小學(xué)尖子生訓(xùn)練之-圓與扇形模塊練習(xí)(含答案)

1、圓與扇形目tM蚱 例題精講研究圓、扇形、弓形與三角形、矩形、平行四邊形、梯形等圖形組合而成的不規(guī)則圖形，通過變動(dòng)圖形的位 置或?qū)D形進(jìn)行分割、旋轉(zhuǎn)、拼補(bǔ)，使它變成可以計(jì)算出面積的規(guī)則圖形來計(jì)算它們的面積.圓的面積=<2 ;扇形的面積=<2X;360圓的周長=2巾；扇形的弧長 =2年父_ .360一、跟曲線有關(guān)的圖形元素：扇形：扇形由頂點(diǎn)在圓心的角的兩邊和這兩邊所截一段圓弧圍成的圖形，扇形是圓的一部分.我們經(jīng)常說的1圓、1圓、1圓等等其實(shí)都是扇形，而這個(gè)幾分之幾表示的其實(shí)是這個(gè)扇形的圓心角占這個(gè)圓周角的幾246分之幾.那么一般的求法是什么呢？關(guān)鍵是.360比如：扇形的面積=所在圓的面

2、積X 360扇形中的弧長部分 =所在圓的周長 黑.360扇形的周長=所在圓的周長 +父.2尺半徑（易錯(cuò)點(diǎn)是把扇形的周長等同于扇形的弧長）360弓形：弓形一般不要求周長，主要求面積.一般來說，弓形面積 =扇形面積-三角形面積.（除了半圓）“彎角"：如圖:彎角的面積=正方形-扇形“谷子”：如圖:“谷子”的面積=弓形面積父2二、常用的思想方法：轉(zhuǎn)化思想（復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單，不熟悉的轉(zhuǎn)化為熟悉的）等積變形（害U補(bǔ)、平移、旋轉(zhuǎn)等）借來還去（加減法）外圍入手（從會(huì)求的圖形或者能求的圖形入手，看與要求的部分之間的“關(guān)系” ）板塊一 平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ)、對稱在曲線型面積中的應(yīng)用【例1】 如圖，圓 O的直徑

3、AB與CD互相垂直，AB=10厘米，以 C為圓心，CA為半徑畫弧。求月牙形 ADBEA （陰影部分）的面積?！究键c(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【關(guān)鍵詞】華杯賽，決賽，第 9題，10分【解析】例2【題型】解答月牙形 ADBEA（陰影部分）的面積=半圓的面積 + ABC的面積一扇形 CAEBC的面積月牙形121ADBEA的面積= -x 7tx5 +25 M兀父50 =25 （平萬厘米），所以月牙形 ADBEA的面積是 25平萬24厘米。25三個(gè)半徑為100厘米且圓心角為米.（兀取3.14）60o的扇形如圖擺放；那么，這個(gè)封閉圖形的周長是【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【關(guān)鍵詞】迎春杯，六年級，初賽， 4題【

4、解析】三個(gè)扇形的弧長相當(dāng)于半徑100厘米,圓心角為1800的扇形的弧長，2父3.14次竺° =314厘米;360【答案】314例3 分別以一個(gè)邊長為 2厘米的等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以2厘米為半徑畫弧，得到右圖；那么，陰影圖形的周長是【考點(diǎn)】圓與扇形試題【關(guān)鍵詞】 迎春杯，六年級，初賽,【解析】每段弧長為1c圓，所以6C陰影=6父一C圓=> C陰影=6 X C圓二C圓，所以C陰影=12.5666【答案】12.56例4下圖中每一個(gè)小正方形的面積是1平方厘米，那么格線部分的面積是多少平方厘米?【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【解析】割補(bǔ)法.如右圖，格線部分的面積是36平方厘米.【答

5、案】36【鞏固】下圖中每一個(gè)小正方形的面積是1平方厘米，那么格線部分的面積是多少平方厘米?【題型】解答 36平方厘米.【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【解析】割補(bǔ)法.如右圖，格線部分的面積是【答案】36例5如圖，在18x8的方格紙上，畫有1, 9, 9, 8四個(gè)數(shù)字.那么，圖中的陰影面積占整個(gè)方格紙面積的幾分之幾?圓與扇形【難度】3星【題型】解答【解析】我們數(shù)出陰影部分中完整的小正方形有8+15+15+16 = 54 個(gè)，其中部分有 6+6+8 = 20個(gè), _ 部分有6+6+8 =20（個(gè)），而1個(gè)所以陰影部分共包含54+20 =74（個(gè)）完整小正方形,和1個(gè)正好組成一個(gè)完整的小正方形，而整個(gè)方

