數(shù)學(xué)概念理解不透

1、數(shù)學(xué)概念理解不透數(shù)學(xué)概念所能反映的數(shù)學(xué)對象的屬性，不僅是不分精粗的籠統(tǒng)的屬性，它已經(jīng)是抓住了數(shù)學(xué)對象的根本的、最重要的本質(zhì)屬性.每一個概念都有一定的外延與內(nèi)涵.而平時學(xué)習(xí)中對概念本質(zhì)的不透徹，對其外延與內(nèi)涵的掌握不準(zhǔn)確，都會在解題中反映出來，導(dǎo)致解題出錯.易錯點1 誤認(rèn)為原命題與逆命題的真假性相反例 命題“若ABC有一內(nèi)角為，則ABC的三內(nèi)角成等差數(shù)列”的逆命題（ ）A與原命題真值相異 B與原命題的否命題真值相異C與原命題的逆否命題的真值不同 D與原命題真值相同【錯解】A【錯因分析】本題容易出現(xiàn)的錯誤是對幾個概念的理解失誤：逆命題將原命題的題設(shè)和結(jié)論交換、否命題將原命題的題設(shè)和結(jié)論同時否定，逆

2、否命題將原命題的題設(shè)和結(jié)論交換后再同時否定，原命題與逆命題、否命題與逆命題是兩對互為逆否的命題，互為逆否的命題是等價的.【正確解答】顯然，原命題正確；其逆命題為：“若ABC的三內(nèi)角成等差數(shù)列，則ABC有一內(nèi)角為”.也正確，所以選D.易錯點2 概念理解不清致錯例 拋擲一枚均勻的骰子，若事件A：“朝上一面為奇數(shù)”，事件B：“朝上一面的點數(shù)不超過3”，求P（A+B）【錯解一】事件A：朝上一面的點數(shù)是1，3，5；事件B：趄上一面的點數(shù)為1，2，3，P（A+B）=P（A）+P（B）=.【錯因分析】事件A：朝上一面的點數(shù)是1，3，5；事件B：趄上一面的點數(shù)為1，2，3，很明顯，事件A與事件B不是互斥事件.

3、即P（A+B）P（A）+P（B），所以上解是錯誤的. 【正確解答】A+B包含：朝上一面的點數(shù)為1，2，3，5四種情況.P（A+B）=.【錯解二】事件A：朝上一面的點數(shù)為1，3，5；事件B：朝上一面的點數(shù)為1，2，3，即以A、B事件中重復(fù)的點數(shù)1、3，P（A+B）=P（A）+P（B）P（A·B）=.【錯因分析】A、B事件中重復(fù)點數(shù)為1、3，所以P（A·B）=；這種錯誤解法在于簡單地類比應(yīng)用容斥原理致錯.【正確解答】P（A+B）=P（A）+P（B）P（AB）=.例 某人拋擲一枚均勻骰子，構(gòu)造數(shù)列，使，記 ,求且的概率.【錯解】記事件A：，即前8項中，5項取值1，另3項取值1.的

4、概率.記事件B：，將分為兩種情形： 若第1、2項取值為1，則3，4項的取值任意. 若第1項為1，第2項為1，則第3項必為1第四項任意.P（B）=，所求事件的概率為P=P（A）·P（B）=.【錯因分析】且是同一事件的兩個關(guān)聯(lián)的條件，而不是兩個相互獨(dú)立事件.對的概率是有影響的.【正確解答】 前4項的取值分為兩種情形：若1、3項為1；則余下6項中3項為1，另3項為-1即可.即；若1、2項為正，為避免與第類重復(fù)，則第3項必為-1，則后5項中只須3項為1，余下2項為-1，即，所求事件的概率為.例 命題“若x，y都是奇數(shù)，則xy是偶數(shù)”的逆否命題是()A若x，y都是偶數(shù)，則xy是奇數(shù)B若x，y都

5、不是奇數(shù)，則xy不是偶數(shù)C若xy不是偶數(shù)，則x，y都不是奇數(shù)D若xy不是偶數(shù)，則x，y不都是奇數(shù)【錯解】C【錯因分析】“x，y都是奇數(shù)”的否定中包含三種情況：“x是奇數(shù)，y不是奇數(shù)”，“x不是奇數(shù)，y是奇數(shù)”，“x，y都不是奇數(shù)”，誤把“x，y都不是奇數(shù)”作為“x，y都是奇數(shù)”的否定而錯選C.【正確解答】“都是”的否定是“不都是”，答案選D.【易錯突破】對條件進(jìn)行否定時，要搞清條件包含的各種情況，全面考慮；對于和參數(shù)范圍有關(guān)的問題，可以先化簡再否定補(bǔ)償練習(xí)：已知集合Mx|<0，若2DM，則實數(shù)a的取值范圍是_答案：a解析：若2M，則<0，即(2a1)(2a21)<0，a<

6、;，當(dāng)2DM時，a的取值范圍為a.易錯點3充分條件、必要條件顛倒致誤例 若p：aR，|a|<1，q：關(guān)于x的二次方程x2(a1)xa20的一個根大于零，另一個根小于零，則p是q的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件【錯解】B【錯因分析】由pq應(yīng)得p是q的充分條件，錯解顛倒了充分條件、必要條件【正確解答】將兩條件化簡可得p：1<a<1，q：a<2，易知pq，且qp，故p是q的充分不必要條件，選A.【易錯突破】在解題時熟練運(yùn)用以下幾種方法即可減少失誤：(1)定義法：直接利用定義進(jìn)行判斷；(2)逆否法(等價法)：“pq”表示p等價于q.要證

