QR分解及其應(yīng)用

1、F我支通丈學(xué)?矩陣分析與應(yīng)用?專題報(bào)告QR分解及應(yīng)用學(xué)生姓名：盧楠、胡河群、朱浩2021年11月25日目錄1引言 32 QR分解 42.1 QR分解的性質(zhì) 42.2 QR分解算法 52.2.1 采用修正Gram-Schmidt法的QR分解 52.2.2 Householder QR 分解 62.2.3 采用Givens旋轉(zhuǎn)的QR分解 83 QR分解在參數(shù)估計(jì)中的應(yīng)用 93. 1基于QR分解的參數(shù)估計(jì)問題 94. 2基于Householder變換的快速時(shí)變參數(shù)估計(jì) 125. 3基于Givens旋轉(zhuǎn)的時(shí)變參數(shù)估計(jì) 144 QR分解在通信系統(tǒng)中的應(yīng)用 164.1 基于QR分解的穩(wěn)健干擾對(duì)齊算法 16

2、4.2 基于QR分解的MIMO置信傳播檢測(cè)器 19總結(jié) 21參考文獻(xiàn) 221引言矩陣分解是指將一個(gè)矩陣表示為結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單或具有特殊性質(zhì)的假設(shè)干矩陣之積或 之和,大體上可以分為滿秩分解、 QR分解和奇異值分解.矩陣分解在矩陣分析 中占有很重要的地位,常用來解決各種復(fù)雜的問題.而QR分解是工程中應(yīng)用最為廣泛的一類矩陣分解.QR解是目前求一般矩陣全部特征值的最有效并廣泛 應(yīng)用的方法,一般矩陣先經(jīng)過正交相似變換成為Hessenberg矩陣,然后再應(yīng)用QS解求特征值和特征向量.它是將矩陣分解成一個(gè)正交矩陣Q與上三角矩陣R, 所以稱為QR分解.參數(shù)估計(jì)是在系統(tǒng)模型結(jié)構(gòu)時(shí),用系統(tǒng)的輸入與輸出數(shù)據(jù)計(jì)算系統(tǒng)模型參

3、數(shù)的過程.它在系統(tǒng)辨識(shí)和無線通信領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.18世紀(jì)末德國(guó)數(shù)學(xué)家C.F.高斯首先提出參數(shù)估計(jì)的方法,他用最小二乘法計(jì)算天體運(yùn)行的軌道.20世紀(jì)60年代,隨著電子計(jì)算機(jī)的普及,參數(shù)估計(jì)有了迅猛的開展.參數(shù)估計(jì) 有很多方法,如矩估計(jì)、極大似然法、一致最小方差無偏估計(jì)、最小風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)、 同變估計(jì)、最小二乘法、貝葉斯估計(jì)、極小極大嫡法等.其中最根本的是最小二 乘法和極大似然法.本文將重點(diǎn)介紹Q的解及其在參數(shù)估計(jì)和通信系統(tǒng)中的應(yīng)用2 QR分解2.1QR分解的性質(zhì)定理2.1.1 (QR分解)假設(shè)a Rmn,且m n ,那么存在列正交矩陣Q Rm n和上三角矩陣R Rmn使得A = QR.當(dāng)m n時(shí),

4、Q是正交矩陣.如果A是非 奇異的n n矩陣,那么R的所有對(duì)角線元素均為正,并且在這種情況下Q和R 二者是唯一的.假設(shè)A是復(fù)矩陣,那么Q和R取復(fù)值.注意到AtA =(QR)t(QR) =RtR ,因此可以得出結(jié)論：G=Rt是AtA的 下三角Cholelskey因子.由于這個(gè)原因,在關(guān)于估計(jì)的文獻(xiàn)中,矩陣 R常稱為 平方根濾波器(算子).下面的引理稱為矩陣分解引理,它在矩陣的QR分解的應(yīng)用中是一個(gè)很有結(jié)果.引理2.2.1假設(shè)A和B是任意兩個(gè)m n矩陣,那么AhA = BhB(2.1.1)當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)m m酉矩陣Q ,使得QA = B(2.1.2)證實(shí) 充分性證實(shí)：假設(shè)QA = B ,并且Q 是

