2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試山東卷

1、2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(山東卷)文科數(shù)學(xué)第I卷(共50分)一、選擇題：本大題共 10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的1.已知集合 A=x|2<x<4 , B=x|(x-1)(x-3)<0,則 Ao B=()A.(1 , 3)B.(1 , 4)C.(2 , 3)D.(2 , 4)答案：C解析：因?yàn)?“ =j4x<3,所以= 故選 C.考點(diǎn)：1.集合的基本運(yùn)算；2.簡(jiǎn)單不等式的解法.2 .若復(fù)數(shù)Z滿足二=i ,其中i為虛數(shù)單位，則Z=()17A.1-iB.1+iC.-1-iD.-1+i答案：C【解析】Mt題分析：由題

2、意二二;(1一：)二1 一七所以，-1-i,故選考點(diǎn)：1.復(fù)數(shù)的運(yùn)算；2.共軻復(fù)數(shù).3 .設(shè) a=0.6°.6, b=0.61.5, c=1.5°.6,則 a, b, c 的大小關(guān)系是()A.a v bv cB.a < c< bC.b < a< cD.b < c< a答案：C解析：由i' = 0,6在區(qū)間（O,+ac）是單調(diào)減函數(shù)可知，0£0.6"父0.6"" < 1 ,又1.5"" >1，故選 C.考點(diǎn)：1.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；2.函數(shù)值比較大小.4.要得到函數(shù)

3、y=sin（4x-2）的圖象，只需要將函數(shù) y=si 11n4x的圖象（）3A. .向左平移 二個(gè)單位12B.向右平移三個(gè)單位12C.向左平移三個(gè)單位3D.向右平移三個(gè)單位3答案：B試題分析：因?yàn)?#165;=岑山（氐-二）二a1工行-福），所以，只需要搭函數(shù)丁=點(diǎn)我的圖象向右平移看個(gè)單位，故選艮考點(diǎn)：三角函數(shù)圖象的變換.5.設(shè)"twR,命題“若m>0,則方程/ + .T 陽(yáng)=0有實(shí)根”的逆否命題是（）A.若方程工4戔一用二0有實(shí)根，則m>0B.若方程工1 +工一所=0有實(shí)根，則m <0C.若方程/+工一川=0沒(méi)有實(shí)根，則m>0?若方程/+上一掰"0

4、沒(méi)有實(shí)根，則 m £0答案：D 解析：D.一個(gè)命題的逆否命題，要將原命題的條件、結(jié)論加以否定，并且加以互換，故選考點(diǎn)：命題的四種形式6 .為比較甲、乙兩地某月 14時(shí)的氣溫狀況，隨機(jī)選取該月中的5天，將這5天中14時(shí)的 氣溫?cái)?shù)據(jù)（單位：C ）制成如圖所示的莖葉圖.考慮以下結(jié)論:甲I I乙986289113012甲地該月14時(shí)的平均氣溫低于乙地該月14時(shí)的平均氣溫;甲地該月14時(shí)的平均氣溫高于乙地該月14時(shí)的平均氣溫;14時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差;14時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差甲地該月14時(shí)的平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙地該月甲地該月14時(shí)的平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙地該月其中根據(jù)莖葉圖能得到的統(tǒng)計(jì)結(jié)論的標(biāo)號(hào)為（

5、）A.B.C.D. 答案：B【解析】 試題分析：甲地?cái)?shù)據(jù)為：26:2£:29.3131；乙地?cái)?shù)據(jù)為28:29:3031;32s26 + 2S-29 + 31+31 m一覺(jué) 十 二9 -3。-門 + 立工彳='_'=工k -,=-(26 一詡 + Qg-29y + (29 -29): 十(31-呀 +-+01-環(huán)=m6,1 - (31-3O)2 +(32-30/ = 2,=i(2S-30): + (29-30): + (30-30): +即正確的有，故選3.考點(diǎn)：1.莖葉圖；2.平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差7 .在區(qū)間0, 2上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù) x,則事件"4 1og|

