與圓有關(guān)的位置關(guān)系 華東師大版

1、與圓有關(guān)的位置關(guān)系【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1探索并了解點與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系2了解三角形的內(nèi)心和外心及內(nèi)切圓、外接圓、內(nèi)接三角形、外切三角形的概念3了解切線的概念，探索切線與過切點的半徑之間的關(guān)系，掌握切線的識別方法4了解切線長及切線長定理5會過圓上一點畫圓的切線6知道圓與圓的五種位置關(guān)系的意義；弄清兩圓的半徑及圓心距之間數(shù)量關(guān)系及聯(lián)系【基礎(chǔ)知識精講】1點與圓的位置關(guān)系(1)點與圓的位置關(guān)系分為點在圓內(nèi)、點在圓上、點在圓外三種情況，這三種位置關(guān)系，與點到圓心的距離(d)、圓的半徑(r)之間有著緊密的聯(lián)系這反映了“形”與“數(shù)”的內(nèi)在聯(lián)系，也就是說：點和圓的位置關(guān)系，不僅可以用圖形來表現(xiàn)，還可以

2、由數(shù)量關(guān)系來表示，其對應(yīng)關(guān)系可簡明地表示如下：圖形(點與圓)的位置關(guān)系數(shù)量(d與r)的大小關(guān)系點在圓內(nèi)d<r點在圓上dr點在圓外d>r(2)我們已知道，圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小，即圓心和半徑是確定圓的兩個元素，所以過已知點畫圓的問題，應(yīng)緊緊抓住圓心位置和半徑大小進行探討當(dāng)圓心的位置確定了，圓的半徑也就隨之確定，因此過已知點畫圓的問題又轉(zhuǎn)化為找圓心的問題，是否可以作圓以及能作多少個圓，都取決于能否確定圓心的位置和圓心的個數(shù)經(jīng)過探討：我們發(fā)現(xiàn)：經(jīng)過平面上一個點可以確定一個圓經(jīng)過平面上兩個點可以作無數(shù)個圓經(jīng)過不在同一直線上的三個點可以作無數(shù)個圓注意：經(jīng)過兩點的無數(shù)個圓的圓心在已

3、知兩點連結(jié)的垂直平分線上經(jīng)過不在同一條直線上三點的圓的圓心是任意兩點連線的垂直平分線的交點經(jīng)過三角形三個頂點可以畫一個圓，并且只能畫一個(3)經(jīng)過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形注意：三角形的外心就是三角形三條邊的垂直平分線的交點2直線與圓的位置關(guān)系(1)設(shè)r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離，直線與圓的位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系相離相切相交圖形公共點個數(shù)012數(shù)量關(guān)系d>rdrd<r注意：若一條直線與一個圓沒有公共點，那么這條直線與這個圓相離；若一條直線與一個圓只有一個公共點，那么這條直線與這個圓相切；若一條

4、直線與一個圓有兩個公共點，那么這條直線與這個圓相交3圓的切線(1)定義：和圓有唯一公共點的直線叫做圓的切線，這個公共點叫切點(2)切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線(3)切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑推論：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點，經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心注意：是對“切線的識別”的兩種敘述方式，雖然形式上不相同，但本質(zhì)上是一致的，在解題時，我們可根據(jù)題目特點靈活選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄔ趹?yīng)用切線的識別方法時，必須先弄清“題設(shè)”中的兩個事項：一是經(jīng)過半徑外端，二是垂直于這條半徑，這兩者缺一不可4切線長定理(1)切線長定義：我們把圓的切線上某

5、一點與切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長(2)切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分這兩條切線的夾角注意：我們要明確切線和切線長是兩個不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量5三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心這個三角形叫做圓的外切三角形注意：三角形的內(nèi)心就是三角形三條內(nèi)角平分線的交點6三角形外心、內(nèi)心有關(guān)知識比較圖形名稱確定方法性質(zhì)外心(三角形外接圓的圓心)三角形三邊垂直平分線的交點OAOBOC外心不一定在三角形的內(nèi)部內(nèi)心(三角形內(nèi)

