實數(shù)完備性基本定理的相互證明

1、實數(shù)完備性基本定理的相互證明（30個）.確界原理1 .確界原理證明單調(diào)有界定理證不妨設an為有上界的單調(diào)遞增數(shù)列.由確界原理，數(shù)列 an有上確界，令a sup an ,下面證明：lim an a. n對任意的0,由上確界的定義，存在數(shù)列&中某一項aN,使得：aaN .由于an單調(diào)遞增，故對任意的n N ,有：a an aN .另一方面，由于a是an的一個上界，故對任意的正整數(shù)n都有：an a a .所以任意的n N ,有：aan a ，即：an a .由極限的定義，lim an a .同理可證單調(diào)遞減有下界的數(shù)列必有極限，且其極限即為它的下確界n2 .確界原理證明區(qū)間套定理證明：設 a

2、n,bn是一個閉區(qū)間套.令數(shù)集San .由于任一 bn都是數(shù)列an的上界，由確界原理，數(shù)集 S有上確界，設supS .下證 屬于每個閉區(qū)間an,bn n 1,2,3, HI顯然，ann 1,2,3, M ,故只需證明對任意正整數(shù) n ,都有bn.事實上，對任意正整數(shù) n, bn都是S的上界，而上確界是最小上界，故必有bn.所以存在實數(shù)，使得an,bn n 1,2,3, |下證唯一性，假設還有另外一點，也滿足an,bn n 1,2,3,|”.則bn an0 n，故有:.唯一性得證.3 .確界原理證明有限覆蓋定理證明：欲證閉區(qū)間 a,b的任一開覆蓋H都有有限的子覆蓋.令S x| a, x能被H中有

3、限個開區(qū)間覆蓋，a x b顯然S有上界.又H覆蓋閉區(qū)間a,b ,所以，存在一個開區(qū)間， H ,覆蓋住了 a.取x a,，則a,x顯然能被H中有限個開區(qū)間覆蓋（1個），x S,從而S非空.由確界原理，令supS.先證明 b.用反證法，若b,則a b.由H覆蓋閉區(qū)間a,b , 一定存在開區(qū)間1,1 H ,覆蓋住了 .取x1,x2，使：1 x1x21,x1 S,則a, x1能被H中有限個開區(qū)間覆蓋，把1, 1加進去，就得到a, x2也能被H中有限個開區(qū)間覆蓋，即 x2 S,這與 supS矛盾，故最后證明b S.設開區(qū)間2, 2 H ,覆蓋住了 b .由bsupS,故存在y使得：2 y b且y S.則

4、a,y能被H中有限個開區(qū)間覆蓋，把2, 2加進去，就得到a,b也能被H中有限個開區(qū)間覆蓋.4.確界原理證明聚點定理證明：設S有界無限點集，則由確界原理令inf S.是S的一個聚點，則命題已經(jīng)成立，下面設不是S的聚點.x| ,x中只包含S中有限個元素.因為 不是S的聚點，所以存在0 0,使得o,0只包含S中有限個數(shù)，故0 T ,從而T非空.又S有界,所以S的所有上界就是T的上界，故T有上確界，令 supT .卜面證明是S的一個聚點.對任意的0,包含S中無窮多個元素.由上確界的定義，存在中只包含S中有限多個元素.從而我們得知中包含了 S中無窮多個元素，由聚點的定義,是S的一個聚點.5.確界原理證明

5、Cauchy收斂準則 證明：必要性：若 lim xnnx,則對任意的0 ,存在正整數(shù) N ,對一切n-.于是對一切m, n N ,有2xmxn充分性:現(xiàn)假設xn令數(shù)集Sxmxxnx滿足對任意的0 ,存在N ,對一切正整數(shù) n, mN ,有 xnxmx| xn中只有有限項小于x或xnx, n ,明顯數(shù)列xn的下界都屬于S,并且xn的上界就是S的上界.由確界存在定理，令supS.對條件給定的0和N ,包含xn中無窮多項.由上確界的定義，存在中只包含S中有限多個元素.從而我們得知中包含了S中無窮多個元素，設x,k 1,2,3,|則對任意正整數(shù)n N，總存在某個故有:xnxnxnk.單調(diào)有界定理xnk

