Logistic人口阻滯增長模型

1、Logistic 人口阻滯增長模型、模型的準(zhǔn)備阻滯增長模型的原理：阻滯增長模型是考慮到自然資源、環(huán)境條件等因素對人口增 長的阻滯作用,對指數(shù)增長模型的根本假設(shè)進(jìn)行修改后得到的.阻滯作用表達(dá)在對人口 增長率r的影響上,使得r隨著人口數(shù)量x的增加而下降.假設(shè)將r表示為x的函數(shù)rx 那么它應(yīng)是減函數(shù).于是有：(1)(2)dx=r(x)x , x(0) 及0 dt對rx的一個(gè)最簡單的假定是,設(shè)rx為x的線性函數(shù),即r (x) = r -sx (r . 0 , s . 0)設(shè)自然資源和環(huán)境條件所能容納的最大人口數(shù)量 xm,當(dāng)x = xm時(shí)人口不再增長,即r增長率rxm=0,代入2式得s =,于是2式為

2、xmr(x) =r(1)xm?(3)將3代入方程1得:嘰 rx(1-) xm? ?(4)J x(0) = x0解方程4可得:(5)xmx(t)二 x1(-1)eJtx.、模型的建立我國從1954年至IJ 2005年全國總?cè)丝诘臄?shù)據(jù)如表表1 各年份全國總?cè)丝跀?shù)單位：千萬年份195419551956195719581959196019611962總?cè)丝?0.261.562.864.666.067.266.265.967.3年份196319641965196619671968196919701971總?cè)丝?9.170.472.574.576.378.580.783.085.2年份1972197319

3、74197519761977197819791980總?cè)丝?7.189.290.992.493.795.096.25997.598.705年份198119821983198419851986198719881989總?cè)丝?00.1101.654103.008104.357105.851107.5109.3111.026112.704年份199019911992199319941995199619971998年份1999200020012002200320042005總?cè)丝?25.786126.743127.627128.453129.227129.988130.7561、將1954年看成初始時(shí)

4、刻即t=0,那么1955為t = 1,以次類推,以2005年為t = 51 作為終時(shí)刻.用函數(shù)5對表1中的數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性擬合,運(yùn)用 Matlab編程得到相關(guān) 的參數(shù)xm =180.9871 ,r =-0.0336 ,可以算出可決系數(shù)可決系數(shù)是判別曲線擬合效果的 一個(gè)指標(biāo)：由可決系數(shù)來看擬合的效果比擬理想.所以得到中國各年份人口變化趨勢的擬合曲 線：,、180.9871(6)x(t)180.9871 小 -0.0336 t1 (1)e60.2根據(jù)曲線6我們可以對2021年t =56、2021年t = 66、及2033年t = 79 進(jìn)行預(yù)測得單位：千萬：結(jié)果分析：從所給信息可知從1951年至19

5、58年為我國第一次出生人口頂峰,形成 了中國人口規(guī)模“由緩到快的增長根底；因此這段時(shí)期人口波動較大,可能影響模型 結(jié)果的準(zhǔn)確性.1959、1960、1961年為三年自然災(zāi)害時(shí)期,這段時(shí)期人口的增長受到很 大影響,1962年處于這種影響的滯后期,人口的增長也受到很大影響.總的來說1951-1962 年的人口增長的隨機(jī)誤差不是服從正態(tài)分布,程序：結(jié)果：2、將1963年看成初始時(shí)刻即t=0,以2005年為t= 32作為終時(shí)刻.運(yùn)用 Matlab 編程得到相關(guān)的參數(shù)Xm =151.4513 ,r =0.0484 ,可以算出可決系數(shù)R2 = 0.9994得至ij中國小151.4513x(t)、d J51

6、.4513 八 q0484t1 (1)e各年份人口變化趨勢的另一擬合曲線:69.1根據(jù)曲線7我們可以對2021年t =47、2021年t = 57、及2033年t = 70 進(jìn)行預(yù)測得單位：千萬：結(jié)果分析：1963年-1979年其間,人口的增長根本上是根據(jù)自然的規(guī)律增長,特別 是在農(nóng)村是這樣,城市受到收入的影響,生育率較低,但都有規(guī)律可尋.總的來說,人 口增長的外界大的干擾因素根本上沒有,可以認(rèn)為這一階段隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布； 1980-2005年這一時(shí)間段,雖然人口的增長受到國家方案生育政策的限制,但方案生育的政策是根本穩(wěn)定的,這一階段隨機(jī)誤差也應(yīng)服從正態(tài)分布,因此用最小二乘法擬合所得 到的

7、結(jié)果應(yīng)有較大的可信度.程序：結(jié)果：3、從1980-2005年,國家方案生育政策逐漸得到完善及貫徹落實(shí),這個(gè)時(shí)期的人口 增長受到國家方案生育政策的限制,人口的增長方式與上述的兩個(gè)階段都不同.因此我 們進(jìn)一步選擇1980年作為初始年份2005年作為終時(shí)刻進(jìn)行擬合.運(yùn)用Matlab編程得到 相關(guān)的參數(shù)xm =153.5351 ,r =0.0477 ,可以算出可決系數(shù) R2 = 0.9987得到中國各年份人 口變化趨勢的第三條擬合曲線：?女(t)=153.5351i幽幽一 iL98.705? (8)根據(jù)曲線(7)我們可以對2021年(t =30)、2021年(t= 40)、及2033年(t = 53)

8、 進(jìn)行預(yù)測得(單位:千萬):x(30) = 135.5357 , x(40) =141.8440, x(53) = 147.0172結(jié)果分析：這一時(shí)期,國家雖然對人口大增長進(jìn)行了干預(yù),但國家的方案生育的政 策是根本穩(wěn)定的,在此其間沒有其他大的干擾,所以人口增長的隨機(jī)誤差應(yīng)服從正態(tài)分 布.所以結(jié)果應(yīng)是比擬可信的.程序：結(jié)果：分別根據(jù)擬合曲線 對各年份中國總?cè)丝谶M(jìn)行預(yù)測得到結(jié)果如表2:表2各年份全國總?cè)丝谟貌煌瑪M合曲線預(yù)測數(shù)單位：千萬年份全國總?cè)丝陬A(yù)測單位：千萬預(yù)測曲線預(yù)測曲線7預(yù)測曲線82000126.7649126.3338126.4732003130.5141129.2303129.5168

9、2006134.1131.8447132.27582021137.516134.1926134.76382021140.7577136.2917136.99712021143.8231138.1607138.99332021146.7117139.819140.7712021149.4251141.2856142.34892024151.9662142.579143.74522027154.3392143.7168144.97782030156.5494144.7157146.06322033158.6028145.5908147.01722036160.5063146.3562147.85412039162.267147.0247148.58712042163.8924147.6077149.22842045165.3903148.1158149.78862048166.7683148.558150.2775由上表可以看出：用擬合曲線6預(yù)測得到的數(shù)