高一數(shù)學(xué)教案：第四章三角函數(shù)教材分析

1、第四章 三角函數(shù)教材分析三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一， 它的基礎(chǔ)主要是幾何中的相似形和圓， 研究方法 主要是代數(shù)變形和圖象分析， 因此三角函數(shù)的研究已經(jīng)初步把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來了，本章所介紹的知識，既是解決生產(chǎn)實際問題的工具，又是學(xué)習(xí)中學(xué)后繼內(nèi)容和高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，本章教學(xué)時間約用 36課時，具體分配如下（僅供參考）：4.1 角的概念的推廣約2課時4.2 弧度制約2課時4.3 任意角的三角函數(shù)約2課時4.4 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式約2課時4.5 正弦、余弦的誘導(dǎo)公式約3課時4.6 兩角和與差的正弦、余弦、正切 約7課時4.7 二倍角的正弦、余弦、正切 約3課時4.8 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖

2、象和性質(zhì)約4課時4.9 函數(shù)y=Asin（co x+（）的圖象 約3課時4.10 正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)約2課時4.11 已知三角函數(shù)值求角約2課時小結(jié)與復(fù)習(xí)約4課時一、 內(nèi)容與要求（一）本章主要內(nèi)容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函數(shù)、同角三角函數(shù)間的關(guān) 系、誘導(dǎo)公式、兩角和與差的三角函數(shù)、二倍角的三角函數(shù)，以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)， 已知三角函數(shù)值求角等.（二）頭引言安排了一個實際問題一一求半圓內(nèi)接矩形的最大面積.這個問題可以用二 次函數(shù)來解決，但如果設(shè)角度為自變量，就會得到三角函數(shù)式， 學(xué)生尚未學(xué)過求它的最大值第一大節(jié)是“任意角的三角函數(shù)”.教科書首先推廣了角的概念，介紹了弧度制，接著

3、把三角函數(shù)的概念由銳角直接推廣到任意角（都用坐標(biāo)定義），然后導(dǎo)出同角三角函數(shù)的兩個基本關(guān)系式及正弦、余弦的誘導(dǎo)公式*教科書在本大節(jié)的各小節(jié)中，都安排了許多實例以及知識的應(yīng)用.第二大節(jié)是“兩角和與差的三角函數(shù)”.教科書先引入平面內(nèi)兩點間距離公式（只通過畫圖說明公式的正確性，不予嚴(yán)格證明），用距離公式推出余弦的和角公式，然后順次推出（盡量用啟發(fā)式）其他公式，同時安排了這些公式的簡單應(yīng)用和實際應(yīng)用，包括解決引言中的實 際問題，引出半角公式、和差化積及積化和差公式讓學(xué)生有所了解第三大節(jié)是“三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)”.教科書先利用正弦線畫出函數(shù)y sinx , xe0,2 的圖象，并根據(jù)“終邊相同的角有相同

4、的三角函數(shù)值”，把這一圖象向左、右平行移動，得到正弦曲線；在此基礎(chǔ)上，利用誘導(dǎo)公式，把正弦曲線向左平行移動 一個單位長度，2得到余弦曲線,接著根據(jù)這兩種曲線的形狀和特點，研究了正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)，然后又 研究了正弦函數(shù)的簡圖的畫法，簡要地介紹了利用正切線畫出正切函數(shù)的圖象以及正切函數(shù)的性質(zhì).最后講述了如何由已知三角函數(shù)值求角，并引進(jìn)了 arcsinx、arccosx、arctanx等記號，以供在后續(xù)章節(jié)中遇到求角問題時用來表示答案(三)本章的教學(xué)要求是：1 .使學(xué)生理解任意角的概念、弧度的意義；能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算2 .使學(xué)生掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義，了解余切、正割、余割的

5、定義；掌 握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式3 .使學(xué)生掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、 正切公式,通過公式的推導(dǎo)，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，從而培養(yǎng)邏輯推理能力4 .使學(xué)生能正確運用三角公式，進(jìn)行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明(包 括引出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶).5 .使學(xué)生會用單位圓中的三角函數(shù)線畫出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象，并在此基礎(chǔ)上由誘導(dǎo)公式畫出余弦函數(shù)的圖象；理解周期函數(shù)與最小正周期的意義，并通過它們的圖象理解這正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)；會用“五點法”畫正弦函數(shù)、余弦 函數(shù)和函數(shù)的簡圖，理

