2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試江蘇卷

1、普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一測(cè)試(江蘇卷)參考公式圓柱的體積公式：V圓柱=Sh,其中S是圓柱的底面積,h為高.1圓錐的體積公式：V圓錐= qSh,其中S是圓錐的底面積,h為高.3數(shù)學(xué)I試題一、填空題(本大題共14小題,每題5分,共70分.請(qǐng)把答案填寫(xiě)在題中橫線上)1 .集合 A=1, 2, 3, B = 2, 4, 5,那么集合AU B中元素的個(gè)數(shù)為 .2 .一組數(shù)據(jù)4, 6, 5, 8, 7, 6,那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 .3 .設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z2=3+4i(i是虛數(shù)單位),那么z的模為.4 .根據(jù)如下圖的偽代碼 ,可知輸出的結(jié)果 S為.End WhilePrim S |5 .袋中有形狀、大小都相

2、同的4只球,其中1只白球,1只紅球,2只黃球.從中一次隨機(jī)摸出2只球,那么這2只球顏色不同的概率為 .6 .向量a=(2, 1), b=(1,-2),假設(shè)ma+nb=(9,-8)(m, nCR),那么 mn 的值為.7 .不等式2x2 x<4的解集為 .18 . tan a= 2, tan(a+ 3 =亍,那么 tan 3的值為.9 .現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5,高為4的圓錐和底面半徑為2,高為8的圓柱各一個(gè),假設(shè)將它們重新制作成總體積與高均保持不變,但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個(gè),那么新的底面半徑為.10 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以點(diǎn)(1, 0)為圓心且與直線 mxy 2m

3、 1=0(mCR)相切的所有圓中,半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .11 .設(shè)數(shù)列an滿足 a1 = 1,且 an+1 an= n+1(n C N ),那么數(shù)列10項(xiàng)的和為12 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中,P為雙曲線x2- y2= 1右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),假設(shè)點(diǎn)P到直線xy+1=0的距離大于c恒成立,那么實(shí)數(shù)c的最大值為0, 0<x<l,13 .函數(shù) f(x)=|ln x|, g(x)=S ) |_|x2-4|-2, x>1,14 .設(shè)向量 ak=,.與 sin£+ c0s_62t板=0,1,那么方程|fx + gx|=1實(shí)根的個(gè)數(shù)為112,12),那么 £ (a

4、kak+1)的值為k=0二、解做題本大題共6小題,共90分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、 證實(shí)過(guò)程或演算步驟15 .本小題總分值14分在4ABC中,AB=2, AC =3, A= 60°求BC的長(zhǎng);(2)求sin 2C的值.16 .本小題總分值14分如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACBC, BC=CCb設(shè)求證：(1)DE /平面 AAiCiC;(2)BCABi.4國(guó)17.本小題總分值14分某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路,為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀,方案修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路.記兩條相互垂直的公路為11, l2,山區(qū)邊界曲線為C,方案修建的公路為l .如下

5、圖,M, N為C的兩個(gè)端點(diǎn),測(cè)得點(diǎn)M到1i, l2的距離分別為5千米和40千米,點(diǎn)N到l1,l2的距離分別為20千米和2.5千米.以12, l1所在的直線分別為x, y軸,建立平面直角坐標(biāo)系 xOy.假設(shè)曲線C符合函數(shù)y=x2+b其AB1 的中點(diǎn)為 D, BiCABCi=E.中a, b為常數(shù)模型.M求a, b的值.(2)設(shè)公路l與曲線C相切于P點(diǎn),P的橫坐標(biāo)為t.請(qǐng)寫(xiě)出公路l長(zhǎng)度的函數(shù)解析式f(t),并寫(xiě)出其定義域.當(dāng)t為何值時(shí),公路l的長(zhǎng)度最短？求出最短長(zhǎng)度. 2218.(本小題總分值16分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系 xOy中,橢圓 與+石=1(a>b>0) a b的離心率為興且右

