新人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)勾股定理及其逆定理教案(精品教學(xué)設(shè)計(jì))

1、勾股定理及其逆定理（復(fù)習(xí)課）【理論支持】課堂教學(xué)的重要任務(wù)之一就是要使教學(xué)過(guò)程成為學(xué)生獲取 知識(shí) 發(fā)展能力的活動(dòng)過(guò)程，成為科學(xué)知識(shí)內(nèi)化為學(xué)生精神 財(cái)富的過(guò)程.知識(shí)的獲得與內(nèi)化必須符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律， 并借助學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)對(duì)知識(shí)進(jìn)行自主性地構(gòu)建.因此，教 師在課堂教學(xué)過(guò)程中需要運(yùn)用一定的教學(xué)策略，幫助學(xué)生打 開(kāi)知識(shí)之窗，重現(xiàn)知識(shí)的形成過(guò)程；引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)，感 受知識(shí)的存在；指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用知識(shí)，增強(qiáng)對(duì)知識(shí)的記憶與理 解；幫助學(xué)生回歸知識(shí)，促使教材知識(shí)活化.勾股定理及其逆定理是通過(guò)代數(shù)計(jì)算的方法來(lái)證明的.而運(yùn) 用勾股定理求直角三角形的邊長(zhǎng)和運(yùn)用勾股定理的逆定理 判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形時(shí)，經(jīng)常

2、要用到數(shù)式變形 和方程等知識(shí).同時(shí)，作為一種數(shù)學(xué)模型，勾股定理及其逆 定理在日常生活中也有著廣泛的應(yīng)用.所以在本節(jié)課，既要 注重勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，又要關(guān)注“數(shù)形結(jié)合.方程”等數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)建模能力.教學(xué)對(duì)象分析：前面學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了勾股定理及逆定理，學(xué)生容易把勾股定 理及逆定理使用的條件混淆，在本節(jié)課中，為學(xué)生提供多種題型，創(chuàng)造自主學(xué)習(xí)，合作學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，讓他們主動(dòng)參與、 勤于動(dòng)手，從而樂(lè)于探究，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的 密切聯(lián)系.【教學(xué)目標(biāo)】知識(shí)技能勾股定理及其逆定理. 長(zhǎng)為無(wú)理數(shù)的線段的回 法.互逆命題（定理）及勾股數(shù)的概念.能靈 活運(yùn)用勾股定理及逆定理數(shù)學(xué)思考通過(guò)對(duì)勾股定理及

3、逆定理的復(fù)習(xí)鞏固， 進(jìn)一步 掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法，提高解決幾何問(wèn)題 的能力.解決問(wèn)題長(zhǎng)為無(wú)理數(shù)的線段的回法.互逆命題（定理） 及勾股數(shù)的概念.能靈活運(yùn)用勾股定理及逆定理解決直角三角形相關(guān)問(wèn)題情感態(tài)度1 .通過(guò)勾股定理及逆定理綜合運(yùn)用體驗(yàn)數(shù)與 形的內(nèi)在聯(lián)系，感受勾股定理及逆定理之間的 和諧及辨證統(tǒng)一的關(guān)系.2 .通過(guò)小組活動(dòng)培養(yǎng)學(xué)生合作交流的意識(shí)和 探索精神.教教學(xué)重難點(diǎn)】重點(diǎn)：勾股定理及逆定理的應(yīng)用.難點(diǎn)：靈活運(yùn)用勾股定理及逆定理.【教學(xué)方法】啟發(fā)引導(dǎo).分討論組【課時(shí)安排】一課時(shí)【教學(xué)設(shè)計(jì)】課前延伸1 .在 RtAABC 中，/ C=90(1)已知 a=6, b=8,貝U c=;(2)已知

