二重積分及三重積分地計(jì)算

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案第一局部定積分的計(jì)算一、定積分的計(jì)算例1用定積分定義求極限.limn_):：a-(a . 0).n原式= lim 'n >：i41a,xdx=1 a求極限limn 二10.1nx .dx.x2解法nx由 0 MxM1 ,知 0 W , x Y xn ,1 x21 xn1于是 0 :二dx £ x n dx.0201 xn 1 x dx =n 11 11 xn=0 0(nT 8),由夾®準(zhǔn)那么得 lim , dx =0.0 n 1n41x2解法2利用廣義積分中值定理f f (x g(x)dx = f (-加g(x )dx (其中g(shù)(x也區(qū)間Q, b】

2、上不變號), aa1xndx°,1 x21:1 n0x dx 0 <1I 1, 一:W1)由于 0M-f=W1,即 t有界,n.1 :I,1 n 0x1dx 二n 11 xnt 0(nT g ),故 pm - j 2 dx=0. n 0 . 1 - x2(1)當(dāng)被積函數(shù)為R(x,da2 + x2)或R(x,vx2 -a2)型可作相應(yīng)變換.如對積分03dx2x2 1 -1 x2,可設(shè) x =tant ;對積分g xd2ax -x2dx(a >0 ),由于 42a x-x2 =qa2 -(x-a 2 ,可設(shè)對積分*一一改,可設(shè)e - sint.(2) If aSint+bC0

3、Stdt(c,d =0)的積分一般方法如下: 0 csin t d cost精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案將被積函數(shù)的分子拆項(xiàng),分子=A分母+B分母可求出A = ¥b2,c dbc - adB =-2 .貝U積分c dFc(csint +d cost n ,ccI = 2 A + B-dt = 一 A + B In csint + d cost : =A + Bln-.七 csint+d cost 2l|02d例3求定積分1 arcsin 4dx2 Vx1-x分析以上積分的被積函數(shù)中都含有根式,這是求原函數(shù)的障礙.可作適當(dāng)變換, 去掉根式.解法 11 arcsin ' dx '

4、% x 211 arcsintdt = 2 f 1 arcsin td arcsin t = arcsin21 1,Jx(1x) x=t2 '區(qū) J1t2'存72_ 3 二 2 . 16解法21 arcsin Jx ,. 2 4u 2sinucosu ,2 -2 8 21 , dx x = sin u du = u 2 =2 Jx(1 _x)4 sinucosu416小結(jié) (定積分的換元法)定積分與不定積分的換元原那么是類似的,但在作定積 分換元x=%t )時還應(yīng)注意:(1) x=%t )應(yīng)為區(qū)間k,p 上的單值且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)；(2)換限要伴隨換元同時進(jìn)行；(3)求出新的被

5、盡函數(shù)的原函數(shù)后,無需再回代成原來變量,只要把相應(yīng)的 積分限代入計(jì)算即可.例4計(jì)算以下定積分二3,二 32 sin xdx17 cos x ,(1)0 -;,; dx；D Ii712sin3 xdxsin x cosx0 sin x cosx0 sin x cosx精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案3二0 cos u /x = 一 -u (-du)22 cosu sinu二32 cos x ,2dx = 12.0 cosx sin x33故I11 5 sin x cos x , 2dxsin x cosxn丁 a萬.2.2,- 12 sin x -sin xcosx cos xdx =x.65 cos u

6、.x = -,2二-r -duy 1 e二 62 cos x ,=2rdx-2 1 exJTx 6e cos x1exdx二 63 cos x ,"7dx至1 +e-2二cos 2-26.xdx =6.cos xdx5n32這里用到了偶函數(shù)在對稱取問上的積分公式以及公式:n2 sinn xdxn2 cosndxn =奇數(shù)n=偶數(shù)(n -1 Rn -3 廣 4M 2n(n -2廣 3父 1n -1 n-33 1I""小結(jié) (1)常利用線性變換把原積分化為可抵消或可合并的易于積分的形式.積分區(qū)間為0, a時,設(shè)x=a-u;積分區(qū)間為卜a,a時,設(shè)* = -u.可使新的

7、積分 區(qū)間與原積分區(qū)間相同,以利于合并或產(chǎn)生原積分.(2)利用例10.6(2)中同樣的方法易得精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案2_gdx )2 gc0sxdxf sin xf cosx 0 f sin x 1,f cosx例5 設(shè)f (x)在10, M上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),fQ )= 3 ,且廣f (x " f (x 史osxdx = 2 ,求 f 0 .解 0 f x L f x CosxdxnJI=0 f x d sin xcosxdf xI IT JTj TT IT=sin xf x 0 - ： sin x f x dx cosxf x 0,i sin x f x dx=-f G)-f 0

