同濟六版七版高等數(shù)學ppt課件

1、一、根本概念一、根本概念1.1.集合集合: :具有某種特定性質(zhì)的事物的總體具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.組成這個集合的事物稱為該集合的元素組成這個集合的事物稱為該集合的元素.,21naaaA 所具有的特征所具有的特征xxM 有限集有限集無限集無限集,Ma ,Ma .,的的子子集集是是就就說說則則必必若若BABxAx .BA 記作記作數(shù)集分類數(shù)集分類:N-自然數(shù)集自然數(shù)集Z-整數(shù)集整數(shù)集Q-有理數(shù)集有理數(shù)集R-實數(shù)集實數(shù)集數(shù)集間的關(guān)系數(shù)集間的關(guān)系:.,RQQZZN .,相相等等與與就就稱稱集集合合且且若若BAABBA )(BA ,2 , 1 A例如例如,0232 xxxC.CA 則則不含任何元素

2、的集合稱為空集不含任何元素的集合稱為空集.)(記記作作例如例如,01,2 xRxx規(guī)定規(guī)定 空集為任何集合的子集空集為任何集合的子集.2.2.區(qū)間區(qū)間: :是指介于某兩個實數(shù)之間的全體實數(shù)是指介于某兩個實數(shù)之間的全體實數(shù).這兩個實數(shù)叫做區(qū)間的端點這兩個實數(shù)叫做區(qū)間的端點.,baRba 且且bxax 稱為開區(qū)間稱為開區(qū)間,),(ba記作記作bxax 稱為閉區(qū)間稱為閉區(qū)間,ba記記作作oxaboxabbxax bxax 稱為半開區(qū)間稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間稱為半開區(qū)間,),ba記作記作,(ba記記作作),xaxa ),(bxxb oxaoxb有限區(qū)間有限區(qū)間無限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長度的定義區(qū)間長度

3、的定義: :兩端點間的間隔兩端點間的間隔(線段的長度線段的長度)稱為區(qū)間的長度稱為區(qū)間的長度.3.3.鄰域鄰域: :. 0, 且且是兩個實數(shù)是兩個實數(shù)與與設設a).(0aU 記記作作,叫做這鄰域的中心叫做這鄰域的中心點點a.叫做這鄰域的半徑叫做這鄰域的半徑 . )( axaxaUxa a a ,鄰域鄰域的去心的的去心的點點 a. 0)( axxaU,鄰鄰域域的的稱稱為為點點數(shù)數(shù)集集 aaxx 4.4.常量與變量常量與變量: : 在某過程中數(shù)值堅持不變的量稱為常量在某過程中數(shù)值堅持不變的量稱為常量,留意留意常量與變量是相對常量與變量是相對“過程而言的過程而言的.通常用字母通常用字母a, b, c

4、等表示常量等表示常量,而數(shù)值變化的量稱為變量而數(shù)值變化的量稱為變量.常量與變量的表示方法：常量與變量的表示方法：用字母用字母x, y, t等表示變量等表示變量.5.5.絕對值絕對值: : 00aaaaa)0( a運算性質(zhì)運算性質(zhì):;baab ;baba .bababa )0( aax;axa )0( aax;axax 或或絕對值不等式絕對值不等式:因變量因變量自變量自變量.)(,000處處的的函函數(shù)數(shù)值值為為函函數(shù)數(shù)在在點點稱稱時時當當xxfDx .),(稱稱為為函函數(shù)數(shù)的的值值域域函函數(shù)數(shù)值值全全體體組組成成的的數(shù)數(shù)集集DxxfyyW 定定義義 設設x和和y是是兩兩個個變變量量, ,D是是一

5、一個個給給定定的的數(shù)數(shù)集集，數(shù)集數(shù)集D叫做這個函數(shù)的定義域叫做這個函數(shù)的定義域)(xfy 如如果果對對于于每每個個數(shù)數(shù)Dx ,二、函數(shù)概念二、函數(shù)概念()0 x)(0 xf自變量自變量因變量因變量對應法那對應法那么么f函數(shù)的兩要素函數(shù)的兩要素: : 定義域與對應法那么定義域與對應法那么.xyDW商定商定: 定義域是自變量所能取的使算式有意義定義域是自變量所能取的使算式有意義的一真實數(shù)值的一真實數(shù)值.21xy 例例如如， 1 , 1 : D211xy 例例如如，)1 , 1(: D定義定義: :.)(),(),(的的圖圖形形函函數(shù)數(shù)稱稱為為點點集集xfyDxxfyyxC oxy),(yxxyWD

6、 假設自變量在定假設自變量在定義域內(nèi)任取一個數(shù)值義域內(nèi)任取一個數(shù)值時，對應的函數(shù)值總時，對應的函數(shù)值總是只需一個，這種函是只需一個，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否數(shù)叫做單值函數(shù)，否那么叫與多值函數(shù)那么叫與多值函數(shù)例例如如，222ayx (1) 符號函數(shù)符號函數(shù) 010001sgnxxxxy當當當當當當幾個特殊的函數(shù)舉例幾個特殊的函數(shù)舉例1-1xyoxxx sgn(2) 取整函數(shù)取整函數(shù) y=xx表示不超越表示不超越 的最大的最大整數(shù)整數(shù) 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo階梯曲線階梯曲線x 是無理數(shù)時是無理數(shù)時當當是有理數(shù)時是有理數(shù)時當當xxxDy01