7、pq，只需證它的逆否命題綈q綈p即可，同理要證pq，只需證綈q綈p即可，所以pq，只需綈q綈p.(3)利用集合間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷：如果條件p和結(jié)論q都是集合，那么若pq，則p是q的充分不必要條件；若pq，則p是q的必要不充分條件；若pq，則p是q的充要條件，尤其對于數(shù)的集合，可以利用小范圍的數(shù)一定在大范圍中，即小大，會給我們的解答帶來意想不到的驚喜(4)舉反例：要說明p是q的不充分條件，只要找到x0x|p，但x0x|q即可補(bǔ)償練習(xí)：已知條件p：|x1|4，條件q：xa，且非p是非q的充分不必要條件，則a的取值范圍是()A(3，) B3，)C(，3) D(，3答案：B解析：由題意知，條件p：x

8、5或x3，條件q：xa，所以非p：5x3，非q：xa.因為非p是非q的充分不必要條件，所以a3.易錯點4 忽略開口方向?qū)Χ魏瘮?shù)圖象的影響例 若不等式ax+x+a0的解集為 ，則實數(shù)a的取值范圍 （ ）A.a-或a B.a C.-a D.a 【錯解】由題意，方程ax+x+a=0的根的判別式 a-或a，所以選A.【錯因分析】對一元二次不等式與二次函數(shù)的圖象之間的關(guān)系還不能掌握，忽視了開口方向?qū)︻}目的影響.【正確解答】D .不等式ax+x+a0的解集為 ，若a=0,則不等式為x<0解集不合已知條件，則a；要不等式ax+x+a0的解集為 ，則需二次函數(shù)y=ax+x+a的開口向上且與x軸無交點，

9、所以a>0且.易錯點5 求函數(shù)的奇偶性時忽略先考慮定義域，忘記根號里面為為非負(fù)數(shù)例 判斷函數(shù)f(x)=(x1)的奇偶性為_.【錯解】偶函數(shù).f(x)=，所以，所以f（x）為偶函數(shù).【錯因分析】上述解法有兩個錯誤：1.未考慮函數(shù)的定義域；2.x-1<0，放入根號內(nèi)后根號前應(yīng)添負(fù)號.【正確解答】非奇非偶函數(shù).y=f(x)的定義域為： ，定義域不關(guān)于原點對稱，所以此函數(shù)為非奇非偶函數(shù).易錯點6 對空間線線的位置關(guān)系理解不透例 ，是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是（ ）A.， B.，C. ，共面 D.，共點，共面【錯解一】A.根據(jù)垂直的傳遞性命題A正確.【錯解二】C.平行就共面.【錯

10、因分析】錯解一、二都是因為對空間的線線平行、線線垂直、共面等概念的理解不透徹所致.【正確解答】B.命題A中兩直線還有異面或者相交的位置關(guān)系；命題C中這三條直線可以是三棱柱的三條棱，因此它們不一定共面；命題D中的三條線可以構(gòu)成三個兩兩相交的平面，所以它們不一定共面.易錯點7 對等比數(shù)列的定義理解不透例 x=是a、x、b成等比數(shù)列的 ( )A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.既非充分又非必要條件【錯解】C.當(dāng).x=時，a、x、b成等比數(shù)列成立；當(dāng)a、x、b成等比數(shù)列時，x=成立 .【錯因分析】對等比數(shù)列的定義理解不透.忽略含0的數(shù)列不是等比數(shù)列.【正確解答】D.若x=a=0，

11、x=成立，但a、x、b不成等比數(shù)列， 所以充分性不成立；反之，若a、x、b成等比數(shù)列，則，所以x=不一定成立，必要性不成立.所以選D.易錯點8 在解題中誤將必要條件作充分條件或?qū)⒓炔怀浞忠膊槐匾獥l件誤作充要條件使用，導(dǎo)致錯誤結(jié)論例 已知函數(shù)上是減函數(shù)，求a的取值范圍.【錯因分析】是在內(nèi)單調(diào)遞減的充分不必要條件，在解題過程中易誤作是充要條件，如在R上遞減，但.【正確解答】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（1）當(dāng)時，是減函數(shù)，則故解得.（2）當(dāng)時，易知此時函數(shù)也在R上是減函數(shù).（3）當(dāng)時，在R上存在一個區(qū)間在其上有，所以當(dāng)時，函數(shù)不是減函數(shù)，綜上，所求a的取值范圍是.【易錯突破】若函數(shù)可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)

12、系現(xiàn)以增函數(shù)為例來說明：與為增函數(shù)的關(guān)系:能推出為增函數(shù)，但反之不一定.如函數(shù)在上單調(diào)遞增，但，是為增函數(shù)的充分不必要條件.時，與為增函數(shù)的關(guān)系:若將的根作為分界點，因為規(guī)定，即摳去了分界點，此時為增函數(shù)，就一定有.當(dāng)時，是為增函數(shù)的充分必要條件.與為增函數(shù)的關(guān)系:為增函數(shù)，一定可以推出，但反之不一定，因為，即為或.當(dāng)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)恒有，則為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性.是為增函數(shù)的必要不充分條件.函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一條重要性質(zhì)，也是高中階段研究的重點，我們一定要把握好以上三個關(guān)系，用導(dǎo)數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性.因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點問題，都一律用開區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間，避免討論以上問題，也簡化了