4、a=b, c=4,貝U a=;2 .在 ABC中，a、b為兩邊，c為另一邊；若 a=6, b=8, 則c的范圍是;3 .已知兩條線的長(zhǎng)為 5cm和4cm,當(dāng)?shù)谌龡l線段的長(zhǎng)為美好的未來(lái)不是等待，而是孜孜不倦的攀登!導(dǎo)入新課：創(chuàng)設(shè)情境，回顧勾股定理及其逆定理如果知道一個(gè)三角形是直角三角形，你可以得到哪些結(jié)論？有什么方法可以判斷一個(gè)三角形是直角三角形？【設(shè)計(jì)說(shuō)明】為本節(jié)課綜合應(yīng)用，做好知識(shí)準(zhǔn)備及理論支持2揭示課題，整理概念，板書勾股定理：勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方；如果兩條直角邊長(zhǎng)為 a. b,斜邊長(zhǎng)為c ,則 c2= a2+ b2.運(yùn)用：已知直角三角形任意兩邊可求第三邊勾

5、股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a b c 有下列關(guān)系：a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形為直角三角形.運(yùn)用：勾股定理的逆定理可用來(lái)判定直角三角形或用來(lái)確定直角二檢查預(yù)習(xí)情況：明確檢查方法學(xué)生口答后論證三布置學(xué)生自學(xué)：1學(xué)生自主探究題：（ 1 ）若直角三角形兩直角邊的比是3： 4，斜邊長(zhǎng)是 20 ，求此直角三角形的面積【設(shè)計(jì)說(shuō)明】前面學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了勾股定理，直角三角形邊的有關(guān)計(jì)算中，常常要設(shè)未知數(shù)，然后用勾股定理列方程(組)求解，用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題是常用的方法，這里進(jìn)一步加以復(fù)習(xí)鞏固，學(xué)生有能力自己完成.I參考答案設(shè)此直角三角形兩直角邊分別是3x, 4x,根據(jù)題意得：(3x) 2+ (4x

6、) 2=202化簡(jiǎn)得x2=16;12，直角二角形的面積 =2 X 3xX4x=6x=96(2)等邊三角形的邊長(zhǎng)為 2,求它的面積.【設(shè)計(jì)說(shuō)明】作高是常用的輔助線，要利用等邊三角形的高又是底邊上的中線的性質(zhì)解決.A/!I參考答案作AD± BC于D./ | 1 B D C則：bd=2bc (等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合); AB=AC=BC=2 (等邊三角形各邊都相等)，BD=1在直角三角形 ABD 中 AB2=AD2+BD2,即：AD2=AB2 BD2=4 1=3，AD= 31Saabc= 2 BC - AD= 3等邊三角形面積公式：若等邊三角形邊長(zhǎng)為a,則其面積為3 2

7、a4I講評(píng)策略以上兩題直接由兩位學(xué)生板演，其余在座位上 完成，然后由學(xué)生點(diǎn)評(píng)板演的同學(xué)的解題過(guò)程.(3).直角三角形周長(zhǎng)為 12cm,斜邊長(zhǎng)為5cm,求直角三角 形的面積.I點(diǎn)撥方法這個(gè)問(wèn)題中的直角三角形有一條邊是已知的，另外兩邊的和可以由已知條件求生是7,所以需要設(shè)兩個(gè)未知數(shù)I參考答案設(shè)此直角三角形兩直角邊分別是x, y,根據(jù)題意得：x y 5 12,(1)x2 y2 52.(2)由(1)得：x+y=7, (x+y) 2=49, x2+2xy+y2=49(3)(3)(2),得：xy=1211，直角三角形的面積是 2xy=2 x 12=6 (cm2)(4)在銳角 ABC中，已知其兩邊 a=1,

8、 b=3,求第三邊的 變化范圍.【設(shè)計(jì)說(shuō)明】第三邊為c,b a<c<b+a,但這只是能保證三條邊能組成一個(gè)三角形，卻不能保證它一定是一個(gè)銳角三角形.為此，先求 ABC為直角三角形時(shí)第三邊的值.注意ABC為直角三角形時(shí)斜邊可能是 c或b,要 分兩種情況.CI參考答案設(shè)第三邊為 C,并設(shè) ABC是直角三角形當(dāng)?shù)谌吺切边厱r(shí)，C2=b2+a2,，c=J，0當(dāng)?shù)谌叢皇切边厱r(shí)，則斜邊一定是b,b2=a2+c2,，c=2正（即.ABC為銳角三角形所以點(diǎn)A應(yīng)當(dāng)繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使/ ABC成為銳角(如圖)， 但當(dāng)移動(dòng)到點(diǎn) A2位置時(shí)/ ACB成為直角.故點(diǎn) A應(yīng)當(dāng)在Ai 和A2間移動(dòng)，此時(shí)2匿&l