6、切圓的圓心)三角形三個內(nèi)角的平分線的交點ODOEOFOA、OB、OC分別平分BAC、ABC、ACB注意：我們一定要從文字、圖形和實際意義上區(qū)別“內(nèi)切圓”和“外接圓”這兩個概念，以免混淆7圓與圓的位置關(guān)系在平面內(nèi)，兩圓作相對運動，可以得到下面不同的位置關(guān)系(其中設(shè)R、r為兩圓的半徑，d為圓心距)位置關(guān)系圖形公共點個數(shù)R、r與d的關(guān)系外離0d>Rr外切1dRr相交2Rr<d<Rr內(nèi)切1dRr內(nèi)含0d<Rr從上表中可看出，兩種圓的五種位置關(guān)系是從d很大，然后逐漸減小，它們的位置從外離逐漸演變成內(nèi)含注意：兩圓內(nèi)含時，如果d0，則兩圓同心，這是內(nèi)含的一種特殊情況【經(jīng)典例題精講】例

7、1 如圖23-2-1，已知等邊ABC的邊長為，下列以A為圓心的各圓中，半徑是3cm的圓是( )分析：此題是考查線與圓的位置關(guān)系，由基本知識點可知，要判斷直線與圓的位置關(guān)系，只需知道圓心到直線的距離與半徑之間的關(guān)系過A作ADBC，交BC于D，可求出AD3cm，即AD等于半徑，故圓與直線BC相切答案：C注意：要判斷直線與圓的位置關(guān)系，一定要知道圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系，若題目中沒有直接給出，要想辦法求出例2 如圖23-2-2，AB為O的直徑，C為O上一點，AD和過C點的切線互相垂直，垂足為D，試說明：AC平分DAB分析：CD是O的切線，連結(jié)OC，則OCCD連結(jié)圓心與切點是解決切線問題時常用的作

8、輔助線方法之一解：連結(jié)OC，AC平分DAB注意：在解有關(guān)圓的切線問題時，常常需要作出過切點的半徑例3 已知AB是O的直徑，BC是O的切線，切點為B，OC平行于弦AD(如圖23-2-3)試說明DC是O的切線分析：欲說明DC是O的切線，需連結(jié)OD證ODCD即可解：連結(jié)ODBC是O的切線，OBC90°，ODC90°DC是O的切線注意：欲說明一條直線是圓的切線，需證這條直線垂直于經(jīng)過切點的半徑，這是證明某直線是圓的切線的方法之一，也是常用的方法例4 如圖23-2-4，已知PA、PB是O的兩條切線，A、B為切點，直線OP交O于點D、E，交AB于C(1)寫出圖中所有的垂直關(guān)系；(2)寫

9、出圖中所有的全等三角形；(3)如果PA4cm，PD2cm，求半徑OA的長解：(1)OAPA，OBPB，OPAB(2)OAPOBP，OCAOCB，ACPBCP(3)設(shè)OAxcm在RtOAP中，OAxcm，OPODPD(x2)cm，PA4cm，由勾股定理得，x3答：半徑OA的長為3cm例5 兩圓半徑長分別是R和r(R>r)，圓心距為d，若關(guān)于x的方程有兩相等的實數(shù)根，則兩圓的位置關(guān)系是_A一定內(nèi)切B一定外切C相交D內(nèi)切或外切分析：此題考查了兩個方面的知識，一是一元二次方程根的判別式，二是圓與圓之間的位置關(guān)系，由題設(shè)條件得4(Rrd)(rRd)0R>r，Rrd，或Rrd兩圓的位置關(guān)系外切

10、或內(nèi)切答案：D注意：方程有兩相等實數(shù)根，說明0這是一道代數(shù)與幾何綜合題，解題時一定注意分析明白例6 如圖23-2-5，施工工地的水平面上，有三根外很都是1米的水泥管兩兩相切摞在一起，則其最高點到地面的距離是( )A2BCD分析：如圖23-2-5，連結(jié)，設(shè)外切于點A，則在中，最高點C到水平面的距離答案：D注意：兩圓外切，連結(jié)圓心，即連心線是常用的輔助線，當(dāng)涉及到計算時，構(gòu)造直角三角形是常用的方法之一【中考考點】例7 (2002·陜西省)如圖23-2-6，兩個等圓O和O外切，過O作 O的兩條切線OA、OB，A、B是切點，則AOB等于( )A30°B45°C60

11、6;D90°分析：連結(jié)AO，OO，OA切O于A，OAOA在RtOAO中，OOA30°，同理OOB30°，AOB60°答案：C注意：兩圓相切，連心線必過切點，故OO2OA，另外考查了直角三角形的性質(zhì)例8 (1)(2002·南通市)已知兩圓的半徑分別為3cm和4cm，圓心距為2cm，那么這兩圓的位置關(guān)系是( )A內(nèi)含B相交C內(nèi)切D外離(2)(2002·揚州市)已知兩圓的半徑為7和4，圓心距為5，那么這兩圓的公切線的條數(shù)是( )A1條B2條C3條D4條分析：(1)熟練地掌握兩圓的5種位置關(guān)系，一般抓住兩種特殊的位置關(guān)系，即(外切、內(nèi)切)，然

