分式方程復(fù)習(xí)指導(dǎo)

1、分式方程復(fù)習(xí)指導(dǎo) 一、課標(biāo)要求 1、了解分式方程的概念，會解可化為一元一次方程的分式方程。 2、了解產(chǎn)生增根的原因，會檢驗(yàn)一個數(shù)是不是分式方程的增根。 3、能將實(shí)際問題中的等量關(guān)系用分式方程表示，體會分式方程的模型思想。 4、通過實(shí)際問題抽象、概括分式方程這一“數(shù)學(xué)化”的思想，培養(yǎng)我們努力尋找解決問題的方法的進(jìn)取心，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。 一、 知識網(wǎng)絡(luò) 知識要點(diǎn)回顧二、 、分式方程的概念1 分式方程是分母中含有未知數(shù)的方程。分母中是否含有未知數(shù)是分式方程與整式方程的根本區(qū)別，是區(qū)分分式方程和2x1?一后者是整式方程(前者是分式方程，和x=1是不同的方程，整式方程的依據(jù)，如 x )。元一次方程判

2、斷一個方程是不是分式方程，應(yīng)看這個方程的分母中是否含有未知數(shù)，而不x 是未知數(shù)）就不是分式方程。xa是含不含有宇母。如方程（是常數(shù)，且a0，1? a 2、分式方程的解的意義 使分式方程左右兩邊相等的值叫做分式方程的解，也可以叫做根。注意：由于分式方程都可以化為一元一次的整式方程，故它的解至多一個，也 可能無解；可用代入法檢驗(yàn)一個數(shù)是否是分式方程的解，或進(jìn)一步確定待定常數(shù)。3、如何解分式方程？ （1）解分式方程的基本思想“轉(zhuǎn)化”思想，即把分式方程的分母去掉，使分式方程化為整式方程，就可以利用整式方程的解法求解了。 （2）解分式方程的步驟： 分式方程是轉(zhuǎn)化為一元一次方程來求解，它是通過去分母實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)

3、化的。主要步驟：去分母，去括號，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1，檢驗(yàn)。因?yàn)榻夥质椒匠炭赡墚a(chǎn)生增根，所以解分式方程最后一步“檢驗(yàn)”，檢查所解整式方程的根到底是不是分式方程的根。 4、去分母的技巧 去分母是解分式方程的第一步，也是關(guān)鍵的一步，當(dāng)分式方程中分式的分母是一次式時，可直接確定最簡公分母，方程兩邊同乘以最簡公分母后實(shí)現(xiàn)去分母；當(dāng)各分式的分母中有二次式時，要先進(jìn)行因式分解，再確定最簡公分母，然后再去分母。 5、“增根”是怎樣產(chǎn)生的？ 解分式方程時，由于在方程的左右兩邊同時乘含有未知數(shù)的公分母(含未知數(shù)的整式)，得到了一個整式方程，從而使原分式方程中未知數(shù)的取值范圍擴(kuò)大了。對于分式方程，當(dāng)分式中

4、分母的值為零時沒有意義。所以分式方程不允許末知數(shù)取那些使分母的值為零的值。即分式方程本身隱含著分母不為零這一條件，當(dāng)我們通過去分母把分式方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程時，這種限制被取消了，于是就可能出現(xiàn)使原分式方程的分母為零的根，即“增根”。因此，在解分式方程時必須驗(yàn)根。 6、驗(yàn)根的方法： 因?yàn)榻夥质椒匠炭赡艹霈F(xiàn)增根，所以驗(yàn)根是必要的。驗(yàn)根的方法有兩種：一種是把求得的未知數(shù)的值代入原方程進(jìn)行檢驗(yàn)，這種方法道理簡單，而且可以檢查解方程時有無計(jì)算錯誤；另一種是把求得的末知數(shù)的值代入最簡公分母，看分母的值是否為零，如果使最簡公分母為零，那么這個解就是原方程的增根，故必須舍去。這種方法比較簡便，但不能檢查解方

5、程過程中出現(xiàn)的計(jì)算錯誤。 7、注意的問題： 把分式方程“轉(zhuǎn)化”為整式方程的條件是去掉分式方程中的分母。如何去掉分式方程中的分母是解分式方程的“關(guān)鍵”步驟。 用分式方程中各項(xiàng)的最簡公分母乘方程的兩邊，從而約去分母。但要注意用最簡公分母乘方程兩邊各項(xiàng)時，切勿漏項(xiàng)。 的情況，那么驗(yàn)根就是解分式方程的必要步驟?！痹龈敖夥质椒匠炭赡墚a(chǎn)生 8、列分式方程解應(yīng)用題的方法步驟： （1）、審：弄清題中涉及哪些量？已知量和未知量各有幾個？量與量之間的基本關(guān)系是什么？ （2）、設(shè)：設(shè)恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；設(shè)未知數(shù)，找出盡可能多的相等關(guān)系，用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量。注意，所設(shè)未知量的單位要明確。 （3）、列：抓住

6、題中含有相等關(guān)系的語句，將此語句抽象為含有未知數(shù)的等式，這就是方程 （4）、解：求出所列方程的解； （5）、驗(yàn)：用分式方程解決實(shí)際問題時，必須進(jìn)行檢驗(yàn)。這里的檢驗(yàn)應(yīng)包括兩層含義，第一，檢驗(yàn)得到的根是不是分式方程的增根；第二，檢驗(yàn)得到的根是否符合實(shí)際問題的題意。 （6）、答：寫出答案。 三、思想方法： 類比和轉(zhuǎn)化的思想。 四、常見誤區(qū)提示 （一）忽視檢驗(yàn) 236 例1 解方程? 2x?1x?1x?1錯解：去分母，得 6?1)1)?3(xx2(?解這個整式方程，得 1?x所以，原方程的解為 1?x點(diǎn)評：錯誤的原因就是沒有驗(yàn)根，這是與解整式方程最大的區(qū)別，也是同學(xué)們最容易出現(xiàn)錯誤的地方，大家應(yīng)該引起