8、=2故 f 0 - -2 一 f 二-2 -3 - -5.小結(jié)(1)定積分與不定積分的分部積分法有同樣的選擇u, dv的原那么；(2)當(dāng)被積函數(shù)中含有抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形式時,常用分部積分法求解. 2n：-;例6計(jì)算定積分！ sin6xdx ( n為自然數(shù))5 3 1 二5二一n；.6 4 2 2 8解 sin6 x是以互為周期的偶函數(shù).nn原式 =2n sin6xdx = 2n 2_sin6xdx=4n 2sin6xdx = 4二 0.02例7證實(shí)積分I = L廠0 1 .dx1 x:)與?無關(guān),并求值.dx0 1 x2 1 x-tdtxdx1 t2 1 t:1 x2 1 x:,1-2 IL0

9、1 x2dxx dxx-1 二 dx2 0 1 x2arctanx.I三 204小結(jié)收斂的廣義積分的計(jì)算和證實(shí)依據(jù)與定積分完全類似的換元積分法和分 部積分法.精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案二、含定積分的不等式的證實(shí)11c_2x -2 i .證實(shí)(1) J2e 2 W2 e ' dx E 72 ; (2 卜(esin sin tdt > 0 ."2x(1) f(x)=e"2 在,工,上連續(xù),令 f,(x)=e"2( 2x)=0,得 x=0.IL 2 2比擬上的最大值為1l尸=e 2與f (0)=1的大小,知在< v2 ) lx12 )最小值為(2)由于es

10、intsint以2n為周期,F (x 2 /史)" sin tdt = j"es1nt sintdt=fesintsintdt +L；resintsintdt. 0.二_.2二一而 (e sin tdt令 u =2n-t - e sin udu二0= -fe"intsintdt ,由于 esint -e0nt sint 0, t 0,二.所以 F x = ；esint -e1ntsintdt 0事實(shí)上,2中所給變上下限定積分與 x無關(guān),僅為取正值的常數(shù) 例9設(shè)f僅是0,1】上單調(diào)減少的正值連續(xù)函數(shù),證實(shí)aR-f f x dx > % ' f x dx

11、0 ：二：二-：1 .證利用積分中值定理,otP：0 f xdx - 二 一 f x dx- -f 1 - - - - - f 201 <：,： < 2< 1精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案=aP ff 02 y + lf (% )>0 (由于 f(x)遞減取正值).一不 ot_.八.即p f (x dx > a f f (x dx (0 < £ < P < 1)|0 -：例10設(shè)f(x渲0,b止連續(xù)且單調(diào)遞增,證實(shí)：當(dāng)0<awb時,有bb ba af xf (x dx 之一 f (x dx f (x dx.(10. 1)a2 02 -0分析

12、將定積分不等式(10. 1)視為數(shù)值不等式,可利用相應(yīng)的函數(shù)不等式的證實(shí)方法證實(shí).將要證的不等式兩端做差,并將 b換成u ,作輔助函數(shù)F(u),即需 證 F b ,0.uua證 作 F(u )= £ xf (xdx - f f (x dx +- f f (xdx1 一 1 u 一貝U F u =ufu -ufu - - q f x dx=2(皿1僅取之0 (由于f(x)遞增,f(u)-f(x心°)于是,由拉格朗日中值公式,有Fb=Fa F b-a=F b-a_0. a；b.即式(10. 1)成立.例11設(shè)f '(x底a,b上連續(xù),且f (a )=0 ,證實(shí)2bf (

13、x dx w 'aM b -a,M = max2a _x_b分析利用條件,生成改變量,借助于拉格朗日中值公式估計(jì)12分析由于f '(x )在a,b】上連續(xù),故有界,即存在M > 0,使f'(x,w M , xW hb】 f x ； | f x - f a i ix - a f i: i M x - a ,bbf f (x dx < f f (x dx aab . v(b a fM x - a dx = M.a2設(shè)f (x)在b,a】上二階可導(dǎo),且f(x)2 0,證實(shí)f f (x dx af 1 j 02f(x)二階可導(dǎo),可考慮利用f(x)的一階泰勒公式估計(jì)f

