥飛向各扇窗子是隨機的。(1 )以 X 表示鳥為了飛出房間試飛的次數，求X 的分布律。(2)戶主聲稱，他養(yǎng)的一只鳥，是有記憶的，它飛向任一窗子的嘗試

5、不多于一次。以 Y 表示這只聰明的鳥為了飛出房間試飛的次數，如戶主所說是確實的， 試求 Y 的分布律。(3) 求試飛次數 X 小于 Y 的概率；求試飛次數 Y 小于 X 的概率。解：(1) X 的可能取值為 1 , 2, 3，n，P X=n=P 前 n1 次飛向了另 2 扇窗子，第 n 次飛了出去(2) Y 的可能取值為 1 , 2, 3P Y=1=P 第 1 次飛了出去=P Y=2= P 第 1 次飛向 另 2 扇窗子中的一扇，第 2 次飛了出去2 乂 11= 323P Y= 3=P 第 1, 2 次飛向了另 2 扇窗子，第 3 次飛了出去=3! 一 33(3) PX :PY =kPX :：

6、Y|Y=kk=1n=1, 2,全概率公式并注意到I注意至 X,Y 獨立即PX : Y | Y = k=PX : k43八 PY 二 kPX :Y|Y 二 kk=23=、PY 二 kPX : kk =2=丄匯丄十丄漢&十丄1= g/3 3 3 j3 3 3/273同上，PX =Y=為PY =kPX =Y|Y =kk d5八 PY =kPX 二 kk 4P(X 1PX = Kik=a0716225=1-0.7 -G 0.3 0.7 -G 0.30.7 ： 0.3538、甲、乙二人投籃，投中的概率各為0.6, 0.7，令各投三次。求(1)二人投中次數相等的概率。記 X 表甲三次投籃中投中的次

7、數Y 表乙三次投籃中投中的次數由于甲、乙每次投籃獨立，且彼此投籃也獨立。P (X=Y)=P (X=0, Y= 0)+P (X=2, Y= 2)+P (X= 3, Y= 3)=P (X=0) P (Y= 0)+ P (X=1) P (Y=1)+ P (X=2) P (Y=2)+ P (X=3) P (Y=3)331212=(0.4) X(0.3) + C3漢 0.6 漢(0.4)匯。3漢 0.7 漢(0.3)2 2 2 2 3故PY :：: X =1 PX :： Y PX38二Y)：816、一大樓裝有 5 個同類型的供水設備， 率為 0.1，問在同一時刻(1)恰有 2 個設備被使用的概率是多少？

8、P(X =2) =C；p2q52 =c2(0.1)2(0.9)3=0.0729(2)至少有 3 個設備被使用的概率是多少？332445P(X _3) =C5(0.1)(0.9)C5(0.1)(0.9) C5(3)至多有 3 個設備被使用的概率是多少？t 每個設備使用的概(0.1)5=0.0085666C3(0.6)0.4 C3(0.7).3(0.6)(0.7)3=0.321(2)甲比乙投中次數多的概率。P (XY)=P (X=1, Y= 0)+P (X=2, Y= 0)+ P (X=2, Y=1)+P (X=3) P (Y= 0)+ P (X=3) P (Y= 1)+ P (X=3) P (Y

9、=2)=P (X=1) P (Y= 0) + P (X=2, Y= 0)+ P (X=2, Y=1)+P (X=3) P (Y= 0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y= 2)7123228=C3x0.6x(0.4) x(0.3) +C3x(0.6) x0.4x(0.3) +C；咒(0.6)2% 0.4 xC3x0.7x(0.3)2 +(0.6)333123x(0.3) +(0.6) xC327x(0.3) +(0.6)C； (0.7)20.3 =0.2439、有一大批產品，其驗收方案如下，先做第一次檢驗：從中任取10 件，經驗收無次品接受這批產品，次品數大于2 拒

