循環(huán)比賽名次R

1、實(shí)驗(yàn)報(bào)告實(shí)驗(yàn)課名稱：數(shù)學(xué)模型指導(dǎo)教師：朱學(xué)生姓名:年級(jí)專業(yè)：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)號(hào)：2實(shí)驗(yàn)名稱:循環(huán)比賽的名次實(shí)驗(yàn)日期:年10 月9日實(shí)驗(yàn)成績(jī):1.熟悉圖論模型的建模方法。2.熟悉掌握用matlab處理圖論模型中的相關(guān)計(jì)算。問題重述若干支足球隊(duì)參加單循環(huán)比賽，各隊(duì)兩兩交鋒，假設(shè)每場(chǎng)比 賽只計(jì)勝負(fù)，不計(jì)比分，且不允許平局。在循環(huán)賽結(jié)束后怎樣根 據(jù)他們的比賽結(jié)果排列名次呢。我們的目標(biāo)就是針對(duì)這種不規(guī)則 的比賽數(shù)據(jù)提出一種算法，盡可能合理地反映各隊(duì)真實(shí)水平。二.問題分析有六支球隊(duì)進(jìn)行比賽，其中1隊(duì)?wèi)?zhàn)勝2, 3, 4, 5, 6隊(duì)，而輸給了 3隊(duì)；5隊(duì)?wèi)?zhàn)勝3, 6隊(duì)，而輸給1, 2, 4隊(duì)?，F(xiàn)用圖的頂點(diǎn)表示球

2、隊(duì)，而用連接兩個(gè)頂點(diǎn)的，以箭頭標(biāo)明 方向的邊表示兩支球隊(duì)的比賽結(jié)果。根據(jù)比賽結(jié)果排名次的一個(gè)辦法是在圖中順箭頭方向?qū)ふ?一條通過全部6個(gè)頂點(diǎn)的路徑，如3 T* 24 十6 一 這表示3隊(duì)勝1隊(duì)，1隊(duì)勝2隊(duì)，于是3隊(duì)為冠軍，1隊(duì)為亞軍等等。但是還可以找出其他路徑，如1 F-6弋 乞 f f5,決定誰是冠軍。排名次的另一個(gè)辦法是計(jì)算得分，即每支球隊(duì)獲勝的場(chǎng)次。上例中1隊(duì)勝4場(chǎng)，2, 3隊(duì)各勝3場(chǎng)，4, 5隊(duì)各勝2場(chǎng)，6隊(duì)勝 1場(chǎng)。由此雖可決定1隊(duì)為冠軍，但2, 3隊(duì)之間與4, 5隊(duì)之間無法決出高低。四.符號(hào)說明Rj第i支球隊(duì)勝第j支球隊(duì)的概率A鄰接矩陣aij表示第i支球隊(duì)與第j支球隊(duì)的能力S頂點(diǎn)的

3、得分n表示n支球隊(duì)五.模型建立和解決設(shè)n支球隊(duì)或隊(duì)員比賽，第i支球隊(duì)與第j支球隊(duì)由比賽表現(xiàn)的能力為：aij = pij a ji =1-pij(i=1,2,n j=1,2,n)其中pj表示第i支球隊(duì)勝第j支球隊(duì)的概率。且設(shè)a j =0,則第i支球隊(duì)勝其余n-1支球隊(duì)的能力表示為:nS i= aij (i=1,2,3 n)i 1則各球隊(duì)的排名根據(jù)Sij的大小進(jìn)行。?=?存在從頂點(diǎn)？到？的有向邊(1)?否則D對(duì)于開始提出的6支球隊(duì)循環(huán)比賽的結(jié)果，不難看出這個(gè)競(jìng)賽圖是雙向連通的。寫出其鄰接矩陣若記頂點(diǎn)的得分向量為0 (2)S=(?.,?)?,其中？?是頂點(diǎn)i的得分,則由(1)不難知道S=A1, 1=

4、(1,1,1 )?由(2), (3)式容易算出 s= (4, 3, 3, 2, 2, 1)?記s=?),稱為一級(jí)得分向量，進(jìn)一步計(jì)算,?)=A?)稱為2級(jí)得分向量，每支球隊(duì)（頂點(diǎn)）的2級(jí)得分是他戰(zhàn)勝的各 個(gè)球隊(duì)的（1級(jí)）得分之和，與1級(jí)得分相比，2級(jí)得分更有理 由作為排名次的依據(jù)。繼續(xù)這個(gè)程序，得到 k級(jí)得分向量。?)=A?-?)二？?1, k=1,2,(5) ?)= (4, 3, 3, 2, 2, 1)?, ?(?)= (? ? ? ? ? ?)=(15,10,16,7,12,9)? ?(?)=(38, 28,32,21,25,16)?K越大，用？?）作為排名次的依據(jù)越合理，如果 kTK時(shí)，

5、？?）收斂于某個(gè)極限得分向量，那么就可以用這個(gè)向量作為排名次的依 據(jù)。再利用Perron-Frobenius 定理，素陣A的最大特征根為正?夕？單根? ?對(duì)應(yīng)正特征向量s,且有？?=s（6）進(jìn)一步算出A的最大特征值根?=2.232和特征向量s=(0.238,0.164,0.231,0.113,0.150,0.104)?,從而排出名次為? 1 7 T 7 7 r J 六、模型優(yōu)缺點(diǎn)以及改進(jìn)優(yōu)點(diǎn): 該方案簡(jiǎn)單易行，原理清晰,依據(jù)可靠,論證有力，結(jié)論最優(yōu)。并將 現(xiàn)實(shí)中的問題用簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題進(jìn)行分析計(jì)算，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單, 計(jì)算方便。缺點(diǎn):該模型在處理此問題時(shí)有假設(shè)與理想化的思想，與實(shí)際問題的求 解還有一定的距離。通過此次建模，令我們有了一次正式的親自動(dòng)手的機(jī)會(huì)。有利于 激發(fā)我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，豐富我們數(shù)學(xué)探索的情感體驗(yàn)；有利 于我們自覺檢驗(yàn)，鞏固所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，促進(jìn)對(duì)所學(xué)知識(shí)的吸收。本次實(shí)驗(yàn)讓我們收獲頗豐。，也使我們深刻認(rèn)識(shí)到我們