判定平行四邊形的地五種方法

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案判別平行四邊形的基本方法如何判別一個(gè)四邊形是平行四邊形呢？下面舉例予以說明.一、運(yùn)用 兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”判別例1如圖1,在平行四邊形 ABCD中,E、F在對角線 AC上, 且AE=CF,試說明四邊形 DEBF是平行四邊形.分析：由于已知條件與對角線有關(guān)，故考慮運(yùn)用兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”進(jìn)行判別.為此，需連接BD.解：連接BD交AC于點(diǎn)O.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形,所以 AO=CO,BO=DO.又 AE=CF, 所以 AO-AE=CO-CF,即 EO=FO.所以四邊形DEBF是平行四邊形.二、運(yùn)用兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”判別

2、例2如圖2,是由九根完全一樣的小木棒搭成的圖形，請E你指出圖中所有的平行四邊形，并說明理由 .分析:設(shè)每根木棒的長為1個(gè)單位長度，則圖中各四邊形的 邊長便可求得，故應(yīng)考慮運(yùn)用 兩組對邊分別相等的四邊形是平 行四邊形”進(jìn)行判別.解：設(shè)每根木棒的長為1個(gè)單位長度，則 AF = BC=1,AB=FC=1,所以四邊形ABCF是平行四邊形.同樣可知四邊形 FCDE、四邊形ACDF都是平行四四邊形.因?yàn)锳E=DB=2,AB=DE=1,所以四邊形ABDE也是平行四邊 形.三、運(yùn)用'組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”判別例3 如圖3, E、F是四邊形ABCD的對角線 AC上的兩 點(diǎn)，AE=CF,D

3、F = BE,DF / BE,試說明四邊形 ABCD是平行四邊 形.分析：題目給出的條件都不能直接判別四邊形 ABCD是平 行四邊形，但仔細(xì)觀察可知， 由已知條件可得4 ADFA CBE, 由此就可得到判別平行四邊形所需的組對邊平行且相等 ”的條件.解：因?yàn)?DF/ BE,所以/ AFD=/CEB.因?yàn)?AE = CF,所以 AE+EF=CF+EF,即 AF=CE.又 DF = BE, 所以ADF/CBE,所以 AD=BC, /DAF=/BCE, 所以AD / BC.所以四邊形 ABCD是平行四邊形.精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案四、運(yùn)用兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”判別例4 如圖4,在平行四邊

4、形 ABCD中，/ DAB、/ BCD 的平分線分別交 BC、AD邊于點(diǎn)E、F,則四邊形AECF是平行 四邊形嗎？為什么？分析：由平行四邊形的性質(zhì)易得AF/EC,又題目中給出的是有關(guān)角的條件，借助角的條件可得到平行線，故本題應(yīng)考 慮運(yùn)用 兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”進(jìn)行判別.解：四邊形AECF是平行四邊形.理由：因?yàn)樗倪呅?ABCD是平行四邊形，所以 AD / BC,/ DAB=Z BCD,所以 AF / EC.又因?yàn)? 1=1/DAB, / 2=1/BCD, 22所以/ 1=/ 2.因?yàn)?AD / BC,所以/ 2=/ 3,所以/ 1=/ 3,所以 AE/ CF.所以四邊形AECF

5、是平行四邊形.判定平行四邊形的五種方法平行四邊形的判定方法有：（1）證兩組對邊分別平行；（2） 證兩組對邊分別相等；（3）證一組對邊平行且相等；（4）證對角線互相平分；（5）證兩組對角分別相等。下面以近幾年的中 考題為例說明如何證明四邊形是平行四邊形。一、兩組對邊分別平行如圖1,已知 ABC是等邊三角形，D、E分別在邊BC、 AC上，且CD=CE,連結(jié)DE并延長至點(diǎn) F,使EF=AE, 連結(jié)AF、BE和CF精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案(1)請?jiān)趫D中找出一對全等三角形，并加以證明；(2)判斷四邊形ABDF是怎樣的四邊形，并說明理由。解：(1)選證 BDEA FEC證明：. ABC是等邊三角形，BC=AC

6、, /ACD=60° . CD=CE, .1. BD=AE, EDC 是等邊三角形 .DE=EC, / CDE = /DEC=60 ° ./ BDE = Z FEC=120 °X / EF=AE, .1. BD=FE , /. BDEA FEC 2)四邊形ABDF是平行四邊形理由：由(1)知， ABC、 EDC> 4AEF都是等 邊三角形 . / CDE=Z ABC=Z EFA=60 °AB / DF , BD / AF .四邊形ABDF是平行四邊形。點(diǎn)評：當(dāng)四邊形兩組對邊分別被第三邊所截，易證 截得的同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角相等時(shí)， 可證