7、)(有理數(shù)點有理數(shù)點無理數(shù)點無理數(shù)點1xyo(3) 狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù)(4) 取最值函數(shù)取最值函數(shù))(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg 0, 10, 12)(,2xxxxxf例例如如12 xy12 xy在自變量的不同變化范圍中在自變量的不同變化范圍中, 對應法那么用不同對應法那么用不同的的式子來表示的函數(shù)式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù)稱為分段函數(shù).例例1 1脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個單三角脈沖脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個單三角脈沖,其波形如下其波形如下圖圖,寫出電壓寫出電壓U與時間與時間 的函數(shù)關(guān)系式的函數(shù)關(guān)系式.)0( tt解解UtoE),

8、2(E )0 ,( 2 ,2, 0時時當當 ttEU2 ;2tE 單三角脈沖信號的電壓單三角脈沖信號的電壓,2(時時當當 t),(200 tEU)(2 tEU即即,),(時時當當 t. 0 U其表達式為其表達式為是一個分段函數(shù)是一個分段函數(shù),)(tUU ),(, 0,2(),(22, 0,2)(tttEttEtUUtoE),2(E )0 ,( 2 例例2 2.)3(,212101)(的的定定義義域域求求函函數(shù)數(shù)設設 xfxxxf解解 23121301)3(xxxf 212101)(xxxf 122231xx1, 3 : fD故故三、函數(shù)的特性三、函數(shù)的特性M-Myxoy=f(x)X有界有界無界

9、無界M-MyxoX0 x,)(, 0,成成立立有有若若MxfXxMDX 1函數(shù)的有界性函數(shù)的有界性:.)(否則稱無界否則稱無界上有界上有界在在則稱函數(shù)則稱函數(shù)Xxf2函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性:,)(DIDxf 區(qū)間區(qū)間的定義域為的定義域為設函數(shù)設函數(shù),2121時時當當及及上上任任意意兩兩點點如如果果對對于于區(qū)區(qū)間間xxxxI ;)(上上是是單單調(diào)調(diào)增增加加的的在在區(qū)區(qū)間間則則稱稱函函數(shù)數(shù)Ixf),()()1(21xfxf 恒有恒有)(xfy )(1xf)(2xfxyoI)(xfy )(1xf)(2xfxyoI;)(上上是是單單調(diào)調(diào)減減少少的的在在區(qū)區(qū)間間則則稱稱函函數(shù)數(shù)Ixf,)(DIDxf

10、區(qū)間區(qū)間的定義域為的定義域為設函數(shù)設函數(shù),2121時時當當及及上上任任意意兩兩點點如如果果對對于于區(qū)區(qū)間間xxxxI ),()()2(21xfxf 恒恒有有3函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)偶函數(shù)有有對對于于關(guān)關(guān)于于原原點點對對稱稱設設,DxD )()(xfxf yx)( xf )(xfy ox-x)(xf;)(為為偶偶函函數(shù)數(shù)稱稱xf有有對于對于關(guān)于原點對稱關(guān)于原點對稱設設,DxD )()(xfxf ;)(為為奇奇函函數(shù)數(shù)稱稱xf奇函數(shù)奇函數(shù))( xf yx)(xfox-x)(xfy 4函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性:通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期.,)(

11、Dxf的定義域為的定義域為設函數(shù)設函數(shù)如如果果存存在在一一個個不不為為零零的的.)()(恒成立恒成立且且xflxf 為周為周則稱則稱)(xf.)( ,DlxDxl 使得對于任一使得對于任一數(shù)數(shù).)(,的周期的周期稱為稱為期函數(shù)期函數(shù)xfl2l 2l23l 23l)(xfy 直直接接函函數(shù)數(shù)xyo),(abQ),(baP)(xy 反反函函數(shù)數(shù) 直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線 對稱對稱.xy 四、反函數(shù)四、反函數(shù)五、小結(jié)五、小結(jié)根本概念根本概念集合集合, 區(qū)間區(qū)間, 鄰域鄰域, 常量與變量常量與變量, 絕對值絕對值.函數(shù)的概念函數(shù)的概念函數(shù)的特性函數(shù)的特性有界性有界性

12、, ,單調(diào)性單調(diào)性, ,奇偶性奇偶性, ,周期性周期性. .反函數(shù)反函數(shù)思索題思索題設設0 x，函函數(shù)數(shù)值值21)1(xxxf ，求求函函數(shù)數(shù))0()( xxfy的的解解析析表表達達式式.思索題解答思索題解答設設ux 1那么那么 2111uuuf ,112uu 故故)0(.11)(2 xxxxf一、一、 填空題填空題: :1 1、 若若2251tttf , ,則則_)( tf, , _)1(2 tf. .2 2、 若若 3,sin3, 1)(xxxt, , 則則)6( =_=_，)3( =_.=_. 3 3、不等式、不等式15 x的區(qū)間表示法是的區(qū)間表示法是_._. 4 4、設、設2xy ,

