2023年湖北省武漢市高考數(shù)學(xué)一模試卷及答案解析

2023年湖北省武漢市高考數(shù)學(xué)一模試卷

一、單項(xiàng)選擇題(每小題有且只有一個正確選項(xiàng)，把正確選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)位置上.每

小題5分，共40分)

1.(5分)設(shè)集合A={MX2-3x+2>0},集合B={R2χ-3<0},則AnB=()

3

A.(—8,勵U(2,+∞)B.(-8,1)

3

C?(-8,1)u(2,+8)D.(一8,會

11

2.(5分)已知α=2023詼，?=log20232022,C=IOg2022前金，則小b,C的大小關(guān)系是

()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c'>b

1

3.(5分)已知S出9+cos。=—耳，6∈(0,7T),貝IJSinθ-cosθ=()

1177

A.-B.—rC.一D.—F

5555

4.(5分)設(shè)公差不為零的等差數(shù)列{斯}的前〃項(xiàng)和為S”44=245,則?=()

75

A.-B.-IC.ID.-

44

5.(5分)2021年12月22日教育部提出五項(xiàng)管理“作業(yè)、睡眠、手機(jī)、課外閱讀、健康管

理”，體育鍛煉是五項(xiàng)管理中一個非常重要的方面，各地中小學(xué)積極響應(yīng)教育部政策，改

善學(xué)生和教師鍛煉設(shè)施設(shè)備.某中學(xué)建立“網(wǎng)紅”氣膜體育館(圖1),氣膜體育館具有

現(xiàn)代感、美觀、大氣、舒適、環(huán)保的特點(diǎn)，深受學(xué)生和教師的喜愛.氣膜體育館從某個

角度看，可以近似抽象為半橢球面形狀，該體育館設(shè)計圖紙比例(長度比)為1：20(單

%2y2

位：m),圖紙中橢球面的方程為一+—+z2=l(z>0)(如圖2),則該氣膜體育館占地

44

ɑ?

面積為（）瑁1

A.IoOoiW?2B.540π∕w2C.2000πw2D.1600TOT;2

11

6.（5分）已知正實(shí)數(shù)X,y,則“x+y=l”是“一+一≥4”的（）

Xy

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.（5分）某旅游景區(qū)有如圖所示A至H共8個停車位，現(xiàn)有2輛不同的白色車和2輛不

同的黑色車，要求相同顏色的車不停在同一行也不停在同一列，則不同的停車方法總數(shù)

為（）

ABCD

EFGH

A.288B.336C.576D.1680

8.（5分）己知偶函數(shù)/（無）=Sin（<υx+￠）-√5cos（0>x+租）（ω>0,IWlVW）在（0,1）

上恰有2個極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)3的取值范圍為（）

A.（2π,4π]B.（3π,4π]C.（4π,6π]D.（3π.5π]

二、多項(xiàng)選擇題（每小題有多于一個的正確選頂，全答對得5分，部分答對得2分，有錯

誤選項(xiàng)的得0分）

（多選）9.（5分）設(shè)復(fù)數(shù)Z=%普，則（）

,一，31Q

A.Z的虛部為一B.Z=-5+51

2，2

C.∣z∣=孚D.Z3=I

（多選）10.（5分）已知圓M：（X-4）2+（y-5）2=12,直線/：瓶X-y-2∕n+3=0,直線

/與圓M交于A,C兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A.直線/恒過定點(diǎn)（2,3）

B.|北|的最小值為4

C.易?%的取值范圍為[-12,4]