6、解 A、。的物理意義.6 .使學(xué)生會由已知三角函數(shù)值求角，并會用符號arcsinx、arccosx、arctanx表示*二、考點要求1 .理解弧度的定義，并能正確地進(jìn)行弧度和角度的換算2 .掌握任意角的三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)的符號、同角三角函數(shù)的關(guān)系式與誘導(dǎo)公 式，了解周期函數(shù)和最小正周期的意義，會求 y Asin( x)的周期，或者經(jīng)過簡單的恒等變形可以化為上述函數(shù)的三角函數(shù)的周期.能運用上述三角公式化簡三角函數(shù)式，求任意角的三角函數(shù)值與證明較簡單的三角恒等式.3 . 了解正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的畫法，會用“五點法”畫正弦、余弦函 數(shù)和函數(shù)y Asin( x )的簡圖，并能解決正

7、弦、曲線有關(guān)的實際問題.4 .能推導(dǎo)并掌握兩角和、兩角差、二倍角與半角的正弦、余弦、正切公式5 . 了解三角函數(shù)的積化和差與和差化積公式6 .能正確地運用上述公式簡化三角函數(shù)式、求某些角的三角函數(shù)值證明較簡單的三角恒等式以及解決一些簡單的實際問題.7 .掌握余弦定理、正弦定理及其推導(dǎo)過程、并能運用它們解斜三角形三、考點分析三角函數(shù)是一種重要的初等函數(shù)，由于其特殊的性質(zhì)以及與其他代數(shù)、幾何知識的密 切聯(lián)系，它既是研究其他各部分知識的重要工具，又是高考考查雙基的重要內(nèi)容之一.本章分兩部分，第一部分是三角函數(shù)部分的基礎(chǔ)，不要求引入難度過高，計算過繁，技巧性過強(qiáng)的題目，重點應(yīng)放在結(jié)知識理解的準(zhǔn)確性、熟

8、練性和靈活性上試題以選擇題、填空題形式居多，試題難度不高，常與其他知識結(jié)合考查復(fù)習(xí)時應(yīng)把握好以下幾點：1 .理解弧度制表示角的優(yōu)點在于把角的集合與實數(shù)集一一對應(yīng)起來，二是就可把三角 函數(shù)看成以實數(shù)為自變量的函數(shù) 2 .要區(qū)別正角、負(fù)角、零角、銳角、鈍角、區(qū)間角、象限角、終邊相同角的概念 .3 .在已知一個角的三角函數(shù)值，求這個角的其他三角函數(shù)值時，要注意題設(shè)中角的范 圍，并對不同的象限分別求出相應(yīng)的值，在應(yīng)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行三角式的化簡、求值時，應(yīng)注意公式中符號的選取.4 .單位圓中的三角函數(shù)線，是三角函數(shù)的一種幾何表示，用三角函數(shù)線的數(shù)值來代替 三角函數(shù)值，比由三角函數(shù)定義所規(guī)定的比值所得出三角

9、函數(shù)值優(yōu)越得多，因此，三角函數(shù)是討論三角函數(shù)性質(zhì)的一個強(qiáng)有力的工具.5 .要善于將三角函數(shù)式盡可能化為只含一個三角函數(shù)的“標(biāo)準(zhǔn)式”，進(jìn)而可求得某些復(fù)合三角函數(shù)的最值、最小正周期、單調(diào)性等.對函數(shù)式作恒等變形時需特別注意保持定義域的不變性.6 .函數(shù)的單調(diào)性是在給定的區(qū)間上考慮的，只有屬于同一單調(diào)敬意的同一函數(shù)的兩個 函數(shù)值才能由它的單調(diào)性來比較大小.7 .對于具有周期性的函數(shù)，在作圖時只要先作它在一個周期中的圖象，然后利用周期 性就可作出整個函數(shù)的圖象.8 .對于sin3 cos3 , sin4 cos4 , sin6cos6 等表達(dá)式，要會進(jìn)行熟練的變形，并利用sin2cos21等三角公式進(jìn)

10、行化簡.本章第二部分是兩角和與差的三角函數(shù)，考查的知識共7個，高考中在選擇題、 填空題和解答題三種題型中都考查過本章知識，題目多為求值題， 有直接求某個三角函數(shù)值的，也有通過三角變換求函數(shù)的變量范圍，周期，最小、大值和討論其他性質(zhì)；以及少量的化簡， 證明題,考查的題量一般為 34個，分值在12-22分，都是容易題和中等題，重點考查內(nèi) 容是兩角和與差的正弦、余弦及正切公式，和差化積、各積化和差公式考生丟分的原因主要有以下兩點：一是公式不熟，二是運算不過關(guān)，因此復(fù)習(xí)時要注 意以下幾點：1.熟練掌握和、差、倍、半角的三角函數(shù)公式.復(fù)習(xí)中注意掌握以下幾個三角恒等變形的常用方法和簡單技巧.常值代換，特別

