第三章第七講：三角形等高模型及鳥頭模型例題精講.doc

1、VI .0町編拚可作改板塊一三角形等高模型我們已經(jīng)知道三角形面積的計(jì)算公式：三角形面積底高21三角形等高模型與鳥頭模型題庫(kù)P age 1 of 18從這個(gè)公式我們可以發(fā)現(xiàn)：三角形面積的大小，取決于三角形底和高的乘積.如果三角形的底不變，高越大 （?。切蚊娣e也就越大（?。?； 如果三角形的高不變，底越大 （小），三角形面積也就越大（小）；這說(shuō)明當(dāng)三角形的面積變化時(shí)，它的底和高Z屮至少有一個(gè)要發(fā)生變化.但是，當(dāng)三角形的底和高同時(shí)發(fā)生變化時(shí)，三角形的面積不一定變化.比如當(dāng)高變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，底變?yōu)樵瓉?lái)的 則三角形面積與原來(lái)的一樣.這就是說(shuō)：一個(gè)三角形的面積變化與否取決于它的髙和底的乘積，而不僅僅取

2、決于高或底的變化.同時(shí) 也告訴我們：一個(gè)三角形在面積不改變的情況下，可以有無(wú)數(shù)多個(gè)不同的形狀.在實(shí)際問題的研究屮，我們還會(huì)常常用到以下結(jié)論: 等底等咼的兩個(gè)二角形面積相等;兩個(gè)三角形髙相等，面積比等于它們的底Z比;兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高Z比;如左圖Si : S2 a : b夾在一組平行線Z間的等積變形，如右上圖Sa ACD Sa BCD '反之，如果Sa ACD BCD，則可知直線AB平行于CD .等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等（長(zhǎng)方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形）；三角形面積等于 與它等底等高的平行四邊形面積的一半；兩個(gè)平行四邊形高相等，面積比等于它們的底Z比；兩

3、個(gè)平行四 邊形底相等，面積比等于它們的高Z比.【例1你有多少種方法將任意一個(gè)三角形分成:3個(gè)面積相等的三角形；（2） 4個(gè)面積相等的三角形；6個(gè)面積相等的三角形.【例2】如圖，BD長(zhǎng)12厘米，DC長(zhǎng)4厘米，B、C和D在同一條直線上. 求三角形ABC的面積是三角形ABD面積的多少倍V1.0町編甥可改 求三角形ABD的面積是三角形 ADC面積的多少倍3 如右圖，ABFE和CDEF都是矩形，AB的長(zhǎng)是那么圖中陰影部分的面積是平方厘米.4厘米，BC的長(zhǎng)是3厘 米，分別是長(zhǎng)方形G邊上的屮點(diǎn)，為ABCDH AD【例4】如圖，長(zhǎng)方形的面積是平方厘米，點(diǎn)、ABCD56E F邊上的任意一點(diǎn)，求陰影部分的面積.H

4、為AD邊上任意一點(diǎn)，問陰影部分面積是多DG【例5】長(zhǎng)方形ABCD的面積為36 cm2 , E、F、G為各邊屮點(diǎn),H為AD邊上任意一點(diǎn)，問陰影部分面積是【例6】長(zhǎng)方形ABCD的面積為 36, E、F、G為各邊屮點(diǎn),page 2 of 182三角形等高模型與鳥頭模型題庫(kù)vro 可編粧可»改3三角形等高模型與鳥頭模型 題庫(kù)Page 4 of 18【例7 如右圖,在E面積的幾倍AD ADBC AD 12厘米.求三角形DE 3的面積是三角形ABCEBCCF、BF那么BEC等積的三角形一共有【解析】【例9】哪幾個(gè)三角形AEC、AA（第四屆”迎春杯”試題A）如圖，三角形 ABC的面積為1,其屮AE

