平面三次B_zier曲線間的一種延拓方法

1、第34卷第6期 2011年6月合肥工業(yè)大學學報(自然科學版JO U RN AL O F H EFEI U N IV ERSIT Y OF T ECH N OL O GY收稿日期:2010 06 01基金項目:合肥工業(yè)大學大學生創(chuàng)新實驗計劃資助項目(2009CXSY183作者簡介:曹德才(1989-,男,安徽六安人,合肥工業(yè)大學碩士生;郭清偉(1968-,男,安徽濉溪人,合肥工業(yè)大學副教授,碩士生導師.平面三次B zier 曲線間的一種延拓方法曹德才1, 周 全2, 郭清偉1(1.合肥工業(yè)大學數(shù)學學院,安徽合肥 230009;2.合肥工業(yè)大學計算機與信息學院,安徽合肥 230009摘 要:文章在

2、保持G 1連續(xù)的條件下,將一條已知的平面三次B zier 曲線延拓到另一條與其不相鄰接的三次B zier 曲線,其中的過渡曲線也為三次B zier 曲線,而且中間的過渡曲線形狀可以由用戶加以調(diào)整,進而對近似于曲線弧長、曲線能量、曲率變化率的幾類目標函數(shù)分別極小化,以生成各種光順的曲線;利用所給方法做了一些2條不相連接的平面三次B zier 曲線延拓的實例,并與已有結(jié)果進行比較,結(jié)果表明所提出的方法優(yōu)于已有的方法。關鍵詞:B zier 曲線;G 1連續(xù);控制頂點;過渡中圖分類號:T P391 72 文獻標識碼:A 文章編號:1003 5060(201106 0957 04An extension

3、 method for plane cubic B zier curvesCAO De cai 1, ZH OU Quan 2, GUO Q ing w ei 1(1.S chool of M athem atics ,H efei Un iversity of T echnology,H efei 230009,China; 2.S chool of Compu ter an d In formation,H efei Uni versity of Techn ology,H efei 230009,C hinaAbstract:This paper pr esents a method t

4、o extend a given plane cubic B zier curve to ano ther nonadja cent cubic B zier cur ve under G 1continuous conditio ns.T he transition curves are also cubic B zier curves.T he shape of the transitio n curves can be adjusted by the user and v ar io us fairing curves are constructed by minimizing the

5、objectiv e functions of appr ox im ate ar c leng th,energ y and cur vature variation o f the curves r espectively.So me ex amples of the extension of two nonadjacent plane cubic B zier curv es are g iven and the obtained results are co mpared w ith the know n ones.It is pro ved that the presented me

6、tho d is better than the know n ones.Key words:B zier curv e;G 1co ntinuity;co ntrol vertex ;transition0 引 言B zier 曲線/曲面、B spline 曲線/曲面、NURBS 曲線/曲面在曲線/曲面造型中被廣為應用,其中B zier 曲線/曲面和B spline 曲線/曲面是CGAD 中最基本和最重要的造型工具,有著廣泛的應用。而在實際工程中,三次B zier 曲線/曲面和B spline 曲線/曲面應用最為廣泛。在CAD 系統(tǒng)中,經(jīng)常會遇到如下問題:將2條不相連接的平面B zier 曲

7、線拼接起來,其中間過渡曲線也是B zier 曲線,并且在連接點處要達到某種程度的光滑度。文獻1提出了對于B spline 曲線的一種延拓方法,其所延拓的曲線同原曲線在拼接點處達到了曲線的最大連續(xù)性,即對于三次B spline 曲線,在拼接點處可以達到C 2連續(xù);文獻2則采用了G 2連續(xù)為約束條件對三次B zier 曲線進行延拓;文獻3利用幾何方法給出了平面三次B zier 曲線的一種過渡方法,所構(gòu)造的過渡曲線與原曲線在拼接點處達到G 1或G 2連續(xù);文獻4定義了帶2個參數(shù)的多項式曲線,分析了其幾何意義并給出了曲線的幾何作圖法;文獻5提出了一種帶1個形狀參數(shù)的二次B zier曲線的擴展;文獻6則

