小學(xué)六年級奧數(shù)第29講抽屜原理(一)(含答案分析)

1、第 29 講 抽屜原理（一）一、知識要點如果給你 5 盒餅干，讓你把它們放到 4 個抽屜里，那么可以肯定有一個抽屜里至少有2盒餅干。如果把4 封信投到 3 個郵箱中，那么可以肯定有一個郵箱中至少有2 封信。如果把3 本聯(lián)練習(xí)冊分給兩位同學(xué)，那么可以肯定其中有一位同學(xué)至少分到 2 本練習(xí)冊。這些簡單 內(nèi)的例子就是數(shù)學(xué)中的“抽屜原理” ?；镜某閷显碛袃蓷l：（1）如果把x+k （k1）個元素放到x個抽屜里，那么至少有 一個抽屜里含有2個或2個以上的元素。（2）如果把mX xXk （xk1）個元素放到x個抽 屜里，那么至少有一個抽屜里含有 m+1個或更多個元素。利用抽屜原理解題時要注意區(qū)分哪些是“

2、抽屜”？哪些是“元素”？然后按以下步驟解答：a、構(gòu)造抽屜，指出元素。b、把元素放入（或取出）抽屜。C、說明理由，得出結(jié)論。本周我們先來學(xué)習(xí)第（ 1）條原理及其應(yīng)用。二、精講精練【例題 1】 某校六年級有學(xué)生367人，請問有沒有兩個學(xué)生的生日是同一天？為什么？把一年中的天數(shù)看成是抽屜， 把學(xué)生人數(shù)看成是元素。 把 367 個元素放到 366個抽屜中，至少有一個抽屜中有2 個元素，即至少有兩個學(xué)生的生日是同一天。平年一年有365 天，閏年一年有366 天。把天數(shù)看做抽屜，共366 個抽屜。把367 個人分別放入 366 個抽屜中，至少在一個抽屜里有兩個人，因此，肯定有兩個學(xué)生的生日是同一 天。練習(xí)

3、 1 ：1、某校有 370 名 1992 年出生的學(xué)生，其中至少有2 個學(xué)生的生日是同一天，為什么？2、某校有 30 名學(xué)生是 2 月份出生的，能否至少有兩個學(xué)生生日是在同一天？3、 15 個小朋友中，至少有幾個小朋友在同一個月出生？【例題2】 某班學(xué)生去買語文書、數(shù)學(xué)書、外語書。買書的情況是：有買一本的、二本的、也有三本的，問至少要去幾位學(xué)生才能保證一定有兩位同學(xué)買到相同的書（每種書最多買一本）？首先考慮買書的幾種可能性，買一本、二半、三本共有7 種類型，把 7 種類型看成7 個抽屜，去的人數(shù)看成元素。要保證至少有一個抽屜里有2 人，那么去的人數(shù)應(yīng)大于抽屜數(shù)。所以至少要去7+1=8（個）學(xué)生

4、才能保證一定有兩位同學(xué)買到相同的書。買書的類型有：買一本的：有語文、數(shù)學(xué)、外語3 種。買二本的：有語文和數(shù)學(xué)、語文和外語、數(shù)學(xué)和外語3 種。買三本的：有語文、數(shù)學(xué)和外語1 種。3+3+1=7（種）把7 種類型看做7 個抽屜，要保證一定有兩位同學(xué)買到相同的書，至少要去 8 位學(xué)生。練習(xí) 2 ：1、 某班學(xué)生去買語文書、數(shù)學(xué)書、外語書、美術(shù)書、自然書。買書的情況是：有買一本的、 二本的、 三本或四本的。 ， 問至少要去幾位學(xué)生才能保證一定有兩位同學(xué)買到相同的書 （每種書最多買一本）？2、學(xué)校圖書室有歷史、文藝、科普三種圖書。每個學(xué)生從中任意借兩本，那么至少要幾個同學(xué)才能保證一定有兩人所借的圖書屬于

5、同一種？3、一只袋中裝有許多規(guī)格相同但顏色不同的玻璃珠子，顏色有綠、紅、黃三種，問最少要取出多少個珠子才能保證有兩個同色的？10【例題 3】 一只袋中裝有許多規(guī)格相同但顏色不同的手套，顏色有黑、紅、藍、黃四種。問最少要摸出多少只手套才能保證有3 副同色的？把四種不同的顏色看成是4 個抽屜，把手套看成是元素，要保證有1 副同色的，就是1個抽屜里至少有2 只手套，根據(jù)抽屜原理，最少要摸出 5 只手套。這時拿出 1 副同色的后， 4個抽屜中還剩下 3 只手套。再根據(jù)抽屜原理，只要再摸出 2 只手套又能保證有一副手套是同色的，以此類推。把四種顏色看成是4 個抽屜，要保證有3 副同色的，先考慮保證有一副

