數(shù)學(xué)中考總復(fù)習(xí)03中考總復(fù)習(xí)：整式與因式分解--知識(shí)講解(基礎(chǔ))

1、2020年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)考考總復(fù)習(xí)：整式與因式分解一知識(shí)講解（基礎(chǔ)）【考綱要求】1 .整式部分主要考查哥的性質(zhì)、整式的有關(guān)計(jì)算、乘法公式的運(yùn)用，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)；2 .因式分解是中考必考內(nèi)容，題型多以選擇題和填空題為主，也常常滲透在一元二次方程和分式的化簡(jiǎn) 中進(jìn)行考查.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】整式的概念整式的乘除同底數(shù)福的乘法（十廿=c）積的乘廳口成丁與之）同底數(shù)減的除法 同& + /-六，！ /加h） 零指數(shù)算和負(fù)整數(shù)指數(shù)某K?=土 S oj） 正整數(shù)界比較大小的方法 廠 半方片公式Q一+與Q切=或一心。乘法公式一L完全平方：五YG±b）'=&土?注+搟）N

2、單項(xiàng)式乘以祀寂整式乘法-一單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式Y(jié)、+切-岫+四）多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式一（-（. + ）（.4.）=謝+ c?Ml人除+卜制）公式法因式分解平疔"公式C日'一'二g十完全平方公式|C ±2£+爐=（口土耳1）G閃般分止力解個(gè)不續(xù)為其他分胸方法【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、整式1 .單項(xiàng)式數(shù)與字母的積的形式的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式.單項(xiàng)式是代數(shù)式的一種特殊形式，它的特點(diǎn)是對(duì)字母來說只含有乘法的運(yùn)算，不含有加減運(yùn)算.在含有除法運(yùn)算時(shí)，除數(shù)(分母)只能是一個(gè)具體的數(shù)，可以看成分?jǐn)?shù)因數(shù).單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式.要點(diǎn)詮釋：(1)單項(xiàng)式的系數(shù)是指單項(xiàng)式中的數(shù)字因

3、數(shù).(2)單項(xiàng)式的次數(shù)是指單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)和.2 .多項(xiàng)式幾個(gè)單項(xiàng)式的代數(shù)和叫做多項(xiàng)式.也就是說，多項(xiàng)式是由單項(xiàng)式相加或相減組成的.要點(diǎn)詮釋：(1)在多項(xiàng)式中，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng).(2)多項(xiàng)式中次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù).(3)多項(xiàng)式的次數(shù)是 n次,有m個(gè)單項(xiàng)式，我們就把這個(gè)多項(xiàng)式稱為n次m項(xiàng)式.(4)把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從大到小的順序排列起來，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式按這個(gè)字母降 哥排列.另外，把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從小到大的順序排列起來，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式按這個(gè) 字母升哥排列.3 .整式單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式.4 .同類項(xiàng)所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分

4、別相同的項(xiàng)，叫做同類項(xiàng).5 .整式的加減整式的加減其實(shí)是去括號(hào)法則與合并同類項(xiàng)法則的綜合運(yùn)用.把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng).合并同類項(xiàng)后，所得項(xiàng)的系數(shù)是合并前各同類項(xiàng)的系數(shù)的和，且字母部分不變 .如果括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來的符號(hào)相同；如果括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來的符號(hào)相反整式加減的運(yùn)算法則：一般地，幾個(gè)整式相加減，如果有括號(hào)就先去括號(hào)，然后再合并同類項(xiàng).6 .整式的乘除哥的運(yùn)算性質(zhì)：?jiǎn)雾?xiàng)式相乘：兩個(gè)單項(xiàng)式相乘，把系數(shù)、相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母, 則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：

5、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.用式子表達(dá)：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：一般地，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.用式子表達(dá):平方差公式：完全平方公式:在運(yùn)用乘法公式計(jì)算時(shí)，有時(shí)要在式子中添括號(hào)，添括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前面是正號(hào)，括到括號(hào)里 的各項(xiàng)都不變符號(hào)；如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào)單項(xiàng)式相除：兩個(gè)單項(xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)哥分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含 有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式.多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的 商相

