多功能夫瑯禾費(fèi)演示儀光學(xué)原理

1、多功能夫瑯禾費(fèi)演示儀光學(xué)原理夫瑯禾費(fèi)衍射是菲涅爾衍射的遠(yuǎn)場近似, 波，夫瑯禾該儀器將實(shí)現(xiàn)夫瑯禾費(fèi)衍射，朗禾費(fèi)近似是用平面1ikzE(x,y)e展示衍射現(xiàn)象。 波來當(dāng)作子 ik ( 22、討X y)E(Xo, yo) e弗 費(fèi)衍射積分公式為ik(XX 0 yy 0 )zdxodyo(11)根據(jù)衍射屏函數(shù)的不同將夫瑯禾費(fèi)分為以下幾類 注：該儀器使用振幅為 A的平行單色平面光源。一、夫瑯禾費(fèi)的單縫衍射的光強(qiáng)分布公式及特征單縫的屏函數(shù)為t(Xo)1, X0,其他在(1-1)式中E(Xo) t(Xo)在接收面上的坐標(biāo)X與衍射角有以下關(guān)系:X sin 。z所以采用分號前與 Xo無關(guān)的復(fù)數(shù)用C表示，并采用角

2、坐標(biāo)代替X,即E(x)()。然后將E(x)A ikz 巴 X2e e2z(此處假設(shè)以單色平行光照射，振幅為(1-1)式簡化進(jìn)行計(jì)算；ikxx0-dx0(1Ct(Xo)e2)即E(a)C a2e2iksinXodxoiksin (e-ikas in2-ikas ine2)sinkasi n 2 Ca 1 .i 一 kasin 2.,asin 、 sin()ca:asi n(此處運(yùn)用歐拉公式) aA ikz X2ca ai ze easinax其中z表示夾縫的邊緣與中心的光波在p點(diǎn)產(chǎn)生的相位差。所以E( sinAo 所以 i=E( ) E*( ) A2 sin 22|A0 | I0表示0時(shí),即在接

3、收屏中心F0處的光強(qiáng)，則有I= I 02sin(1-3)單縫衍射的主要特征：函數(shù)極大值的地方對應(yīng)于衍射圖象的亮條紋 .函數(shù)值等于0的地方對應(yīng)于暗條紋1主極大-零級衍射條紋由1-3式知當(dāng)0時(shí)，即sin0時(shí).lim空1,I1。=0相當(dāng)于到達(dá)屏上 Po點(diǎn)的各衍射子波之間相位相同,產(chǎn)生最大光強(qiáng)，Po點(diǎn)是衍射斑中心,也就是幾何光學(xué)像點(diǎn)位置。2次極大-高級衍射斑次極大出現(xiàn)在 2(耳)0的方位上，即dtan解得=土 1.43土 2.46土 3.47sin 土 1.43 a土 2.46 a土 3.47 aI 0 =4.7% 101.7% I 00.8% I03暗紋的位置 暗紋出現(xiàn)在=土 1不等于0 而 sin

4、土 2=0的方位上,對應(yīng)的I=0,即滿足土 3sin 土 一 a土 2-a可以將暗紋滿足的條件寫成a sin1,2, 3,.4亮斑的角寬度對于中央亮條紋，其半角寬度sin等于其他各級亮條紋的角寬度。二，矩形孔徑;矩形孔徑的屏函數(shù)；t(x0,y0)1,( Xoady02)，當(dāng)用振幅為A的單色平面波垂直照0,其他孔徑，其夫瑯禾費(fèi)場分布為ik(x2 y2) ikz2ze e 2zi zE(x, y)At(xo,yo)eik(xx0zyy。)dx0dy0.axik(x2 y2) .ikz 2zAe e 2zi zaikxzgb ikyyg2ae zdXo "bez2 2dy。ik(x2 y2

5、)Aeikzeri zabax bysin()sin()zzaxbyz(1-4)A2a2b2所以，l=E(x, y) E*(x, y)= 10(Sn(2 sin()2(I)2( 1-5)。矩形孔衍射的主要特征一,衍射光強(qiáng)分布(1).對于沿x軸的光強(qiáng)分布，因丫=0,有2|匯1 0 1 0其特性光強(qiáng)分布與單縫時(shí)相同對于沿丫軸的光強(qiáng)分布，因X=0有:2l l也1 0 10其特性光強(qiáng)分布與單縫相同在X,Y軸以外各點(diǎn)的光強(qiáng)度，可按1-8式進(jìn)行計(jì)算，圖1-1給出了一些特征點(diǎn)的光強(qiáng)相對值 顯然XOY面內(nèi)存在一些次極大點(diǎn)，但他們的光強(qiáng)極弱!0.0070.00220.0470.00220.0170.04710.