13、問題.但在實際應(yīng)用中還會遇到端點的討論問題，要謹(jǐn)慎處理.因此本題在第一步后再對和進(jìn)行了討論，確保其充要性.在解題中誤將必要條件作充分條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要條件使用而導(dǎo)致的錯誤還很多，這需要同學(xué)們在學(xué)習(xí)過程中注意思維的嚴(yán)密性.易錯點9混淆“過點”與“切點”致誤例 求過曲線yx32x上的點(1，1)的切線方程【錯解】y3x22，ky|x13×1221，切線方程為：y1x1，即xy20.【錯因分析】混淆“過某一點”的切線和“在某一點處”的切線，錯把(1，1)當(dāng)做切點【正確解答】設(shè)P(x0，y0)為切點，則切線的斜率為y|xx03x2.切線方程為yy0(3x2)(xx0)，即y

14、(x2x0)(3x2)(xx0)又知切線過點(1，1)，把它代入上述方程，得1(x2x0)(3x2)(1x0)，整理，得(x01)2(2x01)0，解得x01，或x0.故所求切線方程為y(12)(32)(x1)，或y(1)(2)(x)，即xy20或5x4y10.【易錯突破】過曲線上的點(1，1)的切線與曲線的切點可能是(1，1)，也可能不是(1，1)本題錯誤的根本原因就是把(1，1)當(dāng)成了切點解決這類題目時，一定要注意區(qū)分“過點A的切線方程”與“在點A處的切線方程”的不同雖只有一字之差，意義完全不同，“在”說明這點就是切點，“過”只說明切線過這個點，這個點不一定是切點補(bǔ)償練習(xí)：已知曲線S：yx

15、3x24x及點P(0,0)，則過點P的曲線S的切線方程為_答案：y4x或yx解析：設(shè)過點P的切線與曲線S切于點Q(x0，y0)，則過點P的曲線S的切線斜率y|xx02x2x04，又kPQ，所以2x2x04，點Q在曲線S上，y0xx4x0，將代入得2x2x04xx04，化簡得xx00，所以x00或x0，若x00，則y00，k4，過點P的切線方程為y4x；若x0，則y0，k，過點P的切線方程為yx.所以過點P的曲線S的切線方程為y4x或yx.易錯點10函數(shù)極值點概念不清致誤例 已知f(x)x3ax2bxa2在x1處有極值為10，則ab_.【錯解】7或0【錯因分析】忽視了條件的等價性，“f(1)0”

16、是“x1為f(x)的極值點”的必要不充分條件【正確解答】f(x)3x22axb，由x1時，函數(shù)取得極值10，得聯(lián)立得或當(dāng)a4，b11時，f(x)3x28x11(3x11)(x1)在x1兩側(cè)的符號相反，符合題意當(dāng)a3，b3時，f(x)3(x1)2在x1兩側(cè)的符號相同，所以a3，b3不符合題意，舍去綜上可知a4，b11，ab7.【易錯突破】對于可導(dǎo)函數(shù)f(x)：x0是極值點的充要條件是在x0點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號，即f(x)在方程f(x)0的根x0的左右的符號：“左正右負(fù)”f(x)在x0處取極大值；“左負(fù)右正”f(x)在x0處取極小值，而不僅是f(x0)0.f(x0)0是x0為極值點的必要而不充分條件對于

17、給出函數(shù)極大(小)值的條件，一定要既考慮f(x0)0，又考慮檢驗“左正右負(fù)”或“左負(fù)右正”，防止產(chǎn)生增根補(bǔ)償練習(xí)：已知函數(shù)f(x)x3x22ax在點x1處取極值，且函數(shù)g(x)x3x2ax在區(qū)間(a6,2a3)上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍解：f(x)x3bx2(2a)x2a，由f(1)0，得b1a，當(dāng)b1a時，f(x)x3(1a)x2(2a)x2a(x1)(x2)(xa)，如果a1，那么x1就只是導(dǎo)函數(shù)值為0的點而非極值點，故b1a且a1.g(x)x3bx2(a1)xax3(1a)x2(a1)xa(xa)(x2x1)當(dāng)x<a時，g(x)<0，g(x)在(，a)上單調(diào)遞減，(a6,

18、2a3)(，a)，a6<2a3a，故所求a的范圍為3<a3.綜上可知a的取值范圍應(yīng)為3<a3且a1.易錯點11導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系不準(zhǔn)致誤例 函數(shù)f(x)x3ax23x在2，)上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是_【錯解】 (，)【錯因分析】求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間就是解導(dǎo)數(shù)大于零的不等式，受此影響，容易認(rèn)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)在區(qū)間2，)上大于零，忽視了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在2，)上個別的點處可以等于零，這樣的點不影響函數(shù)的單調(diào)性【正確解答】由題意，知f(x)3x22ax3，令f(x)0(x2)，得a(x)記t(x)(x)，當(dāng)x2時，t(x)是增函數(shù)，所以t(x)min×(2)，所以

19、a(，經(jīng)檢驗，當(dāng)a時，函數(shù)f(x)在2，)上是增函數(shù)補(bǔ)償練習(xí)：已知函數(shù)f(x)mx2ln x2x在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍為_答案：，)解析：f(x)2mx20在(0，)上恒成立，m，所以mmax，所以m.易錯點12定積分幾何意義不明致誤例 由曲線xy1，直線yx，y3所圍成的平面圖形的面積為()A. B2ln 3 C4ln 3 D4ln 3【錯解】D【錯因分析】利用定積分求曲邊形的面積時，易弄錯積分上、下限，或者不能合理分割圖形【正確解答】畫出草圖，曲邊形ABC的面積 dx(3x)dx(3xln x) 4ln 3.【易錯突破】利用定積分求解曲邊圖形的面積時，要結(jié)合函數(shù)圖象準(zhǔn)確選擇