6、加.要點(diǎn)詮釋：(1)同底數(shù)哥是指底數(shù)相同的哥，底數(shù)可以是任意的有理數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式(2)三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)哥相乘時(shí)，也具有這一性質(zhì)，即am an ap am n p ( m, n, p都是正整數(shù)).(3)公式(am)n amn 的推廣：(am)n)p amnp( a 0, m, n,p 均為正整數(shù))(4)公式(ab)n an bn 的推廣：(abc)n an bn cn ( n 為正整數(shù)).考點(diǎn)二、因式分解1 .因式分解把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這樣的式子變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解.2 .因式分解常用的方法(1)提取公因式法：ma mb mc m(a b c)(2)運(yùn)用

7、公式法：22222平萬差公式：a b (a b)(a b)；完全平方公式：a 2ab b (a b)(3)十字相乘法：x2 (a b)x ab (x a)(x b)3 .因式分解的一般步驟(1)如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提公因式；(2)提出公因式或無公因式可提，再考慮可否運(yùn)用公式或十字相乘法；2020年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)(3)對(duì)二次三項(xiàng)式，應(yīng)先嘗試用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法;(4)最后考慮用分組分解法及添、拆項(xiàng)法 .要點(diǎn)詮釋：(1)因式分解的對(duì)象是多項(xiàng)式；(2)最終把多項(xiàng)式化成乘積形式；(3)結(jié)果要徹底，即分解到每個(gè)因式都不能再分解為止.(4)十字相乘法分解思路為“看兩端，湊中間

8、”，二次項(xiàng)系數(shù)a一般都化為正數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，則提出負(fù)號(hào)，分解括號(hào)里面的二次三項(xiàng)式，最后結(jié)果不要忘記把提出的負(fù)號(hào)添上【典型例題】類型一、整式的有關(guān)概念及運(yùn)算.若 3xm+5y2與 x3yn的和是單項(xiàng)式，則 nm3xm+5y2與 x3y的和是單項(xiàng)式得3xm+5y2與x3yn是同類項(xiàng),m 2解得n 2,nm=2-2=14本題考查同類項(xiàng)定義結(jié)合求解二元一次方程組，負(fù)整數(shù)指數(shù)哥的計(jì)算 同類項(xiàng)的概念為：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的單項(xiàng)式【變式】若單項(xiàng)式是同類項(xiàng)則2020年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)【答案】由題意單項(xiàng)式是同類項(xiàng),的值是（A、-3B、-1C、2020年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)C.卜列各式中正確的是A.B

9、.a2 - a3=a6C.(-3a 2) 3=-9a 6D.a5+a3=a8【答案】A;【解析】 選項(xiàng)B為同底數(shù)哥乘法，底數(shù)不變，指數(shù)相加，a2 a3=a5,所以B錯(cuò)；選項(xiàng)C為積的乘方，應(yīng)把每個(gè)因式分別乘方，再把所得的哥相乘，（-3a 2）3=-27a6,所以C錯(cuò);選項(xiàng)D為兩個(gè)單項(xiàng)式的和，此兩項(xiàng)不是同類項(xiàng)，不能合并，所以D錯(cuò)；選項(xiàng)A為負(fù)指數(shù)哥運(yùn)算，一個(gè)數(shù)的負(fù)指數(shù)哥等于它的正指數(shù)哥的倒數(shù)，A正確.答案選A.【點(diǎn)評(píng)】考查整數(shù)指數(shù)募運(yùn)算.舉一反三:【變式1】下列運(yùn)算正確的是（）【答案】A.2-3=1 ； B. 74 2 ； C. a2ga3 85a 正確；D. 3a 2a 5a.故選 C.【變式2】

10、下列運(yùn)算中，計(jì)算結(jié)果正確的個(gè)數(shù)是().(1)a4 a3=a12; (2)a6 + a3=a2；(3)a5+a5=a10;3 29-22-411(4)( a) =a；(5)( ab) = ab ； (6) 2x22x2A.無 B.1個(gè)C . 2個(gè) D.3個(gè)【答案】A.33,利用乘法公式計(jì)算：(1)(a+b+c) 2(2)(2a2-3b 2+2)(2-2a 2+3b2)【答案與解析】(1)(a+b+c) 2可以利用完全平方公式，將 a+b看成一項(xiàng)，則(a+b+c) 2=(a+b) 2+2(a+b)c+c 2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a 2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.(2