6、焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線l的距離為3.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)F的直線與橢圓交于 A, B兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點(diǎn)P, C,假設(shè)PC=2AB,求直線 AB的方程.19 .(本小題總分值16分)函數(shù)f(x) = x3+ax2+ b(a, bC R).(1)試討論f(x)的單調(diào)性；(2)假設(shè)b= ca(實(shí)數(shù)c是與a無(wú)關(guān)的常數(shù)),當(dāng)函數(shù)f(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí),a的取值范 圍恰好是(一8, 3)U,3；;U+" 求c的值.20 .(本小題總分值16分)設(shè)a1,a2, a3, a4是各項(xiàng)為正數(shù)且公差為d(dw0的等差數(shù)列.(1)證實(shí):2a1, 2a2, 2a3, 2a

7、4依次構(gòu)成等比數(shù)列.(2)是否存在a1,d,使得a1,a2, a3, a4依次構(gòu)成等比數(shù)列？并說(shuō)明理由.(3)是否存在a1,d及正整數(shù)n, k使得an, a2+k, a,2k, a4+3k依次構(gòu)成等比數(shù)列？并說(shuō)明理由.數(shù)學(xué)n 附加題21 .選做題此題包括 A、B、C、D四小題,請(qǐng)選定其中兩小題,并在相應(yīng)的做題區(qū)域內(nèi)作答.假設(shè)多做,那么按作答的前兩小題評(píng)分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證實(shí)過(guò)程或演算步驟A.選彳4-1 :幾何證實(shí)選講本小題總分值10分如圖,在4ABC中,AB=AC, AABC 的外接圓.O的弦AE交BC于點(diǎn)D.A求證：ABDsAEB.22 選彳4-2:矩陣與變換本小題總分值10分x,

8、yCR,向量a= |_；是矩陣A= |X "的屬于特征值 一2的一個(gè)特征向量,求矩陣A以及它的另一個(gè)特征值.23 0C.選彳4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程本小題總分值10分圓C的極坐標(biāo)方程為 p+2>/2 ©in .一 4 J 4=0,求圓C的半徑.D.選彳4-5:不等式選講本小題總分值10分解不等式x+ |2x+3|>2.必做題第22題、第23題,每題10分,共20分,解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證實(shí)過(guò)程或演算步驟22 .本小題總分值10分如圖,在四錐P-ABCD中,PAL平面ABCD,且四邊形 ,兀一 一 一 一 一 .ABCD 為直角梯形,/ABC=/BAD = 2,

9、PA=AD=2, AB=BC=1.1求平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值;2點(diǎn)Q是線段BP上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)直線CQ與DP所成的角最小時(shí),求線段BQ的長(zhǎng).23 .(本小題總分值 10 分)集合 X=1 , 2, 3, Yn=1, 2, 3,n(nC N*),設(shè) Sn= (a, b)|a整除b或b整除a, aCX, bCYn,令f(n)表示集合Sn所含元素的個(gè)數(shù).(1)寫(xiě)出f(6)的值；(2)當(dāng)n>6時(shí),寫(xiě)出f(n)的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí).參考答案一、填空題(本大題共14小題,每題5分,共70分.請(qǐng)把答案填寫(xiě)在題中橫線上)1.解析：.力=1 ,2,3, B = 2, 4, 5,1 .

10、AU B=1 , 2, 3, 4, 5,2 .AU B中元素個(gè)數(shù)為5.答案：52.解析:x=4+6+5+8+7+66=6.答案：63.解析：,z2=3+4i,|z2|= |z|2= |3+ 4i| = ,32 + 42 = 5,.|z|= ,5.答案：54 .解析：由程序可知,S=1, I = 1, I<8; S=3, I = 4, I<8; S=5, I = 7, Iv8; S =7, I = 10, I >8,此時(shí)結(jié)束循環(huán),輸出S= 7.答案：7.上L, , ,/口 b- AAAMTe ,C2C2 55 .解析：由古典概型概率公式,得所求事件的概率為 p= C2 =6答案