6、格紙包含8 M 18 = 144（個(gè)）完整小正方形.所以圖中陰影面積占整個(gè)方格紙面積的上，即之.144723772在4X 7的方格紙板上面有如陰影所示的”6”字，陰影邊緣是線段或圓弧.問陰影面積占紙板面積【考點(diǎn)】【難度】3星矩形紙板共28個(gè)小正方格，其中弧線都是【題型】解答11圓周，非陰影部分有3個(gè)完整的小正方形，其余部分可4拼成6個(gè)小正方格.因此陰影部分共2863=19個(gè)小正方格.所以，陰影面積占紙板面積的2828【例6】 在一個(gè)邊長為 2厘米的正方形內(nèi)，分別以它的三條邊為直徑向內(nèi)作三個(gè)半圓，則圖中陰影部分的 面積為平方厘米.【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】西城實(shí)驗(yàn)【解析】

7、采用割補(bǔ)法.如果將陰影半圓中的2個(gè)弓形移到下面的等腰直角三角形中，那么就形成兩個(gè)相同的等腰直角三角形，所以陰影部分的面積等于兩個(gè)等腰直角三角形的面積和，即正方形面積的一半， 所以陰影部分的面積等于 22黑1=2平方厘米.2【答案】2【例7】 如圖，止方形邊長為 取 3.14) b【考點(diǎn)】圓與扇形【難【關(guān)鍵詞】人大附中，分班考試 【解析】把中間止方形里向的 個(gè)止方形面積與四個(gè) 幻影=4MSl+4MS71,正方形的4個(gè)頂點(diǎn)和4條邊分別為4個(gè)圓的圓心和半徑，求陰影部分面積.(兀111度】4星【題型】解答4個(gè)小陰影向外平移，得到如右圖所示的圖形，可見，陰影部分的面積等于四90口的扇形的面積之和，所以，

8、= 4MS+酶 =4父12+兀父12 =4+兀=7.14 . -J【答案】7.14【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【題型】解答【解析】陰影部分經(jīng)過切割平移變成了一個(gè)面積為正方形一半的長方形，則陰影部分面積為4x44-2 = 8.【答案】8【例8】 圖中的4個(gè)圓的圓心是正方形的 4個(gè)頂點(diǎn)，它們的公共點(diǎn)是該正方形的中心.如果每個(gè)圓的半徑 都是1厘米，那么陰影部分的總面積是多少平方厘米？【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】4星【題型】解答【解析】如下圖所示：可以將每個(gè)圓內(nèi)的陰影部分拼成一個(gè)正方形，每個(gè)正方形的面積為（1x1 + 2）父4=0.5父4 = 2 （平方厘米），所以陰影部分的總面積為 2父4=8 （平方厘

9、米）.【答案】8【鞏固】如圖所示，四個(gè)全等的圓每個(gè)半徑均為2m,陰影部分的面積是 .【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【題型】填空【解析】我們雖沒有學(xué)過圓或者圓弧的面積公式，但做一定的割補(bǔ)后我們發(fā)現(xiàn)其實(shí)我們并不需要知道這些公 式也可以求出陰影部分面積.如圖，割補(bǔ)后陰影部分的面積與正方形的面積相等，等于（2 2.22）2 =16 （m2）.【答案】16【例9】 如右圖，有8個(gè)半徑為1厘米的小圓，用它們的圓周的一部分連成一個(gè)花瓣圖形，圖中的黑點(diǎn)是這些圓的圓心.則花瓣圖形的面積是多少平方厘米？（兀取3）【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】4星【題型】解答【解析】 本題直接計(jì)算不方便，可以利用分割移動(dòng)湊成規(guī)則圖形來求解

10、.如右上圖，連接頂角上的 4個(gè)圓心，可得到一個(gè)邊長為 4的正方形.可以看出，與原圖相比，正方 形的每一條邊上都多了一個(gè)半圓，所以可以把原花瓣圖形的每個(gè)角上分割出一個(gè)半圓來補(bǔ)在這些地方，這樣得到一個(gè)正方形，還剩下 4個(gè)-圓，合起來恰好是一個(gè)圓，所以花瓣圖形的面積為44 +兀父1 =19（平萬厘米）.【總結(jié)】在求不規(guī)則圖形的面積時(shí)，我們一般要對原圖進(jìn)行切割、移動(dòng)、補(bǔ)齊，使原圖變成一個(gè)規(guī)則的圖形， 從而利用面積公式進(jìn)行求解.這個(gè)切割、移動(dòng)、補(bǔ)齊的過程實(shí)際上是整個(gè)解題過程的關(guān)鍵，我們需 要多多練習(xí)，這樣才能快速找到切割拼補(bǔ)的方法、(圓周率取3.14)【例10如圖中三個(gè)圓的半徑都是 5cm,三個(gè)圓兩兩相