6、就要摸出 5 只手套。這時拿出 1 副同色的后， 4 個抽屜中還剩下3 只手套。根據(jù)抽屜原理，只要再摸出 2 只手套又能保證有一副手套是同色的。以此類推，要保證有3 副同色的，共摸出的手套有5+2+2=9 （只）答：最少要摸出 9 只手套才能保證有3 副同色的。練習(xí) 3 ：1、一只袋中裝有許多規(guī)格相同但顏色不同的手套，顏色有黑、紅、藍、黃四種。問最少要摸出多少只手套才能保證有4 副同色的？2、布袋中有同樣規(guī)格但顏色不同的襪子若干只。顏色有白、黑、藍三種。問：最少要摸3 雙同色的？3、一個布袋里有紅、黃、藍色襪子各8 只。每次從布袋中拿出一只襪子，最少要拿出多少只才能保證其中至少有2 雙不同襪子

7、？【例題 4】 任意 5 個不相同的自然數(shù)， 其中至少有兩個數(shù)的差是4 的倍數(shù)， 這是為什么？一個自然數(shù)除以 4 的余數(shù)只能是0， 1， 2，3。如果有2 個自然數(shù)除以 4 的余數(shù)相同，那么這兩個自然數(shù)的差就是4 的倍數(shù)。一個自然數(shù)除以 4 的余數(shù)可能是0， 1， 2，3，所以，把這4 種情況看做時個抽屜，把任意 5 個不相同的自然數(shù)看做5 個元素，再根據(jù)抽屜原理，必有一個抽屜中至少有2 個數(shù)，而這兩個數(shù)的余數(shù)是相同的，它們的差一定是4 的倍數(shù)。所以，任意5 個不相同的自然數(shù)，其中至少有兩個數(shù)的差是4 的倍數(shù)。練習(xí) 4 ：1、任意 6 個不相同的自然數(shù)，其中至少有兩個數(shù)的差是5 的倍數(shù)，這是為

8、什么？2、任意取幾個不相同的自然數(shù)，才能保證至少有兩個數(shù)的差是8 的倍數(shù)？3、證明在任意的（n+1）個不相同的自然數(shù)中，必有兩個數(shù)之差為 n的倍數(shù)【例題5】 能否在圖 29-1 的 5 行 5 列方格表的每個空格中，分別填上1， 2， 3 這三個數(shù)中的任一個，使得每行、每列及對角線AD BC上的各個數(shù)的和互不相同？由圖 29-1 可知：所有空格中只能填寫 1 或 2 或 3。因此每行、每列、每條對角線上的5個數(shù)的和最小是1X5=5,最大是3X 5=15。從5到15共有11個互不相同的整數(shù)值，把這11 個值看承 11 個抽屜，把每行、每列及每條對角線上的各個數(shù)的和看承元素，只要考慮元素和抽屜的個

9、數(shù)就可得出結(jié)論是不可能的。因為每行、每列、每條對角線上的 5 個數(shù)的和最小是5，最大是15，從5 到 15 共有 11 個互不相同的整數(shù)值。而5 行、 5 列及兩條對角線上的各個數(shù)的和共有12 個，所以，這12 條線上的各個數(shù)的和至少有兩個是相同的。練習(xí) 5 ：1、能否在 6 行 6 列方格表的每個空格中，分別填上 1， 2， 3 這三個數(shù)中的任一個，使得每行、每列及對角線上的各個數(shù)的和互不相同？為什么？2、證明在8X8的方格表的每個空格中，分別填上3, 4, 5這三個數(shù)中的任一個，在每行、每列及對角線上的各個數(shù)的和中至少有兩個和是相同的。3、在3X9的方格圖中（如圖29-2所示），將每一個小

10、方格涂上紅色或者藍色，不論如何涂色，其中至少有兩列的涂色方式相同。這是為什么？第 29 周抽屜原理（一）一、知識要點如果給你 5 盒餅干，讓你把它們放到 4 個抽屜里，那么可以肯定有一個抽屜里至少有2盒餅干。如果把4 封信投到 3 個郵箱中，那么可以肯定有一個郵箱中至少有2 封信。如果把3 本聯(lián)練習(xí)冊分給兩位同學(xué)，那么可以肯定其中有一位同學(xué)至少分到 2 本練習(xí)冊。這些簡單 內(nèi)的例子就是數(shù)學(xué)中的“抽屜原理” ?；镜某閷显碛袃蓷l：（1）如果把x+k （k1）個元素放到x個抽屜里，那么至少有 一個抽屜里含有2個或2個以上的元素。（2）如果把mX xXk （xk1）個元素放到x個抽 屜里，那么至少

