歷年上海高考試題(圓錐曲線)

1、歷年上海高考試題（圓錐曲線）班級學(xué)號姓名1. （01 ±海）若雙曲線的一個頂點坐標(biāo)為（3, 0）,焦距為10,則它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 X t2 12. （ 02 ±海）曲線（t為參數(shù)）的焦點坐標(biāo)是y 2t 13. （ 02上海）拋物線（y1） 2=4 （x+1）的焦點坐標(biāo)是 24. （ 03±海春）直線yx1被拋物線y4x截得線段的中點坐標(biāo)是 5. （ 03上海理）在極坐標(biāo)系中，定點A （1,），點B在直線COS sin0上運動,2當(dāng)線段AB最短時，點B的極坐標(biāo)是.6. （ 04上海春）過拋物線y2=4x的焦點F作垂直于x軸的直線，交拋物線于A、B兩點，則以F為圓心、A

2、B為直徑的圓方程是7. （ 04上海）設(shè)拋物線的頂點坐標(biāo)為（2,0 ），準(zhǔn)線方程為心一1,則它的焦點坐標(biāo)為 8. （ 04上海理）在極坐標(biāo)系中，點M （4,）到直線l:p （2cos0+sin的距=4 d=.3229. （03±海）給出問題：Fk円是雙曲線- 一=1的焦點，點P在雙曲線上 若點P到焦16 20點H的距離等于9,求點P到焦點巳的距離.某學(xué)生的解答如下：雙曲線的實軸長為8,由 |PFi |PF2|=8,即 |9|PF2|=8,得 |PF2|=1 或 17.該學(xué)生的解答是否正確？若正確，請將他的解題依據(jù)填在下面空格內(nèi)，若不正確，將正確的結(jié)果填在下面空格內(nèi).10. （04上海

3、）教材屮坐標(biāo)平面上的直線”與圓錐曲線”兩章內(nèi)容體現(xiàn)岀解析幾何的本質(zhì)是.11. （05上海文）若橢圓長軸長與短軸長之比為2,它的一個焦點是（2門5,0），則橢圓的標(biāo)22準(zhǔn)方程是一L 180 2012. （05±海理）若雙曲線的漸近線方程為 y3x,它的一個焦點是（門0,0）,則雙曲10線的方程是x2J 1913. （06上海文）已知雙曲線屮心在原點，一個頂點的坐標(biāo)為（3,0）,且焦距與虛軸長之比為5:4,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.14. （ 06上海理）已知橢圓中心在原點，一個焦點為 F （ 2j3, 0），且長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.515. （ 06上海理）在極坐標(biāo)系

4、中，O是極點，設(shè)點A （4, 一），B （5,），則厶OAB3 6的面積是 .16. （07上海春）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若拋物線y24x上的點P到該拋物線的焦點的距離為6,則點P的橫坐標(biāo)x17. （ 07 ±海文）以雙曲線1的中心為頂點，且以該雙曲線的右焦點為焦點的拋物線方程是18. （06±海春）拋物線y4x的焦點坐標(biāo)為（）A. （0,1）B. （1,0）C. （0,2）D. （2,0）219. （05上海）過拋物線y 4X的焦點作一條直線與拋物線相交于 A、B兩點，它們的橫坐標(biāo)之和等于5,則這樣的直線（B）A.有且僅有一條B.有且僅有兩條C.有無窮多條D.不存在2

5、1的兩個焦點,P為橢圓上的一點已知P、FkX20. （01上海）設(shè)Fi、巳為橢圓一9F2是一個直角三角形的三個頂點，且21.（02±海春）已知戸、F2為雙曲線軸|PFi|> |PF2|,求匹PF 2的值.22x y21 (a>05b>0)的焦點，過F2作垂直于x 的直線交雙曲線點P且/ PFiF2=30o ,求雙曲線的漸近線方向22. (02上海)已知點A(3,0)和B( . 3,0),動點C到A、B兩點的距離之差的絕對值為2,點C的軌跡與直線yx2交于D、E兩點，求線段DE的長。22xy23. (03上海春)設(shè)Fi,F2分別為橢圓21(ab0)的左、右兩個焦點a

