整理復雜應力狀態(tài)強度問題

1、復雜應力狀態(tài)強度問題-4試比較圖示正方形棱柱體在下列兩種情況下的相當應力fr3 ,彈性常數(shù)E和oc均為已知。(a)棱柱體軸向受壓；(b)棱柱體在剛性方模中軸向受壓。"(a)解：對于棱柱體軸向受壓的情況(見題圖 a),三個主應力依次為由此可得第三強度理論的相當應力為(a)(b)解：對于棱柱體在剛性方模中軸向受壓的情況(見題圖 圖8-4所示，然后計算其應力。b),可先取受力微體及坐標如圖4由圖8-4可得6V =根據(jù)剛性方模的約束條件，有1& =E 以4卬+&)=。 即儀=M q+。)注意到& 二隊故有三個主應力依次為“一汗一 叱 43 -1f 一 (T1(1由此可

2、得其相當應力為(b)1 2* =所 3 =1(1比較：按照第三強度理論，(a)、(b)兩種情況相當應力的比值為63( a)1r 二 二43( b)12卜r >1 ,這表明加剛性方模后對棱柱體的強度有利。門=170MPa 。試校核梁的強度。如危險點處于復雜應力狀態(tài)，采用第三強度理論校核強度。解:由題圖可知，B ,截面為危險截面，剪力與彎矩均為最大，其值分別為-5 圖示外伸梁，承受載荷 F = 130kN作用，許用應力Fs = F =130kN, M =Fl2= 130 103N 0.600m = 7.80 104 N © m2.幾何量計算WZ =0.122 0.2803 (0.1

3、22 0.0085) (0.280 2 0.0137)312 57.07 10 m3 = 5.05 10 4 m30.14012m4 = 7.07 10 5 m4Sz(b) = 0.122 0.0137 (0.140?？?；33 = 2.23 10 4 m3 = 2Sz Sz,max =2.23 10 4 十;0.0085 (0.140 0.0137)2 m 3 = 2.90 10 4 m3式中的足標b,系指翼緣與腹板的交界點，足標a系指上翼緣頂邊中點。三個可能的危險點(a、b和c)示如圖8-5。b圖a3.應力計算及強度校核點a的正應力和切應力分別為二聞 7.80 104 NWz5.05 10

4、4 m21.545 108Pa = 1545 MPa_ Fs Sz ( a) 130 1 03 1.115 1 0 4NT- I zt - 7.07 10 5 0.0137m21.496 107 Pa = 14.96 MPa該點處于單向與純剪切組合應力狀態(tài)，根據(jù)第三強度理論，其相當應力為r 3 =2 4 2 154.52 4 1 4.962 MPa = 157.4MPa < 點b的正應力和切應力分別為M |yb"7T7.80 104 (0.140 0.0137)N7.07 10 5 m2=1.393 108 Pa = 139.3 MPaFsSz(b)130 103 2.23dQ

5、F 2s z,maxT=I z &_3 _4130 103 2.90 10 N7.07 10 5 0.0085m 2=6.27 107Pa = 62.7 MPaN = 4.82 107 Pa = 48.2 MPaI z67.07 10 5 0.0085m2該點也處于單向與純剪切組合應力狀態(tài)，其相當應力為r 3 = ,139.3 2 4 48.2 2 MPa = 169.4MPa ：；：點c處于純剪切應力狀態(tài)，其切應力為解：1.分析內力由于A - A為圓形截面，其任一直徑均為主形心軸，故載荷其相當應力為r 3 = 2 = 2 62.7MPa = 125.4MPa結論：該梁滿足強度要求。4

6、.強度校核依據(jù)第三強度理論，上述三點的相當應力依次為皈 a)=.色=155.9 ( 1.44) MPa = 157.3 MPa0r3( b) = 154.4 ( 15.05) MPa = 169.5 MPa皈 c) = 2 b 2 62.7 MPa = 125.4 MPa它們均小于許用應力，故知該梁滿足強度要求。圖示曲柄軸，承受載荷 F = 10kN作用。試問當載荷方位角 I為何值時，對截面A-A的強度最為不利，并求相應的相當應力I；。F無需分解，可直接用以分析內力。根據(jù)平衡關系，截面 A - A上的剪力、彎矩和扭矩值(絕對值)分別為Fs =F = 10 kN，M = Fl = 10 . 10

7、3 . 0.070 N © m = N © m 700T =Facos8由此可見，F(xiàn)的方位角9對剪力和彎矩值并無影響，它只改變扭矩的大小，當 9 = 0時扭矩 取最大值，對截面 A - A的強度最為不利，其值為Tmax - Fa = 10 103 0.240 N 二 m = 2.40 103 N 二 m2 .計算相當應力截面A - A上鉛垂直徑的上、下點為可能的危險點，按照第三強度理論，其相當應力為_ M 2 Fax 327002 （2.40 103 ）2 N%= W =- 0.0603m1= 1.179 108Pa = 117.9MPa(a)由于是短粗軸，彎曲剪力產(chǎn)生的切

