理解練習(xí)知識題及參備考資料答案解析

1、第四章靜態(tài)場的解練習(xí)題垃(120)1、設(shè)點電荷q位于金屬直角劈上方，其坐標(biāo)如右圖所示,（1 ） 畫出鏡像電荷所在的位置（2） 直角劈內(nèi)任意一點（X, y,z）處的電位表達(dá)式/q*;JZ* g ”冷(12Q)/ / HP丄丿(-1-2,0)(1-2,0)q* q圖1卜1解：（1）鏡像電荷所在的位置如圖 1所示。（2）如圖2所示任一點（X, y, z）處的電位為1V X1 2y2 22 z2J X12y222 z3J x12y222 z4J X12y222 z其中,2、兩個點電荷 Q和 Q位于半徑為a的接地導(dǎo)體球的直徑延長線上，距球心均為2a3Qd2。d。證明鏡像電荷構(gòu)成一位于球心的電偶極子，且偶

2、極矩大小為證明：由點電荷的球面鏡像法知，+ Q和一Q的鏡像電荷Q,Q分別位于球內(nèi)+ Q和一2aaQ連線上大小分別為Q，且分別距球心為 （分別位于球心兩側(cè)）。可見Q ,Q構(gòu)DD成電偶極子，由電偶極距的定義式得偶極距的大小為:aa2 2a 3Qp ql Q 2。結(jié)論得證。DDD3、已知一個半徑為 a的接地導(dǎo)體球，球外一個點電荷q位于距球心0為d處。利用鏡像法求球外空間任意點的電位分布。解：由點電荷的球面鏡像法可知，q的像電荷q必定位于球內(nèi)，且在 q與球心0連線上,位置在距離球心設(shè)為 f處。建立直角坐標(biāo)系，由邊界條件（球）=0可取球面上兩個特殊點A, B討論。A, B是q與球心0連線所對應(yīng)的直徑與球

3、面的兩個交點。由圖示及點電荷的電位公式得:解此方程組得:所以任意場點(A)(B)a dq，fP（x, y）處的電位為:40(d a)q0(da)qo(a f)其中r,r分別是點電荷q和q 到場點q4 orOorP的距離。值分別為 r (X d)2y212,r (x f)2y2%。處有一點電荷q，用鏡像法計算4、半徑為a的不接地導(dǎo)體球附近距球心0為d（ d a）球外任一點的電位。解：由點電荷的球面鏡像法可知,q的像電荷除了有 q（即導(dǎo)體球接地時對應(yīng)的結(jié)果,2aaq -q，其位置為f ），還在球心處有另外一個鏡像電荷q，以保證導(dǎo)體球面電dd勢不為零的邊界條件成立，且可知q所以任意場點P處的電位為:

4、其中r,r,r分別是點電荷q、q4 0rq4 0rq和q到場點P的距離（可在具體坐標(biāo)系中表示出來）。5、接地?zé)o限大導(dǎo)體平面上半空間有一點電荷，電荷量為距導(dǎo)體平面為 h。（1 ）導(dǎo)出電位函數(shù)滿足的方程并應(yīng)用鏡像法求出位函數(shù)的解。（2 ）求導(dǎo)體表面上感應(yīng)面電荷密度，并證明總感應(yīng)電荷為-解：（1 ）由題意知，導(dǎo)體平面上半空間無點電荷體分布，即0。故電位函數(shù)滿足拉普拉斯方程 20。建立坐標(biāo)系，令z 0為導(dǎo)體平面，已知點電荷位于z軸上，坐標(biāo)為（0 ,0, h ）。邊界條件為:（）0, （Z 0）0。則鏡像電荷位于 z軸上（0, 0, h ）點，大小為-1.于是空間任意場點 P【坐標(biāo)為（x,y,z）,】的

5、電位為已知點電荷1與鏡像電荷-1共同產(chǎn)生的，其值為14 0r 4 /。其中r，r是場點分別到已知點電荷1與鏡像電荷-1的距離，其值分別為r2x2 y2 (z h)2,rx2y2 (z h)2。（2）證明:由上題電位值可計算出P點的電場強(qiáng)度各分量的值份分別為-(+-),Ey-(40 r r40 r-(0由靜電場的邊界條件Dn s可得導(dǎo)體電荷面密度為：s0EZ2 (x2 y2h2)22所以導(dǎo)體表面上總感應(yīng)電荷為:sdsdxdy(x2 y2 h2*2結(jié)論得證。6、如題圖（a ）所示，在z 0的下半空間是介電常數(shù)為的介質(zhì)，上半空間為空氣，距離介質(zhì)平面距為h處有一點電荷q。求（1） z 0和z 0的兩個