10、收；否則作第二次檢驗，其做法是從中再任取5件，僅當 5 件中無次品時接受這批產品，若產品的次品率為10%，求（1）這批產品經第一次檢驗就能接受的概率（2 ）需作第二次檢驗的概率（3）這批產品按第 2 次檢驗的標準被接受的概率（4）這批產品在第 1 次檢驗未能做決定且第二次檢驗時被通過的概率（5 ）這批產品被接受的概率解：X 表示 10 件中次品的個數，Y 表示 5 件中次品的個數，由于產品總數很大，故 XB( 10，0.1)，YB(5，0.1)(近似服從)(1)P X=O=O.910 0.349(2) P XW 2= P X=2+ P X=1=C1200.120.98C.10.99: 0.58

11、1(3)P Y=0=0.95 0.590(4)P 0 XW 2, Y= 0(0XW 2與 Y=2獨立)=P 0 XW 2P Y= 0=0.581 &590 ： 0.343(5)P X=0+ P 0 XW 2, Y= 00.349+0.343=0.69210、有甲、乙兩種味道和顏色極為相似的名酒各4 杯。如果從中挑 4 杯，能將甲種酒全部挑出來，算是試驗成功一次。（1 ）某人隨機地去猜，問他試驗成功一次的概率是多少？（2）某人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒。他連續(xù)試驗10 次，成功 3 次。試問他是猜對的，還是他確有區(qū)分的能力（設各次試驗是相互獨立的。）（2） P （連續(xù)試驗 10 次，成功

12、 3 次）=C30（丄）3（色）73。此概率太小，按707010000，解：（1） P （一次成功）=1C84丄7068實際推斷原理，就認為他確有區(qū)分能力。11.盡管在幾何教科書中已經講過用圓規(guī)和直尺三等分一個任意角是不可能的。但每年總有一些“發(fā)明者”撰寫關于用圓規(guī)和直尺將角三等分的文章。設某地區(qū)每年撰寫 此類文章的篇數 X服從參數為 6 的泊松分布。求明年沒有此類文章的概率。12. 一電話交換臺每分鐘收到呼喚的次數服從參數為 鐘恰有 8 次呼喚的概率。（2）某一分鐘的呼喚次數大于解：X-6.=6PX1:0.00254 的泊松分布。求（ 3的概率。1）每分=e69X 二4=4:4片8： ：A9

13、（1）PX =8?八ev r! y r!= 0.0 5 1 1 340.0 2 1 3 60.02 97 7 1（2）PX 3 = P X _ 40.56653013.某一公安局在長度為t 的時間間隔內收到的緊急呼救的次數X 服從參數為（1/2）t 的泊松分布，而與時間間隔的起點無關（時間以小時計）。（1）求某一天中午 12 時至下午 3 時沒有收到緊急呼救的概率。（2）求某一天中午 12 時至下午 5 時至少收到 1 次緊急呼救的概率。CO2 5k-5plx _1e=0.918心k!1(1)、t =10分鐘時t =小時，611eie=30.23881解：，=_2一323PX =0；=e Jo

14、.2231k耳.pfx=1k!(2)、PX =0型所以t _ 0.34657*6015、解:亠0_2t,2t e故0.5 :t -0.34657(小時)61017、解：設X服從0L 1分布，其分布率為pfx二kl二pk1 -p -,k =0,1，求X的分布函數，并作出其圖形。 解一：X0110PX _10?k =0PX _ 100.8622n =1000, p = 0.0001/ - np = 0.116、解：PX一2丄1-Pfx =0?-PX =10 150005000(0.0015 ) (10.0015 )10!-：1 - 0.9953 = 0.00471!1_k11Pk1 ppxL 0,

