隨機變量的數(shù)字特征-深圳大學

1、隨機變量的數(shù)字特征-深圳大學四、隨機變量的數(shù)字特征四、隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字特征-深圳大學考試內(nèi)容考試內(nèi)容（一）隨機變量的數(shù)學期望（一）隨機變量的數(shù)學期望1.離散型隨機變量的數(shù)學期望（均值）設X的分布律為, 2 , 1,)(ipxXPii(級數(shù) 絕對收斂)kkkpxkkkpx)(XE則2.連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望設連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為f(x),則dxxxfXE)()(（ 絕對收斂）dxxxf)(隨機變量的數(shù)字特征-深圳大學3.隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望（1）X為隨機變量，y=g(x)為實變量x的函數(shù).離散型：( ) ()();kkkE YE g Xg xp連續(xù)型：( ) ()(

2、) ( ).E YE g Xg x f x dx(2)(X,Y)為二維隨機變量, z=g(x,y)為x,y的二元函數(shù).離散型：連續(xù)型：( ) (, )( ,);ijijijE ZE g X Yg x yp ( ) (, )( , ) ( , ).E zE g X Yg x y f x y dxdy隨機變量的數(shù)字特征-深圳大學4.數(shù)學期望的性質(zhì)(1) E(C)=C;(2) E(aX+b)= aE(X)+b;(3) E(X1+ X2+Xn)=E(X1)+ E(X2)+E(Xn);(4) 若X1, X2,Xn相互獨立,則 E(X1 X2Xn)=E(X1) E(X2)E(Xn);(5).()()(22

3、2YEXEXYE隨機變量的數(shù)字特征-深圳大學（二）方差（二）方差1.定義 D(X)=EX-E(X)2均方差或標準差：)()(XDX 2.計算(1) 離散型：.)()(2kkkpXExXD2()()( ).D XxE Xf x dx(2)連續(xù)型：(3) 常用計算公式：D(X)=E(X2)-E2(X).隨機變量的數(shù)字特征-深圳大學3. 方差的性質(zhì)(1) D(X)=E(X2)-E2(X)， E2(X)=D(X)+E(X2)(2) D(C)=0;(3) E(aX+b)= a2D(X);(4) D(XY)=D(X)+ D(Y) 2Cov(X,Y);若X, Y相互獨立,則 D(XY)=D(X) +D(Y)

4、.(5) D(X)=0 P(X=C)=1.隨機變量的數(shù)字特征-深圳大學（三）協(xié)方差、協(xié)方差矩陣與相關系數(shù)（三）協(xié)方差、協(xié)方差矩陣與相關系數(shù)Cov(X,Y)= EX-E(X) Y-E(Y)1.協(xié)方差2.相關系數(shù).)()(),(),(YDXDYXCovYXXY用來表征隨機變量X,Y之間線性關系的緊密程度.當 較大時，說明X,Y 線性關系程度較強；當 較小時，說明X,Y 線性關系程度較弱；當 時，稱X與Y不相關（線性）.XYXY0XY隨機變量的數(shù)字特征-深圳大學3.協(xié)方差矩陣設(X1, X2,Xn)是n維隨機變量,若cij=Cov(Xi,Yj),nji, 2 , 1,存在，則稱矩陣為n維隨機變量(X

5、1, X2,Xn)的協(xié)方差矩陣.nnnnnnccccccccc212222111211隨機變量的數(shù)字特征-深圳大學4.協(xié)方差及相關系數(shù)的性質(zhì) Cov(X,X)=D(X); (2) Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y); (3)Cov(X,Y)= Cov(Y,X）; (4)Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y)+ Cov(X2,Y); (5)Cov(aX+c,bY+d)= abCov(X,Y); (6) (7) X與Y以概率1線性相關,即存在a,b,1;XY. 1)(baXYP1XY 且a0,使),0( 1)(1),0( 1)(1abaXYPabaXYPXYXY(8)隨機變量

