數(shù)列求和常見的種方法

1、數(shù)列求和的基本方法和技巧一、總論：數(shù)列求和7種方法：利用等差、等比數(shù)列求和公式錯(cuò)位相減法求和反序相加法求和分組相加法求和裂項(xiàng)消去法求和分段求和法（合并法求和） 利用數(shù)列通項(xiàng)法求和二、等差數(shù)列求和的方法是逆序相加法，等比數(shù)列的求和方法是錯(cuò)位相減 法，三、逆序相加法、錯(cuò)位相減法是數(shù)列求和的二個(gè)基本方法。數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).在高考和各種數(shù)學(xué)競賽中都占有重要的地位.數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有 求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧.下面，就幾個(gè)歷屆高考數(shù)學(xué)和數(shù) 學(xué)競賽試題來談?wù)剶?shù)列求和的基本方法和技巧、利用常用求和公式求和利用下列常用求和

2、公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法1、等差數(shù)列求和公式：Sn =n（a1 F = na1 +血衛(wèi)d2 2(q=1)2、等比數(shù)列求和公式：sn = 21（1 -qn） a1 -anqL 1-q1-q(qH1)3、Sn1n(n+1)kz12、Sn =送 k-n(n +1)(2n+1)k=165、n 1S%krn(n+1)2例 1已知 log 3 X =1log 2 3求 X + x2 +x3 +xn +的前n項(xiàng)和.解：由 log 3 X =二log 2 31log3 X = Tog3 2= x =-由等比數(shù)列求和公式得23nSn=X+X +X +X（利用常用公式）1 11-X_ x(1-xn)

3、 _ 2(2n) _ 1 1 h _1 戸2的最大值.例 2設(shè) S= 1+2+3+n, n N；求 f(n)=(n + 32)Sn 卡用公式）解：由等差數(shù)列求和公式得1Sn=2n(n+1)，Sn（利用常f(n2d2 _ .34641 _ 164/8 2n+34 + ( Jn-)+50nVn50當(dāng)仁士，即 n_ 8 時(shí)，f（n）ma50二、錯(cuò)位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列an bn的前n項(xiàng)和，其中an 、 b n 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例 3求和：Sn =1+3x+5X2 +7X3 + 中（2n- 1）xn解：由題可知，（2n-1）x

4、2的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n 1的通項(xiàng)與等比數(shù)列n_4 IX 的通項(xiàng)之積設(shè) xSn =1x +3x2 +5x3 +7x4 + + (2門 _用（設(shè)制錯(cuò)位）一得 (1-x)Sn =1+2x+2x2+2x3+2x4+ +2x2(2 門_ i)Xn（錯(cuò)位相減）4n -1再利用等比數(shù)列的求和公式得：（1-x）Sn =1+2x匚-（2 n-1）xn1 -X。(2n- 1)xn* -(2n+ 1)xn + (1 + x)(1-X)2Sn =例4求數(shù)列|,A,|3,罟，前n項(xiàng)的和.解：由題可知，繹的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n的通項(xiàng)與等比數(shù)列!的通項(xiàng)之積2 22n設(shè) Sn =? +丄 + n2 2 2 22462n+ +

5、+ +23 24+2n +（設(shè)制錯(cuò)位）一得(2)Sn= 2 + 2亠22 22 23 24 2n2 2n（錯(cuò)位相減）Snn +2=4-尹三、反序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法,就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)（a+an）.例 5求證：Cn* +3C1 + 5C： + + (2n+ 1)C；=( n+ 1)2n.證明： 設(shè) Sn =C： +3cn +5C； + +(2n +1)Cnn把式右邊倒轉(zhuǎn)過來得Sn =(2n +1)Cnn +(2n-1)C：4 + +3（反序）Sn(2n +1)Cn+(2 n-1)cn + +3Cn +cn.+得

6、2SnnJn=(2 n+2)(C； +C1 + +CT+C；：) =2( n+1)”2n（反序相加）Sn=(n +1)公例 6求 sin21 +sin22 +sin23 +sin2 88 +sin289 的值解：設(shè) S =sin 2r + sin22+sin23+ +sin2 88 + sin289將式右邊反序得2勺202 勺2 它2S =sin 89 +sin 88 + ”+sin 3 + sin 2 +sin 1（反序）又因?yàn)?sin X =cos(90-x),sin2x+ cos2x=1（反序相加）202 竊20202百2百亠亠2S=(sin 1 +cos 1 )+(sin 2 + co

7、s 2 )+ +(sin 89 +cos 89 ) = 89 S = 44.5已知函數(shù)(1)證明：/（+人1-力二1 ；(2)爬卜遵卜打三+/丄IW丿110丿解:（1）先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對函數(shù)化簡，后證明左邊二右邊(2)利用第（1）小題已經(jīng)證明的結(jié)論可知,兩式相加得:2S = 9x y +/I 110 丿=9所以二I.+丄練習(xí)、求值： 3+仃+尹廚+齊正+亍吋四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆幵，可分 為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可例 7求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和：1 +1,- +4*3 n-2，a aa1 1 1解：設(shè) Sn