11、：566 .解析：ma+ nb=(2m+n, m2n)=(9, 8),2m+n = 9,m = 2, :j - m n=2 5= 3.|_m 2n = 8,n=5,答案：37 .解析： 2x2- x< 4, .2x2-x<22, ' X x<2,即 X x 2v0, . 1V xv 2.答案：x|一1VXV2(或(1, 2)8.解析:tan 3= tan( a+ t - a=tan (一tan a1 + tan ( a+ 3) tan a7- (- 2)1+7X( 2)=3.答案：39.解析:設(shè)新的底面半徑為r,由題意得2兀xr >8,以上各式相加得 ana=2

12、+3+ n =(n 1) ( 2+ n)2n2+ n - 22"XuX5 X4+ 兀X2 88 = XkM X4 +33r2= 7,r = -7.答案：710 .解析：直線 mxy2m1 = 0經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(2, 1).當(dāng)圓與直線相切于點(diǎn)(2, 1)時(shí),圓的半徑最大,此時(shí)半徑r滿足r2=(12)2+(0 + 1)2 =2.答案：(x-1)2+y2=211 .解析：由題意有 a2a1=2, a3a2 = 3,anan-1= n(n或).n2+ n又 a1 = 1, - an= 2 (n /).n2+ n *當(dāng)n=1時(shí)也滿足此式,an=-2一(nC N ).4=2口-4 an n+n Q n

13、+-111-11111Si0=2X - -+ -+ 1 2 2 310=2X工工201111.答案：2011xy = 0與直線x y+1 = 0的12 .解析：所求的c的最大值就是雙曲線的一條漸近線距離,此距離d =1=*答案:.13 .解析：當(dāng)0vxwi時(shí),方程為一ln x= 1,解得x=".e當(dāng) ivxv 2時(shí),f(x) + g(x) = ln x + 2 x2 單調(diào)遞減,值域?yàn)?ln 2-2, 1),方程 f(x)+g(x)=1無(wú)解,方程f(x) + g(x)=- 1恰有一解.當(dāng) x或時(shí),f(x) + g(x)=ln x+x26 單調(diào)遞增,值域?yàn)閘n 2-2, +°&

14、#176;),方程 f(x) + g(x) =1恰有一解,方程f(x)+g(x)= 1恰有一解.綜上所述,原方程有4個(gè)實(shí)根.答案：414.解析:由于 ak= ©o亭 42sin§j+jjj,(k+ 1)兀廠 f(k+1)兀兀個(gè)金+尸 ys6,V2sin(6+ 4,f42s麗/4 ； sin產(chǎn)黃所以 ak ak+1= cosmos( 1) 661(2k+1)兀 1 兀 兀 (2k+1)兀兀;=2cos6+2cos6+ cos6c0s6+2=sin(2k+ 1)兀6 t1(2k+1)兀 3732cos 6 一 十 才11由正弦函數(shù)的周期性,得工(ak ak+1)=0+0+943

15、=943.k = 0答案:93二、解做題(本大題共6小題,共90分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、 證實(shí)過(guò)程或演算步驟)15.解：(1)由余弦定理知,BC2=AB2+AC22AB AC cos A = 4+9-2>23> = 7,所以BC= 7.AB BC(2)由正弦定理知,sabc=sbca,足,.八 AB . “ 2sin 60 .匹 所以 sin C= bc sin A=-= 7 .由于ABVBC,所以C為銳角,那么 cos C=1 sin2C =3_2_7因止匕 sin 2c =2sin C cos C= 2X21 >77=473.16 .證實(shí)：(1)由題意知,E為BiC的中

