高等數(shù)學：2-4 隱函數(shù)求導法則

1、12.4 2.4 非初等函數(shù)的求導方法非初等函數(shù)的求導方法2解解1.)1()1( xxfy )(sine)(sin xfyxf3. )1(12xfx 2.4.12.4.1抽象函數(shù)求導抽象函數(shù)求導 xxfxfcos)(sine)(sin 問：問：有什么區(qū)別？有什么區(qū)別？與與 )(sin)(sin xfxf例例1 1 設設 f 可導，求下列函數(shù)的導數(shù)：可導，求下列函數(shù)的導數(shù)：1.)(sinxfy )1(xfy 2.)(sine. 3xfy 32.4.2 2.4.2 隱函數(shù)求導法隱函數(shù)求導法問題問題: 隱函數(shù)不隱函數(shù)不能顯化時如何求導能顯化時如何求導 ?例例如如, , 隱隱函函數(shù)數(shù): :133 yx

2、, , 顯顯化化: :331xy . . 如如果果二二元元方方程程0),( yxF確確定定了了一一個個函函數(shù)數(shù))(xyy , ,稱稱之之為為隱隱函函數(shù)數(shù). . 當然當然, ,)(xy一經(jīng)解出一經(jīng)解出, ,則稱為則稱為顯函數(shù)顯函數(shù). . 方程方程222ayx 可以確定函數(shù)可以確定函數(shù)22xay 與與22xay , ,有兩個有兩個. . 但但有有時時不不易易或或不不能能顯顯化化, ,如如Kepler方方程程： 0sin yxy )10( . . 4求由方程求由方程222ayx 所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù))(xyy 的導數(shù)的導數(shù). . 方方程程兩兩邊邊關關于于 x求求導導( (將將 y視視為為 x

3、的的函函數(shù)數(shù)) ), ,得得 解得解得 yxy . . 顯顯化化后后, ,22xay , , 另另一一分分支支: : 22xay , ,22xaxy yx . . 例例2 2解解，022 yyx比較：比較：22xaxy ；yx 5例例3 3解解方方程程兩兩邊邊關關于于x求求導導, ,得得 當當0 x時時, ,1 y, , ，0e yxyyy，xyyy e.e1 0 xy6，0e yxyyy，xyyy e.e1 0 xy1)0( y2)(e)1e ()e (xyyxyyyyy 2)(e)1ee ()e (exxyyxxyyyyyy 322)(ee)(e2xyxyyyy .e1 0 xy72.4.

4、3 “疑似疑似”非初等函數(shù)：冪指函數(shù)的求導法非初等函數(shù)：冪指函數(shù)的求導法是否是初等函數(shù)？是否是初等函數(shù)？xxysin 問：問：)(sin xxy)e(lnsin xx)ln(sinelnsin xxxx)/sinln(coselnsinxxxxxx )/sinln(cossinxxxxxx xxxxeexyxlnsinlnsinsin 因為因為所以所以 8例例4 4解解.),0(yxxyx 求求設設等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得xxylnln 求求導導得得上上式式兩兩邊邊對對 x1ln1 xyy)1(ln xyy. )1(ln xxx9例例5 5解解 142) 1( 3111e)4(1) 1

5、(23xxxxxxyx等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求導得求導得上式兩邊對上式兩邊對 x142)1(3111 xxxyy.,e)4(1)1(23yxxxyx 求求設設嚴嚴格格講講, ,取取對對數(shù)數(shù)時時應應取取絕絕對對值值, ,如如xxln2ln2 , ,但但xx/1)(ln , ,故故省省略略絕絕對對值值. . 注意：注意：10方法方法： 先在方程兩邊先在方程兩邊取對數(shù)取對數(shù), 然后利用隱函數(shù)的求導然后利用隱函數(shù)的求導方法求出導數(shù)方法求出導數(shù).適用范圍適用范圍: :.)()( 比較復雜的函數(shù)的情形比較復雜的函數(shù)的情形以及乘、除、根式表達以及

6、乘、除、根式表達用于冪指函數(shù)用于冪指函數(shù)xvxu取對數(shù)求導法的進一步推廣：取對數(shù)求導法的進一步推廣：112.4.4 由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)若參數(shù)方程)()(tytx可確定一個 y 與 x 之間的函數(shù))(, )(tt可導, 且0)( t時, 有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt關系,或者或者xyddtxtydddd12(P108(P108例例7)7)已已知知橢橢圓圓的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為 ,sin,costbytax.4處處的的切切線線方方程程求求橢橢圓圓在在 t13若上述參數(shù)方程中)(, )(tt二階可導,22ddxy)dd(ddxyx)(2