15、1x的分布函數為：0. x：0F x = 1 - p .0乞x ： 1I1. x _1如圖：1-p18.在區(qū)間l.0,a 上任意投擲一個質點，以X表示這個質點的坐標。設這個質點落在0,a 1中任意小區(qū)間內的概率與這個小區(qū)間的長度成正比例，試求X的分布函數。解： 當X ： 0時。X乞x?是不可能事件，F X二Pfx乞x、02當0乞x空a時，P0空X空x；=kx而0a是必然事件.P0乞X Ex.；=ka =1二k工1a-P ：0遼X豈X二kx =xa貝V F x i=p1x Ex；二PX乞0 p0X Ex.； =xa3當x a時，是必然事件，有F x二PX遼x1=10.x 012xF x0乞x乞a

16、Ia1. x a19、以 X 表示某商店從早晨開始營業(yè)起直到第一顧客到達的等待時間（以分計）X 的分布函數是FX(x)0.4 xx _0 x ：013求下述概率：(1) P至多 3 分鐘 ; (2) P 至少 4 分鐘; ( 3) P3 分鐘至 4 分鐘之間;(4)P至多 3 分鐘或至少 4 分鐘; (5) P恰好 2.5 分鐘解：(1) P至多 3 分鐘= P X 4) = 1 Fx(4)=e6(3) P3 分鐘至 4 分鐘之間= P 3X 4=Fx(4) -Fx(3) =e-e6(4)P至多 3 分鐘或至少 4 分鐘= P至多 3 分鐘+P至少 4 分鐘1.2 J.6=1 _e e(5)P

17、恰好 2.5 分鐘= P (X=2.5)=00,x cl,20、設隨機變量 X 的分布函數為FX(x)二In x,1 - x :：: e,i 1, x He.求(1) P (X2), P 0X W 3, P (2X52) ； (2)求概率密度 fx(x). 解：(1) P (XW 2)=Fx(2)= ln2 , P (0X 3)= Fx(3)- Fx(0)=1 ,5555P(2 : X :5=FX(；) Fx(2) =ln5-ln2=ln ：1,1 ： x : e,x21、設隨機變量X的概率密度f (x)為| x 0 _x ：1(2)f(x) = 2 x 1 Ex乞2 0 其他求 X 的分布函

18、數 F (x),并作出(2)中的 f (x)與 F (x)的圖形。解：(1)當一 1Wxw 1 時:=1x d - x21arcsin x12當 1x 時：F(x) = 0dx +fZj1 -x2dx + f0dx = 11n1故分布函數為：0 x ： -1F(x)二丄 X .1X2丄 arcsinx 丄 一 1 乞 x 乞 1f(x) =F(x)=0,其它(1)一1空X乞11x2Wdx1-x2丄 arcsi nx214211 ： xx解：(2)F(x) =P(X _x) = =f (t)dt15x當 x ：:0 時,F(x) 0dt =0012F(x)二 0dt o t dt 彳(2 t)d

19、t 2 0dt T故分布函數為I2xF(x)=222x -1 21定常數A。0F(x)二0dt0tdt2x20F(x)二 0dtJ-=Oxtdt i (2 -t)dt =2x -1(2)中的 f (x)與 F (x)的圖形如下22、由統(tǒng)計物理學知，分子運動速度的絕對值 布，其概率密度為120X服從邁克斯韋爾(Maxwell)分Ax2ebx 0其它其中b二m. 2kT,k為 Boltzmann常數，T為絕對溫度,m是分子的質量。試確x2x : 00 _x ： ：11_x _216-be.即.f x dxAx2ebdx-_ 0Abx2-bo0 xebdAb :x2；0 xd(eb)Ab圧蘭2心0云

20、0ebdxAbx217,1+5匯2,11232=151 -35243243Ab廣皿=罟阿名門異嘰儒JAr c a2u_12du = _24Abi b：t當t 0時，FTt 0 dt=0當t _0時，FTJ-f X dt二FTtt i _1241Le dt2410, t0片心冷_缶,0.P厲0 : T ： 1004 P汀1000f(x) = $ x20其它現有一大批此種管子（設各電子管損壞與否相互獨立） 2只壽命大于 1500 小時的概率是多少？解：一個電子管壽命大于1500 小時的概率為15001000。任取 5 只，問其中至少有P(X 1500) =1 -P(X _ 1500) =11000