6、0470.00070.00220.0470.00220.00220.00070.0170.0007二中央亮斑軸的位置是矩形孔衍射的光能量主要集中在中央亮班處，其邊緣在X,Yx= 土一z 和 y= 土一zaa中央亮斑的面積為 S=4z2 2ab該式說明，中央亮斑面積與矩形孔面積成反比。并由IoA 22.2A a b亍寸知，中央亮斑越大，相z應(yīng)Po點(diǎn)光強(qiáng)越小。三 夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射。由于圓孔結(jié)構(gòu)的幾何對稱性，采用極坐標(biāo)系處理設(shè)：圓孔半徑為a,圓孔中心01位于光軸上，則圓孔上任意一點(diǎn) Q的位置坐標(biāo)1與相應(yīng)的直角坐標(biāo)系為 x01cos 1y01si n 1設(shè)：觀察屏上任意一點(diǎn)P的位置坐標(biāo)與相應(yīng)的直角坐標(biāo)

7、系的關(guān)系x cosy sin因此，P點(diǎn)的光場復(fù)振幅按照（-A ikz *E（，） n e e2zi z 01-1)2式，在經(jīng)過坐標(biāo)變換后為ik 1 cos( 11d 1d 1 (1-8)其中一是衍射方向與光軸的夾角，這里利用了z根據(jù)零階貝塞爾函數(shù)的積分表達(dá)式sin的近似關(guān)系J0（X）1ixcos廠0°可將（1-8）式變換為E(,)A ikz二 e2ik a莎 2 J0(k 1 ) 1d 10(1-9)這里已利用了）為偶函數(shù)的性質(zhì)。再由貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)xJ0(x)dxxJ/x)式中Ji（x）為一階貝塞爾函數(shù),可得A ikz -E(，)(71 e eik 22z*-2-r (k 1 )

8、Jo(k )d (k 1 )(k )0i z因此，P點(diǎn)的光強(qiáng)度為ikz 匸、 e e2z)2 a J 1 ka )kaa2)2()2斗2 2z kaT。2J()2(1-10)其中IoS2巳P是光軸上Po點(diǎn)的光強(qiáng)；SAa2是圓孔的面積ka方向上光線間的相位差是圓孔邊緣與中心點(diǎn)在統(tǒng)一夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射圖樣及光強(qiáng)分布特征（1）衍射圖樣，由ka及（1-10）式可知，夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射的光強(qiáng)度分布僅與衍射角度有關(guān)，而與方位角無關(guān)（2）衍射圖樣的極值特性由貝塞爾函數(shù)的級數(shù)定義，可將（1-10）變?yōu)?2J1( )1292!222!3!22=0時(shí)，即對應(yīng)光軸上的 P0點(diǎn)，有IIo，它是衍射光強(qiáng)的主極大值。當(dāng)值滿足

9、 Jl()0時(shí)，1=0，這些值決定了衍射暗環(huán)的位置。在相鄰的兩個(gè)暗環(huán)之間存在一個(gè)衍射極大值。其位置滿足d Ji()值即相對其中J2（）為二階貝塞爾函數(shù)，下表列出了幾個(gè)中央的幾個(gè)亮環(huán)和暗環(huán)的 光強(qiáng)的大小。圓孔衍射的光強(qiáng)分布條紋序數(shù)2J1( )/2光能分布中央亮紋0183.78%第一暗紋1.220=3.83200第一亮紋1.635=5.1360.01757.22%第二暗紋2.233=7.01600第二亮紋2.679=8.4170.004152.77%第三暗紋3.238=10.17400第三亮紋3.699=11.6200.00161.46%10因此中央亮紋叫愛里斑。愛里斑的半徑ka± 1.

10、22z0 22右0.61Z a愛里斑的角半徑0.61 。a0由第一光強(qiáng)極小值處的值決定，即愛里斑四，夫瑯禾費(fèi)多縫衍射設(shè)有N個(gè)縫，每個(gè)縫的寬度均為 a,縫間不透光的部分為 b,光柵周期d=a+b稱為光柵常數(shù),考慮在接收屏上某一點(diǎn)的光強(qiáng)，相鄰兩縫至點(diǎn)P的光程差和相位差分別為dsin第一個(gè)縫在點(diǎn)產(chǎn)生的光振動(dòng)復(fù)振幅為E1第二個(gè)縫在點(diǎn)產(chǎn)生的光振動(dòng)復(fù)振幅為E2A0Siei第N個(gè)縫在點(diǎn)產(chǎn)生的光振動(dòng)復(fù)振幅為EnA0 也 eiN1現(xiàn)將N個(gè)縫在P點(diǎn)產(chǎn)生的N個(gè)振動(dòng)疊加起來,其合成振幅為 sin sin iA0A0eA0Siei N 1 sin=A0 一ei N 1=Aosin1eiN1eiiNe 二iN iNe-

11、e三其中.N sin sin2=Agesin 2則P點(diǎn)光強(qiáng)為2asinsini N 122sin Nsind sinA。2至極大的位置和光強(qiáng)dsin m , m=0，± 1，± 2， ±2,2sin (N )sin極?。泓c(diǎn)）dsinsin (N )sinN2 即 I N2I0的位置mN , m=0，=0可見，在相鄰兩個(gè)主極大之間有3.次級大N-1次級大的位置可以通過對sin（ Nsin± 2,± 3.,m =1 , 2,N-1 時(shí),個(gè)極?。ò稻€），有2） 求導(dǎo)，近似得N-2個(gè)次級大。sinN 2夫瑯禾費(fèi)多縫衍射的主要特征1，當(dāng)5 2N 3，2