7、t)()(tt )()(tt )(t)()()()()(3ttttt )dd(ddxyttxdd)()(ddttxy)(tx且,0)( t則由它確定的函數(shù))(xyy 可求二階導數(shù) .利用新的參數(shù)方程,可得)()(dd22ttxy注意注意 :14(P110(P110例例9)9)已已知知擺擺線線的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為 ),cos1(),sin(tayttax.)(的的二二階階導導數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)xyy 15例例6. 拋射體運動軌跡的參數(shù)方程為 1tvx 求拋射體在時刻 t 的運動速度的大小和方向. 解解: 先求速度大小:水平分量為,dd1vtx垂直分量為,dd2tgvty故拋射體速度大小22)d

8、d()dd(tytxv2221)(gtvv再求速度方向(即軌跡的切線方向):設 為切線傾角,tanxyddtyddtxdd12vtgv 則yxo2212tgtvy16)(, )(tyytxx為兩可導函數(shù)，已知相關變化率問題解法:方程兩邊對 t 求導2.4.5 相關變化率相關變化率.),(, 0),(dtdytxyxF求求 滿滿足足的的方方程程找找出出)(, )(tytx滿滿足足的的方方程程得得出出)(, )(tytx )()(tytx 求求出出利利用用17例例7. 一氣球從離開觀察員500 m 處離地面鉛直上升,其速率為,minm140當氣球高度為 500 m 時, 觀察員視線的仰角增加率是多

9、少? 500h解解: 設氣球上升 t 分后其高度為h , 仰角為 ,則tan500h兩邊對 t 求導2sectddthdd5001已知,minm140ddth h = 500m 時,1tan22tan1sec,2sec2td 0)minrad/(182.4.6 2.4.6 分段函數(shù)的求導分段函數(shù)的求導19解解因因為為(P87 (P87 第第1717題題) )設設 1,1,)(2xbaxxxxf.,1bax求求常常數(shù)數(shù)可可導導在在點點 1,1,2)(xaxxxf所所以以, 2)1( faf )1(所所以以左左右右導導數(shù)數(shù)相相等等處處可可導導函函數(shù)數(shù)在在,1 x.)1()

10、1(2aff 20解解因因為為(P87 (P87 第第1717題題) )設設 1,1,)(2xbaxxxxf.,1bax求求常常數(shù)數(shù)可可導導在在點點 1,1,2)(xaxxxf所所以以, 2)1( faf )1(?2)1( f問題一：為什么問題一：為什么21( (反例反例1)1)設設 1, 11,)(2xxxxxf?,1)(?2)1(怎怎么么會會可可導導點點根根本本不不連連續(xù)續(xù)在在那那么么 xxff問：問：如果如果 1, 11,2)(xxxxf22解解因因為為(P87 (P87 第第1717題題) )設設 1,1,)(2xbaxxxxf.,1bax求求常常數(shù)數(shù)可可導導在在點點 1,1,2)(x

11、axxxf所所以以, 2)1( faf )1(?)1(af 問題二：為什么問題二：為什么?lim)(lim)1(11aaxffxx 23001sinlim)0(20 xxxfx01sinlim0 xxx)1cos1sin2(lim)(lim)0(00 xxxxffxx 反例反例2 2 求函數(shù)求函數(shù) 0,0,1sin)(22xxxxxxf在在x=0點的導數(shù)。點的導數(shù)。不存在？不存在？)0( f但是根據(jù)左導數(shù)的定義計算可得但是根據(jù)左導數(shù)的定義計算可得24注意：注意：分段函數(shù)在分界點的導數(shù)分段函數(shù)在分界點的導數(shù)必須必須按導數(shù)的定義求導按導數(shù)的定義求導axafxfafax )()(lim)(axafxfafax )()(lim)(25解解所所以以有有可可導導必必連連續(xù)續(xù),)(lim1)(lim)1(11baxxffxx ba 1處處的的左左導導數(shù)數(shù)為為函函數(shù)數(shù)在在1 x211lim1)1()(lim)1(211 xxxfxffxx(P87 (P87 第第1717題題) )設設 1,1,)(2xbaxxxxf.,1bax求求常常數(shù)數(shù)可可導導在在點點 26處處的的右右導導數(shù)數(shù)