伯努利不等式及其應用

1、一元微分學部分 第 4 頁 共 4 頁 2005年Bernoulli不等式及其應用席華昌(山西師大臨汾學院數(shù)計系，山西省臨汾市 041000)摘 要：使用均值不等式及實數(shù)的稠密性推證Bernoulli不等式，并將其應用于證明極限、連續(xù)、單調以及其它不等式和判別級數(shù)斂散性.關鍵詞：Bernoulli不等式、極限、連續(xù)、單調、不等式、級數(shù).中圖分類號：O178眾所周知，Bernoulli不等式在數(shù)學分析中占有非常重要的地位。本文由均值不等式及實數(shù)稠密性出發(fā)推導Bernoulli不等式，并舉例說明其在分析中的一些巧妙之應用.一、 Bernoulli不等式設 rR+，且-1<x0，則 (A)分析

2、與證明 先證明 (1+x)r<1+rx, (0<r<1). 當rQ+時，設r= (n、mN，n、m互質且n<m)，由均值不等式有： 當rR+-Q+時，若x>0，取有理數(shù)列rn，使對任意自然數(shù)n，有r<rn<1，且，則有<1+rnx, 令n，得 (1+x)r1+rx ；若 -1<x<0，取有理數(shù)列rn，使對任意自然數(shù)n，有0<rn<r，且，則有<1+rnx , 令n，得 +rx ,下證 (1+x)r<1+rx. 取0<z<minr,1-r，則 r±z（0，1），那么 (1+x)r=(1+x)

3、r·1=(1+x)r·<由前面的關系式可得：從而 .再證明 (1+x)r>1+rx ( r>1).當1+rx0時，(1+x)r>01+rx ；當1+rx>0時，(1+rx)<1+rx=1+x, (1+x)r>1+rx .為應用方便，(A)式常常也寫成： (AA)二、Bernoulli不等式的應用1、極限方面的應用例1 求證 (a>1,k>0均為常數(shù)).證明 由于 a>1, 可記 (>0 ) ，則=所以，對，要使，只需 ，即 ，于是取 N，則 當n>N時，便有，即 .注：本極限中k取不同值時可得不同的極限

4、式。1、 函數(shù)連續(xù)性方面的應用例2 證明指數(shù)函數(shù)f(x)=ax (0<a1) 在R上連續(xù)。證明 先證 .對 有1=a0<ax1+(a-1)x由于 ,所以 由迫斂法則 .又，即 f(x)=ax在x=0處連續(xù)；再證 f(x)=ax在R上連續(xù)對，有=所以 f 在x0處連續(xù)，由的任意性，f 在R上連續(xù)。2、 不等式方面的應用例3 證明不等式 .證明 由于是單增趨于e的數(shù)列，從而，于是 ,因此，只需證明 成立即可.當n=1時，顯然 ;設 n=k時，有k!<成立，兩端同乘(k+1)，得(k+1)!<(k+1)=又 有 代入式，有(k+1)!<由數(shù)學歸納法知 (nN) 成立.

5、n!.3、 單調性方面的應用例4 討論函數(shù) 的單調性.分析與解 討論函數(shù) 令 由（A）式得： 兩邊同時x2次方.即,函數(shù)在（0，）上嚴格增.論函數(shù) 令 由（A）式得， 兩邊同時x2+1次方 .從而 ，即,函數(shù)在（0，）上嚴格減.注：這兩個函數(shù)的單調性還可以利用導數(shù)進行討論，上面使用這種方法也適用于討論數(shù)列與的單調性.4、 級數(shù)斂散性方面的應用例5判斷級數(shù) 的斂散性.解 記 . 則.由達朗貝爾判別法，級數(shù)收斂.注：該級數(shù)更一般的形式是：討論函數(shù)項級數(shù)的斂散性.由上面幾方面的應用可以看出：在解決一些數(shù)學問題時，若能充分考慮到Bernoulli不等式的特點及其變形，便能達到妙題巧解，出奇制勝之效果.

6、參考資料1、數(shù)學分析 紀樂剛2、數(shù)學分析經典習題解析 孫 濤附：041000 山西師大臨汾學院數(shù)計系 副教授 席華昌 xhc62 址 臨汾市堯都區(qū)鼓樓南18號本文發(fā)表于高等數(shù)學研究,2005,4(8):42-44.并列入高等數(shù)學研究論文范例被以下四篇論文引用：也談Bernoulli不等式的證明與應用高等數(shù)學研究 2006年 第6期 作者：蘇燦榮 禹春福 合肥工業(yè)大學貝努利不等式的高階推廣和數(shù)值驗證內江師范學院學報 2007年 第6期 作者：石勇國 陳志強 呂曉亞 內江師范學院Bernoulli不等式的控制證明及推廣北京聯(lián)合大學學