解三角形三類經(jīng)典題型教學(xué)內(nèi)容

1、解三角形三類經(jīng)典題解三角形三類經(jīng)典類型類型一判斷三角形形狀類型二求范圍與最值類型三求值專題類型一判斷三角形形狀例1：已知 ABC中,bsinB=csinC,且sin2A sin2 B sin2C ,試判斷三角形的形狀.解：: bsinB=csinC,由正弦定理得 sin 2 B=sin 2C,sinB=sinC B=C由sin2 A sin2 B sin2 C得a2 b2c2 ，三角形為等腰直角三角形.例2 :在 ABC中，若B =60 , 2 b=a+c,試判斷 ABC的形狀.解：1.1 2 b=a+c,由正弦定理得 2sinB=sinA+sinC,由 B=60 得 sinA+sinC=。3

2、由三角形內(nèi)角和定理知 sinA+sin( 120 A)= J3 ,整理得sin(A+ 30 )=1A+3090，即A 60，所以三角形為等邊三角形2tan A a例3:在 ABC中，已知方，試判斷 ABC的形狀.tan B b解：法1:由題意得sin AcosBsin Bcos Asin2 A2-,化間整理得 sinAcosA=sinBcosB 即 sin B .2A=2B 或 2A+2B=ttA=B或 Asin2A=sin2BB.三角形的形狀為等腰三角形或直角三角形.2sin AcosB法2:由已知得sin B cos A結(jié)合正、余弦定理得b22. 2a c b a 2ac.222b c a

3、2 里 b22bc整理得(a2 b2)(a2 b2 c2) 0a2 b2或a2即三角形為等腰三角形或直角三角形例4：在 ABC中，(1)已知sinA=2cosBsinC ,試判斷三角形的形狀;(2)已知sinA= sin B sinC，試判斷三角形的形狀.cosB cosC解：(1)由三角形內(nèi)角和定理得sin(B+C)=2cosBsinC整理得sinBcosC cosBsinC=0即sin(B C)=0 B=C即三角形為等腰三角形(2)由已知得sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC ,結(jié)合正、余弦定理得222222a ac a ab b c,化簡整理得(a2 b2 c2)(b

4、c) 0 2ac2ab2. 22 一a b c即三角形為直角三角形.例5: 判斷 ABC的形狀.解:1)由已知結(jié)合余弦定理可得2ac,222b c a c ,整理得2bc(a b)(a2 b2 c2) 0 a b 或 a2 b2c2,三角形為等腰三角形或直角三角形b(2)由 b=asinC 可知 一 sin C asin Bsin A22.2 a c b - c=acosB可知c a 整理得2acb2 c2 a2 ,即三角形一定是直角三角形，/A=90 , sinC=sinB . . / B=Z C, ABC在 ABC中，(1)已知 a b=ccosB ccosA, 若 b=asinC,c=a

5、cosB,判斷 ABC的形狀.為等腰直角三角形.4例6：已知 ABC中，cos A ,且(a 2):b:(c 2) 1: 2 : 3 ,判斷三角形的形狀. 5解：由題意令 a 2 k,b 2k,c 2 3k(k 0),則 a k 2,b 2k, c 3k 24222 一 cos A ,由余弦定理得 k 4 a 6,b 8,c 10 . ab c 即 ABC為直5角三角形.7.在ABC中，a、b、c分別為A B、C的對邊，cos2公 b c ,則 ABCW形狀為2 2ctan A 2c b 8.在 ABC中，右,貝U A=tan B b類型二求范圍與最值1、在 ABC中，角A、B、C所對的邊分別

6、為 a、b、c滿足Jo,2223b c a bc , ab bc 0 , a ，則b c的取值范圍是2b c,2、在 ABC中，AD為BC邊上的圖線，AD= BC角A, B, C的對邊為a, b, c,則的 c b最大值是.一 一.1,1.一a2解析因?yàn)锳D= BC=a，由2a =2bcsin A,解得sin A= bc,再由余弦里得cos A=b2 + c2- a22bc1 b c a22 c b bcb cSin A),得 一十乙=2cos A+ sin A,又 AC c b解析幾何或者幾何法1解析幾何法： ABC,BC 2,AB J3AC,求 ABC面積的最大值。2幾何法：ABC,知道B