1

D.當(dāng)/AMC最小時，其余弦值為一

2

（多選）II.（5分）高斯是德國著名數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的

稱號，他和阿基米德，牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用國表示不超過X的最大整數(shù)，則

y=[x]稱為高斯函數(shù)，例如[-2.1]=-3,[2.1]=2.則下列說法正確的是（）

A.函數(shù)y=χ-國在區(qū)間[鼠?+l）（?∈Z）上單調(diào)遞增

B.若函數(shù)f（x）=e#x，則>=[∕（x）]的值域?yàn)閧0}

C.若函數(shù)/（x）=∣√I+sin2x-Vl-siτι2x∣,則y=[∕^（x）]的值域?yàn)閧0,1}

D.Λ∈R,X和X]+1

（多選）12.（5分）已知正方體ABC￡）-4BlCIOl的棱長為2（如圖所示），點(diǎn)M為線段

CCI（含端點(diǎn)）上的動點(diǎn)，由點(diǎn)4,D?,M確定的平面為α,則下列說法正確的是（）

A.平面a截正方體的截面始終為四邊形

B.點(diǎn)M運(yùn)動過程中，三棱錐Ai-AOIM的體積為定值

C.平面a截正方體的截面面積的最大值為4√Σ

D.三棱錐Al-AGM的外接球表面積的取值范圍為偌兀，12π]

三、填空（每題5分，共20分，把正確答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上

13.（5分）已知廚=3,伉I=2,a-b=l,則區(qū)+&=.

14.（5分）已知函數(shù)/（x）=f（O）e2x-eF,則/（O）=.

15.（5分）奧運(yùn)吉祥物“雪容融”是根據(jù)中國傳統(tǒng)文化中燈籠的造型創(chuàng)作而成，現(xiàn)掛有如

圖所示的兩串燈籠，每次隨機(jī)選取其中一串并摘下其最下方的一個燈籠，直至某一串燈

籠被摘完為止，則左邊燈籠先摘完的概率為.

16.（5分）已知尸1、尸2是雙曲線C：%-—V彳=1的左、右焦點(diǎn)，過Fl的直線與雙曲線左

3b2

支交于點(diǎn)A,與右支交于點(diǎn)B,4AFιF2與4BFιF2內(nèi)切圓的圓心分別為/I,h,半徑分

別為“，-2,則/2的橫坐標(biāo)為；若八：/2=1：3,則雙曲線離心率為.

四、解答題（要求寫出必要的過程，第17題10分，第18~22題各12分，共70分.）

17.（10分）記正項(xiàng)數(shù)列｛斯｝的前"項(xiàng)和為S,且滿足對任意正整數(shù)〃有若，Sn,即構(gòu)成等

差數(shù)列；等比數(shù)列｛加｝的公比4>1,b?=a?,-6=64.

（1）求｛如｝和出”｝的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)Cn=嘯瑞，求數(shù)列｛5｝的前n項(xiàng)和T11.

18.（12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，平面雨C_L平面ABC,F=PC=4,ABLBC,D,

E分別為PC,4C中點(diǎn)，且8。_LAC

（1）求”的值；

BC

（2）若AC=4,求二面角E-BD-C的余弦值.

19.（12分）如圖，在平面四邊形ABC。中，NBCD=專AB=?,ZABC=

（1）當(dāng)8C=√Σ,Cf）=√7時，求AACC的面積；

(2)當(dāng)/AOC=IAO=2時，求cos/ACD

O

20.（12分）某社區(qū)擬對該社區(qū)內(nèi)8000人進(jìn)行核酸檢測，現(xiàn)有以下兩種核酸檢測方案:

方案一：4人一組，采樣混合后進(jìn)行檢測；

方案二：2人一組，采樣混合后進(jìn)行檢測；

若混合樣本檢測結(jié)果呈陽性，則對該組所有樣本全部進(jìn)行單個檢測；若混合樣本檢測結(jié)

果呈陰性，則不再檢測.

（1）某家庭有6人，在采取方案一檢測時，隨機(jī)選2人與另外2名鄰居組成一組，余下

4人組成一組，求該家庭6人中甲，乙兩人被分在同一組的概率；

(2)假設(shè)每個人核酸檢測呈陽性的概率都是0.01,每個人核酸檢測結(jié)果相互獨(dú)立，分別

求該社區(qū)選擇上述兩種檢測方案的檢測次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.以較少檢測次數(shù)為依據(jù)，你建

議選擇哪種方案？

(附：0.992-0.98,0994≈0.96)

21.(12分)函數(shù)/(x)^ax+2bx+e2,其中α,b為實(shí)數(shù)，且4∈(0,1).