12、后推出其他三種情況即：內(nèi)切dRr(R>r)外切dRr相交Rr<d<Rr(R>r)外離d>Rr內(nèi)含d<Rr(R>r)(2)由位置關(guān)系判定公切線條數(shù)是常見題型答案：(1)B(2)B例9 (2001·北京市)如圖23-2-7，AB為半圓O的直徑，弦AD、BC相交于P點，若CD3，AB4，則tanBPD等于( )ABCD分析：要求tanBPD，必須構(gòu)建直角三角形，因此，連結(jié)BD，得ADB90°，但CD與AB無法直接運用定理建立關(guān)系，所以此題關(guān)鍵是通過證PCDPAB，得，答案：A注意：當(dāng)證明有關(guān)線段的比例式才能直接運用基本定理推導(dǎo)時，通常由“

13、三點定形法”證三角形相似例10 (2003·福州市)已知ABC內(nèi)接于O，過點A作直線EF(1)如圖23-2-8a，AB為直徑，要使EF是O的切線，還要添加的條件是(只需寫出三種情況)_，或_，或_(2)如圖b，AB為非直徑的弦，CAEB，試說明EF是O的切線分析：根據(jù)切線的判定定理，由AB是直徑，因此圍繞BAE90°可得到其他的條件解：(1)CAEB，ABEF，BACCAE90°，CFAB，EABFAB，供參考(2)證明：連結(jié)AO并延長AO交O于H，連結(jié)HCHBAH是直徑，BCAECAEHAC90°HAEFEF是O的切線例11 (2002·北京

14、市西城區(qū))如圖23-2-9，已知AB為O的直徑，P為AB延長線上一動點，過點P作O的切線，設(shè)切點為C(1)當(dāng)點P在AB延長線上的位置如圖所示時，連結(jié)AC，作APC的平分線，交AC于點D，請你測量CDP的度數(shù)(2)當(dāng)點P在AB延長線上的位置如圖和圖所示時，連結(jié)AC，請你分別在這兩個圖形中用尺規(guī)作APC的平分線(不寫作法，保留作圖痕跡)，設(shè)此角平分線交AC于點D，然后在這兩個圖形分別測量出CDP的度數(shù)猜想CDP的度數(shù)是否隨點P在AB延長線上的位置的變化而變化？并對你的猜想加以證明分析：這是一道融測量、猜想、證明于一體的綜合性問題，測量是關(guān)鍵，因此要絕對準(zhǔn)確；猜想要合理解：(1)測量結(jié)果CDP45&

15、#176;(2)測量結(jié)果CDP45°(圖中)(3)圖中的測量結(jié)果CDP45°因此，猜想CDP的度數(shù)不隨點P在AB延長線上的位置的變化而變化證法一：連結(jié)BC，如圖AB為O的直徑，ACB90°PC切O于點C，1APD平分APC，23412，CDPA3，CDP445°猜想正確證法二：如圖，連結(jié)OCPC切O于點C，PCOC1CPO90°PD平分APCOAOC，A31A3，猜想正確【常見錯誤分析】例12 如圖23-2-10，PA、PB是O的切線，A、B為切點，APB78°，點C是O上異于A、B的任意一點，那么ACB_錯解：51°正解：

16、51°或129°誤區(qū)分析：由于點C是O上異于A、B的任意一點，故點C可能在劣弧上，也可能在優(yōu)弧上，即點C有兩種位置關(guān)系，ACB有兩解，錯因就是對位置關(guān)系考慮不全面，產(chǎn)生少一解的錯誤例13 如圖23-2-11，兩圓同心，半徑分別為9cm和5cm，另有一個圓與這兩圓都相切，則此圓半徑為_A2cmB7cmC2cm或7cmD4cm錯解：選A正解：選C誤區(qū)分析：另有一個圓與這兩圓都相切存在兩種情況，如圖23-2-12一種是與大圓內(nèi)切與小圓外切，如，求得半徑為2cm一種是與大圓內(nèi)切與小圓內(nèi)切，如，求得半徑為7cm錯因由于對位置關(guān)系考慮不全面，出現(xiàn)漏解錯誤小結(jié)：經(jīng)過以上2題的錯解原因，我