5、酉矩陣,那么 bhb = ahqhqa = aha.必要性證實(shí)：令A(yù)和B的奇異值分解分別為A=Ua a VaHB = Ub b VbH式中,Ua和Ub均為m m酉矩陣；Va和Vb都是n n酉矩陣；而m n矩陣A和b分別包含了矩陣A和B的非負(fù)奇異值.由于AHA=Va AH a VaHBHB = Vb bH b VbH假設(shè)aha = bhb ,那么有Va=Vb和a b o定義矩陣Q = UbUaHHHH勿知 QA = U B U A A = U B U A U A a V A = U B B V B = B這就證實(shí)了引理的必要條件10.2.2 QR分解算法2.2.1 采用修正Gram-Schmid

6、t法的QR分解矩陣A 的QR分解可以利用Gram-Schmidt正交化方法實(shí)現(xiàn).Gram-Schmidt正交化方法原本是一種由 n個(gè)向量a1,a2,.,an構(gòu)造互相正交且范數(shù)為1的向量q1,q2,.,qn的方法.將向量a1標(biāo)準(zhǔn)正交化的結(jié)果取作q1,即Ri歸i|q1qr R11(2.2.1)然后,從a2中除去與a1平行的向量,再進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)正交化,并將結(jié)果取作q2 ,那么有HR2 q1 a2R22a2 q1%(2.2.2)q2 (a2 q1R2)/R22進(jìn)而,又從a3除去與a1和a2平行的兩個(gè)分量,再進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)正交化,并使用該結(jié)果作q3 ,即有R3R23R33q3Hq1 a3Hq2 a3a3 q 1R

7、13q2R23(a3q1 R3q2 R?3)/ R33(2.2.3)如此繼續(xù),那么對(duì)于qk(2 k n)有Rkkakj、RjkqjHak,1 j k 1(2.2.4)容易驗(yàn)證,qi是標(biāo)準(zhǔn)正交基,即滿足H qi qj ij(2.2.5)其中,j為Kronecker 函數(shù).如果令m n矩陣A的列向量ai,a2,.,an,那么以qi,q2,.,qn為列向量的矩陣Q與A之間有以下關(guān)系：A = QR(2.2.6)又由于qi組成標(biāo)準(zhǔn)正交基,所以QHQ = In將A與Q重寫在同一矩陣,應(yīng)用以上Gram-Schmidt正交化的方法叫做經(jīng)典Gram-Schmidt 正交化法6.2.2.2 Householder

8、 QR 分解Householder變換可以實(shí)現(xiàn)任意m n矩陣A的QR解,其原理是使用變維向量的Householder變換,使得該向量除第一個(gè)元素外,其他元素皆為0.根據(jù)Householder變換的相關(guān)知識(shí),欲使一個(gè) p維向量xx1,X2,.,Xp ,的第1個(gè)元素后面的所有元素變?yōu)?,那么p維的Householder向量應(yīng)取x e1X1)(2.2.7)式中(2.2.8)假定m n矩陣A的列分塊形式為A m na1,a2,.,an首先令xa11,a21,.,am1,并取 P m ,那么根據(jù)式(2.2.7)和式(2.2.8),可以計(jì)算得到U1 Wm此時(shí),變換后,矩陣H1 ITU1U1A1 H1Aa1

9、 a2(1),.,an(2.2.9)Ai的第2am1列的其他元素全部為0第二步針對(duì)矩陣Ai的第2列a21),令 P m 1 和(1) _(1).(1) Txa22 , a32 ,., am2又可根據(jù)式(2.2.7)和式(2.2.8)求出(m-1)維向量Wm1.此時(shí),取U2Wm 1又可得到H2 Iu2u2T A2H 2AlH 2H1A(1)(2)a 1 7 a2 , .,an(2.2.10)變換后,矩陣A2的第1列與Ai的第1列相同,而第2列ai的第一個(gè)元素等am21 2,而該列的其他元素全部為0.類似地,又可針對(duì)矩陣A2的第3列設(shè)計(jì)Householder變換矩陣H3 ,使得A?的第一、二個(gè)元素