9、t; c <V10(5) .以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)， 能組成直角三角形的是 ()A. 8, 15, 17 B. 4, 5, 6 C. 5, 8, 10 D. 8, 39, 40 【設(shè)計(jì)說(shuō)明】此題是為復(fù)習(xí)勾股定理的逆定理設(shè)計(jì)的.I點(diǎn)撥方法此題可直接用勾股定理的逆定理來(lái)進(jìn)行判斷， 對(duì)數(shù)據(jù)較大的可以用 c2=a2+b2的變形：b2=c2 a2= (ca) (c+a) 來(lái)判斷.例如：對(duì)于選擇支D, 82+(40+39) X (4039), .以8, 39, 40為邊長(zhǎng)不能組成直角三角形.I參考答案答案：A(6) .四邊形 ABCD 中，/ B=90 , AB=3, BC=4, CD=12, AD=1

10、3,求四邊形 ABCD的面積.【設(shè)計(jì)說(shuō)明】此題是為復(fù)習(xí)勾股定理及其逆定理設(shè)計(jì)的.I點(diǎn)撥方法要求四邊形 ABCD的面積，顯然要把圖形進(jìn)行 分割，需要連接 AC, ABC是直角三角形， ADC呢？需要 判斷.I參考答案連結(jié)AC./ B=90 , AB=3, BC=4AC2=AB2+BC2=25 （勾股定理）.AC=5,. AC2+CD2=169, AD2=169. AC2+CD2=AD2. / ACD=90 （勾股定理逆定理）11. S 四邊形 abce=Smbc+Sacd=2AB - BC+2 AC - CD=36.2.小組合作探究題(1)如圖，一塊直角三角形的紙片，兩直角邊AC=6on, BC

11、=8cm.現(xiàn)將直角邊 AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊 AB上， 恰與AE重合，則CD等于()A. 2 cmB. 3 cm C. 4 cmD. 5 cmCAI點(diǎn)撥方法在直角三角形 ABC中，由直角邊AC=6on, BC=8 cm可知 AB=10, AE是AC沿直線 AD折疊的，AE=6, BE=4,設(shè) CD=x則 DE=X, DB=，怎樣求 DE?參考答案b(2)如圖所示，在 Rt ABC 中，BAC 90, AC AB, DAE 45，且 BD 3, CE 4,求DE的長(zhǎng).【設(shè)計(jì)說(shuō)明】此題是一條綜合題，為培養(yǎng)學(xué)生能靈活運(yùn)用勾股定理及其逆定理其他所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力I點(diǎn)撥方法因?yàn)锳BC為

12、等腰直角三角形，所以 ABD C 45 .所以把 AEC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到 AFB,則AFB AEC ,由于 BF EC 4,AF AE, ABF C 45 , DBF 為直角三角形.，容易求生DF也就彳#到DE的長(zhǎng)I參考答案:如圖，因?yàn)锳BC為等腰直角三角形，所以 ABD C 45 .所以把 AEC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到 AFB,則AFB AEC .所以 BF EC 4, AF AE, ABF C 45 .連結(jié) DF .所以 DBF為直角三角形.由勾股定理 將DF2 BF2 BD2 42 32 52 .所以DF 5 .因?yàn)?DAE 45,所以 DAF DAB EAC 45 .所以 ADE ADF SAS .