13、,要使要使 ), 0( Ux 時，時，)2 , 0(Uy , , 須須 _._.練練 習習 題題二、證明二、證明xylg 在在), 0( 上的單調(diào)性上的單調(diào)性. .三、證明任一定義在區(qū)間三、證明任一定義在區(qū)間)0(),( aaa上的函數(shù)可表上的函數(shù)可表 示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和. .四、設四、設)(xf是以是以 2 2 為周期的函數(shù)，為周期的函數(shù)，且且 10, 001,)(2xxxxf, ,試在試在),( 上繪出上繪出)(xf的圖形的圖形. .五、證明：兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，兩個奇函數(shù)的五、證明：兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，兩個奇函數(shù)的 乘積是偶函數(shù)，偶函

14、數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)乘積是偶函數(shù)，偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù). .六、證明函數(shù)六、證明函數(shù)acxbaxy 的反函數(shù)是其本身的反函數(shù)是其本身. .七七、求求xxxxeeeexf )(的的反反函函數(shù)數(shù)，并并指指出出其其定定義義域域. .一、一、1 1、225tt , ,222)1(2)1(5 tt； 2 2、1,11,1； 3 3、(4,6)(4,6)； 4. 4.2, 0( . .七、七、)1 , 1( ,11ln xxy. .練習題答案練習題答案一、根本初等函數(shù)一、根本初等函數(shù)1.冪函數(shù)冪函數(shù))( 是常數(shù)是常數(shù) xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 2.指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)

15、)1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( xey 3.對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù))1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( 4.三角函數(shù)三角函數(shù)正弦函數(shù)正弦函數(shù)xysin xysin xycos xycos 余弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)正切函數(shù)xytan xytan xycot 余切函數(shù)余切函數(shù)xycot 正割函數(shù)正割函數(shù)xysec xysec xycsc 余割函數(shù)余割函數(shù)xycsc 5.反三角函數(shù)反三角函數(shù)xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函數(shù)數(shù)xyarccos xyarccos 反反余余弦弦函函數(shù)數(shù)xyar

16、ctan xyarctan 反反正正切切函函數(shù)數(shù) 冪函數(shù)冪函數(shù),指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為根本初等函數(shù)三角函數(shù)統(tǒng)稱為根本初等函數(shù).xycot 反反余余切切函函數(shù)數(shù)arcxycot arc二、復合函數(shù)二、復合函數(shù) 初等函數(shù)初等函數(shù)1.復合函數(shù)復合函數(shù),uy 設設,12xu 21xy 定義定義: 設函數(shù)設函數(shù))(ufy 的定義域的定義域fD, 而函數(shù)而函數(shù))(xu 的值域為的值域為 Z, 若若 ZDf, 則稱則稱函數(shù)函數(shù))(xfy 為為x的的復合函數(shù)復合函數(shù).,自變量自變量x,中間變量中間變量u,因變量因變量y留意留意: :1.不是任何兩個函數(shù)都可以

17、復合成一個復不是任何兩個函數(shù)都可以復合成一個復合函數(shù)的合函數(shù)的;,arcsinuy 例如例如;22xu )2arcsin(2xy 2.復合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復復合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復合構(gòu)成合構(gòu)成.,2cotxy 例例如如,uy ,cotvu .2xv 2.初等函數(shù)初等函數(shù) 由常數(shù)和根本初等函數(shù)經(jīng)過有限次由常數(shù)和根本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四那么運算和有限次的函數(shù)復合步驟所構(gòu)成并可四那么運算和有限次的函數(shù)復合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù)用一個式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù)稱為初等函數(shù).例例1 1).(,0, 10, 2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx 求求設設解

18、解 1)(),(1)(,)()(xxxexfx,1)(10時時當當 x, 0 x或或, 12)( xx;20 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 1 x,1)(20時時當當 x, 0 x或或, 12)( xx;2 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 01 x綜上所述綜上所述.2, 120011, 2,)(2122 xxxxxexexfxx 三、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)三、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)2sinhxxeex 雙雙曲曲正正弦弦xycosh xysinh ),(: D奇函數(shù)奇函數(shù).2coshxxeex 雙曲余弦雙曲余弦),(: D偶函數(shù)偶函數(shù).1.雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)xey21 xey 21x

19、xxxeeeexxx coshsinhtanh雙雙曲曲正正切切奇函數(shù)奇函數(shù),),(:D有界函數(shù)有界函數(shù),雙曲函數(shù)常用公式雙曲函數(shù)常用公式;sinhcoshcoshsinh)sinh(yxyxyx ;sinhsinhcoshcosh)cosh(yxyxyx ;1sinhcosh22 xx;coshsinh22sinhxxx .sinhcosh2cosh22xxx 2.反雙曲函數(shù)反雙曲函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù),),(:D.),(內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加在在;sinh xy 反雙曲正弦反雙曲正弦ar).1ln(sinh2 xxxyarsinhar xy.), 1內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)增增加加在在 ), 1 :D y反反雙

20、雙曲曲余余弦弦coshar).1ln(cosh2 xxxyarxcosharx y.11ln21xx )1 , 1(: D奇函數(shù)奇函數(shù),.)1 , 1(內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加在在 y反雙曲正切反雙曲正切tanharxytanh arxtanharx y四、小結(jié)四、小結(jié)函數(shù)的分類函數(shù)的分類:函數(shù)函數(shù)初等函數(shù)初等函數(shù)非初等函數(shù)非初等函數(shù)( (分段函數(shù)分段函數(shù), ,有無窮多項等函數(shù)有無窮多項等函數(shù)) )代數(shù)函數(shù)代數(shù)函數(shù)超越函數(shù)超越函數(shù)有理函數(shù)有理函數(shù)無理函數(shù)無理函數(shù)有理整函數(shù)有理整函數(shù)( (多項式函數(shù)多項式函數(shù)) )有理分函數(shù)有理分函數(shù)( (分式函數(shù)分式函數(shù)) )思索題思索題下列函數(shù)能否復合為函數(shù)下列

