1-6兩個(gè)重要極限

1、第六節(jié)極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限小結(jié)一、極限存在準(zhǔn)則1 夾逼準(zhǔn)則準(zhǔn)則I如果數(shù)列兀“，兒及Z“滿足下列條件:兒“ x (n = 1,2,3 )(2) lim yn =a, lim zn= a,ncon(x)那末數(shù)列兀“的極限存在，且limx =.證兒，zna,0O, 3Nr 0, ”2，使得當(dāng)時(shí)恒有|兒一。V,M時(shí)恒有取N = maxM，N2,上兩式同時(shí)成立,即0-兒 VQ + E，a-EVZ“ va + ， 當(dāng)兀N時(shí)，恒有。一 v y“ 工“v a + ，準(zhǔn)則L 如果當(dāng)xg17；(x0)(x|M)時(shí)，有(1) g(x)f(x)X0XXQ(XT8)(X-00)那末lim于(

2、工)存在，且等于A.x-x0(兀 Too)準(zhǔn)則I和準(zhǔn)則稱為夾逼準(zhǔn)則.注意:利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)鍵是構(gòu)造出兒與和 并且?guī)着c比的極限是容易求的.例1求怛（帝石+亦r+）解 -Jn2 + n yJn2 +1a/h 1 + n n2 +1?又 lim ,= lims V n +n i8舸 4nllim =1，由夾逼定理得W-00:JUm( 1H00-=+-+)=1.7n +1 yin +2 7n +n2 單調(diào)有界準(zhǔn)則如果數(shù)列七滿足條件xx x2 xn,單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列準(zhǔn)則11單調(diào)有界數(shù)列必有極限.幾何解釋:例2證明數(shù)列=j3 + j3 + + V5重根 式）的極限存在.1=證 顯然xH+1 x,x是單

3、調(diào)遞增的；又 Xj = v3 3,假定 Xk 00n00A =上薯（舍去）七+i =、/3 + 七,疋+i = 3 + 兀”，A2=3 + A,解得_ 21 + a13 lim xn =n-oo “2二、兩個(gè)重要極限作單位圓的切線，得A4CO.111扇形Q4B的圓心角為兀,OAB的高為于是有sin 兀=BD， x =弧 AB tanx = ACsin xsin x x tan 艮卩 cos x 1，x上式對(duì)于一鄉(xiāng)vxvO也成立.當(dāng)Ov|vf時(shí),0 cosx-l| = l-cosx =2sin2 0 2/. lim(l-cosx) = 0?x-0lim cos x = ly又 r lim 1 =

4、 1，x-0. sinxlim兀TO X例3求lim上晉兀兀tOjq 22 sin2 - 解原式=limX0-lim(2 兀-0si沁22I sin2X him2心0/兀、2(2(2)lim(l + -)x =exooYn定義 lim(l+1r =e72T8H設(shè) x = (1 + 1 )nnn 1 n(n l) 1n(n l)-(n n + l)=1 1 r + F1! n 2! n2類似地，+1 =1 + 1 + (1)+ 2! n + I l“2 “一IH (I) (I)(I)n n + l n + ln + l1/I1 /T2、 J、H(l)(1)(l)(+1)!n + ln + ln

5、+ l顯然七+1 七， xn是單調(diào)遞增的;Xn 1 + 1+ + +ooncoYl當(dāng)兀時(shí)， 有xx+8x + l，. lim（l + -）x =e.xt+8 x令(=-Xy:.lim (1 + -y = lim (1 - -) f = lim (1 + 丄)XT - 8 X/T+8 t/+8 t 1= lim(l + -i-y1(l + -i-)=e.(T+oo( -1t -1:.lim(l + -)x =e1丄1令心一，lim(l + x)x = lim(l + -) = e.X x0tootlim(l + x)x =ex0例4求lim(l)x.兀T8兀解原式=Km(l +丄尸I = Um1-兀 T8 X兀一8JL 、 丫兀(1 +Yx例5 求 lim(|)2x.兀一oo 2 + x解 原式=Km(l +丄;嚴(yán)2(1 + 丄廣“ =e2.“t