10、保持不變,其他元素組成的m-2維向量 xa31),a43),.,a；23換為除第一個(gè)元素外的全部元素變?yōu)?假定貨1陣A經(jīng)過k-1次Householder變換后,已變成A(k 1),即A(k1) Hk 1A(k2) Hk1.H1A(k 1) (k 1) (k 1)a17 a2,a,k=2,3,.并且其前k-1列具有以下變換結(jié)果：(k 1) (k 1) (k 1)a j a1 j ,a jj ,0,.Qj=1,2,k-1因此,第k次Householder變換的目的就是保持前 k列的下述變換：k-1列不變,實(shí)現(xiàn)A(k1)列第Mka(k 1) k, k(k 1) k 1,kM(k 1) m,kakkk

11、0M0這相當(dāng)于對(duì)矩陣A(k 1)進(jìn)行Householder變換H kA(k 1)時(shí)取HkIk1 00Hkn次Householder變換后,即可實(shí)現(xiàn)Q的解.2.2.3 采用Givens旋轉(zhuǎn)的QR分解Givens旋轉(zhuǎn)也可以用來計(jì)算 分解的思想：Q的解.這里以43矩陣為例,說明Givens QR(3,4)(2,3)(1,2)(3,4)(2,3)(3,4)000其中,表示用Givens旋轉(zhuǎn)進(jìn)行變化你的元素.從上述說明中易得出結(jié)論：如果令Gj代表約化過程中的第j次Givens旋轉(zhuǎn), 那么QTA = R是上三角矩陣,其中Q = GtGt-1 LG 1,而t是總的旋轉(zhuǎn)次數(shù).3QR分解在參數(shù)估計(jì)中的應(yīng)用3.

12、1基于QR分解的參數(shù)估計(jì)問題現(xiàn)在以系統(tǒng)辨識(shí)為例,說明如何利用矩陣的 QR分解進(jìn)行系統(tǒng)參數(shù)的遞推估計(jì).令系統(tǒng)在k時(shí)刻的輸入為x k,系統(tǒng)輸出的觀測(cè)值由卷積方程給出,其中,表示離散卷積,xk xk ,x假設(shè)將kAn xp,x ki0代表ki e k xT 0 e k時(shí)刻的觀測(cè)誤差,且k 1 ,L ,x kTP1,2,L ,n的所有觀測(cè)數(shù)據(jù)組成一向量,那么ynAn 9en(3.1.1)(3.1.2)(3.1.3), yn y 1,y 2,L,y nT1 ,x 2 ,L ,x n 0系統(tǒng)辨識(shí)問題的提法是：系統(tǒng)輸入k 1,2,L ,n,估計(jì)系統(tǒng)參數(shù)向量9 7n時(shí)刻的系統(tǒng)參數(shù)向量ene 1 ,e 2 ,L

13、 ,ek和輸出觀測(cè)值在時(shí)變系統(tǒng)的辨識(shí)中,8n的情況下,使用增加的x n 1 ,y,其中,那么要求在已估計(jì)n 1值,通過簡(jiǎn)單的運(yùn)算,遞推出n 1時(shí)刻的系統(tǒng)參數(shù)向量n 1n時(shí)刻的系統(tǒng)辨識(shí)問題可以簡(jiǎn)化為最小二乘問題(3.1.4)min|An4 yj求解,并且其解由“法方程 確定.式中,Rxx AnTAn代表系統(tǒng)輸入X k的協(xié)方差矩陣,rn Ayn OAnNn R Ajyn或 Rxx 8nPn(3.1.5)直接求解式(3.1.5)的方法叫做協(xié)方差方法.例如,先計(jì)算協(xié)方差矩陣Rxx的Cholesky分解Rxx GGT ,然后利用回帶法解三角矩陣GT機(jī)G 1Rn直接得到0n .然而,由于Rxx AnTAn