21、函數(shù)能否復合為函數(shù))(xgfy ，若能，寫出其解析式、定義域、值域若能，寫出其解析式、定義域、值域,)()1(uufy 2)(xxxgu ,ln)()2(uufy 1sin)( xxgu思索題解答思索題解答2)()1(xxxgfy ,10| xxDx21, 0)( Df)2(不能不能01sin)( xxg)(xg的的值值域域與與)(uf的的定定義義域域之之交交集集是是空空集集._1反反三三角角函函數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)稱稱對對數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)，三三角角函函數(shù)數(shù)和和、冪冪函函數(shù)數(shù)，指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)，._)(ln31)(2的的定定義義域域為為，則則函函數(shù)數(shù)，的的定定義義域域為為、函函數(shù)數(shù)xfxf一、填空題一、填空題

22、:._32復復合合而而成成的的函函數(shù)數(shù)為為，、由由函函數(shù)數(shù)xueyu ._2lnsin4復復合合而而成成由由、函函數(shù)數(shù)xy ._)0()()(_)0)(_)(sin_10)(52的定義域為的定義域為，的定義域為的定義域為，的定義域為的定義域為，為為）的定義域）的定義域（，則，則，的定義域為的定義域為、若、若 aaxfaxfaaxfxfxfxf練練 習習 題題.sin的的圖圖形形”作作函函數(shù)數(shù)二二、應應用用圖圖形形的的“疊疊加加xxy .)()()(111011)(，并作出它們的圖形，并作出它們的圖形，求求，三、設三、設xfgxgfexgxxxxfx .)()()(30. 05020. 0500

23、220形形出圖出圖之間的函數(shù)關(guān)系，并作之間的函數(shù)關(guān)系，并作千克千克于行李重量于行李重量元元元，試建立行李收費元，試建立行李收費出部分每千克出部分每千克千克超千克超元，超出元，超出千克每千克收費千克每千克收費千克以下不計費，千克以下不計費，定如下：定如下：四、火車站行李收費規(guī)四、火車站行李收費規(guī)xxf一、一、1 1、基本初等函數(shù)；、基本初等函數(shù)； 2 2、,3ee； 3 3、2xey ； 4 4、xvvuuy2,ln,sin ； 5 5、-1,1,-1,1, kk2,2,1 ,aa , , 212101 ,aaaa . .三、三、 1, 10, 00, 1)(xxxxgf； 1,11, 11,)

24、(xexxexfg. .練習題答案練習題答案四、四、 50),50(3 . 0105020,2 . 0200 xxxxxy“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以致于不可割，以致于不可割，那么與圓周割，那么與圓周合體而無所失矣合體而無所失矣1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：播放播放劉徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入R正六邊形的面積正六邊形的面積1A正十二邊形的面積正十二邊形的面積2A正正 形的面積形的面積126 nnA,321nAAAAS2 2、截丈問題：、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭一尺之棰，日截其半，萬世不竭;211 X第一天截下的杖長為第一天截下的杖長為;212

25、122 X為為第二天截下的杖長總和第二天截下的杖長總和;2121212nnXn 天截下的杖長總和為天截下的杖長總和為第第nnX211 1二、數(shù)列的定義二、數(shù)列的定義定義定義:按自然數(shù)按自然數(shù), 3 , 2 , 1編號依次排列的一列數(shù)編號依次排列的一列數(shù) ,21nxxx (1)稱為稱為無窮數(shù)列無窮數(shù)列,簡稱簡稱數(shù)列數(shù)列.其中的每個數(shù)稱為數(shù)其中的每個數(shù)稱為數(shù)列的列的項項,nx稱為稱為通項通項(一般項一般項).數(shù)列數(shù)列(1)記為記為nx.例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n留意：留意： 1.數(shù)列對應著數(shù)軸上一個點列數(shù)列對應著數(shù)軸上一個點列.可看作一可看作一動

26、點在數(shù)軸上依次取動點在數(shù)軸上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.數(shù)列是整標函數(shù)數(shù)列是整標函數(shù)).(nfxn ;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn ,333,33, 3 .)1(11時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察數(shù)數(shù)列列 nnn播放播放三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限問題問題: 當當 無限增大時無限增大時, 能否無限接近于某一能否無限接近于某一確定的數(shù)值確定的數(shù)值?假設是假設是,如何確定如何確定?nxn. 1)1(1,1無限接近于無限接近于無限增大時無限增大時當當nxnnn 問題問題: “無限接近意味著什么無限接近意味

27、著什么?如何用數(shù)學言語如何用數(shù)學言語刻劃它刻劃它. 1nxnnn11)1(1 經(jīng)過上面演示實驗的察看經(jīng)過上面演示實驗的察看:,1001給定給定,10011 n由由,100時時只要只要 n,10011 nx有有,10001給定給定,1000時時只要只要 n,1000011 nx有有,100001給定給定,10000時時只只要要 n,100011 nx有有, 0 給給定定,)1(時時只只要要 Nn.1成成立立有有 nx定義定義 如果對于任意給定的正數(shù)如果對于任意給定的正數(shù) ( (不論它多么不論它多么小小),),總存在正數(shù)總存在正數(shù)N, ,使得對于使得對于Nn 時的一切時的一切nx, ,不等式不等式

