全國高中數(shù)學(xué)競賽專題三角函數(shù)

1、三角恒等式與三角不等式一、基礎(chǔ)知識定義1角：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的圖形叫做角。角的大小是任意的。若旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r針方向，則角為正角，若旋轉(zhuǎn)方向?yàn)轫槙r針方向，則角為負(fù)角, 若不旋轉(zhuǎn)則為零角。定義2角度制：把一周角360等分，每一等分為一度。弧度制：把等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做一弧度。360度=2冗弧度。若圓心角白勺弧長為L,則其弧度數(shù)的絕對值| a |=上，其中r是圓的半徑 r定義3三角函數(shù)：在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，把角a的頂點(diǎn)放在原點(diǎn)，始邊與X軸的正半軸重合，在角的終邊上任意取一個不同于原點(diǎn)的點(diǎn)P,設(shè)它的坐標(biāo)為（x,y）,到原點(diǎn)的距離為r,則正弦函數(shù)sin a =-,余弦函數(shù)cos a

2、 =x ,正切函數(shù)tan a =,余切rrx函數(shù)cot a =,正割函數(shù) sec a =,余割函數(shù) CSC a =. yxy定理1 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式， 倒數(shù)關(guān)系：tan a = ,S in a= , cos a =-1； cotcscsec商數(shù)關(guān)系：tana=sn,cot -cos-;cossin乘積關(guān)系：tan a x cos a =sin a , cot a x sin a =cos平方關(guān)系:sin 2 a +cos2 a =1, tan2 a +1=sec2 a , cot2a +1=csc2a .定理 2 誘導(dǎo)公式（I ） sin （ a + 九）=-s in a , cos（

3、兀 + a ）=- cos a , tan （九 + a ）=tan a , cot （九 + a ）=cot a ；(H ) sin (- a )=-s in a , cos(- a )= cos a , tan (- a )=- tan a , cot (a )=cot a ；(m) sin (兀-a )=s in a , cos(兀-a )=- cos a , tan =(兀-a )=- tan a , cot (九-a )=- cot a ；(IV) sin =cos a , cos =sin a, tan =cot a (奇變偶不變，符號看象限)。定理3正弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得

4、y=sinx (xCR)的性質(zhì)如下。3單調(diào)區(qū)何：在區(qū)間2k ,2k上為增函數(shù)，在區(qū)間2k ,2k-上2222為減函數(shù)，最小正周期：2 .奇偶性：奇函數(shù)有界性：當(dāng)且僅當(dāng)x=2kx+時，y取最大值1,當(dāng)且僅當(dāng)x=3k -3時，y取最小 值-1 ,值域?yàn)?1 , 1。對稱性：直線x=k +3均為其對稱軸，點(diǎn)(k ,0)均為其對稱中心。這里kCZ.定理4余弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得 y=cosx(x R)的性質(zhì)。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間2k- 2卜冗+兀上單調(diào)遞減，在區(qū)間2 k tt - tt , 2 kQ上單調(diào) 遞增。最小正周期：2冗。奇偶性：偶函數(shù)。有界性：當(dāng)且僅當(dāng)x=2k九時，y取最大值1;當(dāng)且僅當(dāng)x=

5、2k冗-冗時，y取最小 值-1。值域?yàn)?1 , 1。對稱性：直線x=k tt均為其對稱軸，點(diǎn) k ,0均為其對稱中心。這里kCZ.2定理5正切函數(shù)的性質(zhì)：由圖象知奇函數(shù)y=tanx（x k冗+萬）在開區(qū)間（k冗-萬，k九+萬）上為增函數(shù),最小正周期為冗，值域?yàn)?OO+00），點(diǎn)（k 兀，0） , （ k 九 十萬,0)均為其對稱中心。兩角和與差的基本關(guān)系式:cos( aB)=cosacosB sina sin 0 ,=2sin=-2s insin ( atan ( aB )=s in acos B cos a sin 0 ；(tan tan )B )=(1 tantan )兩角和與差的變式：s

