全等三角形重點(diǎn)題型供參考

1、全等三角形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、全等圖形、全等三角形：1. 全等圖形：能夠完全 的兩個(gè)圖形就是全等圖形.2. 全等圖形的性質(zhì)：全等多邊形的、分別相等.3. 全等三角形：三角形是特殊的多邊形,因此,全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角分別 相等.同樣,如果兩個(gè)三角形的邊、角分別對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形全等.說(shuō)明：全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高,中線(xiàn)相等,對(duì)應(yīng)角的平分線(xiàn)相等：全等三角形 的周長(zhǎng),面積也都相等.這里要注意：1周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形,不一定全等；2而積相等的兩個(gè)三角 形,也不一定全等.二、全等三角形的判定：1. 一般三角形全等的判定1三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等“邊邊邊或".2兩邊和它們的夾

2、角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等“邊角邊或".3兩個(gè)角和它們的夾邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等“角邊角或".4有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等“角角邊或" 02. 直角三角形全等的判定利用一般三角形全等的判定都能證實(shí)直角三角形全等.斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等“斜邊、直角邊或“.注意：兩邊一對(duì)角SSA和三角AAA對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.3. 性質(zhì)1、全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊相等.2、全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高對(duì)應(yīng)相等.3、全等三角形的對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)相等.4、全等三角形的對(duì)應(yīng)中線(xiàn)相等.5、全等三角形面積相等.6、全等三角形相等.以上

3、可以簡(jiǎn)稱(chēng):全等三角形的對(duì)應(yīng)元素相等三、角平分線(xiàn)的性質(zhì)及判定：性質(zhì)定理：角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到該角兩邊的距離相等.判定定理：到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在該角的角平分線(xiàn)上.四、證實(shí)兩三角形全等或利用它證實(shí)線(xiàn)段或角相等的根本方法步驟：1. 確定條件包括隱含條件,如公共邊、公共角、對(duì)頂角、角平分線(xiàn)、中線(xiàn)、高、等腰 三角形、等所隱含的邊角關(guān)系：2. 回憶三角形判定公理,搞清還需要什么；3.正確地書(shū)寫(xiě)證實(shí)格式順序和對(duì)應(yīng)關(guān)系從己知 推導(dǎo)出要證實(shí)的問(wèn)題.初二數(shù)學(xué)第十一章全等三角形綜合復(fù)習(xí)切記：“有三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等和“有兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不 一定全等.AC = BD ° 求證:例 1.如圖,

4、A,F,E,B 四點(diǎn)共線(xiàn),ACA.CE, BDLDF , AE = BF,MCF = ABDEa例2.如圖,在A4BC中,BE是ZABC的平分線(xiàn),ADLBE.垂足為D °求證:Z2 = Zl + ZCo例3.如圖,在A4BC中,A8 = 8C, ZABC = 90 ° F為AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),點(diǎn)£在8C上, BE = BF ,連接 AE,EF 和 CF.求證：AE = CF °例 4.如圖,AB/CD, AD/BC,求證：AB = CD°例5.如圖,AP.CP分別是A4BC外角ZMAC和的平分線(xiàn),它們交于點(diǎn)P °求證: 8P為ZMBN的

5、平分線(xiàn).例6.如圖,.是A43C的邊8C上的點(diǎn),且CD = AB, ZADB = ZBAD,是&助的中線(xiàn).求證：AC = 2AE.例7.如圖,在中,AB>AC , Z1 = Z2 , P為AO上任意一點(diǎn).求證: AB-AC>PB-PC°同步練習(xí)一、選擇題：1. 能使兩個(gè)直角三角形全等的條件是A.兩直角邊對(duì)應(yīng)相等B. 一銳角對(duì)應(yīng)相等C.兩銳角對(duì)應(yīng)相等D.斜邊相等2. 根據(jù)以下條件,能畫(huà)出唯一AABC的是A.枇=3, BC = 4,G4= 8B. AB = 4,BC = 3, ZA = 30C. ZC = 60 , ZB = 45°,AB = 4D. ZC

6、= 90, AB = 63. 如圖,Z1 = Z2, AC = AD,增加以下條件：®AB = AE；BC = ED： ZC = ZD： ®ZB = ZEO其中能使AABC = AED的條件有 A. 4個(gè)B. 3個(gè)C. 2個(gè)D. 1個(gè)4 .如圖,Z1 = Z2, ZC = ZD, AC.BD交于E點(diǎn)、,以下不正確的選項(xiàng)是A. ADAE = ZCBEC. /心不全等于C8EB. CE = DED. £"是等腰三角形5.如圖,己知AB = CD, BC = AD, ZB = 23 ,那么匕£等于A. 67D.無(wú)法確定二、填空題：6.如圖,在ABC