7、注意。 正確解答：在添加檢驗(yàn)這一環(huán)節(jié)就可以拉。 經(jīng)檢驗(yàn)，得：能夠使原方程的分母得0，所以，是增根，舍去，故原方1?x1?x程沒有實(shí)數(shù)根。 （二）檢驗(yàn)方法不正確 236? 解方程例2 2x?1x?1x?1錯解：去分母，得 6)1?(1?)?3x?x2( 解這個整式方程，得 1?x 檢驗(yàn)：把代入中， 6)?3(x?12(x?1)?1x? 左邊=右邊 6?1?2)(1?1)?3(2? 所以，是原方程的解。 1?x點(diǎn)評：本解答看似進(jìn)行了驗(yàn)根，但由于驗(yàn)根的方法不對，應(yīng)把所求得的整式方程的根代入所乘的最簡公分母或代入原方程中去，而不能代入由分式方程化簡后得到的整式方程中去檢驗(yàn)。 正解解答：去分母，得 6)

8、?x?13(x?1)?(2 解這個整式方程，得 1x? 檢驗(yàn)：把代入原方程，原方程無意義，故是增根，原方程無解。 11?xx?（三）忽視分子為零 3412 解方程例3 ? x?2x?1x?4x?3錯解：方程兩邊分別通分并整理，得 5?x5?x ? 22x?3x?2x?7x?12由于等式左右兩邊都是分式，而且這兩個分式的分子相等，所以分母也應(yīng)22 該相等，故有12xx?x7?3x?2?5 解之，得x? 25 檢驗(yàn)：把代入原方程，原方程左、右兩邊的值相等，?x 25 所以，是原方程的根?x 2點(diǎn)評：兩個分式相等，可能是分子、分母分別相等，還可能是分子的值等于零（此時，分母的值可以相等，也可以不相等

9、）。上面的解答就忽視了“分子為零”這種情況，從而導(dǎo)致了失根。 正解：方程兩邊分別通分并整理，得 5?x5?x? 22x?3x?2x?7x?12當(dāng)時，得； 5xx5?0?22?7xx?2?12xx?3當(dāng)時，則有 0x?55?x解之，得 25都是原方程的根。 經(jīng)檢驗(yàn)知，?x5?x 2 （四）考慮問題不全面m?1的解為正數(shù)，則的取值范圍是（ ） 例4 若關(guān)于的分式方程2?xm 1x?A B C且 D且 1?m1?m?1m?1m?1m?1m?錯解：把方程的兩邊同時乘以，得： )1x?1?2(m?1x?m?1 解這個方程，得 ?x 2m?10，則1 因?yàn)榉匠痰慕鉃檎龜?shù)，所以m 2 故當(dāng)1時，原方程的解為

10、正數(shù) mm?1是否為原方程的增根的情況，我們應(yīng)當(dāng)從點(diǎn)評：以上錯解沒有考慮?xm 2m?1為增根的的值。 1的范圍內(nèi)排除能使?xm 2正解：把方程的兩邊同時乘以，得： )1(x?m?1?21x?m?1解這個方程，得 ?x 2m?1=1時，得 m=1 原方程的增根只能是x=1，當(dāng) 2m?1才是原方程的根 所以，當(dāng)m=1時，?x 2又因?yàn)樵匠痰慕鉃檎龜?shù)， m?10所以，則1 m 2 綜上所述，當(dāng)且時，原方程的解為正，故選擇D。 1mm?1?（五）沒有真正理解分式方程有“增根”的含義 ax?11=0有增根，則a的值為 。 例5 若關(guān)于x的方程 1x? 2? x= 錯解：原方程可化為（a1）x+2=0

11、，所以， 1a?因?yàn)?，方程有增根，所以x1， ?21，所以，a1 即 a?1分析：方程有增根應(yīng)是分母為0的x值，即x=1，而不是x1。 正確解答：原方程可化為 （a1）x+2=0， 而原方程的增根為使x1=0的x的值， 1 a=代入得x=1，把x=1即點(diǎn)評：當(dāng)我們通過去分母把分式方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程時，出現(xiàn)了使原分式方程的分母為零的根，即“增根”，因此，在解答有關(guān)“增根”問題時，應(yīng)該把增根的值代入原分式方程的分母中來解答。 （六）去分母時漏乘不含分母的項(xiàng) x3 、解方程例6?2? x?3x?3錯解：去分母，得x=2+3， 即x=5 檢驗(yàn)：當(dāng)x=5時，x-30所以x=5是原方程的根。 點(diǎn)評：去分母時，整數(shù)2漏乘最簡公分母x-3。 正確解答：去分母，得x=2(x-3)+3,x=2x-6+3 解這個方程得x=3 把x=3代入x-3=0， x=3是原方程的增根。所以原方程無解。 （七）解分式方程錯符號 116?x 解方程7 例 ? 22?xx?23x?12 錯解：方程兩邊同乘以最簡公分母3（x+2）（x2），得：3（x+2）=3（x2）-6-x，以下步驟略。 1乘以3（x+2）（x2 點(diǎn)評：去分母時有兩