6、in2三角和的正切公式：tan（和差化積與積化和差公式：sin a. 2 sin22cos cossin( )sin(tan tantan tan tan tantan tan tan tan tan tan+sin B =2sin 2cos 2coss in a -s in Bcos a +cos B =2cos cos -cos a - cos Bsin 22sin acos B =1 s in ( a + B )+sin ( a 2B),.。. zcos a sin B = s in ( a +B )-s in ( a - 0 ),2cos a cos B =1 cos( a + 0 )

7、+cos( a - 0 ), 2in a. 。1 ，sin B = cos( a +2B )- cos( a - B ).定理 8 二倍角公式：sin 2 a =2sin a cos a ,cos2 a=cos2 a -s in 2 a =2cos2 a -1=1-2s in 2 a ,2tantan 2 a =2(1 tan )三倍角公式及變式：sin3 3sin4sin3,cos3 4cos33coscos(60、,定理定理10定理11sin(60，)sinsin(601. c-sin 34-I)cos cos(60;1cos34半角公式：s in = 2(1 cos )2cos = 2(

8、1 cos )2tan =2(1 cos ) (1 cos )sin(1cos )(1 cos )sin萬能公式:sin輔助角公式：如果(a, b)的一個角為B,b，a2=、；(a2 b2) sin ( a + 0 ).2 tan 一21 tan2 2a, b是實(shí)數(shù)且=,cos B = b2cosa2+b2a . a2 b2定理12 正弦定理：在任意 AB/有-a- sin A1 tan2 2.,tan1 tan2 一 22tan 一 21 tan2 20,則取始邊在x軸正半軸，終邊經(jīng)過點(diǎn)對任意的角bsin Bcsin Ca . asin a +bcos a2R,其中a, b, c分別是角A,

9、 B, C的對邊，R為AABC#接圓半徑。定理13余弦定理：在任意 ABC有a cosA cosB cosC=b2+c2-2bcosA,其中a,b, c分別是角A, B, C的 對邊。定理 14 射影定理：在任意 ABO有 a bcosC ccosB, b acosC ccosA,c acosB bcosA定理15 歐拉定理：在任意 ABO, OI2 R2 2Rr ,其中O,I分別為ABC勺外心和內(nèi)心。定理16面積公式：在任意 ABC中，外接圓半徑為R,內(nèi)切圓半徑為r,半周長p a b c則-1,1 ,八S -aha -absinC222sinC)abc-2 .一.c.一rp 2R sin A

10、sin BsinC rR(sin A sin B 4R定理17與4ABC三個內(nèi)角有關(guān)的公式:(1) sin A sin B sin C4cos 2cos BcosC; 2221 4sin-sin BsinC;222(3) tan A tan B tan Ctan A tan B tanC;(4) tan tan 22tan B tan C tan C tan A 1;2222(5) cot A cot B cot B cot C cot C cot A 1;(6) sin2A sin2B sin2C 4sin Asin BsinC.定理18圖象之間的關(guān)系：y=sinx的圖象經(jīng)上下平移得y=si

11、nx+k的圖象；經(jīng)左右平移得1y=sin(x+ )的圖象(相包變換)；縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊?，得到y(tǒng)=sin x(0)的圖象(周期變換)；橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍，得到y(tǒng)=Asinx的圖象(振幅變換)；y=Asin ( x+ )(>0)的圖象(周期變換)；橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍，得到y(tǒng)=Asinx的圖象(振幅變換)；y=Asin ( x+ )(,>0)(| A|叫作振幅)的圖象向右平移一個單位得到y(tǒng)=Asin x的圖象。定義4函數(shù)y=sinx x 萬，萬 的反函數(shù)叫反正弦函數(shù)，記作y=arcsinx (x C -1, 1),函數(shù)y=cosx(xC 0,冗)

12、的反函數(shù)叫反余弦函數(shù)，記作 y=arccosx(x C -1, 1).函數(shù)y=tanx x , 的反函數(shù)叫反正切函數(shù)。記作 y=ar ctanx (x - oo, +°°).函數(shù)y=cotx(x 0,冗)的反函數(shù)稱為反余切函數(shù)，記作y=ar ccotx (x - oo, + °°).定理19 三角方程的解集，如果aC (-1,1)，方程sinx =a的解集是x| x=n九+(-1) narcsina , nZ0方程 cosx=a 的解集是x| x=2kx ar ccosa, kZ.如果aC R,方程tanx =a的解集是x| x=k兀+arctana ,

