圓周運(yùn)動(dòng)脫軌和臨界問(wèn)題(教案)

1、圓周運(yùn)動(dòng)脫軌和臨界問(wèn)題（教案）豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)是典型的變速運(yùn)動(dòng)，高中階段只分析通過(guò)最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的情況，經(jīng)常考查臨界狀態(tài)，其問(wèn)題可分為以下兩種模型一、兩種模型模型1:“輕繩類(lèi)”3 / 9圖1圖2繩對(duì)小球只能產(chǎn)生沿繩收縮方向的拉力(圓圈軌道問(wèn)題可歸結(jié)為輕繩類(lèi))，即只能沿某一個(gè)方向給物體力的作用，如圖1、圖2所示，沒(méi)有物體支撐的小球，在豎直平面做圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)最高點(diǎn)的情況：(1)臨界條件：在最高點(diǎn)，繩子(或圓圈軌道)對(duì)小球沒(méi)有力的作用，Vo阿(2)小球能通過(guò)最高點(diǎn)的條件：v刷，當(dāng)v同時(shí)繩對(duì)球產(chǎn)生拉力，圓圈軌道對(duì)球產(chǎn)生向下的壓力.(3)小球不能過(guò)最高點(diǎn)的條件：v內(nèi)R,實(shí)際上球還沒(méi)

2、到最高點(diǎn)就脫離了圓圈軌道，而做斜拋運(yùn)動(dòng).模型2:“輕桿類(lèi)”3所示，(小球在圓環(huán)軌有物體支撐的小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)最高點(diǎn)的情況，如圖道內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的情況類(lèi)似“輕桿類(lèi)”，如圖4所示，):(1)臨界條件：由于硬桿和管壁的支撐作用，小球恰能到達(dá)最高點(diǎn)的臨界速度vo0(2)小球過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，輕桿對(duì)小球的彈力情況：當(dāng)v0時(shí)，輕桿對(duì)小球有豎直向上的支持力N,其大小等于小球的重力，即Nmg;22當(dāng)0v/gR時(shí)，因mgNm,則Nmgm.RR輕桿對(duì)小球的支持力N豎直向上，其大小隨速度的增大而減小，其取值范圍是mgN0.當(dāng)v"樂(lè)時(shí)，N0;22當(dāng)v而R時(shí)，則mgNm-,即Nmmg,桿與繩不同，在最高點(diǎn)

3、,桿對(duì)小球有指向圓心的拉力，其大小隨速度的增大而增大，注意桿對(duì)球既能產(chǎn)生拉力，也能對(duì)球產(chǎn)生支持力，還可對(duì)球的作用力為零小結(jié)如果小球帶電，且空間存在電磁場(chǎng)時(shí)，臨界條件應(yīng)是小球重力、電場(chǎng)力和洛倫茲力的合力作為向心力，此時(shí)臨界速度vw4質(zhì)(應(yīng)根據(jù)具體情況具體分析).另外，若在月球上做圓周運(yùn)動(dòng)則可將上述的g換成g月，若在其他天體上則把g換成g天體.、兩種模型的應(yīng)用【例1】如圖5所示，質(zhì)量為m的小球從光滑的斜面軌道的A點(diǎn)由靜止下滑，若小球恰能通過(guò)半徑為R的豎直圓形軌道的最高點(diǎn)B而做圓周運(yùn)動(dòng)，問(wèn)A點(diǎn)的高度h至少應(yīng)為多少？【解析】此題屬于“輕繩類(lèi)”，其中“恰能”是隱含條件，即小球在最高點(diǎn)的臨界速度是v臨界

4、JRg ,根據(jù)機(jī)械能守恒定律得 mgh mg5把V臨界 曬代入上式得：-R.【例2】如圖6所示，在豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)中, 負(fù)電q、質(zhì)量為m且重力大于所受電場(chǎng)力的小球, 小球恰能通過(guò)半徑為 R的豎直圓形軌道的最高點(diǎn)圖5一個(gè)帶從光滑的斜面軌道的 A點(diǎn)由靜止下滑，若B而做圓周運(yùn)動(dòng)，問(wèn)A點(diǎn)的高度h至少應(yīng)為多少？【解析】此題屬于“輕桿類(lèi)”，帶電小球在圓形軌道的最高點(diǎn)B受到三個(gè)力作用：電場(chǎng)力FqE,方向豎直向上；重力mg；彈力N,方向豎直向下.由向心力公式，有vBmgNqEm要使小球恰能通過(guò)圓形軌道的最高點(diǎn)B而做圓周運(yùn)動(dòng)，說(shuō)明小球此時(shí)處于臨界狀態(tài)，其速率2Vb為臨界速度，臨界條件是N0.由此可列出小球的臨