28、 axn都成立都成立, ,那末就稱常數(shù)那末就稱常數(shù)a是數(shù)列是數(shù)列nx的極限的極限, ,或者稱數(shù)列或者稱數(shù)列nx收斂于收斂于a, ,記為記為 ,limaxnn 或或).( naxn假設數(shù)列沒有極限假設數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的就說數(shù)列是發(fā)散的.留意：留意：;. 1的無限接近的無限接近與與刻劃了刻劃了不等式不等式axaxnn . 2有有關(guān)關(guān)與與任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) Nx1x2x2 Nx1 Nx3x幾何解釋幾何解釋: 2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外個個至多只有至多只有只有有限個只有有限個內(nèi)內(nèi)都落在都落在所有的點所有的點時時當當NaaxNnn :定義定義N 其中其中;:每每一

29、一個個或或任任給給的的 .:至少有一個或存在至少有一個或存在 ., 0, 0lim axNnNaxnnn恒有恒有時時使使數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例例1. 1)1(lim1 nnnn證證明明證證1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 任給任給,1 nx要要,1 n只要只要,1 n或或所以所以,1 N取取,時時則則當當Nn 1)1(1nnn就就有有. 1)1(lim1 nnnn即即留意：留意：例例2.lim),(CxCCxnnn 證證明明為為常常數(shù)數(shù)設設證證Cxn CC ,成立成立 ,0 任任給給所以所以,0 ,n對于一切自然數(shù)對于一切自然數(shù).limCxn

30、n 闡明闡明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù)常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).小結(jié)小結(jié): 用定義證數(shù)列極限存在時用定義證數(shù)列極限存在時,關(guān)鍵是恣意給關(guān)鍵是恣意給定定 尋覓尋覓N,但不用要求最小的但不用要求最小的N., 0 例例3. 1, 0lim qqnn其中其中證明證明證證, 0 任給任給,0 nnqx,lnln qn,lnlnqN 取取,時時則則當當Nn ,0 nq就就有有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq則則, 10 q若若,lnlnqn 例例4.lim, 0lim, 0axaxxnnnnn 求求證證且且設設證證, 0 任給任給.limaxnn 故故,limaxnn ,1

31、 axNnNn時恒有時恒有使得當使得當axaxaxnnn 從從而而有有aaxn a1 四、數(shù)列極限的性質(zhì)四、數(shù)列極限的性質(zhì)1.有界性有界性定義定義: 對數(shù)列對數(shù)列nx, 若存在正數(shù)若存在正數(shù)M, 使得一切自使得一切自然數(shù)然數(shù)n, 恒有恒有Mxn 成立成立, 則稱數(shù)列則稱數(shù)列nx有界有界,否則否則, 稱為無界稱為無界.例如例如,;1 nnxn數(shù)列數(shù)列.2nnx 數(shù)數(shù)列列數(shù)數(shù)軸軸上上對對應應于于有有界界數(shù)數(shù)列列的的點點nx都都落落在在閉閉區(qū)區(qū)間間,MM 上上.有界有界無界無界定理定理1 1 收斂的數(shù)列必定有界收斂的數(shù)列必定有界. .證證,limaxnn 設設由定義由定義, 1 取取, 1, axN

32、nNn時時恒恒有有使使得得當當則則. 11 axan即即有有,1,1,max1 aaxxMN記記,Mxnn 皆有皆有則對一切自然數(shù)則對一切自然數(shù) .有界有界故故nx留意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件留意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論推論 無界數(shù)列必定發(fā)散無界數(shù)列必定發(fā)散. .2.獨一性獨一性定理定理2 2 每個收斂的數(shù)列只需一個極限每個收斂的數(shù)列只需一個極限. .證證,lim,limbxaxnnnn 又又設設由定義由定義,使使得得., 021NN ;1 axNnn時恒有時恒有當當;2 bxNnn時時恒恒有有當當 ,max21NNN 取取時時有有則則當當Nn )()(axbxbann axbx

33、nn .2 .時時才才能能成成立立上上式式僅僅當當ba 故收斂數(shù)列極限獨一故收斂數(shù)列極限獨一.例例5.)1(1是是發(fā)發(fā)散散的的證證明明數(shù)數(shù)列列 nnx證證,limaxnn 設設由定義由定義,21 對于對于,21,成立成立有有時時使得當使得當則則 axNnNn),21,21(, aaxNnn時時即即當當區(qū)間長度為區(qū)間長度為1.,1, 1兩兩個個數(shù)數(shù)無無休休止止地地反反復復取取而而 nx不能夠同時位于長度為不能夠同時位于長度為1的區(qū)間內(nèi)的區(qū)間內(nèi)., ,但卻發(fā)散但卻發(fā)散是有界的是有界的事實上事實上nx3.(收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系) 假設數(shù)列假設數(shù)列收斂于收斂于a，那么它