(注e=2.71828?為自然對數(shù)的底數(shù))

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)已知對任意6>4°2,函數(shù)/(x)有兩個不同零點(diǎn)，求4的取值范圍.

22.(12分)已知點(diǎn)M(-1,1)在拋物線E：V=2pχ(p>o)的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)M作直線

/1與拋物線E交于A,B兩點(diǎn)，斜率為2的直線/2與拋物線E交于A,C兩點(diǎn).

(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)(i)求證：直線BC過定點(diǎn)；

(ii)記(/)中的定點(diǎn)為H,設(shè)AABH的面積為S,且滿足SW5,求直線人的斜率的取

值范圍.

2023年湖北省武漢市高考數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、單項(xiàng)選擇題(每小題有且只有一個正確選項(xiàng)，把正確選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)位置上.每

小題5分，共40分)

1.(5分)設(shè)集合A={x∣∕-3x+2>0},集合B={R2χ-3<0},則AnB=()

3

A.(-8，引U(2，+oo)B.(-8,1)

3

C.(-∞,1)U(2,+∞)D.(一8,金

【解答】解：因?yàn)?-3x+2>0,解得x<l或x>2,

故A=(-8,1)u(2,+8),

又2χ-3<0,解得χV∣,

故B=(-8,|).

所以A∏B=(-8,1).

故選：B.

11

f

2.(5分)已知Q=20232022,?=log20232022,c=Iog202Z2023貝C的大小關(guān)系是

()

A.a>h>cB.b>a>cC.c>a>hD.a>c>h

]

【解答】解：Va=20232022>2023°=1,0=Iog2()23?<b=Iog2()232022<log2()232023=

1

1,c=log2Q222023<∕°g2022l=°，

?*?a?b>c.

故選：A.

1

3.(5分)已知sin。+cos。=—耳，6∈(0,ττ),貝!∣sinθ-cos。=()

1177

A.一B.—EC.一D.—?p

5555

【解答】解：由于siτι8+cos。=—之，8∈(0,ττ),

關(guān)系式兩邊平方得：l+sin20=看，

24

所以siτι2e——

由于sin2θ=2sinθcosθ<0.

所以CoSOV0,sinθ>O,

故sinθ-cosθ>0;

所以sinθ-cosθ=∣sinθ-cosθ∣=J(Sme-CoSe)2=

故選：C.

4.（5分）設(shè)公差不為零的等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S,ci4=2a5,()

75

A.-B.-1C.1D.-

44

【解答】解：在等差數(shù)列｛珈｝中,2a5=a4+aβ,a4=2as,故a6=0,

又2。6=。5+。7，故CH--。5,

則Si—S4+a5+aβ+aι—54,=1.

故選：C.

5.（5分）2021年12月22日教育部提出五項(xiàng)管理”作業(yè)、睡眠、手機(jī)、課外閱讀、健康管

理”，體育鍛煉是五項(xiàng)管理中一個非常重要的方面，各地中小學(xué)積極響應(yīng)教育部政策，改

善學(xué)生和教師鍛煉設(shè)施設(shè)備.某中學(xué)建立“網(wǎng)紅”氣膜體育館（圖1）,氣膜體育館具有

現(xiàn)代感、美觀、大氣、舒適、環(huán)保的特點(diǎn)，深受學(xué)生和教師的喜愛.氣膜體育館從某個

角度看,可以近似抽象為半橢球面形狀，該體育館設(shè)計圖紙比例（長度比）為1：20（單

γ2y2

位：圖紙中橢球面的方程為T+9+z2=l3。）（如圖2）,則該氣膜體育館占地

面積為()

A.IOOOTO?2B.540π∕∏2C.2000πw2D.1600πm2

【解答】解:當(dāng)Z=O時,半橢球面XOy平面上的邊緣投影方程為/+/=4,所以投影是

半徑為的圓.

又體育館設(shè)計圖紙比例（長度比）為1：20（單位：m），所以實(shí)際投影是半徑為40m的

圓.