17、們解題一定要分類討論，考慮全面，以免出現(xiàn)漏解現(xiàn)象，同時要注意二值題型【學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)】1注意運用類比的方法，如學(xué)習(xí)直線與圓的位置關(guān)系可與點與圓的位置關(guān)系相類比，學(xué)習(xí)圓與圓的位置關(guān)系時與點與圓，直線與圓的位置關(guān)系進行類比2我們學(xué)習(xí)點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系時要應(yīng)用運動變化的觀點和數(shù)形結(jié)合的思想方法，借助圖形的直觀，注意圖形位置關(guān)系變化時，相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系如何變化，抓住圖形的運動變化過程中“形”(不同的位置關(guān)系)和“數(shù)”(相關(guān)的數(shù)量關(guān)系)之間的本質(zhì)聯(lián)系【規(guī)律總結(jié)】1判定一條直線是圓的切線，常有以下兩種情況：(1)當(dāng)已知直線與圓有一個公共點時，畫出以這個公共點為一個端點的半徑，再說明這條半徑與已

18、知直線垂直(2)當(dāng)直線與圓的公共點尚未確定時，則應(yīng)畫出圓心到這條直線的垂線段，再說明這條垂線等于圓的半徑2本單元常用輔助線：(1)有切點，可作過切點的半徑(2)兩圓相交，可作公共弦(3)兩圓相切，可作公切線(4)有半圓，可作整圓；有直徑，可作直徑所對的圓周角(5)圓與圓要心連心，即作連心線3遇有三角形的內(nèi)切圓，要聯(lián)想到：(1)三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等(2)三角形的內(nèi)心與三個頂點的連線平分三角形的三個內(nèi)角【同步達綱練習(xí)】一、填空題1一個圓的直徑是6cm，到圓心的距離是4cm的一點A在圓_2O的半徑r5cm，圓心O到直線l的距離dOD3cm，在直線l上有P、Q、R三點，且PD4cm，QD

19、>4cm，RD<4cm，則點P在圓_，點Q在圓_，點R在圓_3ABC中，O是它的外心，BC24cm，O到BC的距離為5cm，則ABC外接圓的半徑等于_cm4已知AOC60°，點B在OA上，且，若以B為圓心，R為半徑的圓與直線OC相離，則R的取值范圍是_5如圖23-2-13，RtABC中，ACB90°，A30°，BC4cm，若以點C為圓心畫圓與AB相切，則C的半徑等于_cm6如圖23-2-14，AB、AC是O的兩條切線，切點為B、C，D是優(yōu)弧BC上的點，已知BAC80°，那么BDC_7如圖23-2-15，PA與PB分別切O于A、B兩點，C是上任

20、意一點，過C作O 的切線交PA及PB于D、E兩點，若PAPB5cm，則PDE的周長為_cm8ABC的內(nèi)切圓O與BC、AC、AB分別相切于點D、E、F，且AB13cm，BC14cm，AC9cm，則AF_，BD_，CE_9已知相切兩圓半徑分別為2cm和5cm，則兩圓的圓心距為_10兩圓外切時，圓心距為12cm，當(dāng)它們內(nèi)切時，圓心距為3cm，兩圓半徑分別為_與_，當(dāng)它們內(nèi)含時，圓心距的取值范圍是_二、選擇題11已知等腰ABC中，ABAC5，底邊BC6，若以頂點A為圓心，以4為半徑作A，則BC與A( )A相交B相切C相離D不能確定12如圖23-2-16，已知O的直徑AB與弦AC的夾角為30°

21、，過C點的切線PC與AB延長交于P，PC5，則O的半徑為( )ABC10D513如圖23-2-17，點O是ABC的內(nèi)心，AO的延長線交ABC的外接圓于點D，下列結(jié)論：BDCDDO；ACOABO；BODCOD；AOBCBO；OAOBOC其中正確的有( )A2個B3個C4個D5個14若直角三角形斜邊長為10cm，其內(nèi)切圓的半徑為2cm，則它的周長為( )A24cmB22cmC14cmD12cm15半徑分別為1cm和5cm的兩個圓相交，則圓心距d的取值范圍為( )Ad<6B4<d<6C4<d<6D1<d<5三、解答題16如圖23-2-18，AB是O的直徑，AE平分BAC交O于點E，過點E作O的切線交AC于點D，試判斷AED的形狀并說明理由17如圖23-2-19，要在一個直角三角形的鐵片上裁剪下一個圖片，已知AB6