14、的條件數(shù)是A0的條件數(shù)的平方,因此,直 接計(jì)算式(3.1.5)的得到的解有可能是嚴(yán)重病態(tài)的(即條件數(shù)很大),即使An本 身的條件數(shù)并不大,不是嚴(yán)重病態(tài)的.在系統(tǒng)參數(shù)向量9的自適應(yīng)遞推辨識(shí)中,標(biāo)準(zhǔn)的遞推最小二乘RLS法和UTDU分解法都是針對(duì)協(xié)方差矩陣Rxx進(jìn)行更新的.雖然UTDU分解(其中, U為上三角矩陣,D為對(duì)角矩陣)在數(shù)值上比擬穩(wěn)定,但是這些遞推辨識(shí)方 法也同樣存在條件數(shù)變大的毛病.相比之下,An的QR分解可以保持原問題的條件數(shù)不變.不妨令TRnQnTAnO(3.1.6)式中,Qn是n n正交矩陣,Rn是P 1 P 1上三角矩陣,而.為 n p 1 p 1維零矩陣.由于正交變換可以保持被

15、變換向量的 Euclidean長(zhǎng)度或范數(shù)不變,所以式(3.1.4) 的最小二乘問題可等價(jià)寫作 2m|n|QnAn 露 Qn yn|2(3.1.7)或minllRnVn ： % 22(3.1.8)4 II22Vn%式中(3.1.9)QnTVnQnTVn直接分塊且Vn為P 1 1向量,n為n p1一旦獲得了 yn ,即可由Rn0nyn得到9 .解此方程需要n n 1 /2次計(jì)算,并且最小殘差值等于教假定增加了兩個(gè)數(shù)值X n 1和y n 1 ,我們來討論如何更新系統(tǒng)參數(shù)的估計(jì),即使用已估計(jì)的參數(shù)向量a和簡(jiǎn)單的運(yùn)算,得到1時(shí)刻的新估計(jì)隊(duì)1.為了減少過去數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)對(duì)參數(shù)估計(jì)的影響, 對(duì)數(shù)據(jù)x和y k 采取

16、指數(shù)加權(quán),即n 1時(shí)刻的數(shù)據(jù)矩陣和觀測(cè)數(shù)據(jù)向量分別取作A ny nA n 1t , yn 1/xn 1y n 1(3.1.10)式中,01稱為遺忘因子,且Xn 1 X n 1 ,x n,L ,x nT.于是,可以寫出式(3.1.4)在n 1時(shí)刻的形式為28n 1argmin An 19 yn 1 2argminAT e ynxn 1 y n 1(3.1.11)乍一看,上式似乎沒有什么特別吸引人之處,其實(shí)不然.這是由于,如同下面的引理所述,式(3.1.11)的極小化變量等價(jià)為下述式的極小化變量, 合于遞推更新.而后者非常適a - Rn引理 3.1.2r 假設(shè)An Qn O,QnNnyn,其中,Q

17、n是正交矩陣,Rn是上三角矩陣,那么式(3.1.11)的極小化變量等同于下式的極小化變量:0n1arg min An 19uyn 1argminAnT x n 1yny n 1(3.1.12)證實(shí)見口 .如果將式(3.1.12)的極小化變量記作8n 1,那么以上討論可總結(jié)為On 1的自適應(yīng)遞推估計(jì)算法如下.算法1 (系統(tǒng)參數(shù)的自適應(yīng)估計(jì)算法)步驟1對(duì)矩陣RRnTXn 1進(jìn)行QR分解,得Q：iRQT1RnTXn 1Rn1O式中,Qn 1是n1正交矩陣,Rn零矩陣.步驟二進(jìn)行分塊運(yùn)算QT1yn1(3.1.13)p 1上三角矩陣,(3.1.14)其中,Jn 1為p 1 1向量,% 1為步驟三切結(jié)三角

18、矩陣方程Rn 1 8n 1 yn 1得到8n 1°3.2基于Householder變換的快速時(shí)變參數(shù)估計(jì)考察n p 1矩陣Ana21a22Ma1,p 1a2,p 1Man,1an,2an,p 1的 Householder QR 分解,即a11a12La1,p 1*0a22La2, p 1MMM00L*a p 1, p 100L0MMM00L0*0HnAn顯然,只需要進(jìn)行p次Householder變換即可換力之,(3.2.1)為了得到上述 QR分解,應(yīng)該選擇 為p個(gè)Householder變換矩陣之積,即Hn Hn p Hn p 1 L Hn 1(3.2.2)式中Hn j I 后 / j