5、 3AB ,BD 2BC ,三角形BDE的面積是多少ADAE平方厘米【例10】（2008年四屮考題）如右圖,已知陰影部分面積為5平方厘米，EF FCABC的面積是【例門】 如圖ABCD分別是它們所在邊的屮點(diǎn).如果長(zhǎng)方形的面積是 36個(gè)平GVI .0町編甥可改方單位，求三角形 EFG的面積是多少個(gè)平方單位.C9三角形等高模型與鳥頭模型 題庫(kù)Page 8 of 18【例12 如圖，大長(zhǎng)方形由面積是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四個(gè)小長(zhǎng)方形組合而成.求陰影部分的面積.【例13】 如圖，三角形 ABC屮，DC 2BD , CE 3AE ,三角形ADE的面積是20平方厘米，三角

6、形ABC的面積是多少【例14】（2009年第七屆”希望杯”二試六年級(jí)）如圖，在三角形ABC中，已知三角形ADE、三角形DCE、三角形BCD的面積分別是89, 28, 26.那么三角形DBE的面積是【例15 （第四屆小數(shù)報(bào)數(shù)學(xué)競(jìng)賽）如圖，梯形ABCD被它的一條對(duì)角線 BD分成了兩部分.三角形BDC15分米，它們的的面積比三角形 ABD的面積大10平方分米.已知梯形的上底與下底的長(zhǎng)度Z和是差是5分米.求梯形 ABCD的面積.【例16】 圖屮aAOB的面積為15cmJ 線段OB的長(zhǎng)度為0D的3倍，求梯形ABCD的而積.【例17 如圖，把四邊形 ABCD改成一個(gè)等積的三角形.【例18】（第三屆“華杯賽

7、”初賽試題）一個(gè)長(zhǎng)方形分成4個(gè)不同的三角形，綠色三角形面積占長(zhǎng)方形面積的15%,黃色三角形面積是 21 cm2.問：長(zhǎng)方形的面積是多少平方厘米【例19】【例20 如右圖，過平行四邊形 ABCD內(nèi)的一點(diǎn)P作邊的平行線EF、GH ,若PBD的面積為8平方分米，求平行四邊形 PHCF的面積比平行四邊形 PGAE的面積大多少平方分米0是長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，已知OBC的面積是5cm 2, OAB的面積是Zcm?,求 OBD的面積是多少V1.0町編甥可改【例21】如右圖，正方形 ABCD的面積是20,正三角形 BPC的面積是15,求陰影 BPD的面積.C6三角形等高模型與鳥頭模型題庫(kù)Page 9 of

8、18【例22 在長(zhǎng)方形 ABCD內(nèi)部有一點(diǎn)0,形成等腰 AOB的面積為16,等腰 DOC的面積占長(zhǎng)方形面積的18% ,那么陰影 AOC的面積是多少【例23】（2008年“陳省身杯”國(guó)際青少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽六年級(jí)）如右圖所示，在梯形ABCD 中，E、F分別是其兩腰 AB、CD的屮點(diǎn)，G是EF上的任意一點(diǎn)， 已知ADG的面積為15cm ，而BCG的面積恰好是梯形 ABCD面積的丄20則梯形 ABCD的面積是cm"【例24】如圖所示，四邊形 ABCD與AEGF都是平行四邊形，請(qǐng)你證明它們的面積相等.【例25】 如圖，正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為& AE , CF 2.長(zhǎng)方形EFGH的面積為

9、VI .0町«可»改G【例26】 如圖，ABCD為平行四邊形, 米.求三角形CDF的面積.EF平行AC,姒果ADE的面積為4平方厘【例27】圖屮兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別是6厘米和4厘米，則圖中陰影部分三角形的面積是多少平方厘米.【例28】 如圖，有三個(gè)正方形的頂點(diǎn)D、G、K恰好在同一條直線上，其屮正方形GFEB的邊長(zhǎng)為10厘米，求陰影部分的面積K8三角形等高模型與鳥頭模型題庫(kù)Page 13 of 18【例29】（2008年”華杯賽”決賽）右圖屮，ABCD和CGEF是兩個(gè)正方形，AG和CF相交于H ,已知CH等于CF的三分之一，三角形 CHG的面積等于6平方厘米，求五邊形 ABG