6、b(1) 若橢圓C上的點A(1,3)到Fi,F2兩點的距離之和等于4,寫出橢圓C的方程;2(2) 設(shè)K是(1)屮所得橢圓上的動點，求線段 RK的中點的軌跡方程；(3) 已知橢圓具有性質(zhì)：若M , N是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為Kpm, Kpn時，那么KpmKpn是22與點P位置無關(guān)的定值試對雙曲線篤當(dāng)1寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明a b24.計為雙向四車道，車道總寬(03上海文)如圖，某隧道設(shè)22米，要求通行車輛限高4.5米，隧道全長2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個橢圓形狀(1) 若最大拱高 h為6米，則隧道設(shè)計的拱寬I是

7、多少？(2) 若最大拱高h(yuǎn)不小于6米，則應(yīng)如何設(shè)計拱高h(yuǎn)和拱寬I,才能使半個橢圓形隧道的土方工程量 最小?.本題結(jié)果精確到(半個橢圓的面積公式為S-lh,柱體體積為：底面積乘以高40.1 米)25. (04上海春)已知傾斜角為45。的直線I過點A(1, - 2)和點B,B在第一象限,AB =3 2 .(1) 求點B的坐標(biāo);(4分)2X 若直線I與雙曲線C :丐y2=1(a>0)相交于E、F兩點,且線段EF的中點坐標(biāo)為a(4,1),求a的值;(6分)(3) 對于平面上任一點P當(dāng)點Q在線段AB±運動時，稱PQ的最小值為P與線段AB的距離已知點P在x軸上運動，寫出點p(t,O)到線段

8、ab的距離h關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系 式.(8 分)126. ( 04上海文)如圖，直線y= x與拋物線2于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與直線占八、-(1) 求點Q的坐標(biāo)；(2) 當(dāng)P為拋物線上位于線段AB下方(含A、B)的動點時，求厶OPC面積的最大值27. ( 05 ±海春)(1)求右焦點坐標(biāo)是2(2)已知橢圓C的方程是仔ay=(2, 0),且經(jīng)過點(2,.2)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;1 (a b0).設(shè)斜率為k的直線I,交橢圓C于A、B兩點，AB的中點為財證明：當(dāng)直線I平行移動時，動點 M在一條過原點的定直線上;(3)利用(2)所揭示的橢圓幾何性質(zhì)，用作圖方法找出下面給定橢圓的屮心，簡要

9、寫出作圖步驟，并在圖中標(biāo)岀橢圓的中心解證明(2)解(3)28. (05上海文)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,A是拋物線上橫坐標(biāo)為4、且位于x軸上方的點,A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5,過A作AB垂直軸,垂足為B,OB的中點為M.(1) 求拋物線方程；(2) 冷M徃MN I FA垂丘為N求占N的從標(biāo)J* y以M為圓心,MB為半徑作圓M.當(dāng)K(m,O)是x軸上一動點時，丫討論直線AK與圓M的位 置關(guān)系.2X29. ( 05上海理)如圖，點A、B分別是橢圓一2Y 1長軸的左、右端點，點F是橢圓的20右焦點.點P在橢圓上，且位于x軸的上方，PA丄PF.(1)求點P的坐標(biāo);設(shè)M橢圓長軸A

10、B±的一點,M至煩線AP的距離等于MB,求橢圓上的點到點M的距離d的最小值.30. (06上海春)學(xué)校科技小組在計算機上模擬航天器變軌返回試驗，設(shè)計方案如圖：航22天器運行(按順時針方向)的軌跡方程為一仝二1,10025變軌(即航天器運行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€)后返回的軌跡是以y軸為對稱軸、"(0,64)為頂點的拋物線的實線部分 降落點為D(8,0).觀測點A(4,0)、B(6,0)同時跟蹤航天器.(1)求航天器變軌后的運行軌跡所在的曲線方程；(2) 試問：當(dāng)航天器在x軸上方時，觀測點A、B測得離航天器的距離分別為多少時，應(yīng) 向航天器發(fā)出變軌指令？31. (06上海文)已知在