34、的任一子數(shù)列也收斂，且極限也，那么它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也是是anx五五.小結(jié)小結(jié)數(shù)列數(shù)列: :研討其變化規(guī)律研討其變化規(guī)律; ;數(shù)列極限數(shù)列極限: :極限思想極限思想, ,準確定義準確定義, ,幾何意義幾何意義; ;收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì): :有界性獨一性有界性獨一性. .思索題思索題指指出出下下列列證證明明1lim nnn中中的的錯錯誤誤。證明證明要使要使,1 nn只需使只需使)1ln(ln1 nn從而由從而由2ln)1ln(ln)1ln(1 nn得得, 0 取取1)1ln(2ln N當當 時，必有時，必有 成立成立Nn 10nn1lim nnn思索題解答思索題解答 1nn)1

35、ln(ln1 nn等價等價證明中所采用的證明中所采用的2ln)1ln(ln)1ln(1 nn實踐上就是不等式實踐上就是不等式)1ln(ln2ln nnn即證明中沒有采用即證明中沒有采用“適當放大適當放大 的值的值nnln從而從而 時，時，2ln)1ln( Nn僅有僅有 成立，成立，)1ln(2ln n但不是但不是 的充分條件的充分條件)1ln(ln nn反而減少為反而減少為n2ln一、一、 利用數(shù)列極限的定義證明利用數(shù)列極限的定義證明: : 1 1、231213lim nnn； 2 2、19.999. 0lim n二、二、 設數(shù)列設數(shù)列nx有界，又有界，又0lim nny， 證明：證明：0li

36、m nnnyx. .練練 習習 題題“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以致于不可割，以致于不可割，那么與圓周割，那么與圓周合體而無所失矣合體而無所失矣1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入.)1(11時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察數(shù)數(shù)列列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察數(shù)數(shù)列列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察數(shù)數(shù)列列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察數(shù)數(shù)列列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的

37、極限.)1(11時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察數(shù)數(shù)列列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察數(shù)數(shù)列列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察數(shù)數(shù)列列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察數(shù)數(shù)列列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察數(shù)數(shù)列列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察數(shù)數(shù)列列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀

38、察察數(shù)數(shù)列列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察數(shù)數(shù)列列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察數(shù)數(shù)列列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.sin時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx播放播放一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限問問題題: :函函數(shù)數(shù))(xfy 在在 x的的過過程程中中, 對對應應函函數(shù)數(shù)值值)(xf無無限限趨趨近近于于確確定定值值 A.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .的過程的過程表示表示 xXx. 0sin)(,無無限限接接近近

39、于于無無限限增增大大時時當當xxxfx 經(jīng)過上面演示實驗的察看經(jīng)過上面演示實驗的察看:問題問題: 如何用數(shù)學言語刻劃函數(shù)如何用數(shù)學言語刻劃函數(shù)“無限接近無限接近.定義定義 1 1 如果對于任意給定的正數(shù)如果對于任意給定的正數(shù) ( (不論它多么小不論它多么小),),總存在著正數(shù)總存在著正數(shù)X, ,使得對于適合不等式使得對于適合不等式Xx 的一切的一切x, ,所對應的函數(shù)值所對應的函數(shù)值)(xf都滿足不等式都滿足不等式 Axf)(, ,那末常數(shù)那末常數(shù)A就叫函數(shù)就叫函數(shù))(xf當當 x時的極限時的極限, ,記作記作)()()(lim xAxfAxfx當當或或:. 1 定定義義定義定義X .)(,

40、0, 0 AxfXxX恒恒有有時時使使當當 Axfx)(lim:.10情情形形 x.)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時時使使當當:.20情形情形xAxfx )(lim.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有時時使當使當Axfx )(lim2.另兩種情形另兩種情形: Axfx)(lim:定理定理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且xxysin 3.幾何解釋幾何解釋: X X.2,)(,的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)寬為寬為為中心線為中心線直線直線圖形完全落在以圖形完全落在以函數(shù)函數(shù)時時或或當當 AyxfyXxXxAxxysin 例例1. 0sinlim xxx證證明明證證xxxxsin0

41、sin x1 X1 , , 0 ,1 X取取時時恒恒有有則則當當Xx ,0sin xx. 0sinlim xxx故故.)(,)(lim:的的圖圖形形的的水水平平漸漸近近線線是是函函數(shù)數(shù)則則直直線線如如果果定定義義xfycycxfx 二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限問問題題: :函函數(shù)數(shù))(xfy 在在0 xx 的的過過程程中中,對對應應函函數(shù)數(shù)值值)(xf無無限限趨趨近近于于確確定定值值 A.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .000的的過過程程表表示示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0鄰鄰域域的的去去心心點點 x.0程程度度接接近近體體現(xiàn)現(xiàn)xx

42、 定定義義 2 2 如如果果對對于于任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) ( (不不論論它它多多么么小小) ), ,總總存存在在正正數(shù)數(shù) , ,使使得得對對于于適適合合不不等等式式 00 xx的的一一切切x, ,對對應應的的函函數(shù)數(shù)值值)(xf都都滿滿足足不不等等式式 Axf)(, ,那那末末常常數(shù)數(shù)A就就叫叫函函數(shù)數(shù))(xf當當0 xx 時時的的極極限限, ,記記作作)()()(lim00 xxAxfAxfxx 當當或或:. 1 定義定義定定義義 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒恒有有時時使使當當2.幾何解釋幾何解釋:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)