13、 kZ0恒等式：arcsina +arccosa= ； arctana +ar ccota =.定理20若干有用的不等式：(1)若 x 0,貝U sinx <x<tanx .2(2)函數(shù)y 繪在(0,)上為減函數(shù)；函數(shù)y 空在(0,)上為增函數(shù)。xx 2(3)嵌入不等式：設(shè) A+B+C則，則對任意的x,y,z CR,W222x y z 2yz cos A 2xz cos B 2xy cosC等號成立當(dāng)且僅當(dāng) yzsinA=zxsinB=xysinC.二、方法與例題1 .結(jié)合圖象解題。例1求方程sinx =lg | x|的解的個數(shù)?！窘狻吭谕蛔鴺?biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)y=sinx與y=lg

14、| x|的圖象，由圖象可知兩者有6個交點(diǎn),故方程有6個解。2 .三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。例2 設(shè)x C (0,兀)，試比較cos(s inx )與sin (cosx)的大小?！窘狻?若 x,則-1<cosx00,所以 cosx,0 ,22所以 sin (cosx) 0 0,又 0<sinx < 1,所以 cos(s inx )>0 ,所以 cos(s inx )>sin (cosx).若 x 0,貝因?yàn)?sinx+cosx=T2 sin (x+) w 72 <一,所以2420<sinx <-cosx<,所以 cos(s inx )>cos

15、( j-cosx)=sin (cosx).綜上，當(dāng) x (0,兀)時，總有 cos(sinx )<sin (cosx).3 .最小正周期的確定。例3 求函數(shù)y=sin (2cos| x|)的最小正周期?！窘狻?因?yàn)閏os(- x)=cosx,所以cos|x|=cosx,所以T=2幾是函數(shù)的周期；4 .三角最值問題。例4已知函數(shù)y=sinx+%X cos2x ,求函數(shù)的最大值與最小值。23【解法一】 令 sinx=%2cos , V1 cos x v2sin 0 -,44則有 y= . 2 cos .2 sin 2sin( ).43因?yàn)橐?0 一,所以一 一 ，所以0 sin(一) 0 1

16、,442443所以當(dāng) 3 ，即 x=2k：t-y(keZ)時，ymn=0,當(dāng)，即 x=2k 九+3(k C Z)時，ymax=2.【解法二】 因?yàn)?y=sinx+Jl cos2 x v12(sin2 x 1 cos2x)=2(因?yàn)?a+b) 2&2(a2+b2),且|s inx| < 1< 4cos2 x ,所以 0&sinx +Vl cos2 x <2,所以當(dāng)在一cos2x =sinx ,即 x=2k 冗+(k C Z)時，ymax=2,2當(dāng)1 cos2 x =-s inx ,即 x=2k 九-(k C Z)時，ymn=0。25.換元法的使用。例5求y MX

17、。0sx的值域。1 sin x cosx2 . 2一. 、【解】 設(shè) t =sinx+cosx=42 sin x cosx22 sin(x ).224因?yàn)?1 sin(x 一)1,所以 22 t 22. 4x2 1一一、，2一一t 1 一一o t 1又因?yàn)閠 =1+2sinxco sx,所以sinxco sx=,所以 y 2 ,所以21 t 2因?yàn)閠 -1,所以 1,所以y -1.所以函數(shù)值域?yàn)?,2 1.,2 1y , 11,.226.圖象變換：y=sinx (xe 2與 y=Asin ( x+ )( A,>0).例6已知f(x)=sin( x+ )( >0, 0< 九)是