14、(x)；又所證精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案的不等式中出現(xiàn)了點(diǎn)故考慮使用x.=芻處的泰勒公式. 22證 f (x )在a處的一階泰勒公式為 2f x =fYx-al+H 一12 人2 J 2其中,在x與亙之間.利用條件f (x心0,可得2兩邊從0到a取積分,得a0 f x dx -af十f包"x .亙 dx 二af -. 22小結(jié)(Dx, x a,2al關(guān)于含定積分的不等式的證實(shí),常用的有兩種方法: 利用定積分的保序性；利用積分上限函數(shù)的單調(diào)性.三、定積分的應(yīng)用例13 求由曲線xy =a(a A0)與直線x=a,x = 2a及y = 0所圍成的圖形分別繞軸、y軸及y =1旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的

15、體積.解 (1)繞x軸旋轉(zhuǎn),積分變量為平;dxa. a x 2精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案2繞y軸旋轉(zhuǎn)3繞y = 1旋轉(zhuǎn)解法1取y為積分變量,y w 0,1,直線x = a及x = 2a和雙曲線xy = a的交點(diǎn)D1 、及C的縱坐標(biāo)分別為y =1和丫 =.設(shè)平面圖形CDFG , BCGO及ADFO 見圖11 28繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積分別為V1,V2和V3,那么所求旋轉(zhuǎn)體的體積為V =V1 V -V3=J jt La- dy + (2a 2 na2 =2na2. 2 y2解法2取y為積分變量,yw b,1,將10,11分成兩局部區(qū)間:在b11上,體積元素為一 2dV1 = 2 12a 2 (a 2

16、 dy =3iia2dy.在看1 J上,體積元素為dV2 -二dy = na2rz 2a !2-a故所求體積為V = 13na2dy + Rg2 - -1 dy二3 二a21 二a2 =2二a2.22解法3選x為積分變量,xw a,2al將旋轉(zhuǎn)體分割成以y軸為中央的圓柱形薄殼, 以薄殼的體積作為體積元素,這一方法稱為柱殼法.對應(yīng)于區(qū)間x,x+Ax的窄曲邊梯形可近似地看做高為y=a,寬為dx的舉矩形,它繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的圓柱形薄殼 x的體積,即體積元素為a dV = 2-：x -dx.x2aa2a2因此有 V =2：x -dx =2：adx = 2-：a .axa精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案(3)繞y =

17、1旋轉(zhuǎn)選X為積分變量,xw b,2a.體積元素為所求體積為V尹''2a a2 1d dxa XX22a=:2alnx a21=a 21n2 1 .x a _2小結(jié) (1)在直角坐標(biāo)系中求旋轉(zhuǎn)體體積時,被積函數(shù)總是正的,定限時要注意積分下限一定小于上限.(2)選取哪個變量作為積分變量,才能使運(yùn)算更為簡便,要根據(jù)具體問題,靈?S選取.一般地假設(shè)xOy平面中的平面圖形 D是由曲線y = %(x)y = %(x) (52 (x )中i (x )與直線x = a,x = b所圍成,那么分別繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積為Vx =二 b ' ；：22 x I：'； x dx

18、 aVy = 2二2 x - i x kdxa第二局部 二重(三重)積分一、重積分的計(jì)算及技巧總結(jié)計(jì)算二重積分的根本方法是化為二次積分,其關(guān)鍵是確定積分次序和確定積分 限.所遵循的原那么是：1.直角坐標(biāo)系下確定積分次序的原那么(1)函數(shù)原那么內(nèi)層積分能夠求出的原那么.2例如f(x,y)=g(xby 一定應(yīng)先對x積分,后對y積分.精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案例如f (x,y )=cosyg(y廠定應(yīng)先對y積分,后對x積分. x(2)區(qū)域原那么假設(shè)積分區(qū)域?yàn)閅型(即用平行于x軸的直線穿過區(qū)域D,它與D的邊界曲線相交最多為兩個點(diǎn)),應(yīng)先對x積分,后對y積分.假設(shè)積分區(qū)域?yàn)閄型(即用平行于y軸的直線穿過區(qū)域D

19、,它與D的邊界曲線 相交最多為兩個點(diǎn)),應(yīng)先對y積分,后對x積分.假設(shè)積分區(qū)域既為X型區(qū)域,又為Y型區(qū)域,這時在函數(shù)原那么滿足的前提下, 先對x積分或先對y積分均可以；在這種情況下,先對哪個變量積分簡單,就先采 用該積分順序.(3)少分塊原那么在滿足函數(shù)原那么的前提下,要使分塊最少,從而計(jì)算簡單 .2,直角坐標(biāo)系下化二重積分為二次積分時,確定積分限的原那么(1)每層積分的下限都應(yīng)小于上限.(2) 一般而言,內(nèi)層積分限可以是外層積分變量的函數(shù),也可以是常數(shù).(3)外層積分限必須為常數(shù).3 .當(dāng)二重積分的積分域D為圓域、扇形域或圓環(huán)域,被積函數(shù)具有x2 + y2的函數(shù) 形式,即g(x,y )= f