7、C=4, AC=2/3,求B的范圍 方程有解，利用判別式求范圍。 附例：4、已知 ABC中，B=,b 3 ,且 ABC有兩解，則邊a的取值范圍是35、借力打力型求取值范圍附例：鈍角三角形中，B 一,若最大邊和最小邊長的比為m則m的取值范圍3是？設(shè)鈍角三角形的另外兩個(gè)角是6、已知ABC, AB= 1, BO 2,則角C的取值范圍是.AB 7、在 ABC若 C 2 B,則CB的取值范圍AC8、已知 ABC 中，B=,b33 ,且 ABC有一解，則邊a的取值范圍是9、已知 ABC 中，a x,b2,B 45o,若該三角形有兩解則x的取值范圍是10、鈍角三角形 ABC的三邊長為a, a+1,a+2(a

8、 N )，則a=11、在銳角 ABC中，BC 1, B 2A,則AC的取值范圍為.12、設(shè) ABC的內(nèi)角a, B, C所對的邊分別為a,b,c,若三邊的長為連續(xù)的三個(gè)正整數(shù),且 A B C, A 2C ,則 sinA :sin B : sinC 為14、在銳角三角形 ABC中，A 2B,則15、在銳角三角形ABC中,值取值范圍.gc2 (a b)S k的取值范圍是 c21 1(3T,C既不是最大角，也不是最小角，求Ck 4tan ,C (45,90 ), k (4、Q 4,4) 216.在鈍角三角形ABC中，已知a 1,b 2,則c的取值范圍為 _(1,J3) (J5,3)類型三求值專題1、在

9、 ABC中，若BC=5 CA=7, AB=8,則 ABC的最大角與最小角之和是.2、在 ABC中，已知(b+ c) ： (c+ a) ： (a+ b) = 4 ： 5 ： 6,則 sin A ： sin B ： sin C=3、在 ABC中，D為BC邊上一點(diǎn),BD=.BC= 3BD AD=招，/ADB= 135° ,若 AC=蟲AR 則解析：:(b+c):(c+a):(a+b)=4： 5 ： 6, .設(shè) b+c=4k,c+a=5k,a+b=6k(k>0),-7.5.3.解得 a= 2k,b= 2k,c= /,sin A： sin B ： sin C= a： b ： c= 7 ：

10、 5 ： 3.答案：7 ： 5 ： 34、鈍角三角形邊長為a, a+1, a+2,其最大角不超過120° ,則a的取值范圍是5、在 ABC中，已知a-b=4,a+c=2b且最大內(nèi)角為 1200,則a= .6、如果滿足/ ABC= 60° , AC= 12, BC= k的三角形恰有一個(gè)，那么 k的取值范圍是7、在ABC3,若 C= 30° , AC= 3 品 AB= 3,則 ABC勺面積為 解析：由正弦定理得：-A號=-AC;, sin B= Asin C= 羋 ；= 理 所以 B= 60°或120°sin C sin B AB 322, 一,1

11、1.9 3,一,1一當(dāng) B= 60 時(shí)，SA=2ABX AC= 2 - 3 - 3/3=-;當(dāng) B= 120 時(shí)，SA=2ABX AC sin309 .3=4 .8、僅有一個(gè)等式作為方程求解時(shí)，注意整體思想，整體帶入b a附例：在銳角 ABC中，角 A、B、C的對邊分別為 a、b、c.若£ + b=6cos C,則tan C tan C-口 前力的值是9海上有 A B兩個(gè)小島，相距10海里，從A島望C島和B島成60o的視角，從B島望C島和A島成75o的視角；則B、C間的距離是 海里.10.某漁輪在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出呼救信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，測得該漁輪在方位角45。、距離為10海里的C處，并測得漁輪正沿方位角105o的方向、以每小時(shí) 9海里的速度向附近的小島靠攏。我海軍艦艇立即以每小時(shí)21海里的速度前去營救；則艦艇靠近漁輪所需的時(shí)間是小時(shí).11、在12、在ABC 中，若 A= 60°, aa 2b 3csin A 2sin B 3sin C1c c cABC中，二邊a, b, c與面積s的關(guān)系式為s (a b c )則角C 4為 .45。13、在 ABC中，在ABC中，