10、EF的面積.【例30 （第八屆小數(shù)報(bào)數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽試題）如下圖，E、F分別是梯形ABCD的下底BC和腰CD求圖點(diǎn)，DF FC,并且甲、乙、丙 3個(gè)三角形面積相等.已知梯形ABCD的面積是32平方厘米.屮陰影部分的面積.那么【例31】 如圖，已知長(zhǎng)方形 ADEF的面積16 ,三角形ADB的面積是3 ,三角形ACF的面積是4 ,三角形ABC的面積是多少【例32】 如圖，在平行四邊形 ABCD屮，BE EC , CF 2FD .求陰影面積與空白面積的比.【例33】（第七屆”小機(jī)靈杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽五年級(jí)復(fù)賽）如圖所示，三角形 ABC中,D是AB邊的屮點(diǎn)，E是AC邊上的一點(diǎn)，且AE 3EC , 0為DC與BE

11、的交點(diǎn).若CEO的面積為a平方厘米,BDO的面積為b平方厘米.且 b a是25平方厘米，那么三角形 ABC的面積是平方厘米.VI .0町編甥可改【例34】 如圖，在梯形ABCD屮，AD:BE 4:3, BE : EC 2:3 ,且 BOE的面積比 AOD的面積小10平方厘米.梯形 ABCD的面積是平方厘米.【例35 如右圖所示，在長(zhǎng)方形內(nèi)畫出一些直線，已知邊上有三塊面積分別是13 , 35 , 49.那么圖中陰影部分的面積是多少【例36 圖屮是一個(gè)各條邊分別為 5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形.將它的短直角邊對(duì)折到斜邊上去與斜邊相重合，那么圖屮的陰影部分（即未被蓋住的部分）的面積是多少平

12、方厘米9三角形等高模型與鳥頭模型 題庫(kù)Page 14 of 18【例37 如圖，長(zhǎng)方形 ABCD的面積是2平方厘米，EC 2DE , F是DG的屮點(diǎn).陰影部分的面積是多少平方厘米C【例38 （2007年六年級(jí)希望杯二試試題 ）如圖，三角形田地屮有兩條小路AE和CF ,交叉處為D ,張VI .0町«可»改大伯常走這兩條小路他知道DF DC 日AD 2DE M 兩塊地ACF和CFB的面積比旱【例39】（2008年第一屆”學(xué)而思杯”綜合素質(zhì)測(cè)評(píng)六年級(jí)AB2試）如圖，BC 45 ,AC 21, ABC 被分11三角形等高模型與鳥頭模型題庫(kù)page 18 of 18成9個(gè)面積相等的小

13、三角形，那么DI FK【解析】由題意DI : DCS DIFDIFK【例40】AEHJ可知,所:S dfC 2 ；5，所以DI2DC5以BDBC 10，CD同樣分析可得BCFKBD1035 ；又14 10 24 M分別為直角梯形ABCD兩邊上的點(diǎn)，且DQ、CP、ME彼此平行,EB 3 .求陰影部分的面積若ADBC 7,【例41】（2007年人大附屮分班考試題 ）已知ABC為等邊三角形，面積為400, D、E、F分別為三邊的中點(diǎn)，已知甲、乙、丙面積和為 143,求陰影五邊形的面積-（丙是三角形HBC）【例42】（2009年四屮入學(xué)測(cè)試題）如圖，已知CD5, DE 7, EF15 , FG 6 ,

14、線段AB將圖形分成兩部分，左邊部分面積是38,右邊部分面積是65,那么三角形ADG的面積是GG【例43 （2008年仁華考題）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為10,四邊形EFGH的面積為 5,那么陰影部分的面積【例44】（2008年走美六年級(jí)初賽）如圖所示，長(zhǎng)方形 ABCD內(nèi)的陰影部分的面積Z和為70, AB 8,AD15 ,四邊形EFGO的面積為【例45 （清華附屮分班考試題）如圖，如果長(zhǎng)方形 ABCD的面積是56平方厘米，那么四邊形MNPQ的面積是多少平方厘米V1.0町編甥可改【例46】（2008年日本第12屆小學(xué)算術(shù)奧林匹克大賽初賽）如圖，陰影部分四邊形的外接圖形是邊長(zhǎng)為Wcm的正方形，則陰影部分四