13、所以DE DF 5 .(3) ABC 中，BC a,AC b, AB c,若 C 90 ,如圖 1,根據(jù) 勾股定理，則a2 b2 c2,若ABC不是直角三角形，如圖 2和 圖3,請(qǐng)你類比勾股定理，試猜想 a2 b2與c2的關(guān)系，并證明 你的結(jié)論.I點(diǎn)撥方法當(dāng) ABC是銳角三角形時(shí)，如圖4 設(shè) CD=xJJ!fJ美好的未來(lái)不是等待，而是孜孜不倦的攀登!BD=a-x根據(jù)勾股定理，得b2 x2 c2即b2x2c2a22ax x2. 222_ a b c 2 ax.; a 0,x 0,. 2ax 0. 2,22 a b c .當(dāng)ABC是鈍角三角形時(shí)，圖 5,證明：過(guò)點(diǎn)B作BD AC,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

14、D.設(shè)CD為x ,則有DB2 a2 x2.根據(jù)勾股定理，得即b2 2bx x2a2 b2 2bxb 0,x 02bx0.2,22a b c .I參考答案若ABC圖5是銳角三角形，則有若ABC是鈍角三角形，C為鈍角，則有、反饋練習(xí)1 .等腰三角形的兩邊長(zhǎng)為 4和2,則底邊上的高是 , 面積是.12 .四個(gè)三角形的邊長(zhǎng)分別是 3, 4, 54, 7, 8a7,24,2511132,42,52其中是直角三角形的是（）A.B. C.D.3 .已知直角三角形中，兩邊的長(zhǎng)為3. 4,求第三邊長(zhǎng).4 . ABC中，/ C=90 , a=5, c- b=1,求 b, c 的長(zhǎng).5 .如圖： ABC中，AD是角

15、平分線， AD=BD, AB=2AC.求證：AACB是直角三角形.a練習(xí)題解答1 . J15,舌52 . DDC3 .解：設(shè)第三邊長(zhǎng)為 x,/加當(dāng)?shù)谌吺切边厱r(shí)：x2=32+42=25,即x=5A B當(dāng)?shù)谌叢皇切边厱r(shí)，則斜邊長(zhǎng)為4: x2=423：即x="4 .此題類似于例322. 2a c b (c b)(c b) 25 c b 25 c 13解：根據(jù)題意得：c b 1c b 1 b 125.證明：作DEL AB于E,.AD=BD,DE! AB. 2AE=AB (等腰三角形底邊上的中線和底邊上的高互相重合)/ DEA=90 (垂直的定義)又 AB=2ACAE=AC.AD是角平分線

16、./ 1 = /2在4ACD和 AED中AC AE12AD AD， ACgMED （SAS；）./ C=/ AED=90（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）.ACB是直角三角形三教師精講點(diǎn)撥：1知識(shí)點(diǎn)辨析：勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，都與直角三角形有關(guān)如果用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是否是直角三角形（1）首先確定最大邊（如：C,但不要認(rèn)為最大邊一定是C）（2）驗(yàn)證c2與a2 b2是否具有相等關(guān)系，若c2 = a2 b2,則4ABC 是以/C為直角的三角形.（若c2>a2 b2則4ABC

17、是以/C為 鈍角的三角形，若c2<a2 b2則4ABC是以/ C為銳角三角形）2探究題評(píng)析：（ 1）必須在直角三角形中才能應(yīng)用勾股定理解決問(wèn)題；必須在已知三角形三條邊大小的情況下才能應(yīng)用勾股定理的逆定理解決問(wèn)題（ 2 ）體驗(yàn)并掌握勾股定理及逆定理在實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用；3規(guī)律總結(jié)：遇到直角三角形要求邊長(zhǎng)首先要想到勾股定理的運(yùn)用；已知三邊求角，利用勾股定理的逆定理4方法指導(dǎo)：分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法課后提升一、課后練習(xí)題1 如圖， 有一塊直角三角形的紙片， 兩直角邊 AB=6， BC=8， 將直角邊AB折疊，使它落在斜邊 AC上，折痕為AD,則AD 的長(zhǎng)為多少？美好的未來(lái)不是等待，而是孜孜不倦的攀登！A2 .已知： ABC 中，AD 是高，AB+ DC=AC+BD 求證：AB=AC.二、課后練習(xí)題情況反饋：教師對(duì)課后練習(xí)題進(jìn)行批改檢查，然后將具體情況記錄在教 案上，主要包括整體完成情況.學(xué)生答題存在的主要問(wèn)題及 形成原因，同時(shí)設(shè)計(jì)適量的有針對(duì)性的變式訓(xùn)練及時(shí)糾偏.美好的未來(lái)不是等待，而是孜