6、2 .從而 lim xnn6 .單調(diào)有界定理證明確界定理證明：我們不妨證明非空有上界的數(shù)集S必有上確界.設Tr |r為數(shù)集S的有理數(shù)上界.明顯T是一個可數(shù)集，所以假設：Tr1,r2,|,rn,| .令xn min ri .則得單調(diào)遞減有下界的數(shù)列，由單調(diào)有界定理得，令lim xn先證 是上界.任取S S ,有S rn Xn ,由極限的保序性，S .其次對于任意的0,取一個有理數(shù)r ,它明顯不是s的上界，否則lim Xn r產(chǎn)生矛盾！故存在s S,使得s ,我們證明了是數(shù)集S上確界.n n7 .單調(diào)有界定理證明區(qū)間套定理若an,bn是一個區(qū)間套，則an為單調(diào)遞增有上界的數(shù)列，由單調(diào)有界定理，令l

7、im an,并且容易得到nann 1,2.3, III .同理，單調(diào)遞減有下界的數(shù)列bn也有極限，并按區(qū)間套的條件有：|im bn |im anbn an0,并且容易得到 bnn 1,2,3,1“ .所以 an,bn n 1,2,3, KJ下證唯一，性，假設還有另外一點，也滿足an,bn n 1,2,3,|則bn an 0 n，故有：.唯一性得證.8 .單調(diào)有界定理證明有限覆蓋定理設T r | a,r可以被H的開區(qū)間有限開覆蓋，且 r Q,r b .容易得到T中包含無窮多個元素，并且T是 一個可數(shù)集，所以假設：T1,2,|,片,|.令Xnmaxri.則得單調(diào)遞增有上界的數(shù)列，由單調(diào)有界定理得，

8、令 lim xn. n先證明 b.用反證法，若b,則a b.由H覆蓋閉區(qū)間a,b , 一定存在開區(qū)間1,1 H ,覆蓋住了 .取x rj,y,使：1 xi 0 y 1，則a, x1能被H中有限個開區(qū)間覆蓋，把1, 1加進去，就得到a, y也能被H中有限個開區(qū)間覆蓋，即 y S,這與supS矛盾，故 b.最后證明b S.設開區(qū)間2, 2 H ,覆蓋住了 b.由b supS,故存在xk n使得：2 xk n b.則a,rl能被H中有限個開區(qū)間覆蓋，把 2, 2加進去，就得到 a,b也能被H中有限個開區(qū)間覆蓋.9 .單調(diào)有界定理證明聚點定理證明：設S是一有界無限點集，在 S中選取一個單調(diào) an ,下

9、證數(shù)列an有聚點.(1)如果在 an的任意一項之后，總存在最大的項，設a1后的最大項是a、，a&后的最大項是an2 ,且顯然aann2n ;一般地，將a*后的最大項記為ank1,則有：anank 1,2,3,| .這樣，就得2,1k 1k到了 an的一個單調(diào)遞減子列 ank .(2)如果(1)不成立 則從某一項開始，任何一項都不是最大的，不妨設從第一項起，每一項都不是最大項于是，取an1 a1，因/不是最大項，所以必存在另一項 an an n2 n又因為an2也不是最大項，所 以又有：an3 an2 n31，這樣一直做下去，就得到了 an的一個單調(diào)遞增子列 ank .綜上所述，總可以在

10、S中可以選取一個單調(diào)數(shù)列an ,利用單調(diào)有界定理，an收斂，極限就是S的一個聚1 knk點.10 .單調(diào)有界定理證明 Cauchy收斂準則 證明：必要性： 若lim xn x ,則對任意的 0 ,存在正整數(shù) N ,對一切n N ,有 x 一.于是對一切m, n N ,有n2Xm XnXm X Xn X -.2 2充分性：現(xiàn)假設Xn滿足對任意的0,存在N ,對一切正整數(shù)n,m N ,有Xn Xm.先證明柯西數(shù)列是有界的.取。1 ,故存在某個正整數(shù) N0 ,對一切n ,有Xn xN0 1 1 ,即anaN° 1 1.故xn有界.lim xk參考9的做法，可知數(shù)列 不有一個單調(diào)子列 an