11、是“1”的代換，如：1 tg ctg ,1 sin2cos2 ,22221 csc ctg , 1 sec tg 等等 +項的分拆與角的配湊，降次與升次,萬能代換另外，注意理解兩角和、差、倍、半角公式中角的實質(zhì)，可以把公式中的角看成一種 整體形式，可以錦成其他變量或函數(shù)，這樣可加大公式的應(yīng)用范圍和力度2 .要會運用和差化積與積化和差公式,對三角函數(shù)和差式，要善于轉(zhuǎn)化為積的形式，反之亦然，對于形如 asin bcos的式子，要引入輔助角并化成va2 b2 sin()的形式，這里輔助角所在的象限由a,b的符號決定， 角的值由tg確定，對這種思a想，務(wù)必強(qiáng)化訓(xùn)練，加深認(rèn)識3 .歸納總結(jié)并熟練掌握好三

12、角函數(shù)的化簡與求值的常用方法和技巧三角函數(shù)化簡時，在題設(shè)的要求下，首先應(yīng)合理利用有關(guān)公式，還要盡量減少角的 種數(shù)，盡量減少三角函數(shù)種數(shù)，盡量化同角、化同名等其他思想還有：異次化同次、高次化低次、化弦或化切、化和差為乘積、化乘積為和差、特殊角三角函數(shù)與特殊值互化等.三角函數(shù)的求值問題，主要有兩種類型一關(guān)是給角求值問題；另一類是給值求角問題.它們都是通過恰當(dāng)?shù)淖儞Q，設(shè)法再與求值的三角函數(shù)式、特殊角的三角函數(shù)式、已知某 值的三角函數(shù)式之間建立起聯(lián)系 .選用公式時應(yīng)注意方向性、靈活性，以造成消項或約項的 機(jī)會，簡化問題.4 .關(guān)于三角函數(shù)式的簡單證明.三角恒等證明分不附加條件和附加條件兩種，證明方法靈

13、活多樣.一般規(guī)律是從化簡入手，適當(dāng)變換，化繁為簡，不過這里的變換目標(biāo)要由所證 恒等式的特點來決定.不附加條件的三角恒等式證明：多用綜合法、分析法、在特定的條件下，也可使用 數(shù)學(xué)歸納法.附加條件的三角恒等式證明：關(guān)鍵在于恰當(dāng)而適時地使用所附加的條件，也就是要 仔細(xì)地尋找所附加條件和要證明的等式之間的內(nèi)在聯(lián)系.常用的方法是代入法和消元法 .三角恒等證明中要重點會用和差與積的互化公式，掌握等價轉(zhuǎn)化的思想和變量代換的 方法,證明的關(guān)鍵是：發(fā)現(xiàn)差異一一觀察等式兩邊角、函數(shù)、運算間的差異；尋找聯(lián)系一一 選擇恰當(dāng)公式，找出差異間的聯(lián)系；合理轉(zhuǎn)化促進(jìn)聯(lián)系，創(chuàng)造性地應(yīng)用基本公式而關(guān)于角的恒等式或條件恒等式的證明

14、，一般來說，要證，先證明，的同名三角函數(shù)值相等，即f( ) f()，再證明，在三角函數(shù)y f(x)的同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)， 而后由函數(shù)的單調(diào)性得出.5 .在解有關(guān)三角形的問題中，銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理、正弦定理、余弦定理11 是常用的工具.注意二角形面積公式S ah, S absin C的妙用和三角形內(nèi)角和22ABC的制約關(guān)系的作用.6.求三角函數(shù)最值的常用方法是：配方法、判別式法、重要不等式法、變量代換法、 三角函數(shù)的單調(diào)性和有界性等 .其基本思想是將三角函數(shù)的最值轉(zhuǎn)化為代數(shù)函數(shù)的最值.四、三角函數(shù)中應(yīng)注意的問題(一)本章內(nèi)容的重點是：任意角三角函數(shù)的概念，同角三角函數(shù)間的關(guān)系式、誘導(dǎo)公式

15、及其運用，正弦、余弦的和角公式，正弦曲線的畫法和正弦函數(shù)的性質(zhì).難點是：弧度制的慨念，綜合運用本章公式進(jìn)行簡單三角函數(shù)式的化簡及恒等式的證明，周期函數(shù)的概念，函數(shù)y Asin( x )的圖象與正弦曲線的關(guān)系.關(guān)鍵是：使學(xué)生熟練掌握任意角三角函數(shù)的 定義，講清余弦的和角公式的特征及其差角公式、正弦的和角公式的變化，正弦曲線的畫法和正弦函數(shù)的性質(zhì).由于課時較緊，教學(xué)中應(yīng)遵循大綱所規(guī)定的內(nèi)容和要求，不要隨意補(bǔ)充已被刪簡的知識點.例如，三角函數(shù)基本上只講正弦、余弦、正切三種；同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式只講,22， sin,人,、sin cos 1 , tan , tan cot 1 三個；除 tan（