6、（A+；）E I ”發(fā)生的概率為（）A. 7C.-34答案：A解析：由-1 41口« 1得， 2工log,2< loglCx+-)<logl+2,0.r,所以，由幾何概型概率的計(jì)算公:-04式得，r=-一 二二，故選a.2-0 4考點(diǎn)：1.幾何概型；2.對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì).8 .若函數(shù)/(工)= 2 "I是奇函數(shù),則使f(x)>3成立的x的取值范圍為() 2' -aA.( -00, -1 )B.( -1 , 0)C.(0 , 1)D.(1 , +oo)答案：C21+12f + 1解析：由題意 “h) = -幻，即二一=一一，所以，(1-h)(2&quo

7、t;+D = 0.“ = 1 ,21 -a 2 u2r +12r + l八幻=三一，由/(x) = -一>3得，1邛故選C.2 -12 - 1考點(diǎn)：1.函數(shù)的奇偶性；2.指數(shù)運(yùn)算.9.已知等腰直角三角形的直角邊的長(zhǎng)為2 ,將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()4/兀B.3C.，D. I答案：B【解析】試題分析由題意知，該等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為20，斜邊上的高為立，所得旋轉(zhuǎn)體為同底等高的全等回落 所以，其仲積為!獷(0)；心理=七三二, - '散選B考點(diǎn)：1.旋轉(zhuǎn)體的幾何特征；2.幾何體的體積10.設(shè)函數(shù)八小3x -b,x<2x>，

8、若= 4,貝U b二(A.13C.一4答案：Dft < 12.J 或3( A) A 4解析：由題意，/(?) 3x3 b 士瓦由得，6626-b>,解得h = 一，故選D.。22? =4 考點(diǎn)：1.分段函數(shù)；2.函數(shù)與方程二、填空題：本大題共 5小題，每小題 5分，共25分11 .執(zhí)行右邊的程序框圖，若輸入的x的值為1,則輸出的升的1八<>"1/ 二 /答案：13解析】試題分析：第一次執(zhí)行程序第滿足條件r<2.r = l + l = 22:i =3x2: + l = 13,輸出j二 13,結(jié)束答案為 13一考點(diǎn)：算法與程序框圖.y-x < 112

9、.若x, y滿足約束條件 八,十JW工則i = K + 3y的最大 y>答案：7解析：回出可行域及直線 * + 3 丫 = 0,平移直線x / = fy的值是.?第二次執(zhí)行程序，不滿足條件直為.）,當(dāng)其經(jīng)過(guò)點(diǎn)出1,2）時(shí)，直線第n卷（共100分）的縱截距最大，所以 工 = ：v + 3y最大為二 二 l + 3x2=7.考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.13.過(guò)點(diǎn)P(1, v3)作圓？ + ?3 = 1的兩條切線，切點(diǎn)分別為 A, B,則1 -二.?答案： 2【解析】試題分析工如圖，連接尸在直角三角形以。中，內(nèi)=1上="所掰【加乙1代？=手,故人人界二PA PB 85乙士出三乖X忑式工二二.

10、一 “ r v考點(diǎn)：1.直線與圓的位置關(guān)系；2.平面向量的數(shù)量積.F 2X" - v"14 .定義運(yùn)算"值":X® y ='(磊 TWR,ATkG).當(dāng)彳 >0. v>0 時(shí), 孫x v + (2y)x的最小值是.答案：一 ，一、一一，7vV x 4 v" xL 一.解析：由新定義運(yùn)算知，= 3_ = 22_L,因?yàn)?，K>0, 1,>0,(2y)x2 盯cr Ii- V' 4 1-X X + 2 yl2" 2耳，三 2d4 Fl 4t!、匕所以，工8 y + (2y)®* =

11、- + -=->-=2，=且僅白xy 2xy 2xyr 2xyi = Jly 時(shí)，a,0 v + (2 y)® x 的最小值是 V?.考點(diǎn)：1.新定義運(yùn)算；2.基本不等式.15 .過(guò)雙曲線=> 0）的右焦點(diǎn)作一條與其漸近線平行的直線，交 Ca2 cr于點(diǎn)F.若點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為2，則C的離心率為.答案： ,r解析】試題分析：雙曲線11=1的右焦點(diǎn)為仁勺.不妨設(shè)所作宜線與雙曲線的漸進(jìn)線二色，平行，其方程Q* 42*12為=勺口一G，代人工£ = i求得點(diǎn).p的覆生標(biāo)為；=士工，由±±匚=%,得£i白-2cJr（£-4- + 1