11、平面直角坐標(biāo)系個橢x°yl|，l/,J 圓，它的屮心在原點，左焦點為F(血'°)'右頂1點為D(2,0),設(shè)點A 1,丄.(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若P是橢圓上的動點，求線段PA中點M的軌跡方程;(3) 過原點O的直線交橢圓于點B,C,求ABC面積的最大值。(06上海理)在平面直角坐標(biāo)系xoy屮，直線丨與拋物線y2二2X相交于A、B兩點.(1) 求證：如果直線I過點T (3, 0),那么OAOB二3”是真命題；(2) 寫出(1 )屮命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由.32. ( 07 ±海春)如圖，在直角坐標(biāo)系 xOy中，兩個

12、焦點分別為Fi、丘.過右焦點F2且與x軸垂直的直線圓C相交，其屮一個交點為 M .2 1 (1) 求橢圓C的方程；(2) 設(shè)橢圓C的一個頂點為B(0, b),直線BF2交橢圓薩 1 (a b 0)的左右于另一點N,求厶RBN的面積.33.(07上海文)我們把由半橢圓 軸的交點，M是線段AA的屮點.3成的曲線稱作果圓”,其中a2 b2果圓”的方程；如圖，設(shè)點Fo , Fi,丘是相應(yīng)橢圓的焦點，Ai,(1)若厶F0F1F2是邊長為1的等邊三角形，求該22(2)設(shè)P是果圓”的半橢圓每篤1b cb2(x>A?和B, , B：是果圓”與x, y0)與半(x< 0)上任意一點.求證：當(dāng)PM取得

13、最小值時,P在點Bi, B2或A1處;(3) 若P是果圓”上任意一點，求PM取得最小值時點P的橫坐標(biāo).參考答案解設(shè) F2 (c,O)(c>O),P(c,yO),則在直角三角形PF2F1+, / PFiF2=30解法一：| fF2 | =6| PF I ,黑訂21應(yīng)右K即R2將c2=a2+b2代入，解得X=2a2.解法二：I PF | =2 | PF ,由雙曲線定義可知丨PF丨PF丨=2a得 PF | =2a.21,潮第1位聃工解金屮呂第注欽工的獎金斫存-啊第3位職工的獎金烏(】-護，”1位職工的獎金y扣- £)卜収解設(shè)點 C (x,y),則 |CA| |CB| 2根據(jù)雙曲線的定

14、義，可知點C的軌跡是雙曲線2Xa2 b2由 2a 2,2c | AB | 2. 3,得護1,b22即 A(- 4- 2),B(8,4),從而 AB 的中點為 M(2,1).11由kAB=-,直線AB的垂直平分線方程y仁 一(x 2).22令 y= 5,得 x=5, Q(5,-5) 1 2直線OQ的方程為x+y=O,設(shè)P(x,x2 4).8x 1x248 點P到直線0Q的距離d=x8x 328J215OQ-S OPCFOQd 亠 x28x 32 16 P為拋物線上位于線段AB下方的點，且P不在直線OQ上， 4< x<4 3 4 或 4 4<x < 8.函數(shù)y=x2+8x

15、32在區(qū)間4,8上單調(diào)遞增當(dāng)x=8 時， OPQ的面積取到最大值30.22解(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為務(wù)八2 a bb2a2 b2 4,即橢圓的方程為丁一b2 44點(2,、2)在橢圓上，-b2 4解得b4或b2 (舍)，由此得酩 8,即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)設(shè)直線I的方程為y kx m ,與橢圓C的交點A(Xi, %)、B(X2j y2).y kx m則有蘭yL x,a2 b2解得(b? a2k2)x2 2a2kmx a2m2a2b210 , m2 b2 a2k2,即b2 a2k2m b2 a2k2 AB屮點M的坐標(biāo)為akmbm11分2 2-2 , h a kEfak 2吃線段AB的屮點M在過

16、原點的直線b2 x a2 k y13分2a2km則 X- X2 u2 2l,2«、討2 kxi m kx2 m2b2m b2 0A7,15廠解(1)由已知可得點A(- 6,0),F(0,4)設(shè)點 P(x,y),則 AP =x+6,y, FP =x 4,y,由已知可得22X-L13620 (x+6)(x 4)+y2=023則 2x2+9x 18=0,x=由于y>0,只能x=Y于是25 f3點p的坐標(biāo)是(3, 口)2 2直線AP的方程是x、3y+6=0.|m6|設(shè)點M(m,0),則M到直線AP的距離是 m 6J疋m 6，又一6< m< 解得 m=2.1002517橢圓上