15、邊形的面積是【例47】 如圖，三角形 AEF的面積是17, DE、BF的長(zhǎng)度分別為11、3.求長(zhǎng)方形 ABCD的面積.12三角形等高模型與鳥頭模型題庫(kù)page 20 of 18）如圖，長(zhǎng)方形 ABCD屮，AB 67,【例48】（2008年第二屆兩岸四地華羅庚金杯數(shù)學(xué)精英邀請(qǐng)賽BC 30. E、F分別是AB、BC邊上的兩點(diǎn)，BE BF49 .那么，三角形DEF面積的最小值12的正方形，如圖所示， P是內(nèi)部任意【例49】（2007首屆全國(guó)資優(yōu)生思維能力測(cè)試）ABCD是邊長(zhǎng)為一點(diǎn),BL DM 4、BKDN 5 ,那么陰影部分的面積是VI .0可徧5«可»改13三角形等高模型與鳥頭

16、模型題庫(kù)page 22 of 18邊形PQRS的面積之比.【例51】BG : GH :AH 3:2:1 ,AD :BC 1:2 ,已知四邊形ABCD的面積等于 4,則四邊形EFHG的面積EfC【拓展】如圖，對(duì)于任意四邊形ABCD,通過各邊三等分點(diǎn)的相應(yīng)連線，得到屮間四邊形EFGH ,求四邊形EFGH的面積是四邊形ABCD的幾分之幾【例52】(2008NBC、CA的正屮間分PM 和 QN、這時(shí)，三角形BQ【例53】 如圖:已知在梯形角形BMF、ABCD屮，上底是下底的三角形NFC的面積分別為14、20.【例54 如圖，已知ABCD 是梯形，AD BC , AD : BC其中 F是BC邊上任意一點(diǎn)

17、,求三角形NDE的面積1:2, S AOF : S doe 1:3, S BEF三角形別取點(diǎn)L、M、N ,在訕AL、BM、CN卜分別取點(diǎn)P、Q、R ,伸LP MQ NR ,當(dāng)PM和RL、QN和RL的相交點(diǎn)分別是X、Y、Z時(shí)，使XY XL.XYZ的面積是三角形 ABC的面積的幾分之幾請(qǐng)寫出思考過程.AOF的面積.O【例55】的屮點(diǎn)-如（2009年迎春杯決賽高年級(jí)組） 如圖，是一個(gè)四邊形，、 分別是 、ABCDM NAB CD果 ASM、 MTB與DSN的面積分別是6、7和8,且圖中所有三角形的面積均為整數(shù)，則四邊形ABCD的面積為page 14 of 1814三角形等高模型與鳥頭模型題庫(kù)VI .

18、0町«可»改15三角形等高模型與鳥頭模型題庫(kù)page 15 of 18板塊二鳥頭模型兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ), 這兩個(gè)三角形叫做共角三角形.共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角（相等角或互補(bǔ)角）兩夾邊的乘積之比.E在AC上），【例56】 如圖在ABC屮，D, E分別是AB, AC 上的點(diǎn)，且AD ： AB 2:5 ,AE : AC 4:7 , Sa ADE 16如圖在ABC屮，D,E分別是AB , AC上的點(diǎn)如圖（或D在BA的延長(zhǎng)線上,則 Sa ABC : Sa ADE (AB AC ) : ( AD AE )平方厘米，求 ABC的面積【例57】 如圖在ABC屮，D在BA的延長(zhǎng)線上，E在AC上，且AB : ADAE : EC 3: 2 , Sa ADE 12平方厘米，求ABC的面積.【例58】 如圖所示，在平行四邊形 ABCD屮，E為AB的屮點(diǎn)，AF 2CF，三角形AFE（圖中陰影部分）的面積為8平方厘米.平行四邊形的面積是多少平方厘米【例59】 已知 DEF的面積為7平方厘米，BE CE, AD 2BD ,CF 3AF ,求 ABC的面積.BDE的【例60】 如圖，三角形 ABC的面積為3平方厘米，其屮 AB:BE 2:5 , BC : CD 3:2,三角形面積是多少【例61】（2007年”走美”五年級(jí)初賽試題