故面積為1600πm2.

故選：D.

11

6.(5分)己知正實(shí)數(shù)x,y,則“x+y=l”是“一+一≥4”的()

Xy

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

1111VXFyX

【解答】解：一+-=(一+-)(x+y)=2+-+-≥2+2-.-=4,當(dāng)且僅當(dāng)X=

XyXyXyy

y=海號成立，所以充分性成立，

111

當(dāng)％=y=5時，一+一≥4,此時x+y≠1,所以必要性不成立.

iXy

故選:B.

7.(5分)某旅游景區(qū)有如圖所示A至H共8個停車位，現(xiàn)有2輛不同的白色車和2輛不

同的黑色車，要求相同顏色的車不停在同一行也不停在同一列，則不同的停車方法總數(shù)

為()

ABCD

EFGH

A.288B.336C.576D.1680

【解答】解：第一步：排白車，第一行選一個位置，則第二行有三個位置可選，由于車

是不相同的，故白車的停法有4X3X2=24種，

第二步，排黑車，若白車選A凡則黑車有BE,BG,BH,CE,CH,DE,DG共7種選

擇，黑車是不相同的，故黑車的停法有2X7=14利

根據(jù)分步計數(shù)原理，共有24X14=336種.

故選：B.

8.(5分)已知偶函數(shù)f(x)=sin(0>x+⑺)—V5COS(3%+9)(ω>0.IWlVW)在(0,1)

上恰有2個極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)3的取值范圍為()

A.(2π,4πJB.(3π,4π]C.(4π,6πJD.(3π,5π]

【解答】解：/(x)=sin(ωx+φ~)-√3cos(ωx+￠)=2sin(ωx+3-勃

因?yàn)棰蚔*,!5lJ-?<φ-^<^,故f(0)=2sin”—，,

又函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，故解得W=—看

故f(x)=2sin{ωx—?)=-2cosωx,

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)在(0,1)上恰有2個極大值，故當(dāng)x=l時，3π<ω×l≤5π,即3π<

ω≤5π.

故選：D.

二、多項(xiàng)選擇題(每小題有多于一個的正確選頂，全答對得5分，部分答對得2分，有錯

誤選項(xiàng)的得0分)

(多選)9.(5分)設(shè)復(fù)數(shù)Z=筆普，則()

31Q

A.Z的虛部為一B.Z=-5+51

222

C.∣z∣=緣D.Z3=I

【解答】解：因?yàn)閆=華科=%熟中=竽=-?

JL十I(JL十IJ(JL-LLL

3

所以Z的虛部為一，A對，

2

z——?-?,B錯，

IZI=Jd)2+(∣)2=挈C對，

z2=(-∣+∣i)2=-2-∣i-z3=(-2-∣i)(-∣+fi)=l-3i+∣i+∣=^-^,D

錯，

故選：AC.

(多選)10.(5分)已知圓M：(X-4)2+(y-5)2=12,直線/：mx-y-2m+3=0,直線

/與圓M交于4,C兩點(diǎn)，則下列說法正確的是()

A.直線/恒過定點(diǎn)(2,3)

B.μ?的最小值為4

C.扇!?靛的取值范圍為L12,4J

1

D.當(dāng)NAMC最小時，其余弦值為一

2

【解答】解：對于A：由/：mx-y-2m+3-0(m∈R)整理得(X-2)-y+3=0,

當(dāng)產(chǎn)一°n，即產(chǎn)=W時,不論，〃為何值時，〃(X-2)-y+3=0("ER)都成立,

(—y+3=0ιy=?“

所以直線/過定點(diǎn)(2,3),故A正確;

對于3：因?yàn)橹本€/過定點(diǎn)K(2,3),將定點(diǎn)代入圓C(2-4)2+(3-5)2=8<12,

所以定點(diǎn)K(2,3)在圓C的內(nèi)部，?KM?=√(2-4)2+(3-5)2=2√2,

當(dāng)直線AC_LMK時，IACl取得最小值，此時IAcl=2√12—8=4,故B正確；

對于。：設(shè)直線/過的定點(diǎn)K(2,3),當(dāng)KMj_AC時，/4MC最小，

由余弦定理可得CoCNAMC=黑潟=熱故D錯誤；

TTTT?