17、的點(x,y)到點M的距離d有d2=(x 2)2+y 2=x 4x2+4+20 爭2=鴛 纖十；®9由于一 6< 171<當(dāng)x=時,d取得最小值 152解拋物線y2=2px的準(zhǔn)線為x=汙是4+-=5, a p=2. 22 拋物線方程為,=4x.(2) 點A是坐標(biāo)是(4,4),由題意得B(0,4),M(0,2),4 3又 F(1,0), kFA= ;MN 丄 FA, kMN=-,3 43 84x,解方程組得x= ,y=,4 554則FA的方程為y= (x-1),MN的方程為3一 84 N的坐標(biāo)(一，).4 5(1)由題意得，圓M.的圓心是點(0,2),半徑為2,當(dāng)m=4時，

18、直線AK的方程為x=4,此時，直線AK與圓M相離.、4當(dāng) nmM 時，直線 AK 的方程為 y= (x.m)gp為 4x-(4-m)y-4m=0, 4 m圓心M(0,2)到直線AK的距離 2 m 8d= J2,令 d>2,解得 m>1 .16 (m 4)當(dāng) m>1 時,AK與圓M相離;當(dāng)時,AK與圓M相切;當(dāng)mv1時,AK與圓M相交.解設(shè)曲線方程為v=axi +764由題意可知，0=a?64+曲線方程為y=L=11 2 64x2+77(2)設(shè)變軌點為C(x,y),根據(jù)題意可知L=110025191 2 64 y= X h 779得4*7y36=0,y=4或y=(不合題意，舍去

19、)4 y=4得x=6或x=6(不合題意，舍去). C點的坐標(biāo)為(6,4),9分11分AC 2 岳 BC 4,答：當(dāng)觀測點A、B測得AC、BC距離分別為2 54時，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指14分1)設(shè)過點T(3,0)的直線I交拋物線yJ2x于點A(xi,yi). B(X2,y2).當(dāng)直線I的斜率不存在時，直線I的方程為x=3,此時，直線I與拋物線相交于點A(3,6)、B(3, 、6 ).OA OB =3;當(dāng)直線丨的斜率存在時，設(shè)直線I的方程為yk(x3),其中kO,y2 2xo由得 ky2 2y 6k 0y°26y k(x 3)f1212又X 21 'x222,OA|OB、xgy才

20、(yu2)2yP3,綜上所述，命題 如果直線丨過點T(3,0),那么OAOB=3”是真命題;逆命題是：設(shè)直線I交拋物線y2=2x于A、B兩點，如果OAOB=3,那么該直線過點T(3,0).該命題是假命題.1例如 取拋物線上的點A(2,2), B( ,1),此時2直線AB的方程為：y 2(X 1),而T(3,0)不在直線AB上；3說明：由拋物線yJ2x上的點A(Xi.yi) B(X272)滿足OA OB =3,可得6,21或yiy2=2,如果yiy2= 6,可證得直線AB過點(3,0)；如果yiy2=2,可證24得直線AB過點(一 1,0),而不過點(3,0).解由已知得橢圓的半長軸a=2,&#

21、165;焦距c=.3,則半短軸b=1.2x又橢圓的焦點在x軸上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為一y214設(shè)線段PA的屮點為 M(x,y),點P的坐標(biāo)是(xo,yo),Xo12x-jy=1yo 122 由，點P在橢圓上，得停一?4(2y)2 1 線段PA中點M的軌跡方程是(X 2)2心當(dāng)直線BC垂直于x軸時,BC=2,S此厶ABC的面積Ssbc=1 .2當(dāng)直線BC不垂直于x軸時，說該直線方程為y=kx,代入一 y"4解得b( 4k22k2卩c(_ 4廠12k)， ABC 的面積 Saabc = 1|AB d2k 121 4k2A到直線阮的距離J炬4k (，又點則 BC 1 4k2,.4k2 4k 1疋 SA ABC =4k4k214k21由一" 亠1,得S