6、的數(shù)字特征-深圳大學（四）矩與混合矩1.隨機變量X的k階原點矩：), 2 , 1)(kXEk隨機變量X的k階中心矩：() (1,2,)kE XE Xk2. 設(X,Y)為二維隨機變量,X和Y 的k+l 階混合原點矩為：()( ,1,2,);klE X Yk l X和Y 的k+l 階混合中心矩為：() () ( ,1,2,)klE XE XXE Xk l 數(shù)學期望是一階原點矩；方差是二階中心矩，數(shù)學期望是一階原點矩；方差是二階中心矩，協(xié)方差是協(xié)方差是1+1階混合中心矩階混合中心矩.隨機變量的數(shù)字特征-深圳大學（五）常見分布的數(shù)學期望與方差（五）常見分布的數(shù)學期望與方差 分布數(shù)學期望 方差0-1分

7、布B(1,p) pp(1-p)二項分布B(1,p) npnp(1-p)泊松分布幾何分布 G(p)(1-p)/p2超幾何分布H(N,M,n)均勻分布正態(tài)分布指數(shù)分布)(P( )E),(2N),(baUp/1NMn(1)1MMNnnNNN2/ )(ba12/)(2ab2/121/隨機變量的數(shù)字特征-深圳大學（六）重要結論（六）重要結論5個等價條件：)()()()5()()()()4()()()()3(0),()2(0) 1 (YDXDYXDYDXDYXDYEXEXYEYXCovXY注意：X,Y相互獨立為上述5個條件中任何一個成立的充分條件，但非必要條件.隨機變量的數(shù)字特征-深圳大學考點與例題分析考

8、點與例題分析考點一：數(shù)學期望和方差的計算考點二：隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望與方差考點三：協(xié)方差、相關系數(shù)，獨立性與相關性隨機變量的數(shù)字特征-深圳大學考點一：數(shù)學期望和方差的計算考點一：數(shù)學期望和方差的計算1.對分布已知的情形，按定義求；2.對由隨機試驗給出的隨機變量，先求出分布，再按定義計算；3.利用期望、方差的性質(zhì)以及常見分布的期望和方差計算；4.對較復雜的隨機變量,將其分解為簡單隨機變量,特別是分解為(0,1)分布的隨機變量和進行計算.隨機變量的數(shù)字特征-深圳大學例1 一臺設備由三大部件構成,在設備運轉(zhuǎn)中各部件需要調(diào)試整的概率相應為0.1,0.2,0.3,假設各部件的狀態(tài)相互獨立,以X表示同時

9、需要調(diào)整的部件數(shù),試求X的E(X)和D(X).解法1 先求出分布律：設事件Ak=第k個部件要調(diào)整 （k=1,2,3),則, 3 . 0)(, 2 . 0)(, 1 . 0)(321APAPAP.092. 0) 3() 1() 0(1) 2(.006. 0)() 3(.398. 0)()()() 1(.504. 0)() 0(321321321321321XPXPXPXPAAAPXPAAAPAAAPAAAPXPAAAPXP隨機變量的數(shù)字特征-深圳大學即X具有的分布律為：006. 0092. 0398. 0504. 03210X從而有E(X)=0.6，D(X)= E(X2)- E2(X)=0.46

10、.解法2 用分解法：引進隨機變量)3 , 2 , 1( 0 , 1kAAXkkk，不出現(xiàn)出現(xiàn)X0-1分布，()(), ()(1)()1().kkkkkE XpP AD XppP AP A且X=X1+X2+X3， E(X)=E(X1)+E(X2)+E(X3) =0.6 D(X)=D(X1)+D(X2)+D(X3) =0.46隨機變量的數(shù)字特征-深圳大學注注:1.將一個“復雜”的隨機變量分解成若干個“簡單”的隨機變量之和 是研究隨機變量的一種基本方法，但必須注意：求方差時，應先判斷Xi 是否相互獨立.若獨立,則D(X)易求(和),否則不易求出.,1niiX2. 求離散型隨機變量的期望和方差時,會用