8、將其推廣成n次B zier曲線的擴展。本文利用文獻7中的帶2個形狀參數(shù)的三次B zier曲線的擴展曲線作為中間媒介,在保持G1連續(xù)的條件下,將2條不相鄰接的平面三次B zier曲線拼接起來。根據(jù)2條平面三次B zier曲線的相對位置的不同,其媒介曲線可以是1條,也可以為2條。同時,本文給出了媒介曲線的具體生成方法,并與文獻3中的方法進行比較。1 過渡曲線的構(gòu)造假設有2條平面三次B zier曲線P(u和R(v,其控制頂點為P i和R i(i=0,1,2,3,如圖1所示。令B i,2=2it i(1-t2-i,0 t 1(i=0,1,2為二次Bernstein多項式8?，F(xiàn)引入帶有形狀參數(shù) 、 的調(diào)

9、配函數(shù)7b i(t(i=0,1,2如下:b0(t=B0,2(t(1- t=- t3+(2 +1t3-( +2t+1,b1(t=B1,2(t1+ (1-t2+u t2=( - t3+( -2 -2t2+( +2t,b2(t=B2,2(t1- (1-t= t3+(1- t2,其中,-2 , 1,則稱曲線r(t= P3b0+Qb1+ R3b2是控制頂點為P3、Q、R3的帶有形狀參數(shù) 、 的三次B zier曲線的擴展。圖1 2條不相鄰接的平面三次B zier曲線1 1 使用1段曲線進行拼接如圖1所示,此時P2P3與R2R3不平行,顯然延長P2P3與R2R3必交于一點Q,以P3、Q、R3為控制頂點構(gòu)造帶

10、有形狀參數(shù) 、 的三次B zier 曲線的擴展曲線r(t=P3b0+Qb1+R3b2,由文獻7可知,r(t與P(u和R(v相連,并且在拼接點處顯然為G1連續(xù)。為了確定形狀參數(shù) 、 的值,引入曲線弧長、曲線能量9、曲線變化率的近似表達式為:E1= 10 r (t 2d t(1E2= 10 r (t 2d t(2E3= 10 r (t 2d t(3 通過極小化目標函數(shù)(1(3式確定自由變量 、 的值,由 E i/ =0, E i/ =0(i=1,2,3分別得到:(4P23-4P3Q+16Q2+10P3R3-20QR3+10R23 +(4Q2-8P3Q-10QR3 =20P3Q+20QR3-10P3

11、R3-5P23-20Q2,(4Q2-8P3Q-10QR3 +16Q2 =10P3Q-20Q2(42(P3-Q2 +(P3-Q(Q-R3 +(P3-Q2-(P3-Q(Q-R3=0,(P3-Q(Q-R3 +2(Q-R32 +(Q-R32-(P3-Q(Q-R3=0(5(P3-Q2 +(P3-Q(Q-R3 =0,(P3-Q(Q-R3 +(Q-R32 =0(6由(4式系數(shù)矩陣的行列式值為:D1=4P23-4P3Q+16Q2+10P3R3-20QR3+10R234Q2-8P3Q-10QR3 4Q2-8P3Q-10QR316Q2= 64P23Q2-(P3Q2+100Q2R23-(QR32+60Q2(2Q-R

12、32>0,可得: =D2/D1, =D3/D1(7其中:D2=20P3Q+20QR3-10P3R3-5P23-20Q24Q2-8P3Q-10QR3 10P3Q-20Q216Q2,D3=4P23-4P3Q+16Q2+10P3R3-20QR3+10R2320P3Q+20QR3-10P3R3-5P23-20Q2 4Q2-8P3Q-10QR310P3Q-20Q2。因為(5式、(6式系數(shù)矩陣顯然是滿秩的,直接得:958 合肥工業(yè)大學學報(自然科學版第34卷=2(P 3-Q2(Q -R 32-3(Q -R 32(P 3- Q(Q -R 3+(P 3-Q(Q - R 3 24(P 3-Q2(Q -R

13、32-(P 3-Q(Q -R 32,=2(P 3-Q2(Q -R 32-3(P 3-Q2(P 3-Q(Q -R 3+(P 3-Q(Q -R 324(P 3-Q2(Q -R 32-(P 3-Q(Q -R 32(8=0, =0(9根據(jù)以上結(jié)果,易畫出滿足曲線能量、曲線變化率最小的三次B zier 曲線的擴展,如圖2所示。圖2 本文方法所得過渡曲線如果用文獻3所給的方法,對應同樣情況的過渡曲線如圖3所示。圖3 對應圖2的文獻3中方法所得過渡曲線顯然,本文所提供的計算方法要比文獻3中的方法簡單一些。1 2 使用2段B z ier 曲線進行拼接如圖4所示,此時P 2P 3與R 2R 3平行,分別延長P