18、R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)M 3-,0 4對稱，且在區(qū)間0,-上是單調(diào)函數(shù)，求 和 的值。 2【解】 由f(x)是偶函數(shù)，所以f(-x)=f(x),所以sin ( x+ )=s in (- x+ ),所以cos sinx =0,對任意x R成立。又0& < tt ,解得 =,3 33因?yàn)閒(x)圖象關(guān)于M 3-,0對稱，所以f (-x) f(- x) =0O4 443 一33一取 x=0,彳# f(3 )=0,所以 sin 3-0.所以 3-k (kCZ),即4 42422L _= 2(2k+1) ( k Z).3又 >0,取k=0時，此時f(x)=sin (2x+-)在0

19、 ,萬上是減函數(shù);取k=1時， =2,此時f(x)=sin Qx+萬)在0 ,萬上是減函數(shù);取k=2時， >1° ,此時f(x)=sin ( x+)在0,上不是單調(diào)函數(shù),322=2或27.三角公式的應(yīng)用。5.5 一3例 7 已知 sin ( a - B )= 2 , sin ( a + B )=- 2 ,且 a - B e , a + B C 3-,2,131322求 sin 2 a , cos2 0 的值。12【斛】 因?yàn)?a - B C ,所以 cos( a - B 尸-、；1 sin ().213又因?yàn)?a + B C ,2 ，所以 cos( a + B )= q'

20、;1 sin2 () .213所以sin 2 a = sin ( a + B )+( a - B )= sin ( a + B ) cos( a - B )+cos( a + B ) sin ( a - B )=120 , 169cos2 B =cos( a + B ) - ( a - B )= cos( a + 0 ) cos( a - B )+sin ( a + B ) sin (a - B )= -1.cos A cosC cosB2例8已知 ABC勺三個內(nèi)角A, B, C成等差數(shù)列，且,&-，試求cos* 的值【解】因?yàn)锳=1200-C,所以cosC=cos(600- C),

21、2A cos 1又由于' cosA所以4/cos21cosC1cos(1200 C) cosCcos(1200 C) cosCcosC cos(1200 C)2 cos600 cos(6001nn-cos1200 cos(1200C)2cos(600 C)2C)cos(1200 2C)3.2=0o 解得 cos8ste>0,所以A C cos2.2o2求證：tan 20 +4cos70 =、3【解】sin 20tan 20 +4cos70 =+4sin 20cos20sin 20 4sin 20 cos20 sin 20cos202sin40cos 20例10分析:證明： cos

22、7 x 7cos5 x 21cos3x 35cos x 64cos7x等號左邊涉及角7x、5x、3x、x右邊僅涉及角x,可將左邊各項(xiàng)逐步轉(zhuǎn)化為sinx、cosx的表達(dá)式，但相對較繁.觀察到右邊的次數(shù)較高，可嘗試降次.證明： 因?yàn)?cos3x 4cos3 x 3cosx,所以 4cos3 x cos3x 3cosx,從而有16 cos6 x cos2 3x 6cos3xcosx 9cos2 x.另本題也可利用17旻數(shù)求斛.令z cos i sin，則2cos z -，從而,128cos z(z-)7, z展開即可.已知LJOn例 111 tan2001,求證：sec2tan2 2001.證明：s

23、ec21 sin 2 tan2cos21 cos( 2 )2sin(2tan(41 tan1 tan 2001.1 tan1 tan 2001.例12證明：對任一自然數(shù)n及任意實(shí)數(shù)x 二2k(k 0,1,2,n,m為任一整數(shù)）有sin 2x sin 4x1sin 2n xcotxcot 2 nx.思路分析：本題左邊為n項(xiàng)的和，右邊為2項(xiàng)之差，故嘗試將左邊各項(xiàng)“裂”成兩項(xiàng)之差,評述：本題看似“化簡為繁”，實(shí)質(zhì)上抓住了降次這一關(guān)鍵，很是簡捷并希冀能消去其中許多中間項(xiàng).證明：sin 2x22cos x cos2xsin 2x2 cos2 x2sin xcosxcos2xcot x cot 2x, s