7、中,ZC = 90 ,ZABC的平分線(xiàn)BQ交AC于點(diǎn).,且CD: 40 = 2:3, AC = 107,那么點(diǎn).到AB的距離等于cm ；7. 如圖,AB = DC , AD = BC , 是BQ上的兩點(diǎn),且BE = DF ,假設(shè)ZAEB = 100 ZADB = 30 ,貝ij ABCF =8. 將一張正方形紙片按如圖的方式折疊,BC,BD為折痕,那么ZCBD的大小為 A BE9. 如圖,在等腰 R1MBC中,ZC = 90 , AC = BC, A£平分N8AC交 8C于 £>,DE±AB于E,假設(shè)AB = 10,那么M龐的周長(zhǎng)等于:10. 如圖,點(diǎn)D,E

8、,F,B在同一條直線(xiàn)上,ABHCD, AE/CF ,且AE = CF ,假設(shè) 位= 10, BF = 2,那么EF=:三、解做題：11. 如圖,AABC為等邊三角形,點(diǎn)M,N分別在上,且BA/=CN, AM與BN 交于.點(diǎn).求匕4QN的度數(shù).12. 如圖,ZACB = 90 9 AC = BC.為 AB 上一點(diǎn),AELCD. BF LCD,交 CD 延長(zhǎng)線(xiàn)于F點(diǎn).求證：BF = CE°答案例1.思路分析：從結(jié)論MCF = SBDE入手,全等條件只有AC = 8D：由AE = BF兩邊 同時(shí)減去E/得到AF = BE,又得到一個(gè)全等條件.還缺少一個(gè)全等條件,可以是 CF = DE,也可

9、以是 Z4 = ZZ?O由條件 AC_LCE,BDXDF 可得 ZACE = ZBDF = 90 ,再加上 AE = BF,AC = BD, 可以證實(shí)MCE三ABDF,從而得到匕4 = 4 °解答過(guò)程：.ACJ_CE, BD±DF/. ZACE = &DF = 90在 RtMCE 與 RtSBDF 中AE = BF,AC = BD/. R徵CE 三 R見(jiàn)DF (HL).ZA = ZB.AE = BF AE-EF = BF-EF, HP AF = BE在A4CF與匠中AF = BE,/ < ZA = ZBAC = BD/. MCF = SBDE(SAS)解題后的

10、思考：此題的分析方法實(shí)際上是“兩頭湊的思想方法：一方面從問(wèn)題或結(jié)論 入手,看還需要什么條件：另一方面從條件入手,看可以得出什么結(jié)論.再比照“所需條件 和“得出結(jié)論之間是否吻合或具有明顯的聯(lián)系,從而得出解題思路C小結(jié)：此題不僅告訴我們?nèi)绾稳ふ胰热切渭捌淙葪l件,而且告訴我們?nèi)绾稳シ?析一個(gè)題目,得出解題思路.例2.思路分析：直接證實(shí)Z2 = Z1 + ZC比擬困難,我們可以間接證實(shí),即找到 E 證實(shí)Z2 = ZaKZa = Zl + ZCo也可以看成將匕2 "轉(zhuǎn)移"到匕.°那么匕.在哪里呢？角的對(duì)稱(chēng)性提示我們將AO延長(zhǎng)交于F,那么構(gòu)造了FBD,可 以通過(guò)證實(shí)三

11、角形全等來(lái)證實(shí)Z2=ZDFB.可以由三角形外角定理得ZDFB=Z1+ZCU解答過(guò)程：延長(zhǎng)AO交8C于F在MBD與SFBD中ZABD = ZFBD< BD = BD:. MBD = SFBD (ASAZ2 = ZDFBZADB = AFDB = 90又. ZDFB = Z1 + ZC. Z2 = Zl + ZCoAEBC解題后的思考：由于角是軸對(duì)稱(chēng)圖形,所以我們可以利用翻折來(lái)構(gòu)造或發(fā)現(xiàn)全等三角形.例3.思路分析：可以利用全等三角形來(lái)證實(shí)這兩條線(xiàn)段相等,關(guān)鍵是要找到這兩個(gè)三角 形.以線(xiàn)段AE'h邊的MHE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到的位置,而線(xiàn)段CF正好是 CBF的邊,故只要證實(shí)它們?nèi)燃?/p>

12、可.EB解答過(guò)程：.ZA8C = 90 , F為AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn). Z4BC = ZCBF = 90在MBE與&CBF中AB = BC. < ZABC = ZCBFBE = BF MBE*CBF(SAS)二 AE = CF.解題后的思考：利用旋轉(zhuǎn)的觀(guān)點(diǎn),不但有利于尋找全等三角形,而且有利于找對(duì)應(yīng)邊和 對(duì)應(yīng)角.小結(jié)：利用三角形全等證實(shí)線(xiàn)段或角相等是重要的方法,但有時(shí)不容易找到需證實(shí)的三 角形.這時(shí)我們就可以根據(jù)需要利用平移、翻折和旋轉(zhuǎn)等圖形變換的觀(guān)點(diǎn)來(lái)尋找或利用輔助 線(xiàn)構(gòu)造全等三角形.例4.思路分析：關(guān)于四邊形我們知之甚少,通過(guò)連接四邊形的對(duì)角線(xiàn),可以把原問(wèn)題轉(zhuǎn) 化為全等三角形的問(wèn)