11、有一個抽屜里含有 m+1個或更多個元素。利用抽屜原理解題時要注意區(qū)分哪些是“抽屜”？哪些是“元素”？然后按以下步驟解 答：a、構(gòu)造抽屜，指出元素。b、把元素放入（或取出）抽屜。C、說明理由，得出結(jié)論。本周我們先來學(xué)習(xí)第（ 1）條原理及其應(yīng)用。二、精講精練【例題 1】 某校六年級有學(xué)生367人，請問有沒有兩個學(xué)生的生日是同一天？為什么？把一年中的天數(shù)看成是抽屜， 把學(xué)生人數(shù)看成是元素。 把 367 個元素放到 366個抽屜中，至少有一個抽屜中有2 個元素，即至少有兩個學(xué)生的生日是同一天。平年一年有365 天，閏年一年有366 天。把天數(shù)看做抽屜，共366 個抽屜。把367 個人分別放入 366

12、個抽屜中，至少在一個抽屜里有兩個人，因此，肯定有兩個學(xué)生的生日是同一天。練習(xí) 1 ：1、某校有 370 名 1992 年出生的學(xué)生，其中至少有2 個學(xué)生的生日是同一天，為什么？2、某校有30 名學(xué)生是 2 月份出生的，能否至少有兩個學(xué)生生日是在同一天？3、 15 個小朋友中，至少有幾個小朋友在同一個月出生？【例題2】 某班學(xué)生去買語文書、數(shù)學(xué)書、外語書。買書的情況是：有買一本的、二本的、也有三本的，問至少要去幾位學(xué)生才能保證一定有兩位同學(xué)買到相同的書（每種書最多買一本）？首先考慮買書的幾種可能性，買一本、二半、三本共有7 種類型，把 7 種類型看成7 個抽屜，去的人數(shù)看成元素。要保證至少有一個

13、抽屜里有2 人，那么去的人數(shù)應(yīng)大于抽屜數(shù)。所以至少要去7+1=8（個）學(xué)生才能保證一定有兩位同學(xué)買到相同的書。買書的類型有：買一本的：有語文、數(shù)學(xué)、外語3 種。買二本的：有語文和數(shù)學(xué)、語文和外語、數(shù)學(xué)和外語3 種。買三本的：有語文、數(shù)學(xué)和外語1 種。3+3+1=7（種）把7 種類型看做7 個抽屜，要保證一定有兩位同學(xué)買到相同的書，至少要去 8 位學(xué)生。練習(xí) 2 ：1、 某班學(xué)生去買語文書、數(shù)學(xué)書、外語書、美術(shù)書、自然書。買書的情況是：有買一本的、 二本的、 三本或四本的。 ， 問至少要去幾位學(xué)生才能保證一定有兩位同學(xué)買到相同的書 （每種書最多買一本）？2、學(xué)校圖書室有歷史、文藝、科普三種圖書。

14、每個學(xué)生從中任意借兩本，那么至少要幾個同學(xué)才能保證一定有兩人所借的圖書屬于同一種？3、一只袋中裝有許多規(guī)格相同但顏色不同的玻璃珠子，顏色有綠、紅、黃三種，問最少要取出多少個珠子才能保證有兩個同色的？【例題3】 一只袋中裝有許多規(guī)格相同但顏色不同的手套，顏色有黑、紅、藍、黃四種。問最少要摸出多少只手套才能保證有3 副同色的？把四種不同的顏色看成是4 個抽屜，把手套看成是元素，要保證有1 副同色的，就是1個抽屜里至少有2 只手套，根據(jù)抽屜原理，最少要摸出 5 只手套。這時拿出 1 副同色的后， 4個抽屜中還剩下 3 只手套。再根據(jù)抽屜原理，只要再摸出 2 只手套又能保證有一副手套是同色的，以此類推

15、。把四種顏色看成是4 個抽屜，要保證有3 副同色的，先考慮保證有一副就要摸出 5 只手套。這時拿出 1 副同色的后， 4 個抽屜中還剩下3 只手套。根據(jù)抽屜原理，只要再摸出 2 只手套又能保證有一副手套是同色的。以此類推，要保證有3 副同色的，共摸出的手套有5+2+2=9 （只）答：最少要摸出 9 只手套才能保證有3 副同色的。練習(xí) 3 ：1、一只袋中裝有許多規(guī)格相同但顏色不同的手套，顏色有黑、紅、藍、黃四種。問最少要摸出多少只手套才能保證有4 副同色的？2、布袋中有同樣規(guī)格但顏色不同的襪子若干只。顏色有白、黑、藍三種。問：最少要摸出多少只襪子，才能保證有3 雙同色的？3、一個布袋里有紅、黃、