11、交于圓心.求陰影部分的面積和.【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】4星【題型】解答【解析】將原圖割補(bǔ)成如圖，陰影部分正好是一個(gè)半圓，面積為5M5M3.14+2=39.25(cm2)【答案】39.25Si ,空白部分面積為 S2 ,那么這兩個(gè)部分如圖，大圓半徑為小圓的直徑，已知圖中陰影部分面積為 的面積之比是多少？(圓周率取3.14)【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】4星【題型】解答【解析】如圖添加輔助線，小圓內(nèi)部的陰影部分可以填到外側(cè)來，這樣，空白部分就是一個(gè)圓的內(nèi)接正方形.設(shè)大圓半徑為 r ,則 S2 =2r2, S, =/ -2r2,所以 S, : & =(3.142 ):2=57:100 .移動(dòng)圖形是

12、解這種題目的最好方法，一定要找出圖形之間的關(guān)系.【答案】57:100【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【題型】解答【解析】將右邊的扇形向左平移，如圖所示.兩個(gè)陰影部分拼成一個(gè)直角梯形.(5+10 )<5+2 =75+2 =37.5(平方分米).【答案】37.5 【鞏固】如圖，陰影部分的面積是多少?222【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【題型】解答【解析】首先觀察陰影部分，我們發(fā)現(xiàn)陰影部分形如一個(gè)號角，但是我們并沒有學(xué)習(xí)過如何求號角的面積，那么我們要怎么辦呢？陰影部分我們找不到出路，那么我們不妨考慮下除了陰影部分之外的部分吧!觀察發(fā)現(xiàn)，陰影部分左側(cè)是一個(gè)扇形，而陰影部分右邊的空白部分恰好與左邊的扇形

13、構(gòu)成一個(gè)邊長為4的正方形，那么陰影部分的面積就等于大的矩形面積減去正方形面積.則陰影部分面積(2 2 2) 4 (2 2) 4 =8【答案】8【難度】4星【例12】【題型】解答【考點(diǎn)】圓與扇形 【解析】法一：為了求得陰影部分的面積，可以從下圖的整體面積中扣掉一個(gè)圓的面積，就是要求的面積了.要扣掉圓的面積，如果按照下圖把圓切成兩半后，從兩端去扣掉也是一樣.如此一來，就會(huì)出現(xiàn)一 個(gè)長方形的面積.因此，所求的面積為10M3 =30(cm2).由于原來的月牙形很難直接計(jì)算，我們可以嘗試構(gòu)造下面的輔助圖形:輔助圖形縮進(jìn)的部分超出的部分如左上圖所示，我們也可以這樣來思考，讓圖形往右側(cè)平移3cm就會(huì)得到右上

14、圖中的組合圖形，而這個(gè)組合圖形中右端的月牙形正是我們要求的面積.顯然圖中右側(cè)延伸出了多少面積，左側(cè)就會(huì)縮進(jìn)多少面積. 因此，所求的面積是10M3 =30(cm2).【答案】30【例13】求圖中陰影部分的面積.【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【題型】解答【解析】如圖，連接BD,可知陰影部分的面積與三角形BCD的面積相等，即為 -x-xi2xi2=36.2 2【答案】36【例14】求如圖中陰影部分的面積.(圓周率取3.14)90s,則陰影部分轉(zhuǎn)化為四分之一圓減去【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】2星【題型】解答 【解析】可將左下橄欖型的陰影部分剖開，兩部分分別順逆時(shí)針個(gè)等腰直角三角形，所以陰影部分的面積為1父兀

15、父42 -父4父4 = 4.56 .42兀取近似值22 .7【答案】4.56【鞏固】如圖，四分之一大圓的半徑為7,求陰影部分的面積，其中圓周率【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【題型】解答【解析】原題圖中的左邊部分可以割補(bǔ)至如右上圖位置，這樣只用先求出四分之一大圓的面積，再減去其內(nèi)的等腰直角三角形面積即為所求.因?yàn)樗姆种淮髨A的半徑為7,所以其面積為：1212 2277 黑兀之一7 7 黑=38.5 .4471四分之一大圓內(nèi)的等腰直角二角形ABC的面積為1x7x7 =24. 5所以陰影部分的面積為238.5 - 24.5 14【答案,14【例15】求下列各圖中陰影部分的面積.10【考點(diǎn)】圓與扇形【難