20、被積函數(shù)，以免出現(xiàn)錯誤當(dāng)函數(shù)f(x)的圖象在x軸上方時，可直接作為被積函數(shù)；當(dāng)函數(shù)f(x)的圖象在x軸下方時，則被積函數(shù)應(yīng)為f(x)；當(dāng)求解兩個函數(shù)圖象圍成曲邊圖形的面積時，應(yīng)用上方圖象對應(yīng)函數(shù)減去下方圖象對應(yīng)函數(shù)補(bǔ)償練習(xí)：如圖，直線y2x與拋物線y3x2所圍成的陰影部分的面積是()A. B2 C2 D.答案：D解析：S(3x22x)dx，故選D.易錯點13 單位圓中的三角函數(shù)線在解題中一方面學(xué)生易對此知識遺忘，應(yīng)用意識不強(qiáng)，另一方面易將角的三角函數(shù)值所對應(yīng)的三角函數(shù)線與線段的長度二者等同起來，產(chǎn)生概念性的錯誤例 下列命題正確的是 （ ）A.、都是第二象限角，若，則B.、都是第三象限角，若，則

21、C.、都是第四象限角，若，則D.、都是第一象限角，若，則【錯因分析】學(xué)生在解答此題時易出現(xiàn)如下錯誤：（1）將象限角簡單理解為銳角或鈍角或270到360度之間的角.（2）思維轉(zhuǎn)向利用三角函數(shù)的單調(diào)性，沒有應(yīng)用三角函數(shù)線比較兩角三角函數(shù)值大小的意識而使思維受阻.【正確解答】A.由三角函數(shù)易知此時角的正切線的數(shù)量比角的正切線的數(shù)量要小即.B.同理可知.C.知滿足條件的角的正切線的數(shù)量比角的正切線的數(shù)量要大即.正確.D.同理可知應(yīng)為.【易錯點撥】單位圓的三角函數(shù)線將抽象的角的三角函數(shù)值同直觀的有向線段的數(shù)量對應(yīng)起來，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，要注意一點的就是角的三角函數(shù)值是有向線段的數(shù)量而不是長度.三

22、角函數(shù)線在解三角不等式、比較角的同名函數(shù)值的大小、三角關(guān)系式的證明都有著廣泛的應(yīng)用并且在這些方面有著一定的優(yōu)越性.例如利用三角函數(shù)線易知，等.易錯點14 在利用三角函數(shù)的圖象變換中的周期變換和相位變換解題時.易將和求錯例 要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象 （ ）A.先將每個x值擴(kuò)大到原來的4倍，y值不變，再向右平移個單位B.先將每個x值縮小到原來的倍，y值不變，再向左平移個單位C.先把每個x值擴(kuò)大到原來的4倍，y值不變，再向左平移個單位D.先把每個x值縮小到原來的倍，y值不變，再向右平移個單位【錯因分析】變換成是把每個x值縮小到原來的倍，有的同學(xué)誤認(rèn)為是擴(kuò)大到原來的倍，這樣就誤選A或C，再把

23、平移到有的同學(xué)平移方向錯了，有的同學(xué)平移的單位誤認(rèn)為是.【正確解答】由變形為常見有兩種變換方式，一種先進(jìn)行周期變換，即將的圖象上各點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋兜玫胶瘮?shù)的圖象，再將函數(shù)的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向右平移單位.即得函數(shù).或者先進(jìn)行相位變換，即將的圖象上各點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，再將其橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍即得即得函數(shù)的圖象.【易錯突破】利用圖角變換作圖是作出函數(shù)圖象的一種重要的方法，一般地由得到的圖象有如下兩種思路：一先進(jìn)行振幅變換即由橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍得到，再進(jìn)行周期變換即由 縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，得到，再進(jìn)行相位變換即由橫

24、坐標(biāo)向左（右）平移個單位，即得，另種就是先進(jìn)行了振幅變換后，再進(jìn)行相位變換即由向左（右）平移個單位，即得到函數(shù)的圖象，再將其橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋都吹?不論哪一種變換都要注意一點就是不論哪一種變換都是對純粹的變量x來說的.易錯點16 對正弦型函數(shù)及余弦型函數(shù)的性質(zhì)：如圖象、對稱軸、對稱中心易遺忘或沒有深刻理解其意義例 如果函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，那么a等于（ ）A. B. C.1 D.1【錯因分析】函數(shù)的對稱軸一定經(jīng)過圖象的波峰頂或波谷底，且與y軸平行，而對稱中心是圖象與x軸的交點，學(xué)生對函數(shù)的對稱性不理解誤認(rèn)為當(dāng)時，y=0，導(dǎo)致解答出錯.【正確解答】方法一：函數(shù)的解析式可化為，故的最大值為，依題