24、in 2x同理sin 4xcot2x cot4xnsin 2 xn 1ncot 2 x cot 2 x評述：本題裂項(xiàng)技巧也可通過數(shù)學(xué)歸納法獲得“裂項(xiàng)相消”在解題中具有一定的普遍性，類似可證下列各題:tan tan 2 tan 2 tan 3tann tan(n 1) tan n n.tan例13設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊a,b,c成等比數(shù)列，則sin AcotC 8sA的取值范圍是sin BcotC cosBA. (0,) B.咚)C.3 _J.J)D.2 2解設(shè)a,b,c的公比為q,則b aq,c2aq而 sinAcotC cosA sin AcosC cosAsin Csin B c

25、ot C cosBsinBcosC cosBsin Csin(A C)sin(BC)sin(B) sin Bsin(A) sin A因此，只需求q的取值范圍.因a,b,c成等比數(shù)列，最大邊只能是a或c,因此a, b,c要構(gòu)成三角形的三邊，必需且只a .即有不等式組2a aq aq ,2aq aq2 q2 q0,解得0.152,5q F2.5 12從而* q叵，因此所求的取值范圍是（語22理二）.故選C2例14 ABCft接于單位圓，三個內(nèi)角A、B、C的平分線延長后分別交此圓于 A、B、G,aBcAA1 cosBB1 cosCC1 cosA. 2sin A sin B sinC的值為（B. 4C

26、.D. 8A解：如圖，連 BA,則 AA=2sin(B+ -) 2A B 2sin(- 2B CB C、)2 cos()2222cos( B) sin C sin B,同理 BB1 cos-22Csin A sinC, CC1cossin A2sin B, ABCAAi cosBBi cosCC cos 2(sin A222_ 2(sin A sin B sin C)。、牛八= 2.功3 A.sin A sin B sinCsin B sinC),X'例15若對所有實(shí)數(shù)x ,均有sink x sin kx coscoskx cosk 2x,貝U kA、 6; B、 5; C、 4; D

27、、 3.解：記 f x sink x sin kx cosk x coskxk行sin1 ,則k為奇數(shù)，設(shè)k 2n 1 ,2令n 2m ,則k 4m 1,故選擇支中只有kcosk 2x，則由條件，f x包為0,取x -,上式成為sin n -1 ,因此n為偶數(shù)，23滿足題意.故選D例16 已知f x2ab b2是偶函數(shù)，則函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值是A.2 B. 2C.D. 4解：由已知條件可知,b20,函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2ab b2a cos , b sin2abb22 cos2sin cossin2 cos 2sin 2因此例17 已知，R,直線xsin sinysin

28、cos1與-cos sincosycos的交點(diǎn)在直線yx上,貝U sin cos sin cos解：由已知可知，可設(shè)兩直線的交點(diǎn)為(Xo, x°),且sin ,cos為方程x0工 1,t sin t cos的兩個根，即為方程t2 (cos sin )t sin cosx0(cossin ) 0的兩個根。因止匕 sin cos (sin cos ),即 sin cos sin cos0。1、cos(7x2 5x 7 &5_6)=2、已知函數(shù)f (x)sin(冗 ) cos(冗) 2 1 (一5. 一.x 7，則f (x)的取小值為43、已知鄴2_13 ,且sinn萬(n,kZ)

29、。則1anb的值是4、設(shè)函數(shù) f (x)=3sin x+2cosx+1。若實(shí)數(shù)a、b、c使得af (x)+bf(x?c)=1對任意實(shí)數(shù)x包成立，則bcosca5、設(shè)0<< 九，求 sin (1 cos2)的最大值。6、求證:.3 tan18 tan18 tan12. 3tan121.7、1 an 12 1 , 已知 a°=1, an=-(nan 1 N),求證：an>”y.8、已知 sin Asin( ), | A | 1,求證:tan( ) sncos A9、若A, B, C為4ABC三個內(nèi)角,試求sinA+sinB+sinC的最大值。_ n 、_._n 1、si

30、n( 一 )sin10、證明： sin sin( ) sin( 2 ) sin( n ) 2-sin 一211、已知a , B為銳角，且x , ( a +xxcos cos cB)>0,求證： 2.2sin sin12、求證： cos6 cos42 cos66 cos78sinl ° sin2 ° sin3 sin89166.10.全國高中數(shù)學(xué)競賽專題-三角恒等式與三角不等式實(shí)戰(zhàn)演練答案1、解：根據(jù)題意要求,2x 5x 625x 7 1 o于是有x 5x 71 0因此cos( .1x2 5x 7.x2 5x 6)cos0因此答案為1。2、解：實(shí)際上f(x)2(4一),