16、度】3星【題型】解答【解析】在圖（1）中，陰影部分經(jīng)過切割平移變成了一個(gè)底為10,高為5的三角形，利用三角形面積公式可110以求得 Sg影=M10M =25；22在圖（2）中，陰影部分經(jīng)過切割平移變成了一個(gè)長為b,寬為a的長方形，利用長方形面積公式可以求得時(shí)影=a Mb =ab .【答案】25, ab【鞏固】求下列各圖中陰影部分的面積（圖中長度單位為cm ,圓周率按3計(jì)算）：(4)【考點(diǎn)】圓與扇形【解析】4.5【答案】4.51.51.5【例16如圖,（6）【題型】解答4.54.5FA=AD=DE=1,求陰影部分的面積.（取汽=3）ABCD是正方形，且WNAD【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【題型】

17、解答【解析】方法一：兩個(gè)分割開的陰影部分給我們求面積造成了很大的麻煩，那么我們把它們通過切割、移動(dòng)、補(bǔ)齊，使兩塊陰影部分連接在一起，這個(gè)時(shí)候我們再來考慮，可能會(huì)有新的發(fā)現(xiàn).由于對稱性，我們可以發(fā)現(xiàn)，弓形 BMF的面積和弓形 BND的面積是相等的，因此，陰影部分面積就等于不規(guī)則圖形BDWC的面積.因?yàn)?ABCD是正方形，且 FA=AD=DE=1,則有CD = DE .那么四邊形 BDEC 為平行四邊形，且/ E=45。.我們再在平行四邊形BDEC中來討論，可以發(fā)現(xiàn)不規(guī)則圖形BDWC和扇形 WDE共同構(gòu)成這個(gè)平行四邊形，由此，我們可以知道陰影部分面積=平行四邊形BDEC-扇455形 DEW=1M1

18、'x 兀勺2 =5 .3608方法二：先看總的面積為 1的圓，加上一個(gè)正方形，加上一個(gè)等腰直角三角形，在則陰影面積為總4面積扣除一個(gè)等腰直角三角形，一個(gè)1圓，一個(gè)45口的扇形.那么最終效果等于一個(gè)正方形扣除一4個(gè)45調(diào)扇形.面積為 儼1_1父3父12 =5.888【鞏固】求圖中陰影部分的面積 （單位：cm）.2【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】2星【題型】解答【解析】從圖中可以看出，兩部分陰影的面積之和恰好是梯形的面積， 所以陰影部分面積為 1父化+4)乂3 =9cm2 .【答案】9【例17如圖，長方形 ABCD的長是8cm,則陰影部分的面積是 cm2.(n=3.14)【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】2

19、星【題型】填空【解析】陰影部分的面積實(shí)際上是右上圖陰影部分面積的一半，所以求出右上圖中陰影部分面積再除以 可.長方形的長等于兩個(gè)圓直徑，寬等于1個(gè)圓直徑，所以右圖的陰影部分的面積等于：28X8-2 一(8 + 2 + 2 )父兀父2 =6.88所以左圖陰影部分的面積等于6.88;2=3.44平方厘米.【答案】3.44【例18如圖所示，在半徑為 4cm的圖中有兩條互相垂直的線段，陰影部分面積A與其它部分面積 B之差(大減小)是 cm2.3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】西城實(shí)驗(yàn)，期末考試 【解析】如圖，將圓對稱分割后,B與A中的部分區(qū)域能對應(yīng)， B僅比A少了一塊矩形，所以兩部分的面積差為：(2父2 &#

20、165;(1 22 )=8cm2.【答案】8 【鞏固】一塊圓形稀有金屬板平分給甲、乙二人.但此金屬板事先已被兩條互相垂直的弦切割成如圖所示尺寸的四塊.現(xiàn)甲取、兩塊，乙取、兩塊.如果這種金屬板每平方厘米價(jià)值1000元，問：甲應(yīng)償付給乙多少元？【考點(diǎn)】圓與扇形2cm3cm5cm7.5cmcm3cm7.5cm5cm2cn2 cm【難度】3星【題型】解答(53)M(7.52) =2M5.5=11(cm2),而原本應(yīng)是兩【解析】如右上圖所示，的面積與I的面積相等，的面積等于與n的面積之和.可見甲比乙多拿的部分為中間的長方形，所以甲比乙多拿的面積為：人平分，所以甲應(yīng)付給乙：X1000 =5500（元）.2【答案】5500【難度】3星【例【考點(diǎn)】圓與扇