16、藍色襪子各8 只。每次從布袋中拿出一只襪子，最少要拿出多少只才能保證其中至少有2 雙不同襪子？【例題4】 任意 5 個不相同的自然數(shù)， 其中至少有兩個數(shù)的差是4 的倍數(shù)， 這是為什么？一個自然數(shù)除以 4 的余數(shù)只能是0， 1， 2， 3。如果有2 個自然數(shù)除以 4 的余數(shù)相同，那么這兩個自然數(shù)的差就是4 的倍數(shù)。一個自然數(shù)除以 4 的余數(shù)可能是0， 1， 2， 3，所以，把這4 種情況看做時個抽屜，把任意 5 個不相同的自然數(shù)看做5 個元素，再根據(jù)抽屜原理，必有一個抽屜中至少有2 個數(shù)，而這兩個數(shù)的余數(shù)是相同的，它們的差一定是4 的倍數(shù)。所以，任意5 個不相同的自然數(shù)，其中至少有兩個數(shù)的差是4

17、 的倍數(shù)。練習(xí) 4 ：1、任意 6 個不相同的自然數(shù)，其中至少有兩個數(shù)的差是5 的倍數(shù)，這是為什么？2、任意取幾個不相同的自然數(shù)，才能保證至少有兩個數(shù)的差是8 的倍數(shù)？3、證明在任意的（n+1）個不相同的自然數(shù)中，必有兩個數(shù)之差為n的倍數(shù)。【例題5】 能否在圖 29-1 的 5 行 5 列方格表的每個空格中，分別填上1， 2， 3 這三個數(shù)中的任一個，使得每行、每列及對角線AD BC上的各個數(shù)的和互不相同？由圖 29-1 可知：所有空格中只能填寫 1 或 2 或 3。因此每行、每列、每條對角線上的5個數(shù)的和最小是1X5=5,最大是3X 5=15。從5到15共有11個互不相同的整數(shù)值，把這11

18、個值看承 11 個抽屜，把每行、每列及每條對角線上的各個數(shù)的和看承元素，只要考慮元素和抽屜的個數(shù)就可得出結(jié)論是不可能的。因為每行、每列、每條對角線上的 5 個數(shù)的和最小是5，最大是15，從5 到 15 共有 11 個互不相同的整數(shù)值。而5 行、 5 列及兩條對角線上的各個數(shù)的和共有12 個，所以，這12 條線上的各個數(shù)的和至少有兩個是相同的。練習(xí) 5 ：1、能否在 6 行 6 列方格表的每個空格中，分別填上 1， 2， 3 這三個數(shù)中的任一個，使得每行、每列及對角線上的各個數(shù)的和互不相同？為什么？2、證明在8X8的方格表的每個空格中，分別填上3, 4, 5這三個數(shù)中的任一個，在每行、每列及對角

19、線上的各個數(shù)的和中至少有兩個和是相同的。3、在3X9的方格圖中（如圖29-2所示），將每一個小方格涂上紅色或者藍色，不論如何涂色，其中至少有兩列的涂色方式相同。這是為什么？答案：練11、 1992 年共有 366天，把它看成是366個抽屜，把370個人放入 366個抽屜中，至少有一個抽屜里有兩個人，因此其中至少有2 個學(xué)生的生日是同一天的。2、 2 月份最多有29 天，把它看作29 個抽屜，把30 名學(xué)生放入29 個抽屜，至少有一個抽屜里有兩個人，因此這30 名學(xué)生中至少有兩個學(xué)生的生日是在同一天。3、一年有 12 個月，把 12 個月看作 12 個抽屜，把15 個小朋友放入 12 個抽屜中，

20、至少有一個抽屜里有兩個小朋友，因此至少有2 個小朋友是才同一個月出生。練21、 買書的類型中買一本的有4 種， 買二本的有6 種， 買三本的有4 種， 買 4 本的有一種，共有4+6+4+1= 15種情況。把種15種情況看出15個抽屜，要保證有兩位同學(xué)買到相同的書， 至少要去 16 位學(xué)生。2、從三周圖書種任意借2 本，只有 6 種情況。要保證有兩個所借的圖書屬于同一種，至 少要 7 個學(xué)生。3、玻璃珠子的顏色有三種，要保證有2 個同色，最少應(yīng)取出 4 只珠子。練31、思路同例3，最少要摸出11 只手套才能保證有4 付同色的。2、把三種顏色看作3 個抽屜，要保證有一雙同色的就要摸出 4 只襪子，這時拿出 1 雙同色的后， 3 個抽屜中還剩 2 只襪子。以后，只要再摸出 2 只襪子就可保證有一雙同色的。因此，要保證有3雙同色的，最少要摸4+2+2= 8只襪子。3、袋中有三種襪子時。每次從袋中拿出一只襪子，有可能拿出8 只都是同一顏色。在余下兩種顏色中要拿出一雙同色的襪子，最少要取3只。因此，最少要拿出