相似三角形中幾種常見(jiàn)的輔助線作法

1、相似三角形中幾種常見(jiàn)的輔助線作法在添加輔助線時(shí)，所添加的輔助線往往能夠構(gòu)造出一組或多組相似三角形，或得到成比例的線段或出等角，等邊，從而為證明三角形相似或進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算找到等量關(guān)系C主要的輔助線有以下幾種：一、添加平行線構(gòu)造“A”“X”型例1:如圖，D是4ABC的BC邊上的點(diǎn)，BD:DC=21,E是AD的中點(diǎn)，求：BEEF的值.解法一：過(guò)點(diǎn)D作CA的平行線交BF于點(diǎn)P,則PE=EFBP=2PF=4E所以BE=5EF；BEEF=5:1.解法二：過(guò)點(diǎn)D作BF的平行線交AC于點(diǎn)Q,.BEEF=5解法三：過(guò)點(diǎn)解法四：過(guò)點(diǎn)BEBT限式:TC口圖，長(zhǎng)交AC于F,1.E作BC的平行線交AC于點(diǎn)E作AC的平行

2、線交BC于點(diǎn)VBD=2DC5D是AABC勺BCT上的DCS,T,.BEEF=5:1.BDDC=21,E是AD的中點(diǎn)，連結(jié)BE并延解法一解法二解法三解法四過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)求AF:CF的值.D作CA的平行線交D作BF的平行線交E作BC的平行線交E作AC的平行線交例2:如圖，在ABC的AB邊和AC邊上各取一點(diǎn)E,且使AD=AE,ED和不相似，因而要通過(guò)兩組為構(gòu)造相似三角形，需添加過(guò)即BF于點(diǎn)AC于點(diǎn)AC于點(diǎn)BC于點(diǎn)P,QS,T,DEM長(zhǎng)線與BC延長(zhǎng)線相交于F,求證：（證明：過(guò)點(diǎn)C作CG分析：證明等積式問(wèn)題常?；癁楸壤剑偻ㄟ^(guò)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例來(lái)證明。角形相似，運(yùn)用中間比代換得到,平行線。.方法

3、一：過(guò)E作EM方法二:D作DN例4:在ABC中，D為AC上的一點(diǎn)，E為CB延長(zhǎng)上的一點(diǎn)，BE=ADDE交于F。 求證：EFXBC=AC證明：過(guò)D作DG/BC交ABG則DFGiffi4EFB相似，二DGDFvBE=AD,/.DGDF由DBEBCF得ADGffiACBD目似EF；.EFXBOAODF.例5:已知點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)的直線交AC于E,交BA的延長(zhǎng)線于F,求證：分析：利用比例式夠造平行線，通過(guò)中間比得結(jié)論.（或利用中點(diǎn)“倍長(zhǎng)中線”的思想平移線段EC,使得所得四條線段分別構(gòu)成兩個(gè)三角形.）線ABDFACCF垂足分別為ABQ是PCPF/EC(1)例6分析求證證明分析位線例11點(diǎn)H,分析

4、:AE=ABAC在梯形ABCLfr因?yàn)閱?wèn)題涉及四邊形AHCD所以可構(gòu)造相似三角形B作BMLAC于M過(guò)D作DNLAC于NvEC=PFABAEACAM(DBH=3AH且四邊形AHCD勺面積為21,求HBC勺面積（不是中點(diǎn)）,MNSQ且MNLCP,交ACBC于MN,求證證明：過(guò)P作PEIAC于E,PFCB于F,則CEP四矩形例8:在？ABC中，AB=AC,AD1中線，P是AD上一點(diǎn)，過(guò)C作/AB,延長(zhǎng)BP交AC于E,交CF于F,求證：BP2=PEPF分析：在同一直線上的三條線段成比例，可以通過(guò)中間比轉(zhuǎn)化，可以通過(guò)線段相等，把共線的線段轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形中的線段，過(guò)相似證明.另外在證明等積式時(shí)要先轉(zhuǎn)化為

5、比例式觀察相似系，有利于證明.例9:如圖從ABCD頂點(diǎn)C向AB和AD的延長(zhǎng)線引垂線CE和CF,點(diǎn)，連接ED且交AB的延長(zhǎng)線于F點(diǎn).求證：EC=AFBF.:利用前兩題的思想方法，借助中點(diǎn)構(gòu)造中,利用平行與2倍關(guān)系的結(jié)論，證明所得結(jié)找到后以比例式所在三角形與哪個(gè)三角形相似PBCN作延長(zhǎng)線構(gòu)造相似三角形XLDAFA4CF-=化為相似三角形的面積比而加以解決。F,RtAAEP=R區(qū)PFB/QCN+QNC=90又v/QCN+QCM=90./MCQ=CNQPACMCMCNECCN3點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線交BC于F,FG交AB于G,求證：FG=CFBF分析：欲證式即由“三點(diǎn)定形”，ABFG與ACFG會(huì)相似嗎？顯然

6、不可能。（因?yàn)锳BFG為RtA）,但由E為CD的中點(diǎn)，可設(shè)法構(gòu)造一個(gè)與ABFGW以的三角形來(lái)求解。不妨延長(zhǎng)GF與AC的延長(zhǎng)線交于H,貝口AFFGFHFGFH又ED=EC.FG=FH又易證RtACFHhFAEAGEBECEDECCFFH.-.FG-FH=CFBFFG=FH.FG2=CFBFFGBF四、利用中線的性質(zhì)構(gòu)造相似三角形例13:如圖，中，ABACAE1BC于E,D在AC邊上，若BD=DC=EC=1求AC.解：取BC的中點(diǎn)M連AMVABACAM=CM；/1=/C又BD=DC丁./DBC=DCB/CAM=C=/DBCAMA8ADBCMCAC又DC=1MC=IBCACMCBC2BC2（I）又DFtAAECRt