12、= 0（解之得三=2-召*上=二-“（舍去，因?yàn)殡x心率士 Al）,故雙曲筵的離心率為 Q QGaa考點(diǎn)：1.雙曲線的幾何性質(zhì)；2.直線方程.三、解答題：本大題共 6小題，共75分16 .（本小題滿分12分）某中學(xué)調(diào)查了某班全部 45名同學(xué)參加書(shū)法社團(tuán)和演講社團(tuán)的情況，數(shù)據(jù)如下表：（單位：人）參加書(shū)法社團(tuán)未經(jīng)加書(shū)法社團(tuán)參加演講社團(tuán)85未參加演講社團(tuán)230（1）從該班隨機(jī)選1名同學(xué)，求該同學(xué)至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的概率；（2）在既參加書(shū)法社團(tuán)又參加演講社團(tuán)的8名同學(xué)中，有5名男同學(xué)A, X, As, A4, A5, 3名女同學(xué)B1, B2,區(qū).現(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選 1人，求A被選中

13、且B1未 被選中的概率解析：(1)由調(diào)查數(shù)據(jù)可知，既未參加書(shū)法社團(tuán)又未參加演講社團(tuán)的有30人，故至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的共有45-30 = 15人，所以從該班級(jí)隨機(jī)選名同學(xué)，利用公式計(jì)算即得 .(2)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選I人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有： 44,4罵&罵乂4閏乂4也4網(wǎng),44，4也，4屈.4,即出,出,帆用網(wǎng)四，共15個(gè).根據(jù)題意，這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的事件“匕被選中且q未被選中”所包含的基本事件有：也，共2個(gè).應(yīng)用公式計(jì)算即得.答案：(1)由調(diào)查數(shù)據(jù)可知，既未參加書(shū)法社團(tuán)又未參加演講社團(tuán)的有 30人，故至少參加上述一 個(gè)社團(tuán)的共有45-30

14、= 15人，所以從該班級(jí)隨機(jī)選 】名同學(xué)，該同學(xué)至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的概率為：45 3(2)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有： 乩即,4也，出 , 外,®也,4毒#4/4,風(fēng),4岡，4用44e,潟,4,四,&SJ,4,明，共15個(gè).根據(jù)題意，這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的事件“ 4被選中且q未被選中”所包含的基本事件有：，共2個(gè).因此4被選中且用未被選中的概率為 尸三5.考點(diǎn)：1.古典概型；2.隨機(jī)事件的概率.17 .(本小題滿分12分)*W8C中，角A, B, C所對(duì)的邊分別為a, b, c.已知cos B = 求yinH和匚的值.【

15、解析】試題分析！在中，由二，得*ES二名. nn二-J1根據(jù) V-S+C =歸，得邕 si a C = sin(.4 + 5) =>根據(jù)siiiCuAnB,得到C<B.匚為銳角，匚口5cl = -, 9求得吐口4= dMB十G =T由正弦定理可得 匕:2yBe' ,結(jié)合etc - 23即得.Ji/7答案：在AA5C"中,由uos2J = ,得五n8 = 2. 3376因?yàn)?A-B + C 二江，所以 sinC = sin(J + 8)=,因?yàn)閟inC < sin Z?,所以C< B ,。為銳角, .,岳S拒網(wǎng)遙 2拒因此： .:.；. . , j.22

16、由一-二一-* 可得 "= * . i" I _ _2 28c 又戊= 2v3 ,所以匚=1. sin J sinCsinC #9考點(diǎn)：1.兩角和差的三角函數(shù)；2.正弦定理.18 .如圖，三棱臺(tái)DEF-TBC中，AJ/ = 2D£ G H分別為AC, BC的中點(diǎn).(I)求證：/?£)/，平面 FGII ；(II)若F1BC力3伙求證：平面4cBi平面£37.【解析】試題彩析： 思路一：連挎DGCD設(shè)3)廣= 隹攙工用，在二棱臺(tái)DEF 中，期=1DE, G分別為HC的中點(diǎn)，可得Z)F GC,DF = GC,四邊形D尸CG是平行四邊形，M為CD的中