8、=(1 +1) +(+4) +(飛 +7) + +3n -2)aaa將其每一項(xiàng)拆幵再重新組合得+1) +(1 + 4 + 7 +3n 2) a（分組）當(dāng)a= 1時(shí)，Sn(3n-1) n (3n +1) n=n +=2 2（分組求和）當(dāng)aHl時(shí)，&+ (3n 1)n = a a12a-1+(3 n-1)n2例8求數(shù)列n（n+1）（2n+1）的前n項(xiàng)和.解：設(shè) ak =k(k +1)(2k +1) =2k3 + 3k2 +knnSn =2： k(k +1)(2k +1) = Z (2k3+3k2 +k)k壬km將其每一項(xiàng)拆幵再重新組合得（分組）n2 藝 k3Zk 二kvnk2+5： kk 二=2(

9、13 + Z3 + ” 十 n3) +3(12 +22 + + n2)十(1 + 2 + ”十 n)n2( n+1)2十 n(n +1)(2n+1)十 n(n +1)2 2（分組求和）n(n +1)2( n +2)五、裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng).通項(xiàng)分解（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的（裂項(xiàng)）如：1an=f (n +1) _ f (n)sin 1；5 = tan(n +1) -tanncos n cos(n +1)anann(n +1)n +1(4) an =(2n)2(2n-1)(2 n+1)小爲(wèi)n1 2n

10、+1n(n1)(n+2)Vn(n+1)(n+1)(n+2)n +2ann(n+1) 2n2(n +1)-nn(n +1)2nnA(n+1)2，則Sn=1 -(n + 1)2n(7)an(An +B)(A n+C) C-B(A n+B An+Can例9品 n+1求數(shù)列（裂項(xiàng)）項(xiàng)求和）例 10項(xiàng)的和.（裂項(xiàng)）1 +73的前n項(xiàng)和.=(72-71)+(73-72)= 7-1在數(shù)列an中,解:anann+1n+1an=Jn+1一 Jnn+1（裂+(Jn +1 - J n)n+1，又bnan“a n十,求數(shù)列bn的前n+1bn =n n +121= 8(-=0數(shù)列b n的前n項(xiàng)和)n n +1（裂項(xiàng)Sn

11、 =8(1) + (3122334求和）1=8(1 苗8nn+1例 11求證：COS0 Js cos1Js2 0cos1NN2cos88 cos89 sin 1解:+COS0 cosV cos1 cos2+COS88 COS89sin1 = tan(n+1) -tanncos n cos(n+1)（裂項(xiàng)）+cos0 cos1 cos1 cos2+COS88 COS89（裂項(xiàng)求和）1 (tan 1 Q_tan 0 ) + (tan2 tan1 J + (tan3Q tan2)+ tan 89_tan88 sin 1 -(tan89-tanO ) = cotf = COS1sin1si n1sin

12、 1原等式成立答案.223挖+ 2科+ 3丿六、分段求和法（合并法求和）針對一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求S.例 12求 cos1 + cos2 + cos3 + + COS178 + cos179。的值.解：設(shè)S= cos1 + cos2 + cos3 + + cos178 + cos179 cos n = cos(180 一 n（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）(cos1 + COS179 )+( cos2 + cos178 )+ ( cos3 + cos177)+ -+( cos89+ cos91+ cos90（合并求和）例

13、 13數(shù)列3 n : 31 =1,32 =3,33 =2,3計(jì)=3n出3n，求 S2002.解：設(shè)S2002 = 31 + 32 + 33 + 3200231 二1, 32 =3, 33 =2, 3nH2 =3n+3n 可得36k+ +36k42 中361卡+36144 +36k 書 +36k 書=0（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）S200231 + 32 + 33 + + 3 2002（合并求和）=(ai +32 +33 + 36)+(37 +38+ -312)+ ”+(36kH1 +36k書+M36k 書) 31999 + 32000 + 32001 十 3200236k + +36k42 +36k43

14、+36k+4例14在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若3536 =9,求log 3 34 + log 3 32 + log 3 310的解軍：設(shè) Sn =log3ai +log3 32 + Mlog3 印。由等比數(shù)列的性質(zhì) m+n = p+q= 3m33 p3q殊性質(zhì)項(xiàng)）和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)logaM +logaN =logaM N 得（找特（合并求S(log 3 3log3 310(log 3 3 log 3 39 -+(log 3 35 中 logs as)和）(log 3 *1 810 ) + (log 3*2 9) + f + (log 3 a5 6 )=log 3 9 +1003 9 + .+

15、 log3 9七、利用數(shù)列的通項(xiàng)求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法.例 15求 1+11+111 + +11丄二1 之和.n個(gè)11 1解：由于I1?*警于9=9（10k_1）（找通項(xiàng)及特征）1+11+111 +111 17n個(gè)1111 1=一仆。1 -1) +-(102 -1) +-(103 -1) +.+ -(10n -1)9999（分組求和）11=(101 中102 +103 + +10n)- (ht1LL21)99n個(gè) 1_ 1 10(10 -1) n910-19=丄(10n+ _10 -9n)81例 16C已知數(shù)列an : an =8,求送(n + 1)(an a.十)的值.(n +1) (n +3) nrn解：,(n+1)(an-an 8(n+1)(n+1)(n+3)(n+2)(n + 4)（找通項(xiàng)及特征）(n +2)( n + 4) (n + 3)( n+4)（設(shè)制分組）1（裂項(xiàng)）1 1 +8(n + 3 n-丄)+8(丄n4 n+2 n + 4n+3 n + 4（分組、裂項(xiàng)求CoC 12 (n+ 1)(an -and =4W (n 4和）111=4一 + ) + 8 ”一3 44=133提高練習(xí)：1.已知數(shù)列設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列中，Sn是其