21、11500dx-1000)1000令 Y 表示“任取 5 只此種電子管中壽命大于P(Y _ 2) =1 - P(Y : 2) =1 - ：P(Y =0) P(Y21500 小時的個數”。則Y B（5,-），2訂3 3_ 1 2 1.=1()5+C； () ()1824、設顧客在某銀行的窗口等待服務的時間X （以分計）服從指數分布，其概率19密度為:1x1e ,x 00,其它某顧客在窗口等待服務，若超過10 分鐘他就離開。他一個月要到銀行表示一個月內他未等到服務而離開窗口的次數，寫出解：該顧客“一次等待服務未成而離去”的概率為xx話dx = e飛5 次。以 Y Y的分布律。并求 P (Y 1)。

22、-.51P(X10)=10fX(x)dx=110 _5k因此YB(5,e).即 P(Y =k)=亠.210 e乳(1e，)5七(k =123,4,5P(Y _1) =1 P(Y ：1) =1 P(Y =0) =1 (1 e)5=1 (1 1)5=1 (1 0.1353363)57.389=1 -0.86775=1 -0.4833 =0.5167.25、設 K 在(0, 5)上服從均勻分布，求方程 124x24xK K 2=0有實根的概率T K 的分布密度為：f(K)=5-00其他要方程有根，就是要 K 滿足(4K)2-4X4X(K+2) 0。 解不等式，得 K 2 時，方程有實根。514-5

23、1亠3P(K _2) f(x)dx丄dx 0dx = =2255526、設 XN ( 3.22)(1 )求 P (2XW 5), P (-4)2, P (X 3) 日 if 號=Q (1)-Q (-0.5)若 XN ( a ,d2),則 P ( aW 3 )=Q竽_Q=0.8413- 0.3085=0.5328P (-4XW 10) = QP (22)=1 - P (|X|2)= 1 - P (- 2 P3)=1 - P (XW 3)=1 - Q(2)決定 C 使得 P (X C )=P (XW C)P (X C )=1 - P (XW C )= P (XW C)2021得P (XW C )=

24、1 =0.52又P (X C )= $C-zl =.0.5,查表可得2=0 C =327、某地區(qū) 18 歲的女青年的血壓(收縮區(qū)，以mm-Hg 計)服從N(110,122)在該地區(qū)任選一 18 歲女青年，測量她的血壓X。求(1) P (X 105) P (100 x) W 0.05.解：-1 =2 門(0.8333) -1 =2 0.7976 -1 =0.5952x _110 x _110(2) P(X x) =1 _P(X Ex) =1 -門()乞 0.05=：.：( 為 )_0.95.一x_110查表得1.645.二 x _11019.74 =129.74.故最小的 X =129.74.1

25、228、由某機器生產的螺栓長度(cm)服從參數為卩=10.05 , (T =0.06 的正態(tài)分布。規(guī)定長度在范圍10.05 0.12 內為合格品，求一螺栓為不合格的概率是多少？設螺栓長度為 XPX 不屬于(10.05 -0.12, 10.05+0.12)=1 P (10.05 0.12X10.05+0.12)=1 $ $(2)=1 0.9772 0.0228=0.045629、一工廠生產的電子管的壽命X (以小時計)服從參數為 =160, cr (未知)的正態(tài)分布，若要求 P (120 v XW 200= =0.80，允許 c 最大為多少？P(120vXW200)=門込型一十翼口 0 =片凹一

26、如丸.80Vc丿Ic丿丿 又對標準正態(tài)分布有 $ ( x)=1 $ (x)上式變?yōu)殚T些 -1-：40_0.80I c 丿I c 丿 P(X _105) =(105 -11012)=(-0.4167) =1 -(0.4167) = 1 - 0.6616 = 0.3384P(100 ：:X _120) = G(120 -11012_100-11012_=10.05 0.12) -10.050?Q6(10.05-0.12)-10.050.0622解出40便得：叫40-0.9Ic丿 Ic丿再查表，得專一281Y 窗 皿2530、解:0237 V -120X 二-2則 P=P1V- 118,1221：