17、點(diǎn)，又日是3。的中點(diǎn)，得到BD 思路二：在三棱臺(tái) Q£F7UC中,由= 2EFJ/為的中點(diǎn)，可得HBEF為平行四邊形，BE / iHF.在&40。中，G 分別為/K； 8r的中點(diǎn)，得到/&又 GcHF 二，得到平面FGH "平面ABED .(II)證明：連接HF.根據(jù) G 分別為XG 6。的中點(diǎn)，得到 G"/,41由AB 1 EC,得GH IflC1,又H為BC的中點(diǎn)，得到四邊形EFCH是平行四邊形，從而 CF/UE.又CF工UC ,得到HE 15r.答案：(I)證法一：連接設(shè)l'DcGF = M ,連接兒陽(yáng)，在三棱臺(tái)DEF-ABC中，AB

18、 = 2DEf G分別為41：的中點(diǎn)，可得DF/ fGCDF = GC ,所以四邊形DFCG是平行四邊形，則 M為L(zhǎng)0的中點(diǎn)，又H是3C的中點(diǎn)，所以HM HBD ,又/Ml u平面，8D 6平面*&'，所以8D / f平面尸GH .證法二：在三棱臺(tái)中,由BC = 2EFJi為的中點(diǎn)，可得RU HEF.BH = EF,所以HBEF為平行四邊形，可得 BE / H1F.在&中,G 分別為力C 3。的中點(diǎn)，所以&又5二，所以平面FGH 平面ABED ,因?yàn)槠矫鍭BED ,所以3D"平面FG".(II)證明：連接HE.因?yàn)镚 分別為月C /?：的中點(diǎn)

19、，所以。,，/1反由.必？_1/?(: 得GH 1BC ,又H為的中點(diǎn)，所以EFUHC.EF = IK .因此四邊形EFCH是平行四邊形，所以：；'.又,所以 HE 1 BC .又 HE.GH u 平面 EGH , HEcGH =，所以 BC 1.平面 EGU ,又c平面8。，所以平面平面考點(diǎn)：1.平行關(guān)系；2.垂直關(guān)系.19 .(本小題滿分12分)已知數(shù)列是首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列 ! 卜的前性項(xiàng)和為.(I)求數(shù)列nj的通項(xiàng)公式；(II)設(shè)"=+1)'甘;求數(shù)列瓦的前n項(xiàng)和£ .解析： (I)設(shè)數(shù)列1%的公差為d , 令內(nèi)=L得一二)，得至U 叫為二3

20、.。自 3A _ I 2 令= 2.得+二一，得至U a.a； = 15.q% a2ay 5 -解得% = 1, = 2即得解.(II)由知”=2«21 =止41得到£=1聞+2,干+小4二從而包廣14+ 2,4、+(-1)4"+ ",44，利用“錯(cuò)位相減法”求和.答案：(I)設(shè)數(shù)列。/的公差為U,令 內(nèi)=L得二:,所以 輸?shù)?=3 .。自 3A _ 112 ,令升=2.得+=w，所以 = 15 .卬 口必 5解得珥=1.4 = 2 ,所以凡二2,1一 1,(II)由(I)知4=2加211=止41所以7；=1*4|+243+ h4'所以.：兩式相

21、減，得；,%1一，')i 1 -,fl+( 4nj 4=x 4,1-4333n-l , 4 4 + (3/;-h-417*1所以， "999考點(diǎn)：1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；2.數(shù)列的求和、“錯(cuò)位相減法”.20 .(本小題滿分13分)?夕設(shè)函數(shù)？?？= (x+ a)lnx, ?(?=兩 已知曲線？?= ?(?立點(diǎn)L)處的切線與直 線2x - ?= 0平行.(I )求a的值；(n)是否存在自然數(shù)k,使得方程/= g1.v)在供狀+】)內(nèi)存在唯一的根？如果存在，求出k;如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(出)設(shè)函數(shù)聞1)= min(minP，q表示，p, q中的較小值)，求m(x)的最大值.解