5、界狀態(tài)方程為mgqEmR1一根據(jù)動(dòng)能7E理，有（mgqE）（h2R）mvB25解之得：hmE-R2說(shuō)明把式中的mgqE換成mvt,較容易求出hm®5RR2【例3】如圖6所示，在豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，一個(gè)帶正電q、質(zhì)量為m且重力大于所受電場(chǎng)力的小球，從光滑的斜面軌道的A點(diǎn)由靜止下滑，若小球恰能通過(guò)半徑為R的豎直圓形軌道的最高點(diǎn)B而做圓周運(yùn)動(dòng)，問(wèn)A點(diǎn)的高度h至少應(yīng)為多少？【解析】此題屬于“輕繩類(lèi)”，題中“恰能”是隱含條件，要使帶電小球恰能通過(guò)圓形軌道的最高點(diǎn)B而做圓周運(yùn)動(dòng)，說(shuō)明小球此時(shí)處于臨界狀態(tài)，其速率vB為臨界速度，臨界條件是N 0.由此可列出小球的臨界狀態(tài)方程為:根據(jù)動(dòng)能定理，有（

6、mg qE） （h122R) mvB 225小結(jié) 上因?yàn)殡妶?chǎng)由上述二式解得：hmin5R2圖6述兩題條件雖然不同，但結(jié)果相同，為什么？力與重力做功具有相同的特點(diǎn)，重力做功僅與初、末位置的高度差有關(guān)；在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電場(chǎng)力做功也僅與沿電場(chǎng)力方向的距離差有關(guān).我們不妨可以這樣認(rèn)為，例2中的“等效重力加速度g/比例1中的重力加速度g減小，例3中的“等效重力加速度g2”比例1中的重力加速度g增大.例2中V臨界內(nèi)7，mg1 h例3中V臨界jRg2 , mg2 h1 mg1 2R - my1'臨界；把V臨界代入各自對(duì)應(yīng)的式子,mg2結(jié)果【例4】如圖7所示，一個(gè)帶正電2R二mv舊界 2mg、mg2分別

7、都約去了，故hminq、質(zhì)量為m的電荷，從光滑的斜面軌道的 A點(diǎn)由靜止下滑，若小球恰能通過(guò)半徑為 R的豎直圓形軌道的最高點(diǎn) B（圓弧左半部分加上垂直紙面向外 的勻強(qiáng)磁場(chǎng)），問(wèn)點(diǎn)A的高度至少應(yīng)為多少 ？【解析】此題屬于“輕繩類(lèi)”， 題中“恰能”是隱含條件，要使小球恰能通過(guò)圓形軌道的最 高點(diǎn)B ,說(shuō)明小球此時(shí)處于臨界狀態(tài)，其速率VB為臨界速率，臨界條件是 N 0,由此可列出小球的臨界狀態(tài)方程為mg qvB B m2Vbmgh mg 2RR1 mv2由式可得：VbR2mqB2 4m2g(qB) £因Vb只能取正值,VbR2 4m2 g2m qB /qB)Rhmin2R £2 Ir

8、 28m gqB 2/ 2,、2 4m gSB) R9【例5】如圖8所示,在豎直向下的均勻電場(chǎng)中，一個(gè)帶正電q、質(zhì)量為m的電荷，從光滑的斜面軌道的A點(diǎn)由靜止下滑，若小球恰能通過(guò)半徑為R的豎直圓形軌道的最高點(diǎn)B（圓弧左半部分加上垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)）,問(wèn)點(diǎn)A的高度h至少應(yīng)為多少？圓周運(yùn)動(dòng)脫軌和臨界問(wèn)題(教案)【解析】此題屬于“輕繩類(lèi)”，題中“恰能”是隱含條件，要使小球恰能通過(guò)圓形軌道的最高點(diǎn)B,說(shuō)明小球此時(shí)處于臨界狀態(tài)，其速率vB為臨界速率，臨界條件是N0,由此可列2出小球的臨界狀態(tài)方程為mgqvBBqEmR.12(mgqE)(h2R)mvB2由式可得：vBqBi(qB)2-4m(mgqE)2

9、mR因Vb只能取正值，即Rrr、24m,L、VbqB(qB)(mgqE)2m.RR224m則hmin2R-qB(qB)(mgqE)8m(mgqE)R小結(jié)小球受到的洛倫茲力與軌道的彈力有相同的特點(diǎn)，即都與速度v的方向垂直，它們對(duì)小球都不做功，而臨界條件是N0.【例6】如圖9所示，ABD為豎直平面內(nèi)的光滑絕緣軌道，其中AB段是水平的，BD段為半徑R0.2m的半圓，兩段軌道相切于B點(diǎn)，整個(gè)軌道處在豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，場(chǎng)強(qiáng)大小E5.0103V/m.一不帶電的絕緣小球甲，以速度Vo沿水平軌道向右運(yùn)動(dòng)，與靜止在B點(diǎn)帶正電的小球乙發(fā)生彈性碰撞。已知甲、乙兩球的質(zhì)量均為m1.0102kg,乙所帶電荷量q2.

