(完整版)線性代數(shù)試卷及答案

1、«線性代數(shù)A »試題(A卷)試卷類別：閉卷考試時(shí)間：120分鐘考試科目：線性代數(shù)考試時(shí)間：學(xué)號：姓名：題號一一三四五六七總分得分閱卷人一.單項(xiàng)選擇題(每小題 3分，共30分)1 .設(shè)A經(jīng)過初等行變換變?yōu)?B,則( B ).(下面的r(A),r(B)分別表示矩陣 A,B的秩)。(A)r(A)r(B);(B)r(A) r(B);(C)r(A)r(B);(D)無法判定r(A)與r(B)之間的關(guān)系。2 .設(shè)A為n (n 2)階方陣且|A| 0,則(C )。(A) A中有一一行元素全為零；(B)A有兩行(列)元素對應(yīng)成比例；(C) A中必有一行為其余行的線性組合；(D)A的任一行為其

2、余行的線性組合。3 .設(shè)A, B是n階矩陣(n 2), AB O ,則下列結(jié)論一定正確的是 ：( D )(A) A O或 B O;(B) B的每個(gè)行向量都是齊次線性方程組AX =0的解.(C) BA 0;(D) R(A) R(B) n.4 .下列不是n維向量組 1, 2,., s線性無關(guān)的充分必要條件是( A )(A) 存在一組不全為零的數(shù) ki,k2,., ks使得ki i k2 2ks s 0 ;第i頁共 6頁(B)不存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,.,ks使得k 1k2 2ks s O(C)1, 2,.的秩等于s；(D)1,2,.中任意一個(gè)向量都不能用其余向量線性表示5.設(shè)n階矩陣(n3

3、)(A)1；(B)6.四階行列式a100b4(A) Qa2a3a4b2a30bMb3b4 ；b100a4若矩陣A的秩為(C)(D)的值等于(B)a1a2 a3 a4hb2b3b4；(C)(a© bb)(a3a4 b3b4)；(D)(a2a3 b2b3)(da4 bh).7.設(shè)A為四階矩陣且|a|b，則A的伴隨矩陣*A的行列式為( C )。(A) b；(B) b2；(C).3b ;(D) b428.設(shè)A為n階矩陣滿足A 3AInO, In為n階單位矩陣，則A1(A) In；(B) A 3In；(C) A 3In；(D) 3A In9.設(shè)A, B是兩個(gè)相似的矩陣，則下列結(jié)論不正確的是(C

4、 )。(A) A與B的秩相同;(B) A與B的特征值相同;(C) A與B的特征矩陣相同;(D) A與B的行列式相同;第 7頁共 6頁10.設(shè)A為n階矩陣，則A以0為特征值是|A| 0的（D）。（A） 充分非必要條件；（B） 必要非充分條件;（C） 既非充分又非必要條件；（D） 充分必要條件；.填空題（每小題 3分，共18分）0 0 0 40 0 4 31 .計(jì)算行列式O0 4 3 24 3 2 12.100 101 0 40 0172 3 10 05 6 0 0 18 9 0 1 03.二次型 f (x1,x2, x3)x1x2x2x3 x3x1對應(yīng)的對稱矩陣為4.已知 1(0,0,1),2

5、（濟(jì)孝,0）,3（¥,享,0）是歐氏空間？3的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,則向量（1,1,1*這組基下的坐標(biāo)為 7415.已知矩陣 A 471的特征值為 1 3(二重)，2 12,則x44 x3, 12 24 36.設(shè)1, 2, 3均為3維列向量，記矩陣 A 1, 2, 3 , B ( 12,1 3 2 9 3)。如果 | A | 1 ,則 | B | 。2 3121三.(8 分)A 1 20 , B 1 0 , AX B ,求 X。1 0331四.(10 分)設(shè)向量組 1(1,1,2,3)T,2 (1, 1,1,1/ ,3 (1,3,3,5)T,4 (4, 2,5,6)5( 3, 1, 5,

6、7)T。試求它的秩及一個(gè)極大無關(guān)組，并把其余向量用該極大無關(guān)組線性表示。X1X2PX32五.(12分)討論線，f方程組X1PX2X31解的情況，并在有無窮多解時(shí)求其解PX1X2X31124六.（14分）設(shè)A22 2 , （1）、求出A的所有特征值和特征向量；（2）、求正交矩陣T ,42 1使得T 1AT為對角矩陣。七.（8分）對任意的矩陣 A,證明：（1） A A為對稱矩陣,A AT為反對稱矩陣;（2） A可表示為一個(gè)對稱矩陣和一個(gè)反對稱矩陣之和。線性代數(shù)A»參考答案（A卷）一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共30分）12345678910BCDABDCCCD二、填空題（每小題3分，共18

7、分）256;2、4、1,反0 ；5、4；三.解：因?yàn)榫仃嘇的行列式不為零可利用下列初等行變換的方法:106分）276、 2 。3、01212120121212，0所以XA 1B14四.解:對向量組101, 2 ,3,4,5）3,4,1, 2 , 3, 4, 5 = 24,（8分），則A可逆，因此X1B.為了求A1B,2727141014108分）5作如下的初等行變換可得:無關(guān)組為5分）第 6頁共6頁32 12，413 2，52 110 分）五解：對方程組的增廣矩陣進(jìn)行如下初等行變換：解：對方程組的增廣矩陣進(jìn)行如下初等行變換:第 12 頁共 6 頁21p1230p11p32p0022pp4 2p

8、1(1)與增廣矩陣的秩均為pp101 0,且(2(21pp)( pp)(p1)1)2p0時(shí) , 即 p3,此時(shí)方程組有唯一解.（( 4分)1,且 p2時(shí) , 系數(shù)矩陣5 分）(2)p1時(shí), 系 數(shù) 矩 陣 的 秩 為 1, 增 廣 矩 陣 的 秩 為 2, 此 時(shí) 方 程 組 無6 分）解.(3)p2時(shí) , 此時(shí)方程組有無窮多組解方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換可化為故原方程組與下列方程組同解x1x2令x3它對應(yīng)的齊次線性方程組x31x310, 可得上述非齊次線性方程組的一個(gè)特解8分）x1x21,1,0)T;x30 的基礎(chǔ)解系含有一個(gè)元素, 令x30X31,可得1 （i,i,iT為該齊次線性方程

9、組的一個(gè)解，它構(gòu)成該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.（12 分）此時(shí)原方程組的通解為 ko 0 ki 1,這里ko,ki為任意常數(shù)（1） 由于 A 的特征多項(xiàng)式1I I A| 2424一一一2一22（3）（6）21第 16頁共 6頁故A的特征值為13 （二重特征值），363分）42 4 X,13 時(shí)，由（I A）X O,即： 212 X242 4 X3基礎(chǔ)解系為1 1,2,0t, 2 1,0,1T ,故屬于特征值13的所有特征向量為k1 1 k2 2,匕*2不全為零的任意常數(shù)。 （6分）524X10282x20得基425x306的所有特征向量為 k3 3, k3當(dāng)3 6時(shí)，由（3I A）X O ,即：礎(chǔ)解系為3 2,1,2T ,故屬于特征值2為非零的任意常數(shù)。-（8分）化 可 得：22, 11 5, |,11, 155化 得 ：（2）將1, 2 正 交11 1,2,0T,O再 將 其 單 位4x5152x5 x 5 T,1533單位化得:12分)1, 2, 3 是征向量，令.552 551T2 百132 3是一個(gè)正交矩陣，且1AT(14 分)七.證明：（1）因?yàn)椋ˋAT)TAT(AT)TAT,因此A AT為對稱矩陣。(2分)同理