11、，由單調(diào)有界定理，an收斂，令kk則對任意正整數(shù)n N，總存在某個nk nk N ,使得xnk,故有:XnXnXnkXnk2 .從而 lim xnn三.區(qū)間套定理11 .區(qū)間套定理證明確界原理證明：僅證明非空有上界的數(shù)集 S必有上確界取一個閉區(qū)間 a,b ,使得a,b包含S中的元素，并且b為S的上界.將閉區(qū)間a,b等分為兩個閉區(qū)間a,ab與ab,b .若ab為數(shù)集S的上界，則取a1ma,-ab22212否則取a,"ab,b再將閉區(qū)間a1, h等分為兩個閉區(qū)間a1,a-b122a-b1,b1 .若 里為數(shù)集S的上界，則取 22a2, ba1,bia1bi,b1.不斷進行下去，這樣得到了

12、一個閉區(qū)間套an,bn由區(qū)間套定理的得存在屬于所有的閉區(qū)間an,bn n 1,2,3,m 并且每個閉區(qū)間an, bn都包含S中的元素，并且右端點 bn為S的上界.由于對任意s S,有s bn,所有由極限的保序性，s lim bn,從而 是數(shù)集S的上界.n最后，對于任意 0,存在n,使得0 bn an .由閉區(qū)間套的選取，an,bn包含了 S中某個元素s,從而有s an bn.故 是數(shù)集S的上確界.12 .區(qū)間套定理證明單調(diào)有界定理設xn是單調(diào)有界數(shù)列，不妨設其為單調(diào)遞增且有上界取一個閉區(qū)間 a,b ,使得a,b包含xn中的項，并且b為xn的上界.將閉區(qū)間a,b等分為兩個閉區(qū)間a,ab與b,b

13、.若a-b為xn的上界，則取 a11bla,-ab ,2222否則取闞心ab,b .2再將閉區(qū)間anb等分為兩個閉區(qū)間a1,-a-bl與a2,b1 .若久6為xn的上界，則取222a2,b2a1,a-b1，否則取a2,b2乙6,6.不斷進行下去，這樣得到了一個閉區(qū)間套an,bn .22由區(qū)間套定理的得存在屬于所有的閉區(qū)間an,bn n 1,2,3,1“并且每個閉區(qū)間an,bn者B包含xn中的項，并且右端點bn為xn的上界.下面證明lim xn.n對任意的0,存在n,使得0bnan.由閉區(qū)間套的選取，an,bn包含了xn中某一項xn,從而有xN an bn由于xn單調(diào)遞增，故對任意的n N ,有

14、：xN xn.又 bn an,故有xn，即xn.13 .區(qū)間套定理證明有限覆蓋定理若閉區(qū)間a,b可以被H中的開區(qū)間無限開覆蓋.下面證明閉區(qū)間 a,b可以被H有限開覆蓋.用反證法，若閉區(qū)間a, b不能被H有限開覆蓋.將閉區(qū)間a,b等分為兩個閉區(qū)間a,ab與ab,b .其中必有一個區(qū)間不能被H有限開覆蓋，設它為ai,bi ;再將閉區(qū)間a11bl等分為兩個閉區(qū)間 a1,久立 與 江邑,b1 .其中必有一個區(qū)間不能被 H有限開覆蓋，設 22它為a2,b2 .不斷進行下去，這樣得到了一個閉區(qū)間套an,bn .由區(qū)間套定理的得存在屬于所有的閉區(qū)間an,bn n 1,2,31“.顯然 a,b ,考慮H中覆蓋

15、 的開區(qū)間,取0 min ,.由于lim an lim bn，所以存在N ,對一切正整數(shù)n N ,有an, bn，故此時nnIIan,bnU ;,.從而小,bn n N可以被H中的一個開區(qū)間 ， 覆蓋，產(chǎn)生矛盾！故假設不成立，即I區(qū)間 a,b可以被H有限開覆蓋.14 .區(qū)間套定理證明聚點定理證明：已知點集S是有界無限點集.設S a,b .將閉區(qū)間a,b等分為兩個閉區(qū)間a<ab與ab,b .其中必有一個區(qū)間包含了點集S中無窮多個元素，22設它為 a1,b1 ；再將閉區(qū)間a1,b1等分為兩個閉區(qū)間a11a-b1與a-b11b1 .其中必有一個區(qū)間包含了點集S中無窮多個22元素，設它為a2,b