8、應力應予考慮，這時截面 為又一個可能的危險點，該點處的正應力為零，而切應力則為A - A上水平直徑的左端點,16Tmax max p= 1 + 0 = -y Tid_ 16 2.40 103一 ( 死 0.0603其相當應力為4 4Fs3 -16 10 103 N)3兀 0.0602 m2=(56.6 4.72) 106 Pa = 61.3 MPa年3 = 2r= 2 61.3 MPa = 122.6 MPa（b）比較式（a）和（b）可知，該軸真正的危險點是截面A - A上水平直徑的左端點，其相當應力如式（b）所示。順便指出，本題計算相當應力的另一種方法是先求。）、理），再求 生口）。這里的口

9、從截面A- A上左邊水平半徑量起，以順鐘向為正。將年3（口）對口求導，尋找其極值位置，找到的極值位置是 口 = 0,由此確定的危險點同上述真正的危險點，相當應力當然也同式（b）。-9圖示某段桿的彎矩My與Mz圖，它們均為直線,且其延長線分別與x軸相交于c和d點。試證明：如果 c,d點不重合，則該段桿的總彎矩M圖必為凹曲線。題8-9圖證明：本題用幾何法證明比較簡便而直觀。證明要點如下：1 .將題設M y圖線和M z圖線畫在圖8-9（a）所示的三維坐標系中（圖a中的直線61 f1和e2 f 2）。2.畫總彎矩（合成彎矩）矢量M的矢端圖e3 f3 （它為兩個坐標平面的兩個垂面 ee3 f3 f1與e

10、2e3 f 3 f 2的交線。）3,將矢端圖e3 f3向坐標平面M yOM z投影，得其投影圖線ef。ef直線上任一點與原點O的連線，即代表某一截面總彎矩的大?。榍宄鹨姡瑓⒖磮D b）。4 .將M由大（Ma ）到?。∕min ）、又由小到大（ M ）連續(xù)變化的函數(shù)關系畫在平面坐標系xoM中，即成圖（c）所示之凹曲線。-10圖示齒輪傳動軸，用鋼制成。在齒輪力Fz = 10kN;在齒輪2上，作用有切向力 F'y =1上，作用有徑向力 Fy = 3.64kN、切向5kN、徑向力 F'z = 1.82kN。若許用應力=100MPa，試根據(jù)第四強度理論確定軸徑。題8-10圖解：將各力向

11、該軸軸線簡化，得其受力圖如圖8-10 （a）所示。內力圖（M z、分別示如圖（b）、（c）和（d）。BT圖以1。由內力圖和8-9題所證明的結論可知，截面B和C都可能為危險面。對于截面B，總彎矩為M b = 10002 3642N 二 m 二 1064(a)對于截面C，總彎矩為M c =、'2272 + 5682N 二 m 二612(b)比較式（a）和（b）可知，截面B最危險。由第四強度理論的強度條件面 + 0.75T 232 M b 0.75T 26 4 d得該軸的直徑為d ；3 32. M ； 0.75T 2 冗值二 5.19 10 2 m = 51932 10642 0.75 -

12、100026 m九 100 106mm-14 圖示圓截面鋼軸，由電機帶動。在斜齒輪的齒面上，作用有切向力Ft = 1.9kN、徑向力Fr = 740N以及平行于軸線的外力 F = 660N。若許用應力=160MPa，試根據(jù)第四強 度理論校核軸的強度。題8-14圖解：1.外力分析將力F、Fr、Ft向軸AD的軸線簡化，得該軸的計算簡圖如圖8-14(a)所示。圖中,M zC = FR = 660 0.100 N 二 m = 66.0N 二 mM A = M C =FtR = 1.9 103 0.100 N m = 19Q0 N© mtMON.m一1金.0 N*mJ«ON740 N

13、55.2 N-m10.81900N950NQ50N57.0 Nui叫圖4142 .內力分析根據(jù)圖（a）,可畫軸力、扭矩及彎矩圖如圖（b）、（c）、（d）和（e）所示。由內力圖可知，截面 C為危險截面，該截面上的軸力、扭矩及總彎矩值依次為Fn=F = 660 N （壓），T = 19Q0 N © m= V57.0 2 十 55.22 N晶 m =N m3 .強度校核危險面上危險點處于單向與純剪切組合應力狀態(tài)，其正應力和切應力分別為32 79.34 660 N兀 0.0253 兀 0.0252）m2=5.30 107 Pa = 53.0 MPa （壓）T 16 190.0 N7t= -