43、域內(nèi)寬為寬為為中心線為中心線線線圖形完全落在以直圖形完全落在以直函數(shù)函數(shù)域時域時鄰鄰的去心的去心在在當當 Ayxfyxx留意：留意：;)(. 10是是否否有有定定義義無無關(guān)關(guān)在在點點函函數(shù)數(shù)極極限限與與xxf. 2有有關(guān)關(guān)與與任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) .,越越小小越越好好后后找找到到一一個個顯顯然然 例例2).( ,lim0為為常常數(shù)數(shù)證證明明CCCxx 證證Axf )(CC ,成立成立 , 0 任給任給0 .lim0CCxx , 0 任任取取,00時時當當 xx例例3.lim00 xxxx 證證明明證證,)(0 xxAxf , 0 任給任給, 取取,00時時當當 xx0)(xxAxf ,

44、成立成立 .lim00 xxxx 例例4. 211lim21 xxx證證明明證證211)(2 xxAxf, 0 任給任給, 只只要要取取,00時時當當 xx函數(shù)在點函數(shù)在點x=1處沒有定義處沒有定義.1 x,)( Axf要要使使,2112 xx就就有有. 211lim21 xxx例例5.lim00 xxxx 證證0)(xxAxf , 0 任給任給,min00 xx取取,00時時當當 xx00 xxxx ,)( Axf要要使使,0 xx就就有有,00 xxx .00且不取負值且不取負值只要只要 xxx.lim,0:000 xxxxx 時時當當證明證明3.單側(cè)極限單側(cè)極限:例如例如,. 1)(li

45、m0, 10,1)(02 xfxxxxxfx證明證明設設兩種情況分別討論兩種情況分別討論和和分分00 xx,0 xx從左側(cè)無限趨近從左側(cè)無限趨近; 00 xx記記作作,0 xx從右側(cè)無限趨近從右側(cè)無限趨近; 00 xx記記作作yox1xy 112 xy左極限左極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有時時使使當當右極限右極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有時時使使當當000:000 xxxxxxxxx注注意意.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記記作作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記記作作.)0()0()(lim:000Axfxf

46、Axfxx 定定理理.lim0不不存存在在驗驗證證xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfx例例6證證1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 x三、函數(shù)極限的性質(zhì)三、函數(shù)極限的性質(zhì)1.有界性有界性定定理理 若若在在某某個個過過程程下下, ,)(xf有有極極限限, ,則則存存在在過過程程的的一一個個時時刻刻, ,在在此此時時刻刻以以后后)(xf有有界界. .2.獨一性獨一性定定理理 若若)(limxf存存在在,則則極極限限唯唯一一.推論推論).()(),(, 0,)(lim,)(lim0000

47、 xgxfxUxBABxgAxfxxxx 有有則則且且設設3.不等式性質(zhì)不等式性質(zhì)定理定理( (保序性保序性) ).),()(),(, 0.)(lim,)(lim0000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx 則則有有若若設設).0)(0)(,),(, 0),0(0,)(lim000 xfxfxUxAAAxfxx或或時時當當則則或或且且若若定理定理( (保號性保號性) ).0(0),0)(0)(,),(, 0,)(lim000 AAxfxfxUxAxfxx或或則則或或時時當當且且若若推論推論4.子列收斂性子列收斂性(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系) .)(),(,),(),(

48、,)(.),(),(21000時時的的子子列列當當為為函函數(shù)數(shù)即即則則稱稱數(shù)數(shù)列列時時使使得得有有數(shù)數(shù)列列中中或或可可以以是是設設在在過過程程axxfxfxfxfxfaxnaxxxxaaxnnnn 定義定義.)(lim,)()(,)(limAxfaxxfxfAxfnnnax 則則有有時時的的一一個個子子列列當當是是數(shù)數(shù)列列若若定理定理證證.)(,0, 0, 00 Axfxx恒恒有有時時使使當當Axfxx )(lim0.0, 0, 00 xxNnNn恒恒有有時時使使當當對對上上述述,)( Axfn從而有從而有.)(limAxfnx 故故,lim00 xxxxnnn 且且又又例如例如,xxysin

49、 1sinlim0 xxx, 11sinlim nnn, 11sinlim nnn11sin1lim22 nnnnn函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在限都存在, ,且相等且相等. .xy1sin 例例7.1sinlim0不不存存在在證證明明xx證證 ,1 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 ,2141 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 nxnnnsinlim1sinlim 而而, 1 214sinlim1sinlim nxnnn而而1lim n二者不相等二者不相等,.

50、1sinlim0不存在不存在故故xx, 0 四、小結(jié)四、小結(jié)函數(shù)極限的一致定義函數(shù)極限的一致定義;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lim AxfAxf恒有恒有從此時刻以后從此時刻以后時刻時刻(見下表見下表)過過 程程時時 刻刻從此時辰以后從此時辰以后 n x x xNNn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx過過 程程時時 刻刻從此時辰以后從此時辰以后 )(xf Axf)(思索題思索題

51、試試問問函函數(shù)數(shù) 0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在在0 x處處的的左左、右右極極限限是是否否存存在在？當當0 x時時，)(xf的的極極限限是是否否存存在在？思索題解答思索題解答 )(lim0 xfx, 5)5(lim20 xx左極限存在左極限存在, )(lim0 xfx, 01sinlim0 xxx右極限存在右極限存在, )(lim0 xfx)(lim0 xfx )(lim0 xfx不存在不存在.01. 01_131222 yzxzxxyx，必有，必有時，只要時，只要取取，問當，問當時，時，、當、當.001. 0420_4212 yxxyx，必必有有只只要要時時，取取，問問當