16、2 .不斷進行下去，這樣得到了一個閉區(qū)間套an,bn ,每個閉區(qū)間包含了點集 S中無窮多個元素.由區(qū)間套定理的得存在屬于所有的閉區(qū)間an,bn n 1,2,3“.下證 是點集S的一個聚點.因為lim an lim bn ,故對任意的0,必定存在一個N ,對一切正整數(shù)n N ,有3, bn,nn從而an,bnU ； n N .又每個閉區(qū)間 an,bn包含了點集S中無窮多個元素，故U ;包含了點集S中無窮多個元素.由聚點的定義，是點集S的一個聚點.15.區(qū)間套定理證明Cauchy收斂準則必要性：若lim xn x ,則對任意的0 ,存在正整數(shù) N ,對一切n N ,有xn x 一 .于是對一切m,

17、 n N ,有n2xm xnxm x xn x 一 一2 2充分性：現(xiàn)假設xn滿足對任意的0,存在N ,對一切正整數(shù)n, m N ,有xn xm.先證明柯西數(shù)列是有界的.取0 1 ,故存在某個正整數(shù) No,對一切n ,有Xn Xn° 11,即anaN0 11.故xn有界.取一個閉區(qū)間a,b ,使得a,b包含所有xn中的項.a b , a b將閉區(qū)間a,b等分為兩個閉區(qū)間 a, 與 ,b .其中必有一個區(qū)間包含了xn中無窮多項，設它為22即匕；再將閉區(qū)間a11bl等分為兩個閉區(qū)間a，亙?nèi)fb1與 包”，4 .其中必有一個區(qū)間包含了xn中無窮多項，設它為a2,b2.不斷進行下去，這樣得到了

18、一個閉區(qū)間套an,bn,并且每個閉區(qū)間an,bn都包含xn中無窮多項.由區(qū)間套定理的得存在屬于所有的閉區(qū)間 an,bn n 1,2,3，lll現(xiàn)在取一個子列xnk,滿足xnk4也 k 1,2,3“.因為ljmanlim bn和夾逼定理，lim xnk.則對任意正整數(shù)n N,總存在某個nk nk N ,使得xnk，故有：xnxn xnkxnk2 - 從而，m xn四.有限覆蓋定理16.有限覆蓋定理證明確界原理證明：不妨設S為非空有上界的數(shù)集，我們證明S有上確界.設b為S的一個上界，下面用反證法來證明S一定存在上確界.假設S不存在上確界，取a S.對任一 x a,b ,依下述方法確定一個相應的鄰域

19、（開區(qū)間）U U x; xx x,x x .xxxx（1）若x不是S的上界，則至少存在一點 x S,使x x,這時取x x x. （2）若x是S的上界，由假設S不存在上確界，故有x 0,使得xx,x中不包含S中的點.此時取Uxxx, xx ,可知它也不包含S中的點.于是我們得到了 a,b的一個開覆蓋：H Ux x x,x x |x a,bn根據(jù)有限覆蓋定理，a, b可以被H中有限個開區(qū)間 U 4 覆蓋.個i 1很明顯（1）的開區(qū)間右端點屬于 S, （2）的開區(qū)間中不包含 S中的點.顯然a所屬的開區(qū)間是屬于（1）的, b所屬的開區(qū)間是屬于（2）的，所以至少有一個（1）中的開區(qū)間與某個（2）中的開

20、區(qū)間相交，這是不可能 的.17 .有限覆蓋定理證明單調(diào)有界定理 證明：設xn是單調(diào)有界數(shù)列，不妨設其為單調(diào)遞增且有上界.任取b為xn的一個上界以及 xn中某項,個相應的鄰域（開區(qū)間）構造出閉區(qū)間xt,b ,對任意的x xt,b ,依下述方法確定UxU x; x x x,x x XX X(1)(2)若X是的上界，由假設 Xn發(fā)散，故不會收斂到X.即有存在某個0 0 ,對任何正整數(shù)N ,存在n N ,使得xnU x; 0x 0,X.由于Xn遞增，有上界X,所以xn中的所有項均不落在 U x; 0 X 0,x 0中.此時取于是我們得到了冷b的一個開覆蓋:H Uxx |x Xt,b .根據(jù)有限覆蓋定理

21、，Xt,b可以被H中有限個開區(qū)間UxXi若x不是xn的上界，則 xn中至少存在一項 為，使為 x,這時取很明顯（1）的開區(qū)間右端點屬于Xn , （2）的開區(qū)間中不包含Xn中的項.顯然Xt所屬的開區(qū)間是屬于（1） 的，b所屬的開區(qū)間是屬于（2）的，所以至少有一個（1）中的開區(qū)間與某個（2）中的開區(qū)間相交，這是不 可能的.18 .有限覆蓋定理證明區(qū)間套定理證明：用反證法.假設 an,bnn1,2,3,|沒有公共點，則對任意一點a1,b1 ,它都不會是3n,bnn 1,2,3,|的公共點，從而存在正整數(shù)nx,使得xa%,bnx.故總存在一個開區(qū)間Ux xXx,XX, X于是我們得到了a1,D的一個開

