
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1、第二節(jié)曲面的第一根本形式2、1曲面的第一根本形式曲面上曲線的弧長(zhǎng)1給出曲面S:r=r(u,v),曲面曲線(c):u=u(t).v=v(t).或r=ru(f),v(f)=r(t),/、dudvr.r(0=+或dr=rudu+rvdv假設(shè)s表示弧長(zhǎng)有ds2=dr2=(rudu+rvdv)2=ru.rudur+2rl( rvdudv+rvdI=Edu1+2Fdudv+Gdr稱(chēng)為曲面的第一根本形式.其中E=、r,尸巨反,G=.所以稱(chēng)為第一類(lèi)根本量.2、曲線(C)上兩點(diǎn)A點(diǎn)),5(.)間的弧長(zhǎng)為:gdsNi(ducdndv(dv.s=-dt=+2F+Gdt九dt)dtdtdt)3、用顯函數(shù)樣z=z(x,
2、y)表示的曲面的第一根本形式r=x,y,z(x,y)己二1,0,夕,ry=0,1,45P石=己.1=1+/,方=工4=pq,G=ryry=l+q2I=(1+p2)d+2pqdxdyV(1+q2)dy24、第一根本形式是正定的.事實(shí)上,E=幾.J=r:0,G=r0,EG-F2=rr-(ru-rv)20.&也可從1二心2直接得到.例題L求球面的第一根本形式r=RcosgcosQHeos.sin(p.Rsin0 xucosv,yusmvzavI=ds2=du2+(M2面螺正2、2曲面上兩方向的交角1把兩個(gè)向量dr-rudu+rvdv分=q/蘇+的間的交角稱(chēng)為方向(du:dv)和(蘇:蘇)間的
3、角2、設(shè)兩方向的夾角為.,那么dr-5rrudu+rvdv)(ruSu+原)EduSu+Fduav+8udv)+Gdvdv4Edii+2FdudvGdylE3u2+2F3u3v+G3v23、特另U(i)(d)(5)=EduSu+Pdudv+Sudv)+Gdvdv=0對(duì)于坐標(biāo)曲線的交角,有dr-Sr_ru-rvFdr8rrurvJEGcosg二drSrJdr1J蘇2cos.=故坐標(biāo)曲線正交的充要條件為尸=02、3正交曲線簇和正交軌線設(shè)有兩曲線,C(w,v)du+(w,v)A加、A、蘇八+尸(+)+G()=0BduBdu5vBE-AF8uBF-AG2、4曲面域的面積如圖,用坐標(biāo)曲線把曲面分成假設(shè)干
4、小塊,每塊的面積do-ruduxrvdv=ExrvdudvEG-F2dudvb=fpb=肪Xrviudv=JjV其中D為相對(duì)應(yīng)的z/,v平面上的區(qū)域,伍X斤)2=rX-(rurv)2=EG-F2Q定義:僅由第一根本形式出發(fā)所建立的幾何性質(zhì)量稱(chēng)為曲面的內(nèi)在性質(zhì)量或內(nèi)蘊(yùn)性質(zhì)量.如曲面上曲線的弧長(zhǎng),曲面上兩方向的交角,曲面域的面積.2、5等距變換1曲面S到S1的變換給定兩曲面:S:r=rw,vsi;4=斤1,匕如果其對(duì)應(yīng)點(diǎn)的參數(shù)之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.%=ux(u,V),匕=v1(,V)其中1,?,#連續(xù),有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且這種一一對(duì)應(yīng)關(guān)系稱(chēng)為曲面s到S1的變換.由于m=彳%,%二斤%#,匕#=號(hào)見(jiàn)口
5、這樣兩個(gè)曲面在對(duì)應(yīng)點(diǎn)就有相同的參數(shù).并且在以后的討論中我們總假定在對(duì)應(yīng)點(diǎn)有相同的參數(shù).2等距變換: 曲面間的一個(gè)變換,如果保持曲面上任意曲線的長(zhǎng)度不變,那么這個(gè)變換稱(chēng)為等距變換保長(zhǎng)變換.祖的,匕定理:兩個(gè)曲面上的一一變換是等距變換的充要條件是經(jīng)過(guò)適中選取參數(shù)后,它們有相同的第一根本形式.證實(shí):必要性設(shè)S與?是等距的且對(duì)應(yīng)點(diǎn)有相同的參數(shù),貝Us上任一條曲線與片上對(duì)應(yīng)曲線有相同的長(zhǎng)度,即對(duì)于住沈丫dudvJdv4Lfdududv(dvJE+2F+Gdt=+2耳-+GJdtdtJdtdtdt)dt)?dtdt)即有Ed#+2Fdudvi-Gdv2=Eir+2F1dudv+Gydv1對(duì)于兩曲面上的曲線
6、都成立,即對(duì)任方向都成立,因此有=用,尸=G,G=G充分性設(shè)兩曲面有相同的第一根本形式,由于弧長(zhǎng)由第一根本形式?jīng)Q定,所以它們的弧長(zhǎng)相同由這個(gè)定理可知:僅由第一根本形式所確定的性質(zhì)(內(nèi)蘊(yùn)性質(zhì))在等距變換下不變,因此曲線的弧長(zhǎng),交角,面積等都是等距不變量.2、6保角變換共形變換1定義:兩曲面之間的一個(gè)變換,如果保持曲面上曲線的交一-$0角相等,那么這個(gè)變換稱(chēng)為保角變換保形變換2定理:兩個(gè)曲面間的一個(gè)變換是保角變換的充要條件是它們的第一根本形式成比例.4e證實(shí):設(shè)取相同的參數(shù)時(shí)兩個(gè)第一根本形式為1,1蘆必要性:設(shè)曲面間的變換是保角變換,因此正交性不變,由正交條件Edu3u+Fdu+3udv+Gdv3v=0得+Fdudvdudv+Gxdvdv=0消去泡,而得Edu+Fdv=益d+Gd+E,u+FdvFdu+GdvFG在血=
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