11、)(2a 2-3b2+2)(2-2a 2+3b2)兩個(gè)多項(xiàng)式中，每一項(xiàng)都只有符號(hào)的區(qū)別，所以，我們考慮用平方差公 式，將符號(hào)相同的看作公式中的a,將符號(hào)相反的項(xiàng)，看成公式中的 b,原式=2+(2a 2-3b 2)2-(2a 2-3b 2)=4-(2a2-3b 2) 2=4-4a 4+12a2b2-9b 4.【點(diǎn)評(píng)】利用乘法公式去計(jì)算時(shí)，要特別注意公式的形式及符號(hào)特點(diǎn)，靈活地進(jìn)行各種變形.舉一反三：【變式】如果a2+ma+9是一個(gè)完全平方式，那么 m=.【答案】利用完全平方公式：(a ±3) 2=a2± 6a+9. m= ± 6.類型二、因式分解C4. (2015春

12、？興化市校級(jí)期末)因式分解(1) 9x2 - 81(2) (x2+y2) 2 - 4x2y2(3) 3x (a - b) - 6y (b - a)(4) 6mn2 - 9m2n- n3.【思路點(diǎn)撥】(1)如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提公因式；(2)提出公因式或無公因式可提，再考慮可否運(yùn)用公式或十字相乘法；(3)對(duì)二次三項(xiàng)式，應(yīng)先嘗試用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法；(4)最后考慮用分組分解法及添、拆項(xiàng)法 .【答案與解析】解：(1)原式=9 (x29) =9 (x+3) (x3);(2)原式=(x2+y2+2xy) (x2+y2-2xy) = (x+y) 2 (x-y) 2;(3)原式

13、=3 (a- b) (x+2y);(4)原式=n (9m2+n26mn) =- n (3m n) 2.【點(diǎn)評(píng)】把一個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，首先要看多項(xiàng)式是否有公因式，有公因式就要先提取公因式，再看是否還可以繼續(xù)進(jìn)行分解，是否可以利用公式法進(jìn)行分解，直到不能進(jìn)行分解為止舉一反三: 【變式】(2015春？陜西校級(jí)期末)分解因式:(1) (2x+y) 2 - (x+2y) 2【答案】解：(1)(2)(2) - 8a2b+2a3+8ab2.原式=(2x+y) + (x+2y) (2x+y) - ( x+2y) =3 (x+y) (x-y); 原式=2a (a2 - 4ab+4b2) =2a (a- 2b

14、)C5.若x2 y2 mx 5y 6能分解為兩個(gè)一次因式的積，則m的值為()A. 1B. -1C. 1 D. 2【思路點(diǎn)撥】對(duì)二元二次多項(xiàng)式分解因式時(shí)，要先觀察其二次項(xiàng)能否分解成兩個(gè)一次式乘積，再通過待定系數(shù) 法確定其系數(shù)，這是一種常用的方法.【答案】C.【解析】解：x2 y2 mx 5y 6x y x y mx 5y 6-6可分解成23或 32 ,因此，存在兩種情況:(2)由(1)可得：m 1,由(2)可得：m 1.故選擇C.【總結(jié)升華】 十字相乘法分解思路為“看兩端，湊中間”，二次項(xiàng)系數(shù)a一般都化為正數(shù)，如果是負(fù)數(shù),則提出負(fù)號(hào)，分解括號(hào)里面的二次三項(xiàng)式，最后結(jié)果不要忘記把提出的負(fù)號(hào)添上.舉一反三：【變式】因式分解：6x2 7x 5【答案】6x2 7x 52x 1 3x 5類型三、因式分解與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用6.已知a、b、c是 ABC的三邊的長，且滿足：a 2+2b2+c2-2b(a+c)=0,試判斷此三角形的形狀.【思路點(diǎn)撥】式子a2+2b2+c