13、題.解答過(guò)程：連接AC: ABH CD, AD/BC:.Zl = Z2 , Z3 = Z4在與MTM中21 = 22- AC = CAZ4 = Z3 MBC = ACZM(ASA)AB = CD°BC解題后的思考：連接四邊形的對(duì)角線(xiàn),是構(gòu)造全等三角形的常用方法.例5.思路分析：要證實(shí)“1滬為如物V的平分線(xiàn),可以利用點(diǎn)P到的距離相 等來(lái)證實(shí),故應(yīng)過(guò)點(diǎn)P向&作垂線(xiàn)：另一方面,為了利用條件“ AP.CP分別是和ZNCA的平分線(xiàn),也需要作出點(diǎn)P到兩外角兩邊的距離.解答過(guò)程：過(guò)P作PDLBM于D, PELAC于E, PF LBN于F/ AP 平分 ZMAC, PDLBM 于.,PELA

14、CE. PD = PEv CP 平分 NNG4, PEI A C 于 E, PF LBN 于 F. PE = PFPD = PE, PE = PF. PD = PF, PD = PF,且 PDLBM 于 D, PF LBN 于 F.爵為匕物V的平分線(xiàn).解題后的思考：題目己知中有角平分線(xiàn)的條件,或者有要證實(shí)角平分線(xiàn)的結(jié)論時(shí),常過(guò) 角平分線(xiàn)上的一點(diǎn)向角的兩邊作垂線(xiàn),利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)或判定來(lái)解答問(wèn)題.例6.思路分析：要證實(shí)“ AC = 2AE 不妨構(gòu)造出一條等于2AE的線(xiàn)段,然后證其等于AC 0因此,延長(zhǎng)AE至F,使EF = AE°解答過(guò)程：延長(zhǎng)AE至點(diǎn)使EF = AE,連接DF在MBE

15、與AFDE中AE = FE. < 2AEB = ZFEDBE = DE. MBE 三 AFDE(SAS). ZB = ZEDF. ZADF = ZADB + ZEDF , ZADC = ZBAD+ZB又. ZADB = ZBAD/. ZADF = ZADCAB = DF, AB = CD:.DF = DC在MDP與MDC中AD = AD. < ZADF = ZADCDF = DC. MDF = M£)C(SAS)二 AF = AC又.AF = 2AE二 AC = 2AE.F解題后的思考：三角形中倍長(zhǎng)中線(xiàn),可以構(gòu)造全等三角形,繼而得出一些線(xiàn)段和角相等, 甚至可以證實(shí)兩條直線(xiàn)

16、平行.例7.思路分析：AB-AC>PB-PC,不難想到利用三角形中三邊的不等關(guān)系來(lái)證 明.由于結(jié)論中是差,故用兩邊之差小于第三邊來(lái)證實(shí),從而想到構(gòu)造線(xiàn)段AB-AC.而構(gòu) 造AB-AC可以采用“截長(zhǎng)和“補(bǔ)短兩種方法.解答過(guò)程：法一：在視上截取/W = AC,連接0V在與A4PC中'AN = ACv ' Z1 = Z2AP = AP/. MP/V = AAPC(SAS)PN = PC在 MPN 中,PB-PNvBN. PB-PC<AB-AC , BP AB-AC>PB-PCo法二：延長(zhǎng)AC至M,使AM=AB.連接PM在AABP與中AB = AM.Z1 = Z2AP

17、 = AP MBP = MAP(SAS)PB = PM.在 APCM 中,CM > PM-PC. AB-AC>PB-PC °解題后的思考：當(dāng)或求證中涉及線(xiàn)段的和或差時(shí),一般采用“截長(zhǎng)補(bǔ)短法.具體 作法是：在較長(zhǎng)的線(xiàn)段上截取一條線(xiàn)段等于一條較短線(xiàn)段,再設(shè)法證實(shí)較長(zhǎng)線(xiàn)段的剩余線(xiàn)段 等于另外的較短線(xiàn)段,稱(chēng)為“截長(zhǎng)：或者將一條較短線(xiàn)段延長(zhǎng),使其等于另外的較短線(xiàn)段, 然后證實(shí)這兩條線(xiàn)段之和等于較長(zhǎng)線(xiàn)段,稱(chēng)為“補(bǔ)短小結(jié)：此題組總結(jié)了本章中常用輔助線(xiàn)的作法,以后隨著學(xué)習(xí)的深入還要繼續(xù)總結(jié).我 們不光要總結(jié)輔助線(xiàn)的作法,還要知道輔助線(xiàn)為什么要這樣作,這樣作有什么用處.同步練習(xí)的答案一、選擇題：I. A2.C3. B4.C5.C二、填空題：6.47. 708. 909. 1010.6三、解做題：II. 解：AABC為等邊三角形AB = BC, ZABC