19、, j 1,2,L ,p(3.2.3)是對(duì)矩陣A/Hn j 1 Hn 2 Hn 1 An第j列向量Q j9j ,L,進(jìn)行的Householder變換矩陣,其參數(shù)選擇方法為2a-j aij_ jUj ia.a-j a0,i j sgn ajj,i,j 1,2L ,p(3.2.4)aijj,i其中Anj 1AnjTUjqj(3.2.5)Tqj并且(3.2.6)遞推的Householder QR分解算法如下:基于QR分解的自適應(yīng)參數(shù)估計(jì)算法一般由兩個(gè)分開的過程組成：1遞推更新QR分解QtA R中的上三角矩陣R ; 2用回代法求解三角矩陣方程.由于直接的回代需要O m2次運(yùn)算m為數(shù)據(jù)長(zhǎng)度.因此,即使H

20、ouseholder變換再快速,整個(gè)自適應(yīng)算法也至少需要O m2次運(yùn)算.文獻(xiàn)口將上述快速提出了Householder QR分解算法和求解三角矩陣方程的回代法綜合起來考慮,只具有O m復(fù)雜度的快速自適應(yīng)算法3.3基于Givens旋轉(zhuǎn)的時(shí)變參數(shù)估計(jì)現(xiàn)在考慮另外一種遞推方法,遞推求解8n的變化量溫,而不是直接遞推求0n 1本身.換句話說,令&i8n(3.3.1)問題是如何更新8n假定正交矩陣Q為,它滿足入RnQTxn 1Rn 1(3.3.2)由式(3.1.11),式(3.3.1)和式(3.3.2)易知,今是下式的極小化變量:§nargmin QRnTxn 1SnynRnT8nx n

21、 1(3.3.3)此式又可化簡(jiǎn)為式中,u n 1 yargminXn 18noRn10(3.3.4)因此,可以從三角矩陣方程yn 1(3.3.5)解出,其中,yk 1滿足(3.3.6)為了求出滿足式3.3.2Givens平面旋轉(zhuǎn)進(jìn)行清零,將式3.3.2中的行向量xT 1的全部元素變成零.由于Q必須左乘式3.3.6,所以RnTxn 15對(duì)增廣的矩陣(3.3.7)執(zhí)行所需要的清零.綜合以上分析,在每一步遞推更新中需要的步驟如下(1)計(jì)算預(yù)測(cè)誤差yk i(2)形成式(3.3.7)中的n 1 n 1矩陣；(3)利用一系列Givens旋轉(zhuǎn)將上述矩陣最底一行的左邊n個(gè)元素掃除為零； (4)解上三角矩陣方程

22、(3.3.5)得到k .利用Givens旋轉(zhuǎn)求解方程A 9 y的遞推最小二乘算法的程序見文獻(xiàn) 口.該算 法中,同時(shí)對(duì)矩陣A和向量y應(yīng)用Given哪轉(zhuǎn),因此無需存儲(chǔ)正交矩陣 Q .4 QR分解在通信系統(tǒng)中的應(yīng)用4.1 基于Q的解的穩(wěn)健干擾對(duì)齊算法考慮K用戶MIMOF擾信道,每個(gè)發(fā)送端的天線數(shù)為 N ,每個(gè)接收端的天線數(shù)為M ,每個(gè)用戶對(duì)應(yīng)的自由度為di,d2,L ,dk ,此處的自由度代表每個(gè)用戶能使用的獨(dú)立數(shù)據(jù)流個(gè)數(shù).為了讓系統(tǒng)自由度到達(dá)最大值,即Kmin(Nr,Nt)/2,那么每個(gè)發(fā)送端所提供的信號(hào)空間的維數(shù)應(yīng)該相等,故此處不妨設(shè)di d2 L dK d ,并假設(shè)在同一時(shí)刻同一頻率上的各個(gè)發(fā)