對于C：MA?MC=?MA???MC?cosZAMC,又coCNAMCeLI,-J,

.?MA?MCe[-12,4],故C正確.

故選：ABC.

(多選)IL(5分)高斯是德國著名數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的

稱號，他和阿基米德，牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用田表示不超過X的最大整數(shù)，則

y=[x]稱為高斯函數(shù)，例如[-2.1]=-3,[2.1]=2.則下列說法正確的是()

A.函數(shù)y=χ-[x]在區(qū)間伏，?+l)(?∈Z)上單調(diào)遞增

B.若函數(shù)/(X)=黃哈，則y=[∕,(x)]的值域?yàn)閧0}

C.若函數(shù)/"(x)=∣√1+sin2x-√1-S譏2x∣,則y=[∕^(x)]的值域?yàn)閧0,1}

D.x∈R,x≥[x]+l

【解答】解：對于4：當(dāng)x∈伙，氏+1)時IXI=上所以y=x-[幻=冗-總顯然y=χ-Z在

伙，?+l)上單調(diào)遞增，故A對，

,一t3ττ?3TT—13TT,.

對于"當(dāng)X=當(dāng)時，/(—)=3π-3藉(一1，0)，V(T)]=一1，故y=V(χ)]

的值域不為{0},故3錯，

對于Czf(x)=I√sm2x+Cos2X+2sinx?cosx—y∕sin2x÷cos2x—2sinx?cosx∣=

∣∣sin%+cosx∣-ISinX-cosx∣∣,

ττ3τr

sinx+cosx,—?÷2kπ≤%≤?+2kπ

?7，k∈Z,

(—sinx—cosx,?+2fcττ≤x≤?+2fcττ

sinx—cosx,?+2kπ≤x≤?+2kπ

_q,Λ∈Z,

{cosx—sinx,努+2kπ≤%≤?÷2kπ

21sinxI，—j+∕c7?！躼≤^+fcπ

故/G)=〈Tr3；，依Z,

7r

2?cosx?f4+∕σr≤x≤w+

???結(jié)合余弦函數(shù)圖像可知，∕Q)∈[0,√2],故Va)]=0或1,故。對,

對于D由A中知y=x-[x]在伙，?+l）上的值域?yàn)閇0,1）即x-[x]<l,。錯，

故選：AC.

（多選）12.（5分）已知正方體ABCC-4BICIOl的棱長為2（如圖所示），點(diǎn)M為線段

CCI（含端點(diǎn)）上的動點(diǎn)，由點(diǎn)4,D?,M確定的平面為α,則下列說法正確的是（）

A.平面a截正方體的截面始終為四邊形

B.點(diǎn)M運(yùn)動過程中，三棱錐Ai-AOIM的體積為定值

C.平面a截正方體的截面面積的最大值為4√Σ

D.三棱錐ALAr）IM的外接球表面積的取值范圍為伊兀，12π]