27、- PV ：118_V 122= 2P-1 X.； =2(1-0.8413) = 0.3174p2(1-p)3=0.320431 解:0, x ： 0F(x) = 0.2 +0.8x/30,0 Ex 301,xZ3032、解：:f (x) _0, g(x) _0,0 : a : 1 .af (x) (1 -a)g(x) 一 0,cd -.oOod且 _.l.af(x) (1-a)g(x) Idx=a.f (x)dx (1-a)_g(x)dx = a (1-a) =1所以af(x) (1 -a)g(x)為概率密度函數33、設隨機變量 X 的分布律為:X: 2,1,0,1,3P：1:5，1 111

28、16，5，15，30求 Y=X2的分布律2 2Y=X2: ( 2)22(1)2(0)2(1)2(3)1P:1丄111651530再把 X2的取值相同的合并，并按從小到大排列，就得函數Y 的分布律為Y:0149P:11.丄11156 1553034、設隨機變量X 在(0, 1)上服從均勻分布(1 )求 Y=eX的分布密度X 的分布密度為：心)=00為其其他他Y=g (X) =eX是單調增函數X=h (Y)=lnY,反函數存在 a= mi ng (0), g (1)=mi n(1, e)=1:=maxg (0), g (1)= max(1, e)= eV N(12022) N(0,1)024(2)

29、求 Y=2lnX 的概率密度。Y 的分布密度為:fh(y) |h(y)| = 11 ：y e25Y的分布密度為：収y)=*fh(y) | h(y) |=11e專2i0y_2y 為其他x2_21:eJ2nY= g (X)=eX是單調增函數 又 X= h (Y ) = InY 反函數存在且 a= ming ( g ), g 什 g)=min(0, + g)=03= maxg ( g), g 什 g )= max(0, + g )= + g Y的分布密度為： X的概率密度是f (x)-:x ：二1 彎fh(y) |h(y)Ke2v2n0(2)求 Y=2X2+1 的概率密度。収y)二10 ： y ：:

30、y 為其他在這里，Y=2X2+1 在(+ g,g )不是單調函數，沒有一般的結論可用。設 Y 的分布函數是 FY(y),則FY( y)=P (Y y)=P (2 貳+1 三 y)1 時，“ (y)= FY( y)=yJ2x2Tdx/ Y= g (X)=21 nX 是單調減函數Y又X二h(Y)二反函數存在。且 a= mi ng (0), g (1)= mi n(+g, 0 )=0125、設 XN ( 0, 1) (1 )求Y=eX的概率密度3=maxg (0), g (1)= max (+ g, 0 )= + g_X-當 y1 時:當 y1 時:故 Y 的分布密度“ (y)是：當 yw 1 時：

31、“ (y)= FY( y) = (0) =026X2t,y1當 y0 時，FY( y)=P (| X | w y )=P ( y y v-V0e dx +0 =1 -護0y0.丫fY(y) =(2jy0, ym37、設 X 的概率密度為當 y0 時：“ (y)= FY( y)=y1-e-y,2nx22dxy22enJ36、(1)設隨機變量 X 的概率密度為 f (x)，求 Y = X3的概率密度。Y=g (X )= X3是 X 單調增函數，1X=h (Y ) =Y3，反函數存在，a= ming ( 8 ), g 什g)=min(0, +g)=3= maxg ( g), g 什 g )= max(O, + g )= + gY 的分布密度為：“ (y)= f h ( h )| h ( y)| =(0) =0(2)設隨機變量X 服從參數為1 2f(y3) |3-：:y ：:,但y -01 的指數分布，求 Y=X2的概率密度。e法一： X 的分布密度為：f(x)=、0Y=x2是非單調函數當 x0 時 y=x2反函數是 x - -y當 x0 時 y=x2x二.yx 0 x _0丫fY(y) =f (-； y)(-._y