11、到無窮級數(shù)求和，如下例:隨機變量的數(shù)字特征-深圳大學例2 對某目標連續(xù)射擊,直到命中n次為止,設每次射擊的命中率為p，求消耗子彈的數(shù)學期望.解 設Xi表示第i-1次命中至第i 次命中之間所消耗的子彈數(shù)(含第i次命中不含第i-1次命中),則niiXX1, 2 , 1 ,)1 (1kppkXPki于是有12111()(1), 1,2,1 (1)kikE Xkpppinpp121111(1)(1) (1)1 (1)1 (1)kkkkkpppp故1.niinEXEXp隨機變量的數(shù)字特征-深圳大學例3 設隨機變量的概率密度，其它 , 0, 21 ,2, 10 ,)(xxxxxf求數(shù)學期望和方差.解 1)

12、2()()(21102dxxxdxxdxxxfXE122232017()( )(2).6E Xx f x dxx dxxx dx2271()()()1.66D XE XEX 注注：若已知分布函數(shù)，則需先求出密度函數(shù).隨機變量的數(shù)字特征-深圳大學例4 設X的密度函數(shù),1)(122xexfxx則E(X)_, D(X)_.2(1)12211( ),(1, ),1222xf xeXN211隨機變量的數(shù)字特征-深圳大學考點二：隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望與方差考點二：隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望與方差1.先求概率密度或分布函數(shù),再按期望定義計算,如2.直接利用函數(shù)期望的公式計算：( ) ()();kkkE YE g

13、 Xg xp( ) ()( ) ( ).E YE g Xg x f x dx( ) (, )( ,);ijijijE ZE g X Yg x yp ( ) (, )( , ) ( , ).E zE g X Yg x y f x y dxdy3.利用數(shù)學期望、方差的性質(zhì)以及常見分布的數(shù)學期望與方差計算.( )( ).YE Yyfy dy隨機變量的數(shù)字特征-深圳大學例5 設XE(1),則數(shù)學期望._)(2 XeXE43解 先利用期望的線性性質(zhì)，再用隨機變量函數(shù)的期望公式求得.因XE(1),于是E(X)=1,而且X的密度函數(shù)為, 0 , 0, 0 ,)(xxexfx2201().3XxxE eee

14、dx224()()().3XXE XeE XE e指數(shù)分布隨機變量的數(shù)字特征-深圳大學例6 設X的密度函數(shù),)1 (1)(2xxxf求).1 ,min( XE解 直接利用函數(shù)期望的公式計算11122012101min(,1)min(,1)( )( )122(1)(1)1ln21ln(1)2arctan2xxEXxdxx f x dxf x dxxdxdxxxxx隨機變量的數(shù)字特征-深圳大學注注：在求多個隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望時,若直接用公式計算,則需求多重積分.故不如先求出隨機變量函數(shù)的概率分布,再用定義計算期望,例如 設隨機變量X1, X2, Xn獨立同分布,其密度函數(shù)2()2, ,( )0

15、, .xexf xx試求 的數(shù)學期望和方差.niXZ1min為常數(shù)（自行完成）隨機變量的數(shù)字特征-深圳大學例7 設是兩個相互獨立且均服從正態(tài)分布 )21( , 0 (2N的隨機變量，則._)(YXE解 令Z=X-Y，則E(Z)=0, D(Z)=1,即).1 , 0( NZ故積分，得2212().2zE XYzedz注注：利用正態(tài)分布的性質(zhì)、隨機變量函數(shù)的期望公式隨機變量的數(shù)字特征-深圳大學例8 一工廠生產(chǎn)的某種設備的壽命X（年）服從指數(shù)分布,概率密度函數(shù)為41, 0,( )40, 0,xexf xx規(guī)定出售的設備若在售出一年內(nèi)損壞可予以調(diào)換,若工廠售出一臺設備贏利100元,調(diào)換一臺設備廠方需花

16、費300元，試求廠方出售一臺設備贏利的數(shù)學期望.解 設出售一臺贏利為Y,則Y的所有可能取值為100,-200.因分析：先求出贏利的分布.隨機變量的數(shù)字特征-深圳大學11111444001( )( )1 1,4xxP Xf x dxf x dxe dxee Y的分布律為kpY 100 -20014e141e所以，64.33)1 (200100)(4141eeYE注注：Y是X的函數(shù).X是連續(xù)型的,而Y是離散型的.隨機變量的數(shù)字特征-深圳大學考點三：協(xié)方差、相關系數(shù)，獨立性與相關性考點三：協(xié)方差、相關系數(shù)，獨立性與相關性1.協(xié)方差、相關系數(shù)的計算實際上是隨機變量函數(shù)的期望的計算，方法見考點二；X,Y