25、意，直線是函數(shù)的對稱軸，則它通過函數(shù)的最大值或最小值點即，解得.故選D方法二：依題意函數(shù)為,直線是函數(shù)的對稱軸,故有，即：，而故，從而故選D.方法三：若函數(shù)關(guān)于直線是函數(shù)的對稱則必有，代入即得.【易錯突破】對于正弦型函數(shù)及余弦型函數(shù)它們有無窮多條對稱軸及無數(shù)多個對稱中心，它們的意義是分別使得函數(shù)取得最值的x值和使得函數(shù)值為零的x值，這是它們的幾何和代數(shù)特征.希望同學(xué)們認(rèn)真學(xué)習(xí)本題的三種解法根據(jù)具體問題的不同靈活處理.易錯點17 抽樣方法理解不清致誤例某校高三年級有男生500人，女生400人，為了解該年級學(xué)生的健康情況，從男生中任意抽取25人，從女生中任意抽取20人進(jìn)行調(diào)查這種抽樣方法是()A簡

26、單隨機(jī)抽樣法B抽簽法C系統(tǒng)抽樣法 D分層抽樣法【錯解】A【錯因分析】沒有理解三種隨機(jī)抽樣的概念，本質(zhì)特點沒有抓住【正確解答】顯然總體差異明顯，并且按比例進(jìn)行抽樣，是分層抽樣，選D.【易錯突破】簡單隨機(jī)抽樣常常用于總體個數(shù)較少時，它的主要特征是從總體中逐個抽??；系統(tǒng)抽樣法常常用于總體個數(shù)較多時；分層抽樣常常用于總體由差異明顯的幾部分組成，主要特征是分層并按比例抽樣分層抽樣是高考考查的一個熱點，因為在實際生活中有差異的抽樣比其他兩類抽樣應(yīng)用空間大補(bǔ)償練習(xí)：一個社會調(diào)查機(jī)構(gòu)就某地居民的月收入調(diào)查了10 000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分布直方圖(如圖所示)為了分析居民的收入與年齡、學(xué)歷、職業(yè)等

27、方面的關(guān)系，要從這10 000人中再用分層抽樣方法抽出100人作進(jìn)一步調(diào)查，則在2 500,3 500)月收入段應(yīng)抽出_人答案：40解析：根據(jù)圖可以看出月收入在2 500,3 500)的人數(shù)的頻率是(0.000 50.000 3)×5000.4，故月收入在2 500，3 500)的應(yīng)抽出100×0.440(人)易錯點18 “基本事件”概念不清致誤例 先后拋擲三枚硬幣，則出現(xiàn)“兩個正面，一個反面”的概率為_【錯解】所有基本事件有三正，兩正一反，兩反一正，三反，出現(xiàn)“兩正一反”的概率為.【錯因分析】沒有理解基本事件的概念，所列舉出的事件不是等可能的【正確解答】所有的基本事件有(

28、正，正，正)(正，正，反)(正，反，正)(反，正，正)(正，反，反)(反，正，反)(反，反，正)(反，反，反)8種， “兩正一反”事件含三個基本事件，P.【易錯突破】對于公式P(A)(n和m分別表示基本事件總數(shù)和事件A包含的基本事件數(shù))，僅當(dāng)所述的試驗結(jié)果是等可能出現(xiàn)時才成立解題時要充分理解古典概型的定義，驗證基本事件的有限性及等可能性補(bǔ)償練習(xí)：擲兩枚骰子，求事件A為出現(xiàn)的點數(shù)之和等于3的概率解：擲兩枚骰子可能出現(xiàn)的情況：(1,1)，(1,2)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,6)，(6,1)，(6,2)，(6,6)，基本事件總數(shù)為6×636.在這些結(jié)果中，事件A只有兩種可

29、能的結(jié)果(1,2)，(2,1)，P(A).易錯點19 互斥事件概念不清致誤例 拋擲一均勻的正方體玩具(各面分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6)，事件A表示“朝上一面的數(shù)是奇數(shù)”，事件B表示“朝上一面的數(shù)不超過3”，求P(AB)【錯解】因為P(A)，P(B)，所以P(AB)P(A)P(B)1.【錯因分析】事件A、B不是互斥事件，使用加法公式錯誤【正確解答】將AB分成出現(xiàn)“1、2、3”與“5”這兩個事件，記出現(xiàn)“1、2、3”為事件C，出現(xiàn)“5”為事件D，則C與D兩事件互斥，所以P(AB)P(CD)P(C)P(D).易錯突破在應(yīng)用公式P(AB)P(A)P(B)求解概率問題時，一定要注意分析事件是否互

30、斥，若事件不互斥，可以轉(zhuǎn)化為互斥事件，再用公式補(bǔ)償練習(xí)：在添加劑的搭配使用中，為了找到最佳的搭配方案，需要對各種不同的搭配方式作比較在試制某種牙膏新品種時，需要選用兩種不同的添加劑現(xiàn)有芳香度分別為0,1,2,3,4,5的六種添加劑可供選用根據(jù)試驗設(shè)計原理，通常首先要隨機(jī)選取兩種不同的添加劑進(jìn)行搭配試驗(1)求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和等于4的概率；(2)求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和不小于3的概率解：設(shè)“所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和等于4”的事件為A，“所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和不小于3”的事件為B，隨機(jī)選取兩種的情況為(0,1)，(0,2)，(0,3)，(