16、2k ） tancos（kCZ）外，其余誘導(dǎo)公式中，要求學(xué)生記住并能靈活運用的，只是用正弦、余弦表示那幾sin1200個，以后求tan 120 o可通過用科學(xué)計算器或者轉(zhuǎn)化為sin1200來求;在推導(dǎo)正切的和角公cos1200式以及畫正切函數(shù)的圖象時，出現(xiàn)了正切的誘導(dǎo)公式， 但這只作為推導(dǎo)的中間步驟，不要求學(xué)生記憶；積化和差與和差化積公式、半角公式也只是作為和（差）角公式的應(yīng)用出現(xiàn)一下，結(jié)果不要求記憶，更不要求運用；此外，也不要補(bǔ)充“把 asin bcos 化成一個角的三 角函數(shù)的形式”這樣的例習(xí)題 （二）在講述弧度制的優(yōu)點、角度制的不足時，要注意科學(xué)性.事實上，角的概念推廣后，無論用弧度制還

17、用角度制， 都能在角的集合與實數(shù)集 R及之間建立起一種一一對應(yīng)的關(guān)系 .說 “每個角都有唯一的實數(shù)與它對應(yīng)”時，這個實數(shù)可以取這個角的弧度數(shù)，或度數(shù)，或角度制下的分?jǐn)?shù)，或角度制下的秒數(shù)， 所以對應(yīng)法則不是唯一的，但每一種對應(yīng)法則下對應(yīng)的實數(shù)是唯一的.所以不要認(rèn)為只有弧度制才能將角與實數(shù)一一對應(yīng).有的教師認(rèn)為角度制的計量單位太小，而弧度制的計量單位大，而且可以省略不寫， 這種說法雖有一定道理，但在科學(xué)上并不具有充足的理由， 因為小有小的好處， 何況坐標(biāo)系中兩條數(shù)軸上的單位長度可以不一 致.關(guān)鍵在于用角度制表示角的時候，我們總是十進(jìn)制、六十進(jìn)制并用的，例如角6102112''其中6

18、1、21、12都是十進(jìn)數(shù)，而度、分、秒之間的關(guān)系是六十進(jìn)（退）位的，這樣，為了找出與角對應(yīng)的實數(shù)（我們學(xué)的實數(shù)都是十進(jìn)數(shù)），要經(jīng)過一番計算，這就不太方便了（三）定義了任意角的三角函數(shù)以后，嚴(yán)格地說，例如，只有y sinx, x R才可以說是正弦函數(shù)；六種函數(shù)統(tǒng)稱三角函數(shù)， 說明不是這六種函數(shù)的函數(shù)，都不能說是三角函數(shù)，例如y sin 2x, x R可以說是2x的正弦函數(shù)（這時可說它是三角函數(shù)），也可以說是正弦函 數(shù)y sint,t R與正比例函數(shù) t 2x, x R的復(fù)合函數(shù)，但不能說是x的正弦函數(shù)，另一點是函數(shù)的定義域，三角函數(shù)或與其相關(guān)的函數(shù)總是附帶定義域的，所以教學(xué)中不宜隨便說（或?qū)懀?/p>

19、正弦函數(shù)y=sinx"，需知“函數(shù)y sin x , x 0,2 ”只是正弦函數(shù)的一個周期， 不要把部分當(dāng)作整體.（四）關(guān)于已知三角函數(shù)值求角，在講解相關(guān)例題時， 可以利用設(shè)輔助角（即通過設(shè)輔助元素把未知轉(zhuǎn)化為已知，這是化歸思想的運用）來求解，把求解過程調(diào)整為：1、如果函數(shù)值為正數(shù)，則先求出對應(yīng)的銳角x0,如果函數(shù)值為負(fù)數(shù)，則先求出與其絕對值相應(yīng)的銳角x0.2、決定角x可能是第幾象限角*x可能是第幾象限角，得出 （0,2 ）內(nèi)對應(yīng)的角x0;如果它是第三或第四象限角，那么可表示為3、如果函數(shù)值為負(fù)數(shù)，則根據(jù)角 如果它是第二象限角，那么可表示為x0 或 2x0也可以把上述輔助角看作參變量（x為自變量），那么所提供的方法就可以看作參數(shù)的應(yīng)用.新大綱把參數(shù)的知識分散在有關(guān)的教學(xué)內(nèi)容中，教學(xué)時適時提醒學(xué)生注意使用，這是有 好處的.（五）本章所使用的符號及其用法，全部與國家標(biāo)準(zhǔn)所規(guī)定的取得一致，在板書中逐漸達(dá) 到規(guī)范化，