12、，- 2共N-2個(gè),3I在N -時(shí)，衍射強(qiáng)度I才莖N2I2牛 0.0451 max3例如在m=0和m=1主極大之間，次級大出現(xiàn)的位置。N 32即靠近零級主極大的次級大強(qiáng)度，只有零級主極大的0.045倍，此外次級大的寬度隨著N的增大而減小。當(dāng) N很大時(shí)，它將與強(qiáng)度零點(diǎn)混成一片。成為衍射圖樣的背景。4.主極大的半角寬度第m級主極大峰值的角位置滿足sin d第m級主極大旁第一個(gè)（m 1）極小的角位置應(yīng)滿足sinsinsin 2cos sinNd22 Ndcos NdNd cos5.缺級現(xiàn)象由于多縫衍射是干涉和衍射的共同效應(yīng)，所以存在缺級現(xiàn)象。對于某一級干涉主極大的位置,匯0如果恰有即相應(yīng)的衍射角同時(shí)

13、滿足2d sin a sin 即dam=0，±n= ± 1,1,± 2, ± 3 .± 2, ± 3 .則該級主極大將消失，多縫衍射強(qiáng)度變?yōu)榱?，成為缺級?*（特殊圖形的公式推導(dǎo)有待確認(rèn)）五.特殊圖形的衍射光強(qiáng)1X軸方向看作無窮遠(yuǎn)。單縫的光強(qiáng)I,|0sin2其中ayz雙縫的光強(qiáng)I2 I0sinsin 2sin2其中ayzdyz單縫與雙縫發(fā)生干涉其光程差dy2zd=0.25mm,a=0.04mm, a為縫寬，d為兩縫間距則將此組合看作由一個(gè)單縫和雙縫發(fā)生干涉，其光強(qiáng)表達(dá)式I 11122 JI112 cos ,其中2=| 0sin+ |0

14、sin2sin 2 c, sin+21。sinsin2sincos-2.a 0.04 mm, d10.50mm, d20.25mm則將此組合看作由兩個(gè)雙縫發(fā)生干涉,X軸方向看作無窮遠(yuǎn)。第一個(gè)雙縫光強(qiáng)|11。sin第二個(gè)雙縫光強(qiáng)|2sin二個(gè)雙縫發(fā)生干涉,其光程差其光強(qiáng)分布為II1 I22sinsin 2 1sin 1sin 2 1sin 1sin 2 2sin 2其中aydiy其中di d2 y2z212 cos,其中sinayd2ysin 2sin 2sin 2sin 2 1sin 1sin2sin2 cos+1。+ 21。1023a10.08mm, dj 0.25mma20.04mm, d

15、20.25mm則將此組合看作兩個(gè)雙縫發(fā)生干涉在X軸上看作無窮遠(yuǎn)第一個(gè)雙縫光強(qiáng)分布I1 I0sinsin 2 1sin 1其中aiydiy第二個(gè)雙縫光強(qiáng)分布I1 I0sin 2sin 2 2sin 2其中d2yz二個(gè)雙縫發(fā)生干涉，其光程差d1d2 y2z=0則I I1 I22皿=I1 I2 2Iosin 1sin 2sin 1sin 2sin 2sin 2a10.04mm,d10.125mma20.04mm, d20.125mm則將此組合看作一個(gè)三雙縫和一個(gè)雙縫發(fā)生干涉，在2X軸上看作無窮遠(yuǎn)對于三縫光I1sin 1sin 3 1sin 1其中a1y1zd1y強(qiáng)z對于雙縫光強(qiáng)I2sinsin 2s

16、in 2其中a2yd2y三縫與二縫進(jìn)行干涉光程差diy2z則光強(qiáng)分布公式為II1I22屮2 cos,其中sin 1sin 3sin 2sin 1sin 2 2sin 2+ 21。sin 1sin 3si n2sin 1sinCOS5.正方形矩陣 可將此圖形衍射看作, 直因此無干涉現(xiàn)象。 在X軸方向的11個(gè)縫X軸方向11縫衍射與軸方向11縫衍射的疊加。因兩個(gè)多縫垂a=0.02mm,d=0.109mm其光強(qiáng)分布I X2 2I0 ss其中1 sin 1aydy在丫軸方向的11 個(gè)縫 a=0.02mm,d=0.109mm其光強(qiáng)分布I ysin 2sin 11 2其中axdxsin 2所以疊加后光強(qiáng)Ix Iysin101sin11sin 1sin 22sin11 2sin 26.菱形矩陣可將此圖形衍射看作，三個(gè) 建立如圖坐標(biāo)系，其中為11縫衍射后再進(jìn)行干涉。11縫衍射的中央主極大位置，則接收屏上任意一點(diǎn)(x,y)到三個(gè)中y Tsxy Vsxsin,sin2z,sin2zy2zL111 縫I1sin 1sin11sin