23、送接收對(duì)之 間的信道是平坦衰落的,且信道系數(shù)獨(dú)立同分布.在一個(gè)特定的時(shí)頻資源上,接 收端i的接收信號(hào)可以表示為KYi H"WSi H jiWjSj ni(4.1.1)j 1,j i其中維數(shù)為Nr Nt的Hii和Hji分別是發(fā)送端i和j到接收端i的信道矩陣.Wi和Wj分別是發(fā)送端i和j對(duì)應(yīng)接收端i和j的預(yù)編碼矩陣,且滿足 WiHWi Idi , WjHWj Idj.維數(shù)為di 1的S是接收端i的下行數(shù)據(jù)矢量信 號(hào),且滿足功率約束E sHSP(i) o維數(shù)為Nr 1的ni是均值為0,方差為1的加性高斯白噪聲噪聲,且E nHnilNr.干擾對(duì)齊往往要求完美的CSI ,但在實(shí)際通信系統(tǒng)中,發(fā)

24、送端得到CSI常常 是有誤差的.為了構(gòu)建穩(wěn)健的干擾對(duì)齊算法,此處引入信道誤差變量 EjiHHji , H表示真實(shí)的信道矩陣,Hji表示具有誤差的信道矩陣,并且假設(shè)Eji的元素服從均值為0,方差為2的循環(huán)對(duì)稱復(fù)高斯分布(GSC6即H2潴足 E EjiEjieINr .故式(4.1.1)變?yōu)開KYi (Hii Eii)WSii(Hji Eji )WjSj ni(4.1.2)j 1,j i此時(shí)整個(gè)系統(tǒng)的聯(lián)合接收信號(hào)可以表示為y1H11H 21LHk1WiSYy2H12H 22LH k2W2s2MMMOMMykH1kH 2kLHkkWk skE11E21LEk1W1sln1E12E 22LE k2W2

25、s2n2MMOMMME1kE2kLEkkWKsKnK對(duì)得到的誤差聯(lián)合信道矩陣H進(jìn)行QR分解有H11H 21HkiR11R21 LRk1H 12H 22 LH k2R22 L Rk2H1kH 2kHkk kkRkk其中,Q是維數(shù)為KNr KNr的酉矩陣,R是維數(shù)為KNr KNt由于Q是酉矩陣,根據(jù)矩陣?yán)碚摽芍?R和H有相同的統(tǒng)計(jì)特性, 系統(tǒng)的誤差等效聯(lián)合信道矩陣.根據(jù)式(4.1.4),式(4.1.3)可以改寫為R11R21 LR22 LRk1W1S1Rk2W2s2M MRkkWkSkE11 E21 LEk1W1S1(4.1.3)QR (4.1.4)的上三角矩陣.所以定義R為(4.1.5)E12

26、E 22 LEk2 W2S2n2E1k E2k L Ekk WksknK這是考慮聯(lián)合接收,對(duì)式(4.1.5)的聯(lián)合信號(hào)接收信號(hào)進(jìn)行左乘 Q得到如下的聯(lián)合接收信號(hào)：的預(yù)處理,R21LRk1W1slE11E21LEk1W1slR22LRk2W2s2Q 1E12E22LEk2W2s2OMMMMOMMRkkWkSkE1kE2kLEkkWkSkR11 R21 LRk1W1sln2R22 LRk2W2s2MOMMnKRkkWkSkE11E21LEk1W1S1n1E12E22LEk2W2s22(4.1.6)R11Q 1ME1kME2kMEkkMWkSkMnK由于Q 1是酉矩陣,于是Eij和Ej有相同的統(tǒng)計(jì)特

27、性,同理同的統(tǒng)計(jì)特性.通過式4.1.6,在接收端i經(jīng)過干擾抑制矩陣Ui處理后,接收端i的接收信號(hào)為YiUH0,0, L ,RH,R(i1)i ,L R KiW1slW2s2MWKSKUHE1i,E2i,L EkW1slW2s2MWKSKH 一Ui ni(4.1.7)通過穩(wěn)健干擾對(duì)齊算法得到最優(yōu)干擾對(duì)齊矩陣U Opt和Wi0pt,具體算法流程總結(jié)為網(wǎng):(D初始化Wi ,這里可以隨機(jī)選擇均值為0,方差為 1的矩陣Wi,1,2, L ,K ,WiHWiIdi o1,2,L ,K ,并且單位化Ui(3)計(jì)算出Wi, i1,2,L ,K ,并且單位化Wi(4)重復(fù)步驟2和3,直到收斂.4.2 基于QR分