14、=002532 = 6.19 10 Pa = 61.9 MPa將其代入第四強度理論的強度條件，有“ =" 02 + 3卷=<53.02 + 3 61.92 MPa = 119.6 MPa < o可見，該軸滿足強度要求。-16圖示等截面剛架，承受載荷F與F'作用，且F' = 2F。試根據(jù)第三強度理論確定F的許用值F。已知許用應力為,截面為正方形，邊長為 a,且a = 1/10。題8-16圖解：1.尋找危險面為了尋找危險面，首先需畫出內力圖。在圖 8-16(a)所示坐標下，由 F產(chǎn)生的內力示如 圖(b)和(c);由F 2產(chǎn)生的內力示如圖(d)、(e)和。<

15、;8)從內力圖上不難找到可能的危險面有兩個：截面A和截面C+。4 .確定F的許用值截面A為彎、拉組合(危險點處于單向應力狀態(tài))，由強度條件=6 4Fl F = 241F°max _ a3a - -a(a)F 8 a- = 4.15 10 3 oa 2 = 4,15 10 5引 2241截面C沙彎（有M y、M z ）、拉、扭組合，可能的危險點為 d和e （見圖g）,點f的扭轉切應力雖然與點 d的一樣大，但其彎曲正應力只是點d的一半，故可將它排除在外。對于點d ,正應力和切應力依次為6 2FI FZ I -.=百二由第三強度理論的強度條件222% 4為3aTb b2 一a2FI0.20

16、8a31215a=96.2 F aF2 ,1212 4 96.22 = 227與、.同 aa對于點e,切應力為零,：4.41 10 3 da2由彎、拉組合(點6 2FI 6 Fl二aar=4.41 10 5磯 2e處于單向應力狀態(tài)）的強度條件181與6 同a(b)5 5.52 10 3血2=5.52 10 5磯 2(c)比較式（a）、（b）和（c）,最后確定F的許用值為F = 4.15 10 5磯 2-17圖示圓截面圓環(huán)，缺口處承受一對相距極近的載荷F作用。已知圓環(huán)軸線的半徑為R,截面的直徑為 d,材料的許用應力為 ,試根據(jù)第三強度理論確定載荷F的許用值。題8-17圖解：1.分析內力本題為反對

17、稱問題，可取半個圓環(huán)來分析。例如取右半圓環(huán)，示如圖8-17 。圖犀17由圖可得M （口）=FRsinn ,| T。）= FR（1 coS!）2.求相當應力根據(jù)第三強度理論，截面 口危險點處的相當應力為M 2（i【）T2（【）FRsin2（1-cos【）20r3 -3 .求來的最大值由得極值位置為WWFR J2 2co犯一 W退二0dllJii - 180°(a)(b)進一步分析可知，該極值位置使為0r3取得極大值，即截面 A為危險截面，其危險點的相當應力2FR 64FRW 一 / 3(c)4 .確定F的許用值 將式（c）代入強度條件63, max同得載荷F的許用值為 4dd3門 d-

18、164R 20.4R20R圖示結構，由軸 AB與梁CD組成，并在截面 D承受集中載荷F作用。已知載荷F = 1kN ,彈性模量 E =210GPa,切變模量 G = 0.4E。試:(1)根據(jù)第三強度理論計算軸內危險點處的相當應力；(2)計算截面D的轉角與撓度。9 ,20 嬴不題8-18圖解：(1)計算相當應力此為六度靜不定問題，但有對稱性可以利用。將載荷F向軸AB的軸線簡化，得力 F和矩為M e的力偶，示如圖8-18 (a)。根據(jù)疊加原理，可將 F多余內約束，得相當系統(tǒng)如圖據(jù)此，并利用對稱性，可畫出Ml和M e分開考慮。僅考慮 F時，利用對稱性，可在截面 C處解除（b）所示。（圖中只畫了左邊一

19、半）。由變形協(xié)調條件EI 2EI2a二0Fa4M圖（見圖c ）。M e的一半，即僅考慮M e時，由對稱性可知，兩端的支反力偶矩相等，并等于M Ax =Mbx =M e =1Fa22據(jù)此，并考慮到扭矩的符號規(guī)定，可畫 T圖如圖（d）所示。由圖（c）、（d）容易判斷，B、A、C和C +四個截面同等危險，它們的彎矩值和扭矩值 （均指絕對值）分別相等。按照第三強度理論，這些面上危險點處的相當應力為.M 2 T 2 32Fa 12 228 1 103 0.300 5N年3 二W4 ：d3兀 0.0403 m2二 2.67 107 Pa = 26.7 MPa（2）計算轉角和撓度截面D的轉角由軸 AB的扭轉