22、析：(I)由題意知，根據(jù)/飛耳)=111工-2-1.即可求得.x(II) 4=1時(shí)，方程 八幻二式冷在(1,2)內(nèi)存在唯一的根.2設(shè). . I:-e*一.4.4通過(guò)研允，w (0,1 時(shí)，力(工)( 0 .又加2) = 3 In 2 In S >1 1=0,e y得知存在工口 IL2),使牝%) = 0 .應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù) 人(冷的單調(diào)性，當(dāng)kwQ+s)時(shí)，入O)單調(diào)遞增.作出結(jié)論：*1時(shí)，方程/(戈)=g(H)在(A狀+ 1)內(nèi)存在唯一的根.(III)由(II)知，方程/(X)= g(H)在(1,2)內(nèi)存在唯一的根1rn ,且工£(0a)時(shí)，(JT+ l)lnx,jr (。居

23、J (x) < g(x), a- e 時(shí)，J (x)> g(x),得到 研工)=，/L e當(dāng)工W (0f)時(shí)，研究得到"心)£ 心J.4當(dāng)時(shí)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究得到 汨W股(2) -T.且< "心).C'綜上可得函數(shù) 加(.Y)的最大值為 :.答案：(I)由題意知，曲線？?=?(?健點(diǎn)u,/u)處的切線斜率為2,所以/n)=2,又/(0 =加匕+ + 1.所以”二1 . X(II) *二1時(shí)，方程 *)=第工)在(1,2)內(nèi)存在唯一的根.2設(shè) ，. '- ,當(dāng)工 w。1時(shí) , h(x) < 0 .又. . .:.所以存在.巳Q2）

24、，使牝%） = 0 .因?yàn)?/?'（WTnx + L1 + *-2）.所以當(dāng) xe（1,2）時(shí),/r（x）l-iD ,當(dāng) Heme（2,+8）時(shí)，0 ,所以當(dāng)彳E（l.+oc）時(shí)，川.*）單調(diào)遞增.所以*二1時(shí)，方程= g（x）在（h&- + ）內(nèi)存在唯一的根.（III）由（ii）知，方程/（x）.ga）在（1,2）內(nèi)存在唯一的根飛，且工&（A.0）時(shí)，（x + l）lnxTA e（0,/時(shí)，/（工1*（工），所以皿x）=/,xe（j0,+oc）I e當(dāng) xw（0、/）時(shí)，若與 wM 0;若 X（Lx）.由m=】口工+ ' + l 。，可知 0"Mk）

25、M "?（凡）;故，川幻 E 九%）, x當(dāng)RE（.7,+8）時(shí)，由僧"）二可得XE.%.2時(shí),尸才（幻。,"Mx）單調(diào)遞增； e/W1，+8）時(shí)，舊'（X）V 0,（才）單調(diào)遞減；4可知用（工） m（2）=一p.且 訊/） 時(shí).綜上可得函數(shù)訊.丫）的最大值為4-. 夕考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值.21.（本小題滿分14分）平面直角坐標(biāo)系 ,q中，已知橢圓c： 一了+* =1_（色 方o）的離心率為-,且點(diǎn)（6,-）在橢圓c上.2（I ）求橢圓C的方程;(n)設(shè)橢圓e： + 2L = 1, p為橢圓c上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) p的直線9二版+仃？交橢4M 4b2/圓E于A, B兩點(diǎn)，射線PO交橢圓E于點(diǎn)Q.(i)求笆祖的值； im(ii)求A/J/ZQ面積的最大值.解析：(I)由題意知 之+ 工-1,又=皂,解得/=4,=.a' 4夕a 222(II)由(I)知橢圓E的方程為 ± +匕=.16 4端M 由題意知,根據(jù).及-%)=1,知上=2.4 ”164(ii)設(shè)山為，凹)劉(生必)，將j，= h+M代入橢圓E的方程，可得(1 + 4A2)j + 8A/?.r+4/rr -16 = 0,由 A > 0.可得用父 4 + 16/?/Z _ 3-2應(yīng)用韋達(dá)定理計(jì)算|