31、0,4)，(0,5)，(4,5)，共15種(1)芳香度之和等于4的取法有2種：(0,4)，(1,3)故P(A).(2)芳香度之和等于1的取法有1種：(0,1)；芳香度之和等于2的取法有1種：(0,2)故P(B)1.易錯點20分不清排列、組合問題致誤例 如圖所示，A，B，C，D是海上的四個小島，要建三座橋，將這四個島連接起來，不同的建橋方案共有多少種？【錯解】對于有一個中心的結(jié)構(gòu)形式有A，對于四個島依次相連的形式有A，共有2A48(種)【錯因分析】沒有理清題目中的順序關(guān)系，混淆排列與組合【正確解答】由題意可能有兩種結(jié)構(gòu)，如圖：第一種：，第二種：對于第一種結(jié)構(gòu)，連接方式只需考慮中心位置的情況，共有

32、C種方法對于第二種結(jié)構(gòu)，有CA種方法總共有CCA16(種)【易錯突破】對于排列、組合的混合問題，可以通過分類，畫圖等搞清其中的順序補(bǔ)償練習(xí)：有大小、形狀完全相同的3個紅色小球和5個白色小球，排成一排，共有多少種不同的排列方法？解：方法一：8個小球排好后對應(yīng)著8個位置，題中要求的排法相當(dāng)于在8個位置中選出3個位置給紅球，剩下的位置給白球，由于這3個紅球完全相同，所以沒有順序，是組合問題這樣共有C56(種)排法方法二：將8個小球全排列有A種方法，3個紅球之間不應(yīng)該排序，除以A；5個白球之間也不應(yīng)該排序，除以A，所以共有56(種)排法易錯點21二項式系數(shù)與系數(shù)混淆致誤例 已知n的展開式中前三項的系數(shù)

33、成等差數(shù)列，則n的取值所構(gòu)成的集合為_【錯解】由已知條件可得2CCC，化簡可得n25n20，此方程無整數(shù)解，故沒有滿足條件的n值故填.【錯因分析】錯解中前三項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，沒有搞清二項展開式中二項式系數(shù)和系數(shù)的概念【正確解答】由題設(shè)，得C×C2××C，即n29n80，解得n8，n1(舍去)【易錯突破】在解此類問題時，關(guān)鍵要抓?。涸诙検?ab)n的展開式中，其通項Tr1Canrbr是指展開式的第r1項，因此展開式中第1,2,3，n項的二項式系數(shù)分別是C，C，C，C.補(bǔ)償練習(xí)：在()n的展開式中，只有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中常數(shù)項是()A7 B2

34、8 C7 D28答案：C解析：因為第5項的二項式系數(shù)最大，所以n8.設(shè)二項展開式的通項為Tr1C()8r·(x)r(1)r··x8r，令8r0，得r6，常數(shù)項為7.易錯點22 事件分拆混亂致誤例 某課程考核分理論與實驗兩部分進(jìn)行，每部分考核成績只記“合格”與“不合格”，兩部分考核都是“合格”則該課程考核“合格”甲，乙，丙三人在理論考核中合格的概率分別為0.9,0.8,0.7，在實驗考核中合格的概率分別為0.8,0.7，0.9，所有考核是否合格相互之間沒有影響(1)求甲，乙，丙三人在理論考核中至少有兩人合格的概率；(2)求這三人該課程考核都合格的概率(結(jié)果保留三位小

35、數(shù))【錯解】(1)設(shè)甲，乙，丙至少兩人合格為事件A，P(A)0.9×0.8×0.30.9×0.2×0.70.1×0.8×0.70.402.(2)設(shè)三人都合格為事件B，P(B)0.9×0.8×0.70.504.【錯因分析】事件分拆錯誤“至少兩人合格”要分析為“甲乙合格丙不合格”“甲丙合格乙不合格”“乙丙合格甲不合格”“甲乙丙都合格”四個事件之和；三人課程考核合格要寫成六個獨(dú)立事件的積【正確解答】記“甲理論考核合格”為事件A1，“乙理論考核合格”為事件A2，“丙理論考核合格”為事件A3，記為Ai的對立事件，i1,2,3

36、.記“甲實驗考核合格”為事件B1，“乙實驗考核合格”為事件B2，“丙實驗考核合格”為事件B3.(1)記“理論考核中至少有兩人合格”為事件C，P(C)P(A1A2A1A3A2A3A1A2A3)P(A1A2)P(A1A3)P(A2A3)P(A1A2A3)0.9×0.8×0.30.9×0.2×0.70.1×0.8×0.70.9×0.8×0.70.902.(2)記“三人該課程考核都合格”為事件D，P(D)P(A1B1)·(A2B2)·(A3B3)P(A1B1)·P(A2B2)·P(A

37、3B3)0.9×0.8×0.8×0.7×0.7×0.90.254 0160.254.所以這三人該課程考核都合格的概率約為0.254.【易錯突破】對復(fù)雜事件的概率計算問題要將事件分拆成幾個互斥事件的和，再把每個事件分成若干獨(dú)立事件的積分拆過程中要明確事件的實質(zhì)，全面準(zhǔn)確地分拆事件補(bǔ)償練習(xí)：一般的軍用直升機(jī)是雙發(fā)動機(jī)，只要一個發(fā)動機(jī)能夠正常工作，這個直升機(jī)就能夠正常飛行在研制某種型號的直升機(jī)時，采用了甲、乙兩種型號的發(fā)動機(jī)，已知發(fā)動機(jī)甲能正常工作的概率是0.9，發(fā)動機(jī)乙能正常工作的概率是0.95，則這架直升機(jī)能正常飛行的概率是_答案：0.995解析