17、相互獨立. 0XY若(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則X,Y相互獨立. 0XY2.獨立性與相關性的關系隨機變量的數(shù)字特征-深圳大學例9 將一枚硬幣重復擲n次,以X,Y分別表示正面向上和反面向上的次數(shù),則X和Y的相關系數(shù)為_. 1 )( .21)( . 0)( . 1)(DCBA )(A解 因X+Y=n,即Y=n-X.法1 用定義求：D(Y)=D(n-X)=D(X)(),(),(),(XDYXCovnXXCovYXCov因此，(, )()(, )1.()( )()( )XYCov X YD XX YD XD YD XD Y 法2 用性質(zhì)(7)：因Y=n-X，Y是X的線性函數(shù),且X的系數(shù)為-10,故X

18、和Y的相關系數(shù)為-1.隨機變量的數(shù)字特征-深圳大學例10 設 其中,2131YXZ)4 , 0 (),3 , 1 (22YNX且.21XY(1)求E(Z), D(Z)；（2）求X,Z的相關系數(shù)；（3） X與Z是否相互獨立？為什么？解（1）由期望和方差的性質(zhì)有11111( )()( )10.32323E ZE XE Y 221111( )()()(,)3232111 1 ()( )2(, )323 2D ZDXDYCovXYD XD YCov X Y1111 916( )( )53 4 3.9432XYD XD Y 隨機變量的數(shù)字特征-深圳大學（3）X,Y均服從正態(tài)分布,但不獨立,故不能認為Z服

19、從正態(tài)分布，從而二維隨機變量(X,Y)不一定服從二維正態(tài)分布,故盡管X與Z不相關, X與Z仍不一定相互獨立.（2）211(, )(,)(, )32111 =3() 3 40.322Cov X ZCov X XCov X Y 故(, )0.()( )XYCov X ZD XD Z注注： X與Z 均服從正態(tài)分布，且X與Z 相互獨立，則(X,Z)服從二維正態(tài)分布.隨機變量的數(shù)字特征-深圳大學例11.(08)設隨機變量 (0,1), (1,4),XNYN且 則, 1XY. 112)( . 112)(. 112)( . 112)(XYPDXYPCXYPBXYPA考查：相關系數(shù)的性質(zhì)：. 1)(baXYP

20、1XY 存在a,b,使以及正態(tài)分布數(shù)字特征的性質(zhì).解 選D. 由正態(tài)分布有 EX=0,DX=1, EY=1,DY=4,. 1)(baXYP1,XY故存在a,b,使從而EY=aEX+b,得b=1.而()()0 11.2()( )14XYE XYEXEYE X aXbaD XD Z . 2a隨機變量的數(shù)字特征-深圳大學考研題及練習題考研題及練習題1. 設隨機變量(X,Y)在區(qū)域D:0 x1,-xyx內(nèi)服從均勻分布，求Z=2X+1的方差.(兩種方法)答案：E(Z)=2/3,D(Z)=2/9.隨機變量的數(shù)字特征-深圳大學2.(08）設隨機變量X服從參數(shù)為1的泊松分布,則PX=EX2_.e21考查：泊松分布的數(shù)字特征及其概率分布.參數(shù)為1的泊松分布的EX =DX=1,從而EX2 =DX+(EX)2=2, PX=EX2=Px=2=1/2e.3.(04134) 設隨機變量X服從參數(shù)為 的指數(shù)分布,則._ )(XDXPe1隨機變量的數(shù)字特征-深圳大學4.(041)設隨機變量X1, X2, Xn獨立同分布,且其方差為 令 則. 02 .1),()( .2),()( .),()( .),()(21212121nnYXCovDnnYXCovCYXCovBnYXCovA11,niiYXn提示：用方差和協(xié)方差的運算性質(zhì)直接計算即可,注意到利用獨立性有：1(,)0,(2,3,)iCov