10、0105C,g取10m/s2.(水平軌道足夠長(zhǎng)，甲、乙兩球可視為質(zhì)點(diǎn)，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程無(wú)電荷轉(zhuǎn)移)(1)甲乙兩球碰撞后，乙恰能通過(guò)軌道的最高點(diǎn)D,求乙在軌道上的首次落點(diǎn)到B點(diǎn)的距(2)在滿足(1)的條件下。求的甲的速度v0；(3)若甲仍以速度Vo向右運(yùn)動(dòng)，增大甲的質(zhì)量，保持乙的質(zhì)量不變，求乙在軌道上的首次落點(diǎn)到B點(diǎn)的距離范圍.圖9【解析】(1)在乙恰能通過(guò)軌道最高點(diǎn)的情況下，設(shè)乙到達(dá)最高點(diǎn)速度為vD,乙離開(kāi)D點(diǎn)到達(dá)水平軌道的時(shí)間為t,乙的落點(diǎn)到B點(diǎn)的距離為x,則mgqEm組2R1(mgqE)t2R2mxVDt聯(lián)立得x0.4m(2)設(shè)碰撞后甲、乙的速度分別為v甲、達(dá)，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律

11、有mvomwmv乙1 mv21mv2-mv22 22聯(lián)立得牝Vo1c1C由動(dòng)能7E理，得mg2RqE2R_mv：_mv：22聯(lián)立得v0J5mgEq)R2pm/s.m(3)設(shè)甲的質(zhì)量為M,碰撞后甲、乙的速度分別為VM、Vm,根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律有Mv0MvMmvm121212cMv0Mvmmvm222聯(lián)立得v2Mv00Mm由O和M>m,可得v0<vm<2v)設(shè)乙球過(guò)D點(diǎn)時(shí)速度為vD,由動(dòng)能定理得1'212mg2RqE2RmvDmvm的22聯(lián)立Q2得2m/s<vd<8m/s設(shè)乙在水平軌道上的落點(diǎn)距B點(diǎn)的距離x',有xvDt聯(lián)立G4(15得：

12、0.4m<x<1.6m【例7】如圖10所示，桿長(zhǎng)為L(zhǎng),一端固定一質(zhì)量為m的小球，桿的質(zhì)量忽略不計(jì)，整個(gè)系統(tǒng)繞桿的另一端在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng).g10m/s2求：(1)小球在最高點(diǎn)A的速度va為多少時(shí)，才能使桿和小球m的作用力為零？(2)小球在最高點(diǎn)A時(shí)，桿對(duì)小球的作用力F為拉力和推力時(shí)的臨界速度分別是多少？若m0.5kg,L0.5m,vA0.4m/s,則在最高點(diǎn)A和最低點(diǎn)B,桿對(duì)小球m的作用力【解析】此題屬于“輕桿類(lèi)”.若桿和小球m之間無(wú)相互作用力，那么小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向2心力僅由重力mg提供，根據(jù)牛頓第二定律，有：mgm申解得vAgL(2)若小球m在最高點(diǎn)A時(shí)，受拉力F,受力如圖

13、11所示，由牛頓第二定律，有2Fmgm£解得vJgL-FLTgTm2若小球m在最高點(diǎn)A時(shí)，受推力F,受力如圖12所示，由牛頓第二定律，有：mgFm申解得：V2JgL旦JgLm可見(jiàn)Va麻是桿對(duì)小球m的作用力F在推力和拉力之間突變的臨界速度.桿長(zhǎng)L0.5m時(shí)，臨界速度v0值2.2m/s,2VaO.4m/s<Vo,桿對(duì)小球有推力Fa,有mgFam/,則Fa4.84N.由A至B只有重力1C1C做功，機(jī)械能寸恒.設(shè)B點(diǎn)所處水平面為參考平面，則-mvAmg2L-mvB,22解得vBqv；4gL4.5m/s.2在最低點(diǎn)B，小球m受拉力fb,由Fbmgm,2解得FBmgmVB-25.3N.【例

14、8】如圖13所示，光滑的圓管軌道AB部分平直，BC部分是處于豎直平面內(nèi)半徑為R的半圓，圓管截面半徑r,有質(zhì)量為m、半徑比r略小的光滑小球以水平初速度度v0射入圓管.(1)若要小球能從C端出來(lái)，初速v0多大？(2)在小王從C端出來(lái)瞬間，對(duì)管壁壓力有哪幾種典型情況，初速度v0各應(yīng)滿足彳f么條件？【解析】本題綜合考查了豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)臨界問(wèn)題；屬于“輕桿類(lèi)”1-(1)小球恰好能到達(dá)最局點(diǎn)的條件是vC0,由機(jī)械能守恒，初速度應(yīng)滿足：-mv；mg2R,2即v0j4gR.要使小千能從C端出來(lái)，需vc0,所以入射速度v0國(guó).(2)在小千從C端出來(lái)瞬間，對(duì)管壁壓力有以三種典型情況：剛好對(duì)管壁無(wú)壓力，此時(shí)重力