7、四邊形的兩組對邊分別平行，從而四邊形是平 行四邊形。二、一組對邊平行且相等例2 已知：如圖2,在正方形 ABCD中，G是CD上一 點(diǎn)，延長BC到E,使CE=CG,連結(jié)BG并延長交 DE于F(1)求證： BCGQDCE;(2)將4DCE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 °得到 DAE',判 斷四邊形EBGD是什么特殊四邊形？并說明理由。分析：(2)由于ABCD是正方形，所以有 AB/ DC, 又通過旋轉(zhuǎn) CE=AE'已知CE=CG,所以E A=CG,這 樣就有BE' GD,可證EBGD是平行四邊形。解：(1) ABCD是正方形， ./ BCD=Z DCE=90 又 CG =

8、 CE, ABCGA DCE(2) . DCE繞D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到 DAE', .CE=AE', CE=CG, CG=AE； 四邊形ABCD是正方形BE 7/ DG , AB=CD . AB-AE' CD-CG,即 BE ' DG 四邊形DE BG是平行四邊形精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案點(diǎn)評：當(dāng)四邊形一組對邊平行時(shí)，再證這組對邊相 等，即可得這個(gè)四邊形是平行四邊形3、 兩組對邊分別相等例3 如圖3所示，在 ABC中，分別以 AB、AC、BC 為邊在BC的同側(cè)作等邊 ABD,等邊 ACE,等 邊 BCF。求證：四邊形DAEF是平行四邊形；分析：利用證三角形全等可得四邊形

9、DAEF的兩組對邊分別相等，從而四邊形DAEF是平行四邊形。解：, ABD和4FBC都是等邊三角形 / DBF + / FBA =/ ABC+ / FBA=60 °DBF =/ABCX / BD = BA, BF=BC/.A ABCA DBFAC=DF =AE 同理 ABCA EFCAB=EF=AD四邊形ADFE是平行四邊形點(diǎn)評：題設(shè)中存在較多線段相等關(guān)系時(shí)，可證四邊 形的兩組對邊分別相等，從而可證四邊形是平行四 邊形。4、 對角線互相平分例4已知：如圖4,平行四邊形 ABCD的對角線 AC和 BD 相交于 O , AE，BD 于 E, BF，AC 于 F , CG，BD 于 G,

10、DHL AC于H,求證：四邊形 EFGH是平行四邊形。圖4分析：因?yàn)轭}設(shè)條件是從四個(gè)頂點(diǎn)向?qū)蔷€引垂線，這 些條件與四邊形EFGH的對角線有關(guān)，若能證出OE = OG, OF = OH,則問題可獲得解決。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案證明： AEXBD, CGXBD, ./ AEO=/ CGO,. /AOE=/COG, OA=OCAOEA COG.OE=OG同理 BOFA DOH.OF = OH四邊形EFGH是平行四邊形點(diǎn)評：當(dāng)已知條件與四邊形兩對角線有關(guān)時(shí)，可證兩對 角線互相平分，從而證四邊形是平行四邊形。5、 兩組對角相等例5 將兩塊全等的含 30。角的三角尺如圖1擺放在一起 四邊形ABCD是平行四

11、邊形嗎？理由 ，(1)如圖2,將 RtA BCD沿射線 BD方向平移到 RtA B1C1D1的位置，四邊形 ABC1D1是平行四邊形 嗎？說出你的結(jié)論和理由： 。 分析：因?yàn)轭}設(shè)與四邊形內(nèi)角有關(guān)，故考慮四邊形 的兩組內(nèi)角相等解決問題。解：(1)四邊形ABCD是平行四邊形，理由如下：/ ABC= / ABD + / DBC =30 +90 =120 °, Z ADC=Z ADB + Z CDB =90 +30 =120 ° 又/ A=60 °, / C=60 °, ./ABC = /ADC, / A=/C(2)四邊形ABCiDi是平行四邊形，理由如下：將R

12、tA BCD沿射線方向平移到 RBiCiDi的位置 時(shí)，有 RtAC1BB1RtAADD1CiBBi=/ADiD, /BCiBi=/DADi有/ CiBA = Z ABD + Z CiBBi = Z C1D1B1 + Z ADiB= /AD 1C1, / BCiDi=/ BC1B1+ / BiCiDi= / D1AD+ / DAB= / D1AB精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案所以四邊形ABCiDi是平行四邊形點(diǎn)評：（2）也可這樣證明：由（1）知ABCD是平行 四邊形，AB/ CD,將RtA BCD沿射線BD方向平移到 RtA B1C1D1的位置時(shí)，始終有 AB/C1D1,故ABC1D1是平行四邊形。判斷