【解答】解：對A選項(xiàng)，當(dāng)M與C點(diǎn)重合時，

平面a截正方體的截面為AAOiC,.?.A選項(xiàng)錯誤；

對8選項(xiàng)，,:CCi//DDi,又CC3平面AιA5,ZM）IU平面/hA0∣,

.?.CCi〃平面AMD,又點(diǎn)M為線段CCl（含端點(diǎn)）上的動點(diǎn)，

.?.M到平面AlAol的距離為定值，又4A1AQ∣的面積也為定值，

二三棱錐41-AOlM的體積為定值，,B選項(xiàng)正確；

對C選項(xiàng)，根據(jù)運(yùn)動變化思想可得：

M由C移動到Ci,截面面積由小變大，

當(dāng)M與Cl重合時，截面面積最大，

此時截面為矩形ABCiC,其面積為2&x2=4VL,C選項(xiàng)正確；

對。選項(xiàng)，如圖，分別取左右側(cè)面的中心E,F,則E/垂直于左右側(cè)面，

根據(jù)對稱性易知：三棱錐Ai-A。的外接球的球心。在線段EF上，

設(shè)M到F的距離為X,則XC[1,√2],

設(shè)0F=r,則OE=2-r,又易知EDl=√Σ,外接球0的半徑R=ODi=OM,

則在RtADiEO與RtAMFO中，由勾股定理可得：

2+(22r2

[2~0f,兩式相減可得：r=字,

It2+x2=R24

：.R2=(號與+/,

令機(jī)=/,又xC[l,√2],Λw∈[l,2],

2

?n2/6-m、2lτn+4τn+36

??R=(丁)+M=------16------，〃2∈[1,2],

τn2+4τn+36

設(shè)函數(shù)/（加）m∈[l,2],

16

則/（〃?）的對稱軸為機(jī)=-2,又一元二次函數(shù)/（加）的開口向上,

???/（"）在[1,2]上單調(diào)遞增,

的最小值為/（I）=*,/（?。┑淖畲笾禐?（2）=3,

.?.R2∈喘,3],

41

三棱錐AI-AZ）IM的外接球表面積5=4畝?2日一兀，i2π],。選項(xiàng)正確.

4

故選：BCD.

三、填空（每題5分，共20分，把正確答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上

13.(5分)已知Ial=3,聞=2,Q?b=l,則∣α+b∣=_V15

【解答】解：因Ial=3,?b?=2,a?b=1,所以∣a+b∣=J(Q+6)2=

Ja2+b2+2a-b=√32+22+2×1=√15.

故答案為：V15.

14.(5分)已知函數(shù)/(x)=f(0)Λ-e-x,則/(0)=-2.

【解答】解：由函數(shù)/(x)=f(0)e2x-∕x求導(dǎo)得：f(X)=2f(0)e2-v+e'x,當(dāng)X=O

時，/(0)=2f'(0)+1,解得/(0)=-I

因此f(x)=-e2x-

所以/(O)=-2.

故答案為：-2.

15.(5分)奧運(yùn)吉祥物“雪容融”是根據(jù)中國傳統(tǒng)文化中燈籠的造型創(chuàng)作而成，現(xiàn)掛有如

圖所示的兩串燈籠，每次隨機(jī)選取其中一串并摘下其最下方的一個燈籠，直至某一串燈

,11

籠被摘完為止，則左邊燈籠先摘完的概率為_T7_.

【解答】解：根據(jù)題意可知每次摘左邊的燈籠和右邊的燈籠的概率都是M

要使左邊燈籠先摘完則摘燈籠的次數(shù)為2,3,4次，

Ill

若2次先摘完左邊的燈籠，則概率為二X二=「

若3次先摘完左邊的燈籠，則概率為G×∣×∣×∣=i,

若4次先摘完左邊的燈籠，則概率為或×(如×i×∣=A,

11311

所以左邊燈籠先摘完的概率為7+-+—=

441616

故答案為：—.

16

X2V2

16.(5分)已知尸1、22是雙曲線C——匕=1的左、右焦點(diǎn)，過Fl的直線與雙曲線左

支交于點(diǎn)A,與右支交于點(diǎn)從Z?AFIF2與48FIF2內(nèi)切圓的圓心分別為/1,/2,半徑分

別為rι,⑵則/2的橫坐標(biāo)為—V5_；若八：，2=1：3,則雙曲線離心率為2.

【解答】解：△BFιF2的內(nèi)切圓圓心為Oi,

邊BFi、BF2、尸1尸2上的切點(diǎn)分別為M、N、E,

則IBM=IBNI,IFlM=IFIE?F2N?=?F2E?,

由IBFlI-山丘2∣=2α,得∣8M+∣M尸II-<JBN∣+∣N尸2∣)=2a,則IMMl-W尸2∣=24,

即國￡1-I尸2E∣=2α,記。1的橫坐標(biāo)為期,則E(X0,0),

于是M)+c-Cc-xo)=2a,得Xo="=√5,

c—a1

E(3ri：/2=1：3,可得---=一，

c+a3

??.4α=2c,?1e=2.