20、變形和梁 CD的彎曲變形兩部分提供，由疊加法可得1(-Fa )a 222_ 2 Fa _ 5Fa Fa一 GI p 2EI7 - 4El7 國1 103 0.3002"" 7g210 10rad = 2.73 - 10-3 rad,5 3212、(4 - 3 )4 . Tf 00402 . 0.020 . 0.060截面D的撓度由軸 AB的彎曲變形、扭轉變形和梁 CD的彎曲變形三部分提供，由疊加 法可得Wd = Wc ：刖1 ca Wd (F)Fa35Fa3Fa3=+24EI4EI p 3EI11 103 0.3003210 109(64_24 兀，004045 32+4

21、兀 00404123 0.020 0.0603)由二 80 10 4 m = 0.80 mm-19圖示結構，由兩根相同的圓截面桿及剛體A和B組成。設在該剛體上作用一對方向相反、其矩均為M的力偶，試畫桿的內力圖，并根據(jù)第三強度理論建立桿的強度條件。桿的長度1、直徑d、材料的彈性模量 E、切變模量G以及許用應力均為已知，且l =20d, G =0.4E。fl題8-19圖解：1.求內力此為六度靜不定問題。利用反對稱性，可取相當系統(tǒng)如圖8-19(a)所示。部靜力學方面(見圖a )Mx = 0, 2T FsZ ( -) M =0 5幾何方面(見圖a和b )由于剛體B只能繞結構水平中軸線相對于剛體A作剛性

22、轉動，故有變形協(xié)調條件(a)物理方面Z8y將式(d) 代入式(b)和(c)4=0Tl Tl 1.25T1GI p 一 (0.4E )(21 ) - EI3EI 2EI M ylFszl2EI,得補充方程2M y = Fszl8Fszl 12M y= 3T(b)(c)(d)(e)(f)(g)(h)聯(lián)解方程(g)、(h)和(a),得匚 15M10仙0F sz =, T =M , M15M4623l232 .畫內力圖上桿的內力圖示如圖8-19(c)(e)。下桿的T圖與上桿一樣，而 Fsz圖及M y圖與上桿僅差符號，最大內力值(絕對值)與上 桿相同，故可省畫其內力圖。3 .建立強度條件由于l = 20

23、d ,屬于細長桿，可以不計剪力對強度的影響。危險面在桿的兩端，按照第三強度理論，桿的強度條件為M -5.54屋目-22圖示油管，內徑 D =11mm,壁厚 = 0.5mm,內壓p = 7.5MPa ,許用應力門=100MPa。題8-22圖解：油管工作時，管壁內任一點的三個主應力依次為所=a =-pD ,%=5=。H 02 6按照第三強度理論，有=8.25 107 Pa = 82.5 MPa 二dpD _ 7.5 106 0.011 N 2 6 -2 0.0005 m2計算結果表明，該油管滿足強度要求。-23材料的許用應力圖示圓柱形容器，受外壓f = 160MPa。p = 15MPa作用。試按第

24、四強度理論確定其壁厚。題8-23圖解：根據(jù)第四強度理論，圓柱形薄壁容器的強度應滿足,3pD由此可得,3 pDT3 15 106 0.0804 160 106m = 3.25 10 3 m = 3.25mm所得6<D / 20,屬于薄壁容器，上述計算有效。-24 圖示圓球形薄壁容器，其內徑為壁內任一點處的主應力為；='2 = pD /(4")D ,壁厚為足，承受壓強為, 3 H 0。p之內壓。試證明證明：用截面法取該容器的9產(chǎn)(b>圖 8-24由圖(a)所示半球的平衡方程Fx 二 0，PD4 6球壁內任一點的應力狀態(tài)如圖(b)所示，由此可得三個主應力依次為-25 圖

25、示鑄鐵構件，中段為一內徑D =200mm、壁厚=' = 10mm的圓筒，圓筒內的壓力p =1MPa，兩端的軸向壓力 F = 300kN ,材料的泊松比 工=0.25,許用拉應力二=30MPa。試校核圓筒部分的強度。題8-25圖解：1.應力計算圓筒的6=D / 20,屬于薄壁圓筒。故由內壓引起的軸向應力和周向應力分別為1 106 0.2004 0.010Pa = 5 106Pa = 5 MPapD _ 1 106 0.200 2-2 0.010Pa = 10 106Pa = 10 MPa由軸向壓力引起的軸向應力為300 103 N2兀 0.200 0.010 m2=4.77 107 Pa = 47.7 MPa （壓）筒壁內任一點的主應力依次為a = 10 MPa,% H 0,=(5 47.7) MPa = 42.7 MPa2.強度校核由于該鑄鐵構件的最大壓應力超過最大拉應力，且超過較多，故宜采用最大拉應變理論 對其進行強度校核，即要求a = a M+ s)的同將上述各主應力值代入上式，得% =10 0.25 ( 42.7) MPa = 20.7 MPa :二o可見，該鑄鐵構件滿足強度要求。-26圖示組合圓環(huán)，內、外環(huán)分別用銅與鋼