22、H Uxx,Xx |x 司，句.根據(jù)有限覆蓋定理,31a可以被H中有限個開區(qū)間Uxik覆蓋.i 1注意到閉區(qū)間套之間的包含關系，則所有UxXi定和某個最小的閉區(qū)間an0 , bn03ni , bni無交.從而：ah3n0 , bn0ano , bn0U xan0，bn°.產(chǎn)生矛盾!19 .有限覆蓋定理證明聚點定理證明：設點集S是有界無限點集.設Sa,b .用反證法，假設S沒有聚點.利用聚點定義，對任意的存在一個領域Ux x x，xXXx ,使得Ux中只包含點集S中有限個點. XX這樣得到了 a,b的一個開覆蓋:H Ux x X,x x |x a,b .根據(jù)有限覆蓋定理，a,b可以被H

23、中 XXXn有限個開區(qū)間Ux 覆蓋.由于每個Ux中只包含點集S中有限個點，所以 a,bi i 1U%也只包含了 S中有限個點，這與S是無限點集相矛盾！故假設不成立，即20.有限覆蓋定理證明Cauchy收斂準則證明：必要性：S有聚點.若lim Xnx ,則對任意的n0,存在正整數(shù) N ,對一切n N ,有-.于是對一切m, n N ,有Xm Xn Xm X Xn X充分性：（使用反證法）現(xiàn)假設 xn先證明柯西數(shù)列是有界的.個上界.其次，對任意0,取ak u，設s S包含于閉區(qū)間ak,bk，則s ak2 2滿足對任意的0,存在N ,對一切正整數(shù)n,m N ,有Xn Xm.L 0 1 ,故存在某個正

24、整數(shù)No,對一切n ,有Xn Xn0 1 1,即anaN0 1 1.故Xn有界.假設Xna,b .若Xn發(fā)散，則對任意的X a,b ,可以找到一個Ux X X,X X ,使得Xn中只有有限項落在U x; 0中.否則對任何0, X , X 中均包含 Xn中無限項，則可以證明Xn收斂.這樣得到了 a,b的一個開覆蓋：H Ux x x,xx |x a,b .根據(jù)有限覆蓋定理，a,b可以被H中有限個開區(qū)間 Ux n1覆蓋.所以a,b ux也只包含了 xn中的有限項，矛盾！故假設不成立，刀收斂.五.聚點定理21.聚點定理證明確界原理證明：僅證明非空有上界的數(shù)集S必有上確界.取一個閉區(qū)間 a,b ,使得a

25、,b包含S中的元素，并且b為S的上界.a b a b a b -a b將閉區(qū)間a,b等分為兩個閉區(qū)間 a,-b與ab,b .若a-b為數(shù)集S的上界，則取 斜由a,-b ,2222a b否則取司心a-b,b .再將閉區(qū)間a11bl等分為兩個閉區(qū)間a1,里也 與a,b1 .若ab1為數(shù)集S的上界，則取 1F222a2,b2司,芻一立，否則取a2,b2a-bL,b1 .不斷進行下去，這樣得到了一個閉區(qū)間套an,bn .22由于bn明顯有界，所有它有聚點 對任意 0,s S,設bk U ；, ，則s bk.由 的任意性，s ，故 是S的一從而我們證明了是S的一個上確界22 .聚點定理證明單調(diào)有界定理證

26、明：設xn是單調(diào)有界數(shù)列，則它一定存在聚點.下證：limxn.n對任意的 0,由聚點的定義，U, 中包含 xn中的無窮多項，設xnkU ,.則取Nn1 ,對一切正整數(shù)n Nn1，假設nnk.利用xn是單調(diào)的，xn介于乂口與xnk之間，所以由xn,xnk U ,，可知 U ,，從而由極限的定義，lim xn23 .聚點定理證明區(qū)間套定理證明：設S anbn，則S是有界無限點集 由聚點定理得數(shù)集 S聚點.若存在一個某個正整數(shù) n0,使得an0鳳，不妨假設an0bn0.取0bn0,則對一切n n0 ,有anbnbn00 .于是U ; 00,0中只包含S中有限個點，這與 是數(shù)集S的聚點矛盾！故an，b