13、平行四邊形的策略在學(xué)習(xí)了 平行四邊形”這部分內(nèi)容后，對于平行四邊形的 判定問題，可從以下幾個(gè)方面去考慮：一、考慮對邊”關(guān)系思路1:證明兩組對邊分別相等例1 如圖1所示，在 ABC中，/ ACB = 90 °, BC的垂 直平分線 DE交BC于D ,交AB于巳F在DE上，并且 AF=CE.求證：四邊形 ACEF是平行四邊形.證明：DE是BC的垂直平分線, DF ±BC, DB = DC./ FDB = / ACB = 90 . °1 _DF / AC . CE = AE = _ AB.21 = Z2 .又 EF / AC, AF = CE = AE , 2 = /1

14、 =/ 3 =/ F.ACEA EFA.AC = EF .四邊形ACEF是平行四邊形 思路2:證明兩組對邊分別平行精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案例2 已知：如圖 2,在 ABC中，AB=AC, E是AB的 中點(diǎn)，D在BC上，延長 ED至ij F,使ED = DF = EB.連結(jié)FC.求證：四邊形AEFC是平行四邊形. 證明： AB = AC, B =/ACB. ED = EB, B =/EDB. ./ ACB =/EDB.EF / AC.E 是 AB 的中點(diǎn)，BD = CD. . / EDB =/ FDC , ED = DF , EDBA FDC. . DEB =/ F. .AB/ CF.四邊形AEFC

15、是平行四邊形.思路3:證明一組對邊平行且相等 例3 如圖3,已知平行四邊形 ABCD中，E、F 分別是AB、CD上的點(diǎn)，AE = CF , M、N分別是 DE、BF的中點(diǎn).求證：四邊形 ENFM是平行四邊形.證明：四邊形 ABCD是平行四邊形, AD = BC, / A = / C .又AE = CF,ADEACBF. / 1 =/2, DE = BF . M、N分別是DE、BF的中點(diǎn)，EM = FN . DC / AB, .3 =/2.A / 1 =/3. EM / FN . 四邊形ENFM是平行四邊形.二、考慮對角”關(guān)系思路：證明兩組對角分別相等例4 如圖4,在正方形 ABCD中，點(diǎn)E、F

16、分別是AD、BC的中點(diǎn).求證：（1） AABEACDF ;（2）四邊形BFDE是平行四邊形.證明：（1）在正方形 ABCD 中，AB = CD, AD = BC, Z A = /C90°, 1 AE = 1AD, CF = 1 BC, 22AE = CF. ABEA CDF .(2)由(1) ABEACDF 知，/ 1 =/2, / 3 =/ 4. ./ BED =/ DFB.精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案.在正方形 ABCD 中，/ ABC =/ADC, EBF =/EDF .四邊形BFDE是平行四邊形三、考慮對角線”的關(guān)系思路：證明兩條對角線相互平分例5 如圖5,在平行四邊形 ABCD中，

17、Pi、P2是對角線BD的三等分點(diǎn).求證：四邊形 AP1CP2是平行四邊形證明：連結(jié)AC交BD于O.四邊形ABCD是平行四邊形，.OA = OC, OB = OD.BPi = DP2 ,OPi = OP2 .四邊形AP1CP2是平行四邊形平行四邊形的識別淺析平行四邊形是初中數(shù)學(xué)中的基本圖形，正確識別平行四邊 形，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)矩形、菱形和正方形的基礎(chǔ)。識別平行四邊 形是利用邊、角和對角線的特點(diǎn)，而且只需要兩個(gè)條件，為了 更加清楚哪些條件能或不能識別平行四邊形，我們把這些條件 總結(jié)如下。1利用定義或定理直接識別平行四邊形1.1 兩組對邊分別平行，如圖 1,AB / CDAD / BCo1.2 兩組對

18、邊分別相等，如圖1,AB=CD,AC=BCo1.3 兩組對角分別相等，如圖 1,/ABC=/ADC,/BAD=/BCD。1.4 一組對邊平行且相等，如圖1,AB / CD,AB=CDo1.5 兩條對角線互相平分，如圖1,OA=OC,OB=OD。2利用定義和定理間接識別平行四邊形2.1 一組對邊平行且一組對角相等，如圖 1,AB / CD,/ABC=/ADC。證 明：AB/CDABC+/BCD=180 ° 又 / ABC= / ADC / ADC + / BCD =180° . . AD / BC 四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對邊分別平行）2.2 一組對邊平行且兩條對角線