38、：方法一：顯然甲、乙正常工作是相互獨(dú)立的記事件A為“發(fā)動機(jī)甲能正常工作”，事件B為“發(fā)動機(jī)乙能正常工作”，則P(A)0.9，P(B)0.95，直升機(jī)正常飛行是事件(AB)(B)(A)，而事件AB，B，A是互斥的，根據(jù)互斥事件的概率加法公式，得直升機(jī)能夠正常飛行的概率是P(ABBA)P(AB)P(B)P(A)0.9×0.950.1×0.950.9×0.050.995.方法二：直升機(jī)不能正常飛行就是兩個發(fā)動機(jī)都不能正常工作記事件A為“發(fā)動機(jī)甲能正常工作”，事件B為“發(fā)動機(jī)乙能正常工作”，則P(A)0.9，P(B)0.95.直升機(jī)不能正常飛行是事件，根據(jù)獨(dú)立事件的概率乘

39、法公式P()P()P()1P(A)·1P(B)0.1×0.050.005，故直升機(jī)能夠正常飛行的概率是10.0050.995.易錯點23隨機(jī)變量的意義理解不清致誤例 已知5只動物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗血液來確定患病的動物血液化驗結(jié)果呈陽性的即為患病動物，呈陰性的即沒患病下面是兩種化驗方案：方案甲：逐個化驗，直到能確定患病動物為止方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗若結(jié)果呈陽性則表明患病動物為這3只中的1只，然后再逐個化驗，直到能確定患病動物為止；若結(jié)果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗(1)求依方案甲所需化驗次數(shù)不少于依方案乙所需化驗次數(shù)的概率；(2)表示

40、依方案乙所需化驗次數(shù)，求的期望【錯解】(1)設(shè)方案甲所需化驗次數(shù)為，則的所有可能值為1,2,3,4,5.根據(jù)方案甲，患有疾病的1只動物在每一次化驗時出現(xiàn)的概率是等可能的，由前面分析知，其分布列為：12345P0.20.20.20.20.2【錯因分析】沒有理解隨機(jī)變量的意義結(jié)合題意考慮，逐個化驗，直到確定患病動物為止，最多化驗次數(shù)為4.【正確解答】(1)設(shè)1、2分別表示依方案甲和依方案乙需化驗的次數(shù)，P表示對應(yīng)的概率，則方案甲中1的分布列為11234P×××××方案乙中2的分布列為2123P0××若甲化驗次數(shù)不少于乙化驗次數(shù)，

41、則PP(11)×P(21)P(12)×P(21)P(22)P(13)×P(21)P(22)P(23)P(14)0××0.72.(2)E()1×02×3×2.4.【易錯突破】在解決有關(guān)分布列問題時，求隨機(jī)變量的分布列之前，要弄清楚隨機(jī)變量可能取到的每一個值以及取每一個值時所表示的意義，然后再利用所學(xué)的概率知識求出隨機(jī)變量取每一個值時的概率，從而求出分布列在寫出分布列后，還要檢驗所有的概率之和是否為1.解題時要注意正確求出的分布列，準(zhǔn)確記憶期望和方差公式，同時注意培養(yǎng)運(yùn)算能力補(bǔ)償練習(xí)：一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗，檢驗方案

42、是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n.如果n3，再從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗；如果n4，再從這批產(chǎn)品中任取1件作檢驗，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過檢驗假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%，即取出的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立(1)求這批產(chǎn)品通過檢驗的概率；(2)已知每件產(chǎn)品檢驗費(fèi)用為100元，凡抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗，對這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗所需的費(fèi)用記為X(單位：元)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望解：(1)記該批產(chǎn)品通過檢驗為事件A；則P(A)C4·44·.(2)X

43、的可能取值為400,500,800；P(X400)1，P(X500)，P(X800)，則X的分布列為X400500800PE(X)506.25.易錯點24向量夾角定義不明致誤例 已知等邊ABC的邊長為1，則···_.【錯解】ABC為等邊三角形，|1，向量、間的夾角均為60°.···.···.【錯因分析】數(shù)量積的定義a·b|a|·|b|·cos ，這里是a與b的夾角，本題中與夾角不是C.兩向量的夾角應(yīng)為平面上同一起點表示向量的兩條有向線段間的夾角，如圖與的夾角應(yīng)是AC

44、D.【正確解答】如圖，與的夾角應(yīng)是ACB的補(bǔ)角ACD，即180°ACB120°. 又|1，所以·|cos 120°.同理得··.故···.【易錯突破】在判斷兩向量的夾角時，要注意把兩向量平移到共起點，這樣才不至于判斷錯誤平面向量與三角函數(shù)的結(jié)合，主要是指題設(shè)條件設(shè)置在向量背景下，一旦脫去向量的“外衣”，實質(zhì)上就變成純?nèi)菃栴}補(bǔ)償練習(xí)：在正三角形ABC中，D是邊BC上的點，AB3，BD1，則·_.答案：解析：方法一：在ABD中，由余弦定理得AD232122×3×1×c

45、os 60°7，AD，cosBAD，·|·|·cosBAD3××.方法二：，··()2·|2|·cos 120°93×1×.易錯點25忽視向量共線致誤例 已知a(2,1)，b(，1)，R，a與b的夾角為.若為銳角，則的取值范圍是_【錯解】cos .因為銳角，有cos >0，>021>0，得>，的取值范圍是.【錯因分析】當(dāng)向量a，b同向時，0，cos 1滿足cos >0，但不是銳角【正確解答】為銳角，0<cos <1.又cos