27、n n 1,2,3,HI下證唯一性，假設還有另外一點，也滿足an,bn n 1,23| .則bn an0 n ,故有：.唯一性得證.24 .聚點定理證明有限覆蓋定理證明：若閉區(qū)間 a,b可以被H中的開區(qū)間無限開覆蓋.下面證明閉區(qū)間 a,b可以被H有限開覆蓋.用反證法,若閉區(qū)間a,b不能被H有限開覆蓋.將閉區(qū)間a,b等分為兩個閉區(qū)間a,ab與ab,b .其中必有一個區(qū)間不能被H有限開覆蓋，設它為22即匕；再將閉區(qū)間a11bl等分為兩個閉區(qū)間 七芻皆 與它為a2,b2 .不斷進行下去，這樣得到了一個閉區(qū)間套覆蓋顯然，an是有界的，故它存在聚點.明顯min , ，則在 U ;, b aankU ;,

28、.又 bn an -2T-于是存在某個rk ,使得bn an 033a-bL,bi .其中必有一個區(qū)間不能被H有限開覆蓋，設2an,a,并且an,bn1,2,3” 均不能被H有限開a,b .考慮H覆蓋中覆蓋住的開區(qū)間，.取中包含了an中的無窮多項，設0 n故 ano； %故ano,bno,.這與an,bn1,2,3|均不能被H有限開覆蓋矛盾！故假設不成立，即閉區(qū)間 a,b可以被H有限開覆蓋.25 .聚點定理證明Cauchy收斂準則若lim xnx ,則對任意的n證明：必要性：0,存在正整數(shù) N ,對一切n N ,有xnx -.于是對一切xmxn充分性:現(xiàn)假設xn滿足對任意的0,存在N ,對一切

29、正整數(shù)n,mN ,有 xnxm先證明柯西數(shù)列是有界的.取01 ,故存在某個正整數(shù)N 0 ,對一切n ,有xnXn0即anaN0 11.故xn有界.故它存在聚點，設為對條件中的 0,由聚點的定義,假設xnkU ;則對任意正整數(shù)n N，總存在某個nknk N，使得 xnkXnxnx,nkxnk.從而 lim xnn六.Cauchy收斂準則26 . Cauchy收斂準則證明確界原理 證明：設S為非空有上界數(shù)集.由實數(shù)的阿基米德性，對任何正數(shù)k 1 不是S的上界，即存在S使得分別取1n 1,2,3,| ,則對每一個正整數(shù) n,存在相應的,使得n為S的上界,1 一不是S的上 n界,故存在S,使得又對正整

30、數(shù)m是s的上界，故有m .所以m1 ,.同理有 m于是得到于是,對任意的0,存在正整數(shù) N ,使得當m,n N時有由柯西收斂準則,數(shù)列 n收斂.記limn-1 1min ,-m nnimn現(xiàn)在證明 就是S的上確界.首先，對任何S和正整數(shù)n ,有 n ,有極限的保序性,故是S的上界1其次,對于任意的0,存在充分的的正整數(shù)n ,使得 并且n .n 22-1 一 一， 一 、，一1由于n n不是S的上界，所以存在 S,并且 n /_1_于TEn .故就是S的上確界.n 2 227 . Cauchy收斂準則證明單調(diào)有界定理證明：設xn是單調(diào)有界數(shù)列，不妨假設xn單調(diào)遞增有上界若xn發(fā)散，則又柯西收斂準

31、則，存在°0 ,對一切正整數(shù) N ,存在mn N ,使得 xm xnXm xn于是容易得到xn的子列xnk ,使得k 14k 0.進而xnk% k 1 0故xnkk ，這與xn是有界數(shù)列矛盾！所有假設不成立，即xn收斂.0,存在正整數(shù) N ,對一切n N ,28 . Cauchy收斂準則證明區(qū)間套定理 證明：設 an,bn為閉區(qū)間套.因為lim an bn 0,所以對任意的有 an bna an從而對任意的 m n N , am & am an bn %；bmbnbnbmbnan,由柯西收斂準則，an,bn均收斂，而且是同一極限，設“manpmbn.由于an單調(diào)遞增，bn單調(diào)遞減，由極限的保序性，所以an，bn n 1,2,3,HI下證