16、點(diǎn),又D為ABi的中點(diǎn),因此DE / AC.又由于DE?平面AAiCiC, AC?平面AAiCiC,所以DE /平面AAiCiC.(2)由于棱柱ABC-AiBiCi是直三棱柱,所以CCJ平面ABC.由于AC?平面ABC,所以AC ± CCi.又由于 ACXBC, CCi?平面 BCCiBi,BC?平面 BCCiBi,BCACCi = C,所以AC,平面BCCiBi.又由于BCi?平面BCCiBi,所以BCi±AC.由于BC = CCi,所以矩形BCCiBi是正方形,因此 BCiXBiC.由于 AC, BiC?平面 BiAC, AC ABiC = C,所以BC平面BiAC.又

17、由于ABi?平面BiAC,所以BCiXABi.17 .解:由題意知,點(diǎn)M, N的坐標(biāo)分別為(5, 40), (20, 2.5).4°,得I a=2.5, l400+b解得)a= i 000,b= 0. .r i 000(2)由(i)知,y=(5aV0),x那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為罕設(shè)在點(diǎn)P處的切線l交x, y軸分別于A, B兩點(diǎn),2 000y = - -X7-,那么l的方程為y-1 0002 000t2B(0,翠)故叱用jt2+6te 5, 20.,一66補(bǔ)、八小,2I4M0 皿116 M0設(shè) g(t) = t + 14 -,那么 g tx = 2t- -15令g'"= 0

18、,解得t=10亞當(dāng)tC(5, 10y2)時(shí),g't)(v0, g是減函數(shù);當(dāng) tC(10嫄,20)時(shí),g't)>0, g(t)是增函數(shù).從而,當(dāng)t=10#2時(shí),函數(shù)g(t)有極小值,也是最小值,所以 g(t)min=300,此時(shí) f(t)min=15一.故當(dāng)t= 1042時(shí),公路1的長(zhǎng)度最短,最短長(zhǎng)度為15,3千米.18.解：(1)由題意,彳#c=乎且c+ a-= 3,a 2 c解得a=42, c= 1,那么b = 1,2所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為>y2 = 1.(2)當(dāng)AB,x軸時(shí),AB=V2,又CP=3,不合題意.當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線AB的方程為y=k(x-

19、1), A(x1,y1),B(x2, y2),將AB的方程代入橢圓方程,得(1 + 2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,2k2貝 U x1, 2 =為2 (1 + k2)C的坐標(biāo)為"2k2 k 彳1 + 2k2,1 + 2k2?且 AB= 4 ( x2 - Xi ) + ( y2- y1)=(1 + k) X X2 Xi ) 22V2 (1 + k2)21 + 2k假設(shè)k=0,那么線段AB的垂直平分線為y軸,與左準(zhǔn)線平行,不合題意.從而kwQ故直線PC的方程為-2y+1lx- ) k1+2k2 )那么P點(diǎn)的坐標(biāo)為1 2,5k2+2k (1 + 2k2)從而由于PC = 2AB

20、,所以2 (3k2+1) 41 + k2 4v2 (1 + k2)2、|k| (1 + 2k ) 2 (3k2+1)5 + k2 一 |k| (1 + 2k2)解得此時(shí)直線AB的方程為y=x- 1或y=x+1.19.解：f'x) = 3x2 + 2ax,令 f'x)=0,解得 x1= 0, x2=. 3當(dāng)a = 0時(shí),由于f'x)=3x2冷,所以函數(shù)f(x)在(一8, +8止單調(diào)遞增；當(dāng) a>0 時(shí),xC - °°,得)U(0,時(shí),蟲(chóng) x)>0, xC ( 2a, 0 M , f'x)v0,所以函數(shù)f(x)在18, 2aj, (0

21、, +8止單凋遞增,在12a 0/單調(diào)遞減;當(dāng) a<0 時(shí),xC (-oo, 0)U2a£十 °°W,f,x)>0, xC o, 2a M, f x)<0,所以函數(shù)f(x)在(8, 0),2a(2)由(1)知,函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值為+ OO "單調(diào)遞增,在 o,一年；上單調(diào)遞減.f(0)=b, f(-2a尸27a3+b,那么函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于外)423a ；= b3+ b k 0,a>0,a<0,Ml%.或 kb一笳. 2727又 b = c a,所以當(dāng) a>0 時(shí),27a3 a + c> 0 或當(dāng)

