12改進(jìn)的歐拉法

1、1. 3梯形法、隱式格式的迭代計(jì)算數(shù)值分析預(yù)備知識(shí):引入Lagrange插值方法：設(shè)已知點(diǎn)（兀,必）（i = 0J2 n口 （兀-勺）令 厶（X）二 ，i = 0,n（%-勺）Z詳j次Lagrange插值多項(xiàng)式為L/?（x）=工必（兀），i=0余項(xiàng)：Rn（x） = f （x） - Ln（x）滿足定理：設(shè)被插值函數(shù)f（x） w Cn+a,b,且插值節(jié)點(diǎn)兀0,兀,” 互不相同,則對(duì)任意X e a,b,都存在e a,b,使得嚴(yán)1）（點(diǎn)）Rn （%）= 齊（兀-兀0）（兀-兀1）（兀- £ ）（m +1）!13梯形法、隱式格式的迭代計(jì)算在歐拉方法的推導(dǎo)過程，用矩形公式近似計(jì)算積分S+1fn若

2、用梯形公式近似計(jì)算積分，貝9G+1u(J+i)-%()= f+f (+i)G+fna也仝丿/匕川（切）+/U+1M-+1)圖13因此有班乙+i）u %億）+3（如一切/億，（ j）+/億+1,）叫+1 =W«+| hf（n，冷）+ /仇+1，色+1）（1.16）這是一個(gè)隱式格式。梯形公式局部截?cái)嗾`差分析:將表成 r = +M, 0<r<1.對(duì)于（0,0億）和（1,0（如）,用兩點(diǎn)插值的余項(xiàng)公式有= uf(t) = utn + rh)"1w M 0 /"+%)/ c、/1、=w (f )u (t i)1(r 0)(7* l)一丿0_15J_02!h2=u

3、tn) 4- T_utn+X)- utn) + r(r -+ Oh)其中0<3<1，兩端關(guān)于F在"丿”+J上積分n+ =nJ-MS)/n力2 f+ j /，Tl t（t 一+ 0h）dt因?yàn)? = +必,所以dt = hdr,且+,口皿）力£”匕）+化+）-爲(wèi)/9，冷心 fn212即 r fMtwt=存/(幾心)+/K+i,心+j) -存心 g ,Jtn212故梯形公式的局部截?cái)嗾`差，即改進(jìn)的Euler法的局部截?cái)嗾`差為力3疋)=-務(wù) r(G = o(臚)梯形公式的整體截?cái)嗾`差為：£=%()-色由色+i=給+*/億，知)+/億+1，冷+1)，+1u(t

4、n+l) = u(tn)+ j f(t,u(t)dt 作差得'en+lh312令Ru)= maxR化且Mi <T-tQni 3j 3所以 I 勺+i邁人 §+ 1) /?(1)+ I e0 Ih3 . h25鳥爐)+ pF% T 1*0 1= O(2),故梯形法（即改進(jìn)的歐拉法）的整體截?cái)嗾`差的 階為0（從而梯形格式是收斂的。類似于Euler格 式可以得到梯形格式的穩(wěn)定性定理。(1.16)(1.18)(1.19)前已指岀，梯形法是一個(gè)隱式格式h色+1 =冷 + 3 /（,冷）+/（乙+1,冷+1） 如何求解血+采用迭代法，其格式如下:< 監(jiān)/（一+1,以?1） +

5、 f （,色）必?初始猜測(cè)迭代法的收斂性：由壓縮映像原理可知：hT 1-L< 12為迭代法收斂的充分條件。當(dāng)£ = o,有下面的預(yù)報(bào)校正格式:心?1 =叫+勺U '11 n ）預(yù)報(bào)格式Un+1 = Un + £ /（，"“）+ / （一+1，必?1）校正格式I2（1.20）也稱為改進(jìn)歐拉公式。當(dāng)然也可迭代多次:Wn+1 =Un+hf ，Un ）預(yù)報(bào)格式（1.21）Un+ =%”+£_/（，%） + / （一+1，Un+ ）校正格式當(dāng)步長力取得適當(dāng)小，用預(yù)報(bào)格式（歐拉法）已能算出 比較好的近似值，故迭代收斂很快，通常只需迭代二三次 就可滿足精度要求，如果迭代多次仍不收斂，說明步長過 大，必須減少步長力，再進(jìn)行計(jì)算。梯形法較之歐拉法提高了精度，但增加了迭代次數(shù)， 因此增加了計(jì)算工作量。鐫本P10,3李立康4,5,6,賣習(xí)題2作業(yè):試用預(yù)報(bào)校正格式(1.20)解初值問題 U = U +