20、 (x2+y2)時,可考慮用極坐標(biāo)計(jì)算該二重積分.用極坐標(biāo)計(jì)算二 重積分一般均采用先r后0的積分次序.4 .極坐標(biāo)下積分限確實(shí)定當(dāng)極點(diǎn)在積分域D之外時!："r2 ?! f x,y d二D二.“：J rcosrsin.rdr.當(dāng)極點(diǎn)在積分域D的邊界曲線上時iif x, y d 二Dcos -, r sin - rdr.當(dāng)極點(diǎn)在積分域D內(nèi)時iif x, y d.D2： rcos-, r sin - rdr.2 二.22I l f x,y d 二= d ； f r cos , r sin - rdr.0 I -精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案小結(jié) 化二重積分為二次積分的關(guān)鍵在于確定二次積分的上、下限

21、.確定積分限采用穿線法,假設(shè)先對 y后對x積分,那么將積分區(qū)域投影在x軸上, 可得x的變化范圍.再過固定的x點(diǎn)作一平行于y軸的直線從下向上穿過區(qū)域 D, 那么可得到y(tǒng)的變化范圍.從而可將積分域D用不等式組表示出來,這種確定上、下 限的方法比擬直觀.二重積分化為二次積分,一般而言,內(nèi)層積分的上、下限是外 層積分變量的函數(shù)或者常數(shù),而外層積分的上、下限一定為常數(shù).小結(jié) 極坐標(biāo)系下化二重積分為二次積分一般選擇的積分次序是先 r后8 ,定限 時仍采用“穿線法.為確定8的變化范圍,從極點(diǎn)出發(fā)作射線穿過區(qū)域 D,并使 射線沿逆時針方向轉(zhuǎn)動,射線與積分域D開始接觸時的日角即為曰的下限,離去時 的0角即為上限

22、；又由于極徑r >0,穿入時碰到的D的邊界曲線為下限,穿 出時離開的D的邊界曲線r2(0 )為上限.小結(jié)計(jì)算二重積分時,選擇坐標(biāo)系和積分次序是非常重要的,它不但影響到計(jì)算的繁簡,甚至還會影響到計(jì)算能否進(jìn)行下去.選擇坐標(biāo)系要從積分域D的形狀和 被積函數(shù)的特點(diǎn)兩個方面來考慮,為便于記憶,現(xiàn)列表181表示.表 181積分區(qū)域的形狀被界函數(shù)的形狀應(yīng)選坐標(biāo)系D為矩形、三角形、或其他形狀f(x,y )直角坐標(biāo)系D為圓域、圓環(huán)域、扇形域或環(huán)扇形域f (x2 + y2 減 f f lx )極坐標(biāo)系小結(jié) 利用被積函數(shù)的奇偶性及積分區(qū)域的對稱性,常常使二重積分的計(jì)算簡化 許多,防止容易出錯的繁瑣計(jì)算,而且使

23、一些無法直接積分的問題得以解決.但必須注意：利用這種方法,計(jì)算時一定要同時兼顧被積函數(shù)的奇偶性和積分區(qū)域的 對稱性兩個方面,否那么就會導(dǎo)致錯誤.精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案小結(jié) 計(jì)算絕對值函數(shù)的積分,一般應(yīng)先將積分區(qū)域分塊,將被積函數(shù)分段表示, 以去掉絕對值符號,然后利用二重積分關(guān)于積分區(qū)域的可加性,進(jìn)行分塊計(jì)算, 最后把計(jì)算結(jié)果相加.5 .計(jì)算三重積分時,有一種稱為“先二后 一的算法,什么樣的情況適合選用這 種算法？“先二后一法是計(jì)算三重積分的一個很有效的方法,該方法通過計(jì)算一個二 重積分和一個定積分來得到結(jié)果.在有些場合下,其中的二重積分是不需要計(jì)算 的,因此大大簡化了計(jì)算三重積分的計(jì)算量和難度 .“先二后一方法是這樣的：如果域Q界于平面z =c1和z =c2 (c1 <c2 )之間