22、av 0 時(shí),27a3 a+ c< 0.設(shè)g(a)=/a3a +c,由于函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)時(shí),a的取值范圍恰好是(一°°,那么在(一8, 3)上 g(a)v0,且在,3 ；U g, + 00 比 g(a)>0 均恒成立,從而 g(3) = c1 磅,且 g；= c 1 X),因此 c= 1.此時(shí),f(x) = x3+ ax2+ 1 a=(x+ 1)x2+ (a 1)x- 1 a.由于函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),那么x2+(a1)x+1 a = 0有兩個(gè)異于一1的不等實(shí)根,所以= (a 1)24(1a)=a2+2a3>0,且(一 1片一(a - 1) + 1 - a

23、wq解得 aC(8, 3)U , 2 jU l|, +8：綜上c= 1.20.解：(1)證實(shí)：由于 2；： 1 = 2an+1an= 2d(n= 1, 2, 3)是同一個(gè)常數(shù),所以 2a1,2a2, 2an2a3, 2a4依次構(gòu)成等比數(shù)列.(2)不存在,理由如下：令 a1+d = a,那么 a1,a2,a3,a4分別為 a-d,a,a+d,a+2d(a>d,a>- 2d, dw0)假設(shè)存在a1,d,使得a1,a2, a3, a4依次構(gòu)成等比數(shù)列,那么 a4= (a d)(a+ d)3,且(a+d)6 = a2(a+2d)4.令 t=d,貝U 1 = (1 1)(1+t)3, a且(

24、1 + t)6=(1 + 2t)4|<t<1, tO；,化簡(jiǎn)得 t3+2t22=0(*),且 t2=t+1.1將 t2=t+1 代入(*)式,得 t(t+1)+2(t+1) 2=t2+3t=t+1 + 3t=4t+1 = 0,那么1=4顯然t=-4不是上面方程的解,矛盾,所以假設(shè)不成立,因此不存在a1,d,使得a1,a2, a3, a4依次構(gòu)成等比數(shù)列.(3)不存在,理由如下：假設(shè)存在an d及正整數(shù)n, k,使得a；, a2+k, a3+2k, a4+3k依次構(gòu)成等比數(shù)列,那么 a1(a1 + 2d)n+2k=(a1 + d)2(n+k)且(ai+d)n+k(ai + 3d)n+

25、3k=(ai + 2d)2(n+2k),分別在兩個(gè)等式的兩邊同除以a2'n+k)及a2(n+2k),并令1 =色不> two,ai .3那么(1 + 2t)"2k =(1+t)2(n+k),且(1 + t)n+k(l +3t)/3k= (1 + 2t)2(n+2k)將上述兩個(gè)等式兩邊取對(duì)數(shù),得(n + 2k)ln(1 + 2t) = 2(n+ k)ln(1 +1),且(n +k)ln(1 +t) +(n + 3k)ln(1 +3t)= 2(n+2k) ln(1 +2t).化簡(jiǎn)得2kln(1 +2t)ln(1+t) =n2ln(1 +t)-ln(1 + 2t),且 3kl

26、n(1 +3t)-ln(1 +t) = n3ln(1 + t)ln(1 + 3t).再將這兩式相除,化簡(jiǎn)得ln(1 + 3t)ln(1 + 2t)+ 3ln(1 + 2t)ln(1 + t)= 4ln(1+3t)ln(1+t). (*)令 g(t)=4ln(1+3t)ln(1 +t)-ln(1 + 3t)ln(1 +2t) 31n(1 +2t)ln(1+t),那么 g'"=2 (1 + 3t) 21n (1+3t) -3 (1 + 2t) 21n (1 + 2t) + 3 (1 +1) 21n (1 +1)(1 + t) (1 + 2t) (1 + 3t)-令(xt)= (1