14、2P 3和R 2R 3至Q 1和Q 2,連接Q 1和Q 2,在Q 1Q 2上任意取一點Q 。則由P 3、Q 1、Q 為控制頂點的帶有形狀參數(shù)的三次B zier 曲線的擴展曲線和由Q 、Q 2、R 3為控制頂點的帶有形狀參數(shù)的三次B zier 曲線的擴展曲線將曲線P (u和R(v拼接起來,且在連接點處P 3、Q 、R 3為G 1連續(xù)。其形狀參數(shù)的確定方法與1 1中相仿,結(jié)果如圖5所示。在此種情形下,不能用文獻3中計算方法來生成拼接曲線,而用本文所提供的方法較簡單。圖4 不相鄰接的平面三次B zier 曲線959第6期曹德才,等:平面三次B zier 曲線間的一種延拓方法圖5 本文方法所得的2條過

15、渡曲線2 結(jié)束語在保持G1連續(xù)的條件下,將2條不相鄰接的三次B zier曲線連接起來,其中間媒介也為B zier曲線。根據(jù)2條三次B zier曲線的相對位置,其媒介B zier曲線可以是1條,也可以為2條。同時,本文給出拼接B zier曲線的具體生成方法,并與文獻3中的方法作了比較。本文直接用文獻7中的曲線作為過渡曲線的方法比文獻3用幾何方法生成過渡曲線的方法要簡單,且可以處理文獻3不能處理的情況。但本文沒有給出平行情況時,應如何取線段延長的長度和Q,才能使過渡曲線令人滿意。參 考 文 獻1 H u Shim in,Tai C L,Zh ang S on ghai.An exten sion

16、algorithm for B splin e by cur ve unclam pingJ.Computer Ai ded Design,2002,34(5:415-419.2 周元峰,張彩明.G2連續(xù)約束下三次B zier曲線的延拓J.計算機輔助設計與圖形學學報,2005,17(3:425-430.3 王維國,劉利剛,王國瑾.三次B zier曲線間的幾何延拓算法J.計算機輔助設計與圖形學學報,2006,18(12:1911-1917.4 嚴蘭蘭,梁炯豐,黃 濤.帶形狀參數(shù)的B zier曲線J.合肥工業(yè)大學學報:自然科學版,2009,32(11:1783-1788.5 韓旭里,劉圣軍.二次B

17、 zier曲線的擴展J.中南工業(yè)大學學報:自然科學版,2003,34(2:214-217.6 劉 植.B zier曲線的擴展J.合肥工業(yè)大學學報:自然科學版,2004,27(8:976-979.7 鄔弘毅,夏成林.帶多個形狀參數(shù)的B zier曲線與曲面的擴展J.計算機輔助設計與圖形學學報,2006,18(12:2607-2612.8 王仁宏,李崇君,朱春鋼.計算幾何教程M.北京:科學出版社,2008:106-118.9 Zhan g Caiming,Zhang Pifu,Chen g Fuh ua.Fairing s plinecu rves and surfaces by min imizi

18、ng energyJ.Compu ter Aided Des ign,2001,33(13:913-923.(責任編輯 張秋娟(上接第847頁法,增加6個方向模板,提高了邊緣定位精度,并且對于邊緣檢測后的鋼管表面裂紋進行閾值分割和形態(tài)學膨脹,提取裂紋邊緣并且進行連接。實驗表明,該算法能夠有效地對鋼管表面裂紋進行提取,對于實際工程中的裂紋檢測與量化具有重要意義。參 考 文 獻1 于 彬.基于數(shù)字圖像處理的陶瓷瓶裂紋檢測研究D.武漢:武漢理工大學,2007.2 胡浪濤,何輔云,沈兆鑫.油氣管道高速漏磁檢測系統(tǒng)中數(shù)據(jù)壓縮研究J.合肥工業(yè)大學學報,2009,32(3:320-323.3 Li J,Tang X K.Comparing study of some edge detection algorithm sJ.Information T ech nology,2007,38(9: 106-108.4 Jagadish H P,S hamb havi D S.A novel digital algorithm forS obel edge detectionJ.C om munications in Computer an d Informat