故答案為：√3:2.

四、解答題(要求寫出必要的過程，第17題10分，第18~22題各12分，共70分.)

17.(10分)記正項(xiàng)數(shù)列｛z｝的前八項(xiàng)和為S”且滿足對任意正整數(shù)“有嗎，S”,如構(gòu)成等

差數(shù)列；等比數(shù)列｛/?”｝的公比g>l,b?-a?,皿6=64.

(1)求｛“”｝和｛尻｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)Cjl=需鬻，求數(shù)列｛Cn｝的前〃項(xiàng)和Tn.

【解答】解：(1)由對任意正整數(shù)〃有成，s〃，?！?gòu)成等差數(shù)列，

2

則2Sn=an+αn,

當(dāng)〃=1時，2Sι=Q∕+α],即m=l,

ctnan

當(dāng)〃22時，an=Sn-Sn-I=^-

即(dn^^^Cln-1)(Cln~Cln-?-1)=O,

又a∏>09

即an-Cln-↑=1,

即數(shù)列｛〃〃｝是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)歹U,

即Cln=∏,

由數(shù)列｛加｝為等比數(shù)列且公比q>l,?∣=L?2?6=64,

則/=64,

即q=2,

即生=2n-1;

2n+12n—1

(2)由(1)可得：Cn二1

丹溜|；n÷2n

18.(12分)如圖，在三棱錐P-48C中，平面％C，平面ABC,PA=PC^4,ABLBC,D,

E分別為PC,AC中點(diǎn)，且BDj_AC.

⑴嘮的值;

(2)若AC=4,求二面角E-BQ-C的余弦值.

【解答】解：（1）作。尸，AC于F,連接。F,BF,如圖所示:

：平面%C_L平面ABC,￥≡PAC∏ABC=AC,DFLAC,PEcffiPAC,

/.DFljFffiABC,

'：DF//PE,

：.PEI5??ABC,ACu平面ABC,

.?DF±AC,

'JAClBD,BDCDF=D,BD,DF?jFffiBFD,

，4C_L平面BFD,BFc5PEBFD,

.".ACLBF,

,：D,E分別為PC,AC中點(diǎn)，PA=PC=4,DFLAC,

：.AF=3FC,

VABlBC,ACLBF,

：.AB1=AFAC,BC2=FCAC,

(2)由AC=4=>AB=2√3,BC=BE=CD=ED=I,取BD中點(diǎn)為G,連接DG,CG,

由4BED,ABCO為等腰三角形，

?BD±EG,BD±CG,

則NEGC為二面角E-BD-C的平面角.8。=√2BF=√6,EG=CG=

1

所以二面角E-BD-C的余弦值為J

19.(12分)如圖，在平面四邊形ABCQ中，NBC。=%,AB=I,ZABC=?.

(1)當(dāng)BC=√Σ,CD=√7時，求aACC的面積；

(2)當(dāng)/40C=親AD=2時,求CoSNACZX

【解答】解：過A作A”"￡＞于點(diǎn)"，再過B作BMUH于點(diǎn)M,結(jié)合NBCQ=/，可

τrτr

知=卷故

ZJWBCZ4ZTIBM=M

(1)在AABC中，AC2=AB2+BC2-2ΛB?βC?cosl35o

l+2-2x√Σx(一與)=5,?AC=√5,

故2CB=嗎膾津=備即SinNA"=治

所以AH=AC?smZACH=」，

所以SgCD=γCD-AH=呼?.

(2)如圖，在RtZiABM中,BM=AB?cos%=專=CH,

在RtZ?AHQ中，?ADC=\故AH=2?sin1=1,

OO

所以a。？=力“2_|_CH?=1,即AC=?,

所以cosZACD=市:=-?.