15、恰好充當(dāng)向心力，即mg由機(jī)械能守恒定律，知1mv：mg2R1mvC22聯(lián)立解得：vO.5gR2對(duì)下管壁有壓力，應(yīng)有mgm：，相應(yīng)的入射速度V。應(yīng)滿足"樂(lè)v°相R.2對(duì)上管壁有壓力，此時(shí)應(yīng)有mgm,相應(yīng)的入射速度v0應(yīng)滿足v0再R小結(jié)本題中的小球不能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它的合力除最高點(diǎn)與最低點(diǎn)過(guò)圓心外，其他條件下均不過(guò)圓心，因而在一般位置處，它具有切向加速度【例9】如圖14所示，一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細(xì)圓管位于豎直平面內(nèi)，環(huán)的半徑R(比細(xì)管的半徑大得多),在圓管中有兩個(gè)直徑與細(xì)管內(nèi)徑相同的小球AB,質(zhì)量分別為m；、mB,沿環(huán)形管順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，速度為vA,B球恰到最高

16、點(diǎn)，若要此時(shí)圓管的合力為零，B的速度vB為多大？6 / 9圓周運(yùn)動(dòng)脫軌和臨界問(wèn)題(教案)圖14圖15圖16【解析】本題綜合考察了豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)臨界問(wèn)題的分析，屬于“輕桿類(lèi)”.在最低點(diǎn)2對(duì)A球進(jìn)行受力分析，如圖15所示，應(yīng)用牛頓第二定律有namAgmA當(dāng)由牛頓第三定律，球A對(duì)管有向下的壓力NANA,根據(jù)題意NA'NB'，即球B對(duì)對(duì)管有向上的壓力Nb',球B受力情況，如圖16所示，由牛頓第三定律，管對(duì)球B有向下的壓力2Nb,Nb'Nb,對(duì)球B應(yīng)用牛頓第_*定律,有：NbmfegmB，由于NaNbR聯(lián)立可得Vb,jmAvA(mA1)gR.mBmB三、小球在凸、凹半

17、球上運(yùn)動(dòng)如圖17所示，小球在凸半球上最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)：(1)當(dāng)0v加R,小球不會(huì)脫離凸半球且能通過(guò)凸半球的最高點(diǎn).(2)當(dāng)v項(xiàng),因軌道對(duì)小球不能產(chǎn)生彈力，故此時(shí)小球?qū)偤妹撾x軌道做平拋運(yùn)動(dòng).圖17圖188 / 9(3)當(dāng)v刷，小球已脫離凸半球最高點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng).如圖18所示，小球若通過(guò)凹半球的最低點(diǎn)時(shí)速度只要v0即可.由以上分析可知，通過(guò)凸(或凹)半球最高點(diǎn)(或最低點(diǎn))的臨界條件是小球速度0vVgR(或v0).【例10如圖19所示，汽車(chē)質(zhì)量為1.5104kg,以不變速率通過(guò)凸形路面，路面半徑為15m,若汽車(chē)安全行駛，則汽車(chē)不脫離最高點(diǎn)的臨界速度為多少？若汽車(chē)達(dá)到臨界速度時(shí)將做何種運(yùn)動(dòng)？水平運(yùn)動(dòng)位移為

18、多少？【解析】(1)此題屬于“輕繩類(lèi)”，即軌道只能沿某一方向給物體作用力，臨界條件為汽車(chē)對(duì)2軌道壓力N0,則汽車(chē)不脫離最高點(diǎn)的臨界速度為v0,則有：mgm°-,可得v0百R;R(2)當(dāng)vo/京時(shí)，汽車(chē)在軌道最高點(diǎn)僅受重力作用，且有初速度廢,故做平拋運(yùn)動(dòng)，則-1.2一，1一R2gt,xwt,可得：x2RR.【例11】小明站在水平地面上，手握不可伸長(zhǎng)的輕繩一端，繩的另一端系有質(zhì)量為m的小球，甩動(dòng)手腕，使球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng).當(dāng)球某次運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，繩突然斷掉，球飛離水平距離d后落地，如圖20所示.已知握繩的手離地面高度為d,手與球之間的繩長(zhǎng)為3d,重力加速度為g.忽略手的運(yùn)動(dòng)半徑和空氣阻力.(1)求繩斷時(shí)球的速度大小y和球落地時(shí)的速度大小V2.(2)問(wèn)繩能承受的最大拉力多