52、當時時，、當當 證明：證明：二、用函數(shù)極限的定義二、用函數(shù)極限的定義一、填空題一、填空題:0sinlim221241lim1221 xxxxxx、練練 習習 題題.)(:0極限各自存在并且相等極限各自存在并且相等必要條件是左極限、右必要條件是左極限、右時極限存在的充分時極限存在的充分當當函數(shù)函數(shù)三、試證三、試證xxxf?0)(存存在在時時的的極極限限是是否否在在四四、討討論論：函函數(shù)數(shù) xxxx 一、一、1 1、0.00020.0002； 2 2、397. .四、不存在四、不存在. .練習題答案練習題答案.sin時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極

53、限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量

54、趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、無窮小一、無窮小1.定義定義:定義定義 1 1 如果對于任意給定的正數(shù)如果對于任意給定的正數(shù) ( (不論它多么小不論它多么小),),總存在正數(shù)總存在正數(shù) ( (或正數(shù)或正

55、數(shù)X),),使得對于適合不等式使得對于適合不等式 00 xx( (或或 xX) )的一切的一切x, ,對應的函數(shù)值對應的函數(shù)值)(xf都滿足不等式都滿足不等式 )(xf, ,那末那末 稱函數(shù)稱函數(shù))(xf當當0 xx ( (或或 x) )時為無窮小時為無窮小, ,記作記作 ).0)(lim(0)(lim0 xfxfxxx或或極限為零的變量稱為無窮小極限為零的變量稱為無窮小.例如例如, 0sinlim0 xx.0sin時時的的無無窮窮小小是是當當函函數(shù)數(shù)xx, 01lim xx.1時時的的無無窮窮小小是是當當函函數(shù)數(shù) xx, 0)1(lim nnn.)1(時的無窮小時的無窮小是當是當數(shù)列數(shù)列 n

56、nn留意留意1.無窮小是變量無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆不能與很小的數(shù)混淆;2.零是可以作為無窮小的獨一的數(shù)零是可以作為無窮小的獨一的數(shù).2.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:證證 必要性必要性,)(lim0Axfxx 設設,)()(Axfx 令令, 0)(lim0 xxx則則有有).()(xAxf 充分性充分性),()(xAxf 設設,)(0時時的的無無窮窮小小是是當當其其中中xxx )(lim)(lim00 xAxfxxxx 則則)(lim0 xAxx .A 定理定理 1 1 ),()()(lim0 xAxfAxfxx 其中其中)(x 是當是當0 xx 時的無窮小時的無窮小

57、.意義意義 1.將普通極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題將普通極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮無窮小小);).(,)()(. 20 xAxfxxf 誤差為誤差為附近的近似表達式附近的近似表達式在在給出了函數(shù)給出了函數(shù)3.無窮小的運算性質(zhì)無窮小的運算性質(zhì):定理定理2 在同一過程中在同一過程中,有限個無窮小的代數(shù)和有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小仍是無窮小.證證,時時的的兩兩個個無無窮窮小小是是當當及及設設 x使得使得, 0, 0, 021 NN;21 時時恒恒有有當當Nx;22 時時恒恒有有當當Nx,max21NNN 取取恒恒有有時時當當,Nx 22 , )(0 x留意無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小留

58、意無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小. .是是無無窮窮小小，時時例例如如nn1, .11不不是是無無窮窮小小之之和和為為個個但但nn定理定理3 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.證證內(nèi)有界，內(nèi)有界，在在設函數(shù)設函數(shù)),(100 xUu.0, 0, 0101MuxxM 恒恒有有時時使使得得當當則則,0時時的的無無窮窮小小是是當當又又設設xx .0, 0, 0202Mxx 恒恒有有時時使使得得當當推論推論1 在同一過程中在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小積是無窮小.推論推論2 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推

59、論推論3 有限個無窮小的乘積也是無窮小有限個無窮小的乘積也是無窮小.,min21 取取恒恒有有時時則則當當,00 xx uuMM , .,0為無窮小為無窮小時時當當 uxxxxxxx1arctan,1sin,0,2時時當當例例如如都是無窮小都是無窮小二、無窮大二、無窮大定義定義 2 2 如果對于任意給定的正數(shù)如果對于任意給定的正數(shù)M( (不論它多么不論它多么小小),),總存在正數(shù)總存在正數(shù) ( (或正數(shù)或正數(shù)X),),使得對于適合不等式使得對于適合不等式 00 xx( (或或 xX) )的一切的一切x, ,所對應的函數(shù)所對應的函數(shù)值值)(xf都滿足不等式都滿足不等式 Mxf )(, ,則稱函數(shù)

60、則稱函數(shù))(xf當當0 xx ( (或或 x) )時為無窮小時為無窮小, ,記作記作 ).)(lim()(lim0 xfxfxxx或或絕對值無限增大的變量稱為無窮大絕對值無限增大的變量稱為無窮大.特殊情形：正無窮大，負無窮大特殊情形：正無窮大，負無窮大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或留意留意 1.無窮大是變量無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆不能與很大的數(shù)混淆;3. 無窮大是一種特殊的無界變量無窮大是一種特殊的無界變量,但是無但是無界變量未必是無窮大界變量未必是無窮大.)(lim. 20認為極限存在認為極限存在切勿將切勿將 xfxxxxy1sin1 .,1sin1,0