BH

Ψ._______________

A

20.(12分)某社區(qū)擬對該社區(qū)內(nèi)8000人進(jìn)行核酸檢測，現(xiàn)有以下兩種核酸檢測方案：

方案一：4人一組，采樣混合后進(jìn)行檢測；

方案二：2人一組，采樣混合后進(jìn)行檢測；

若混合樣本檢測結(jié)果呈陽性，則對該組所有樣本全部進(jìn)行單個檢測；若混合樣本檢測結(jié)

果呈陰性，則不再檢測.

(1)某家庭有6人，在采取方案一檢測時，隨機(jī)選2人與另外2名鄰居組成一組，余下

4人組成一組，求該家庭6人中甲，乙兩人被分在同一組的概率；

(2)假設(shè)每個人核酸檢測呈陽性的概率都是0.01,每個人核酸檢測結(jié)果相互獨(dú)立，分別

求該社區(qū)選擇上述兩種檢測方案的檢測次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.以較少檢測次數(shù)為依據(jù)，你建

議選擇哪種方案？

(附：0.992≈0.98,O.994≈O.96)

【解答】解：(1)記該家庭6人中甲，乙兩人被分在同一組為事件A,

則P。)=筆=￡；

c6

(2)每個人核酸檢測陽性概率為0.01,每個人核酸檢測呈陰性的概率為0.99,

若選擇方案一進(jìn)行核酸檢測，記小組4人的檢測次數(shù)為ξι,

則章可能取值為1,5,其分布列為：

ξι15

P0.9941-0.994

則選擇方案一，小組4人的檢測次數(shù)期望為E(A)=IX0.994+5×(1-0.994)=5-

4×0.994≈1.16,

該社區(qū)對8000人核酸檢測總次數(shù)Xi的期望為E(Xi)=2000×l.I6=2320,

若選擇方案二，記小組2人的檢測次數(shù)為ξ2,

則攵可能取值為1,3,其分布列為：

ξ2?3

P0.9921-O.992

E(A)=1×0.992+3×(1-0.992)=3-2×0.992≈1.04,

該社區(qū)8000人進(jìn)行核酸檢測總次數(shù)X2的期望E(X2)=400OX1.04=4160,

顯然后(κ)<￡(*2),，建議選擇方案一.

21.(12分)函數(shù)/(x)=ax+2bx+e2,其中a,人為實(shí)數(shù)，且α∈(0,1).

(注e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù))

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)己知對任意b>4e2,函數(shù)/(x)有兩個不同零點(diǎn)，求“的取值范圍.

【解答】解：(1)/(?)=axlna+2b,由0<a<l,

當(dāng)?≤0時，，(x)<0,f(x)在(-8,+∞)上單調(diào)遞減；

當(dāng)6>0時，令，(X)=0得x=∕ogα(溜)，xVo%(禧)時，/(》)<0./(x)在

(一8,∕ogɑ(禧))上單調(diào)遞減：XXOga(禧)時，/(x)>0,∕(x)在(1。9式禧)，+8)

上單調(diào)遞增；

綜上所述：匕WO時，/(X)在(-8,+8)上單調(diào)遞減；匕>0時,/(χ)在(_8,kgα(焉))

上單調(diào)遞減；在QogJ/)，+8)上單調(diào)遞增.

(2)由(1)可知：當(dāng)b>0時,f(x)在(一8,∕ogtl(焉))上單調(diào)遞減;/(χ)在Qoga(瑞,

+8)上單調(diào)遞增，

—26—?h—?h—7h

2

于是有f(x)min=fa。%(而))∕(x)mE=f。0%(而"))=而f+2blogcι(~成)+e=

—2b—-2b、J/-2b、2

而一(而∕n?^)+e

?.?函數(shù)/(x)在定義域上有兩個零點(diǎn)，

-2b

Λ/(x)〃而V0,令-、—=t,即有g(shù)(/)=t-tlnt+e2<0gr(/)=Tnt,

Ina

：.g(r)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1,+8)單調(diào)遞減，

又OVyl時，g⑺=t(1-lnt)+?>0；r>l時，注意到g(次)=0,

要使得gG)<0