6、半空間內(nèi)的電位;（2）介質(zhì)表面的極化電荷密度，并證明表面上極化電荷總電量等于鏡像電荷 q。0 tzqpo題 4.24圖（a）1p n? R Rz 00 (EjzE2Z)z 0解：（1）在點電荷q的電場作用下，介質(zhì)分界面上出現(xiàn)極化電荷，利用鏡像電荷 替代介質(zhì)分界面上的極化電荷。根據(jù)鏡像法可知，鏡像電荷分布為（如題圖 （b）、（c）所示）-q，0位于 z h0-q，0位于 z h上半空間內(nèi)的電位由點電荷q和鏡像電荷q共同產(chǎn)生，即q q14 0R 4 0R下半空間內(nèi)的電位由點電荷q和鏡像電荷q共同產(chǎn)生，即q q qR224R22 (0)Jr2(z h)2（2 ）由于分界面上無自由電荷分布，故極化電荷

7、面密度為極化電荷總電量為0（z丄)z(0)hqz772 I 2 322 (0)(r h )3qppdSSp2 rdr(0)hq r dr z 2- 232 dr0 0(r h )(0)q7、如圖示，一個半徑為R的導(dǎo)體球帶有電荷量為Q ,在球體外距離球心為D處有一個點Q（1）求點電荷q與導(dǎo)體球之間的靜電力;電荷q。（2）證明當(dāng)q與Q同號，且Q RD3 d (D2 R2)2成立時，F(xiàn)表現(xiàn)為吸引力。解：（1）導(dǎo)體球上除帶有電荷量Q之外，點電荷q還要在導(dǎo)體球上感應(yīng)出等量異號的兩種不同電荷。根據(jù)鏡像法，像電荷q和q的大小和位置分別為（如題圖所示）R ,Dq，d導(dǎo)體球自身所帶的電荷Q則與位于球心的點電荷Q

8、等效。故點電荷q受到的靜電力為F Fq q Fqqq4 0(D d)q FQ q_ q(D q)24 0D2q Q (RD)qRq4 0 DD D RDf(2)當(dāng)q與Q同號，且F表現(xiàn)為吸引力，即F 0時，貝U應(yīng)有Q (RD)qD2Rq2 02 2D D RD由此可得出Q RD3G (D2 R2)28、已知一點電荷q與無窮大導(dǎo)體平面相距為h，若把它移動到無窮遠(yuǎn)處需要作多少功?解：建立一維直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點位于無窮大導(dǎo)體平面上。令已知點電荷q位于坐標(biāo)軸上，距坐標(biāo)原點為h。直接計算電場力做功為W qE ?dl其中電場是已知點電荷q所在空間的電場(由q以外的電荷所激發(fā))，即鏡像電荷q在此空間產(chǎn)生的電

9、場:；ey則要求的功為W qE?dl qEdy2q16 oh可見，電場力做負(fù)功，則外力克服電場力做功為q216 oh9、無限大導(dǎo)體平面上方有一電荷線密度為i的長直線電荷，電荷線與導(dǎo)體平面的距離為h，求此電荷線單位長度所受的力。l的鏡像電荷為線解：由于連續(xù)分布的線電荷位于無限大的導(dǎo)體平面附近時，根據(jù)疊加原理可知, 同樣可以應(yīng)用點電荷的平面鏡像法求解。因此，長直線電荷密度為|，距離導(dǎo)體平面為h的電荷。已知線電荷|所受的力即鏡像電荷i在此空間產(chǎn)生的電場E所施加。其電場為則長度為L的線電荷（總電荷QiL ）所受的電場力為F QE |L2 n 0（2h）|2L4 n oh故單位長度所受的力為:10、一導(dǎo)

10、體長槽兩側(cè)壁向y方向無限延伸且電位為零，槽底面電位為 U0，如圖所示。求槽橫截面內(nèi)的電位分布。解：由于所求區(qū)域無源，且為二維場，電位函數(shù)x,y滿足的拉普拉斯方程為:22x，y文邊界條件為:U。利用分離變量法，令：x,y f x g y則得:U=Q0d2f dx2 d2g dy2 k；kifk/gk2根據(jù)邊界條件0， x,y的通解可寫為:x, yAnSinx any a再由邊界條件,可得y 0AnSin nn 1x U0 a利用三角函數(shù)的正交歸一性，求得An為:n 1,3,5則得槽內(nèi)的電位分布為x,y叫nn 1,3,5. nx a11、如圖所示為一長方形截面的導(dǎo)體槽，槽可視為無限長，其上有一塊與槽相絕緣的蓋板，槽的電位為零，上邊蓋板的電位為 u。，求槽內(nèi)的電位函數(shù)。解：根據(jù)題意，電位（xy）滿足的邊界條件為(0, y)(a, y) 01(x,0)(x, b)Uo根據(jù)條件和，電位(x,y)的通解應(yīng)取為(x, y)AnSinh( n-y)sin( n-x)n 1aa由條件，有UoAnsinh( n-b)sin( n-x)n 1aa利用三角函數(shù)的正交歸一性,兩邊同乘以sin(n x/a)，并