27、 + 3t)2ln(1 + 3t)-3(1 + 2t)2ln(1 + 2t) +3(1 + t)2ln(1 + t),那么81)( = 6(1 +3t)ln(1+3t) 2(1+2t)ln(1 + 2t)+(1 + t)ln(1 + t).令 Mt)= e'tx,那么 “ th 63ln(1 + 3t) 4ln(1 + 2t) + ln(1 + t).12令刨tXMth 那么也'tx =(1 + t) (1 + 2t) (1+3t) >0.由 g(0)=(f)(0)=帆0)=()2(0)= 0, Mtx>0,知 刨t), Mt), ©t), g(t)在(3

28、,0加(0, +8止均單調(diào).故g(t)只有唯一零點(diǎn)t=0,即方程(*)只有唯一解t=0,故假設(shè)不成立.所以不存在a1,d及正整數(shù)n, k,使得an, a2+k, a3+2k, a4+3k依次構(gòu)成等比數(shù)列.數(shù)學(xué)n (附加題)21 . A.證實(shí)：由于AB=AC,所以 /ABD= / C.又由于/C=/E,所以/ABD=/E.又/BAE為公共角,所以ABDsAEB.B.解：由,得Aa=2a,x 1 = 2,x= 1,那么?即fy=2,y=2,11所以矩陣A=20從而矩陣A的特征多項(xiàng)式f(5=(計(jì)2)(1),所以矩陣A的另一個(gè)特征值為1.O,以極軸為x軸的正半軸,建立C.解：以極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為平面直角

29、坐標(biāo)系的原點(diǎn) 直角坐標(biāo)系xOy.圓C的極坐標(biāo)方程為2 , o o _2 _2p + 22 pi、？ sin 0- 2 cos.廠4= 0,化簡(jiǎn),得 p2+ 2 psin 0- 22os 0- 4= 0.那么圓C的直角坐標(biāo)方程為 x2+y2-2x+2y-4=0,即(x1)2+(y+1)2=6,所以圓C的半徑為乖.3、3一 一,一,.x<aJx 9,D.解：原不等式可化為52 或1 21x3或懇+3沿解得xJ 5或x" 1. 3 f11綜上,原不等式的解集是lx x<- 5或xA013 3 j22.解：以為正交基底建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,那么各點(diǎn)的坐標(biāo)為 B(1

30、, 0, 0), 0(1, 1, 0), D(0, 2, 0), P(0, 0, 2).(1)由題意知,AD,平面PAB,所以八D是平面PAB的一個(gè)法向量,AD： =(0, 2, 0).由于 P0= (1, 1, 2),喈=(0, 2, 2),設(shè)平面PCD的法向量為 m=(x, v, z),I.那么 m =0, m 3'" = 0,x+y 2z=0,人一口令 y= 1,解得 z= 1, x= 1.2y-2z=0.所以m=(1, 1, 1)是平面PCD的一個(gè)法向量., 八""I從而；AD |州3所以平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值為七.(幻由于BP=

31、一.,.*幻,設(shè),也一人"一(,一人34乂.忘入工1),工=0.- 1.那么I BQ= ( -A1 - U2A).又加=(0,2,Ek" 力戶(hù) 1+2A從而 cos( Q . 1)r /1. , )ICQI DP yW+2設(shè)1+就=卻悵1聞.一 .7 -KO+2貝U cos2 *.3f > = -2=一5t2-10t+99當(dāng)且僅當(dāng)t=9,即入=2時(shí),|cosSB|的最大值為嚕. 5510由于y=cos x在q, j,i±是減函數(shù),所以此時(shí)直線CQ與DP所成角取得最小值.又由于BP =/12+22 =45,所以BQ=2BP =等.23.解：(1)丫6=1 , 2, 3, 4, 5, 6, S6 中的元素(a, b)滿足：假設(shè) a= 1