31、設(shè) g(x) J2sin(Ttx )( 44 4, 1 3g(x) >0, g(x)在,上是增函數(shù),4 4.3 5 .一,一 在3,5上是減函數(shù)，且y=g(x)的圖像關(guān)于直線x4 4則對任意f(xjg(x1)2 g(x2)2拶g®)f(x).x1f(5)也453、解:4、解:任意的般地,且tan4,3 5存在 x2 -,-,使 g(x2)=g(x1)。4 4.3 5 . 一 . 一而f(x)在,上是減函數(shù)，所以4 4,即f(x)在二5上的最小值是生5。 4 45tan( ) sin( ) costancos(a b) sin1sin( 2 ) sin 21-sin( 2 ) s

32、in sin(2 )1sinsin(2 )1sin2.xc=TT ,則對任意的xC R,都有f(x)+f(x?c)=2,于是取a b b /、 I b z c、), , f r ytt b cos cR, af (x)+bf(x?c)=1 ,由此得a由題設(shè)可得 f (x) v'13sin(x) 1 , f (xc) 13sin(x c)2一，于是 af (x)+bf(x?c)=1 可化為 M13asin(x 3).13bsin(x13asin(x ).13bsin(x)cosc <13bsin ccos(x) (a b 1) 0 ,則對c) a b1,所以 v13(a bcosc

33、)sin(x ) j13bsinccos(x) (a b 1) 0。a bcosc 0 (1)由已知條件，上式對任意xCR包成立，故必有bsinc 0(2),a b 1 0(3)若b=0,則由(1)知a=0,顯然不滿足(3)式，故bw 0。所以，由(2)知sin c=0,故c=2k tt + tt或 c=2k 兀(k C Z)。當(dāng) c=2k 九時，cosc=1,則(1)、(3)兩式矛盾。故 c=2k 兀 + 兀(k C Z) ,cosc=?1。 由(1)、(3)知 a b L 所以 bosc1 o2a5、【解】因?yàn)?< <兀，所以0 ,所以sin>0, cos>0.22

34、22所以 sin (1+cos ) =2sin 4 cos = J22sin cos cos 222222-2232 2sin 2 8s 2 8s 3區(qū) 4V31(3Y 279. 一 ,2222.一當(dāng)且僅當(dāng) 2sin =cos , 即 tan 萬=-, =2arctan 工 時，sin (1 + cos )取得最大值3。9tan18 tan12 ,聯(lián)想到公式6、思路分析：等式左邊同時出現(xiàn)tan18 tan12tan(tan tan1 tan tan證明： 3tan18 tan18 tan12 3tan12評述：本題方法具有一定的普遍性.仿此可證(1 tan1 )(1 tan 2 ) (1 ta

35、n 43 ) (1 tan44 ) 222 年7、【證明】 由題設(shè)知an>0,令an=tanan, anC 0,21 tan2 an 11則 an=1tan an 1secan 11tanan 11 cosan 1sin an 1an 1 tan2tanan.所以an=1an 1 所以an=2na0.又因?yàn)閍0=tana1=1,所以a0=,所以an 42又因?yàn)楫?dāng)0<x<一時，tanx >x,所以an tan-222n 22n 2注：換元法的關(guān)鍵是保持換元前后變量取值范圍的一致性。另外當(dāng)xC 0 時，有20<cos_<1,sin證明是很容易的。tanx>x>sinx,這是個熟知的結(jié)論，暫時不證明，學(xué)完導(dǎo)數(shù)后,8、分析：條件涉及到角 、 ，而結(jié)論涉及到角 ，.故可利用()或 ()消除條件與結(jié)論問角的差異，當(dāng)然亦可從式中的“A”入手.sin() Asin( ),sin( )sincos sin( ) sin證法 1:sin Asin( ),證法