28、解的MIMO置信傳播檢測(cè)器在一個(gè)N個(gè)發(fā)射天線和M 個(gè)接收天線的MIMO系統(tǒng)中,s s,K,sNT是N 1傳輸信號(hào)向量.系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系可以寫為y Hs n(4.2.1)其中,y y1,K ,ym T是M 1接收信號(hào)向量,n是M 1噪聲向量,n的元素是零均值、方差2的獨(dú)立同分布(i.i.d )復(fù)高斯隨機(jī)變量.H是M N的MIMO信道矩陣,rank H NT由QR分解,MIMO信道矩陣H可以寫為H Q RtrT ,其中Q是M M酉矩陣,R.是MN N非零矩陣,R是N N上三角矩陣由于QHQ Im mr1r1,1_20R M MN 0Ro是非零矩陣,r1,2L1,N2,2L2, NOOML 0N

29、,NIn nRt QHn(4.2.2)R .式(4.2.1)可以寫% In NRT QHy Rs %(4.2.3)這樣,R相比于由H得出的全連接的偶圖就是一個(gè)包含更少的邊數(shù)和環(huán)數(shù)的 的偶圖.如以下圖所示.圖中,N M 4 , Q 1.在第一次迭代前,全部0m初始化為0,其中1 n NQ且1 m g n .在第l次迭代時(shí),每一個(gè) ；n可以由最大對(duì)數(shù)近似得到maxa AN m 1:bn 1maxN m 1 .A ：bn 09的甑af f m :bk 1,k nNQ兆洞f f m : bk 1,k n(4.2.4)其中,bn和是a中的第n f m比特和第k f m 比特對(duì)應(yīng)的s中的第n比特和第k比特

30、,kiJ表小第l1次迭代時(shí)第k節(jié)點(diǎn)發(fā)出、第m節(jié)點(diǎn)檢測(cè)的消息.計(jì)算出rL后,有l(wèi)mng n l knk 1,k m(4.2.5)其中1 n NQ且1 m g n第l次迭代后bn的軟輸出L：是lkn(4.2.6)其中,1 n NQ 0這樣,給出的QR BP檢測(cè)器就由上三角信道矩陣 R得出的偶圖來進(jìn)行操作.上述QR BP的計(jì)算復(fù)雜度主要由式(4.2.3)中的線性變換和式(4.2.4)中的計(jì)算決定.線性變換的復(fù)雜度開銷主要來自于QR分解,它的復(fù)雜度是c 一,八, 八, 2O MN2 3.另外,mn的計(jì)算的大局部復(fù)雜度開銷來自%m/a的計(jì)算.M文獻(xiàn)1給出了 次迭代后該算法的計(jì)算復(fù)雜度是 O MN2m2m

31、Q .所以m 1給出的QR BP檢測(cè)器的計(jì)算復(fù)雜度小于文獻(xiàn)1中標(biāo)準(zhǔn)BP檢測(cè)器的復(fù)雜度OMN2nq .總結(jié)通過此次文獻(xiàn)調(diào)研,我們獲益匪淺.首先,我們了解了矩陣分解和矩陣變換, 學(xué)習(xí)了 QR分解、Householder變換、Givens旋轉(zhuǎn).其次,我們通過文獻(xiàn)調(diào)研, 了解了 QR分解算法在實(shí)際中的應(yīng)用,如參數(shù)估計(jì),實(shí)際的MIMQ8統(tǒng)等.最后,我們也從中學(xué)到了團(tuán)隊(duì)分工和協(xié)作的重要性.參考文獻(xiàn)1 Hu, J., and Duman, T.M.:'Grapbased detection algorithms for layeredspacetime architectures IE EE J. Sel. A