46、 ，0<且1，解得的取值范圍是.【易錯突破】在解決兩向量夾角問題時，一般地，向量a，b為非零向量，a與b的夾角為，則為銳角a·b>0且a，b不同向；為直角a·b0；為鈍角a·b<0且a，b不反向補(bǔ)償練習(xí)：設(shè)兩個向量e1，e2，滿足|e1|2，|e2|1，e1與e2的夾角為.若向量2te17e2與e1te2的夾角為鈍角，求實數(shù)t的范圍解2te17e2與e1te2的夾角為鈍角，(2te17e2)·(e1te2)<0且2te17e2(e1te2)(<0)由(2te17e2)·(e1te2)<0得2t215t7<

47、;0，7<t<.若2te17e2(e1te2)(<0)，(2t)e1(7t)e20.，即t，t的取值范圍為7<t<且t.易錯點26 涉及向量的有關(guān)概念、運(yùn)算律的理解與應(yīng)用，易產(chǎn)生概念性錯誤例 下列命題：；|·|=|·|；若則；，則存在唯一實數(shù)，使；若，且，則；設(shè)是平面內(nèi)兩向量，則對于平面內(nèi)任何一向量，都存在唯一一組實數(shù)x、y，使成立；若|+|=|則·=0；·=0，則=或=.真命題個數(shù)為 （ ）A1B2C3D3個以上【錯因分析】共線向量、向量的數(shù)乘、向量的數(shù)量積的定義及性質(zhì)和運(yùn)算法則等是向量一章中正確應(yīng)用向量知識解決有關(guān)問題的

48、前提，在這里學(xué)生極易將向量的運(yùn)算與實數(shù)的運(yùn)算等同起來，如認(rèn)為向量的數(shù)量積的運(yùn)算和實數(shù)一樣滿足交換律產(chǎn)生一些錯誤的結(jié)論.【正確解答】正確.根據(jù)向量模的計算判斷.錯誤，向量的數(shù)量積的運(yùn)算不滿足交換律,這是因為根據(jù)數(shù)量積和數(shù)乘的定義表示和向量共線的向量，同理表示和向量共線的向量，顯然向量和向量不一定是共線向量，故不一定成立.錯誤.應(yīng)為錯誤.注意零向量和任意向量平行.非零向量的平行性才具有傳遞性.錯誤.應(yīng)加條件“非零向量”錯誤.向量不滿足消去律.根據(jù)數(shù)量的幾何意義，只需向量和向量在向量方向的投影相等即可，作圖易知滿足條件的向量有無數(shù)多個.錯誤.注意平面向量的基本定理的前提有向量是不共線的向量即一組基底

49、.正確.條件表示以兩向量為鄰邊的平行四邊形的對角線相等，即四邊形為矩形.故·=0.錯誤.只需兩向量垂直即可.故選B.【易錯突破】在利用向量的有關(guān)概念及運(yùn)算律判斷或解題時，一定要明確概念或定理成立的前提條件和依據(jù)向量的運(yùn)算律解答，要明確向量的運(yùn)算和實數(shù)的運(yùn)算的相同和不同之處.一般地已知，和實數(shù)，則向量的數(shù)量積滿足下列運(yùn)算律：·· (交換律)（）·（·）·（） (數(shù)乘結(jié)合律)()··· (分配律)說明：（1）一般地，(·)（·）（2）··，0（3）有如下常用性質(zhì)：，（）

50、（）····，()·.易錯點27 二項式展開式中的項的系數(shù)與二項式系數(shù)的概念掌握不清，容易混淆，導(dǎo)致出錯例 在的展開式中，的系數(shù)為 ，二項式系數(shù)為 .【錯因分析】在通項公式中，是二項式系數(shù)，是項的系數(shù).【正確解答】令，得，則項的二項式系數(shù)為，項的系數(shù)為.【易錯突破】在二項展開式中，利用通項公式求展開式中具有某些特性的項是一類典型問題，其通常做法就是確定通項公式中r的取值或取值范圍，須注意二項式系數(shù)與項的系數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系.補(bǔ)充練習(xí)：如果的展開式中各項系數(shù)之和為128，則展開式中的系數(shù)是（ ）（A）7 （B） （C）21 （D）答案：當(dāng)時即,根據(jù)二

51、項式通項公式得時對應(yīng),即故項系數(shù)為.易錯點28 你 二項式系數(shù)最大項與展開式系數(shù)最大項是兩個不同的概念，在求法上也有很大的差別，在次往往因為概念不清導(dǎo)致出錯例 已知的展開式中，第五項的系數(shù)與第三項的系數(shù)之比為10：1求展開式中系數(shù)最大的項和二項式系數(shù)最大項.【錯因分析】二項展開式的二項式系數(shù)可由其二項式系數(shù)的性質(zhì)求得，即當(dāng)n為偶數(shù)時，中間的一項的二項式系數(shù)最大；當(dāng)n為偶數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)相等，同時取得最大值，求系數(shù)的最大值項的位置不一定在中間，需要利用通項公式，根據(jù)系數(shù)值的增減性具體討論而定.【正確解答】由題意知，第五項系數(shù)為，第三項的系數(shù)為，則有，設(shè)展開式中的第r項，第r+1項，第r+2項的系數(shù)絕對值分別為，若第r+1項的系數(shù)絕對值最大，則，解得系數(shù)最大值為由知第五項的二項式系數(shù)最大，此時.【易錯突破】在的展開式中，系數(shù)最大的項是中間項，但當(dāng)a，b的系數(shù)不為1時，最大系數(shù)值的位置不一定在中間，可通過解不