19、交點(diǎn)平分一條對角線，如圖1, AB/CD, OA=OC。證明：AB/CD BAC=/DCA 在 NAOB 和/COD精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案中 ，/BAC=/DCA , OA=OC ,/AOB = /COD./AOBZNCOD（ASA） ，AB=CD . .四邊形 ABCD 是平行 四邊形（一組對邊平行且相等）2.3兩組鄰角互補(bǔ)，而且兩組鄰角要有一個(gè)公共角，如圖 1,/DAB + /ABC=180 ；/ABC+/BCD=180 %證 明：. / DAB + /ABC=180 °.AD/BC 又. / ABC+/ BCD=180.AB/CD 二.四邊形 ABCD是平行四邊形（兩組對邊平 行

20、）3不能識別為平行四邊形3.1 兩組不同的鄰角互補(bǔ)，如圖2,Z A+/B=180 ； ZC+Z D=180 ；可以畫出梯形。3.2 識別平行四邊形的條件涉及的邊、角相等關(guān)系都是對邊對角，涉及鄰邊鄰角相等的都不能做為平行四邊形識別的條件。 兩組鄰邊相等，如圖 3, AB=AD,CB=CD,不一定是平行四邊形。 兩對鄰角相等，如圖 4, /人=/口,/3=/6可以畫出等腰梯形。3.3 一組對邊平行且另一組對邊相等，如圖4AD / BC,AB=CD,也可以畫出等腰梯形。3.4 一組對邊相等，一組對角相等，不一定是平行四邊 形。反例作圖方法，如圖5:作/ ABC,在邊BA上確定點(diǎn) A,在邊BC上確定點(diǎn)

21、 C,過點(diǎn)A、B、C作。01,以點(diǎn)C為 圓心，以線段AB長為半彳5作。C,以AC為弦作。01的等 圓。02,交。C于D、E兩點(diǎn)，則四邊形 ABCD為平行四邊 形，而四邊形 ABCE即為符合條件的非平行四邊形，即 AB=CE,Z ABC=Z AEC。圖201DC02圖AC ,圖63.5 一組對邊相等，對角線交點(diǎn)平分一條對角 線，不一定是平行四邊形。反例作圖方法 ，如圖6: 作線段AB,過線段AB的中點(diǎn)0作直線CD, 過點(diǎn)B作BELCD,垂足為E,以點(diǎn)E為圓心，小 于線段0E的長為半徑作。E,交CD于F、G兩點(diǎn)，以點(diǎn)A為圓心，BF長為半彳5作。A,交直線CD 于H、I兩點(diǎn)，則四邊形 AGBH和四邊

22、形AFBI為平行四邊形，而四邊形 AGBI和四邊形AHBF即為符合條件的非平行四邊形，如在四邊形AGBI中，AI = BG,0A=0B。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案說明一個(gè)四邊形是平行四邊形的思路山東 于秀坤平行四邊形是最基本、最重要的一類特殊四邊形.如何 說明一個(gè)四邊形是平行四邊形呢？要說明一個(gè)四邊形是平行四 邊形，一般可以根據(jù)題目中所給的條件，分別通過下列的思路 進(jìn)行說明.一、當(dāng)已知條件出現(xiàn)在四邊形的一組對邊上時(shí)，考慮采用 兩組對邊分別平行或相等的四邊形是平行四邊形”或一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形” .例1如圖1 ,在 ABC中，AD是角的平分線， DE/AC交 AB于點(diǎn)E, EF/BC

23、交AC于點(diǎn)F,試說明 AE=CF.SD圖1分析：由AD是角的平分線，可知/ 1 = /2,由DE/AC, 可知/ 2=7 3,所以/ 1 = 73,即可得AE=ED,要說明AE=CF, 可轉(zhuǎn)化為說明ED=EC,因此，只需說明四邊形 EDCF是平行四 邊形就可以了.精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案解：因?yàn)? 1 = /2, /2=/3,所以/ 1 = /3,所以 AE=ED, 又因?yàn)镈E/AC, EF/BC,所以四邊形EDCF是平行四邊形（兩 組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形） 所以ED=CF,所以AE=CF.二、當(dāng)已知條件出現(xiàn)在四邊形是對角上時(shí)，考慮 采用兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形” .例2如

24、圖2, AE、CF分別是 口ABCD 的內(nèi)角/ DAB、 / BCD的平分線，試說明四邊形 AECF是平行四邊形./ 1= 1 / DAB , / 2=1 / BCD ,22所以，/ 1 = 7 2,因?yàn)?AB/CD,所以/ 3=71, / 4=/2,所以/ 3=74,所以/ 5=/6, 所以四邊形 AECF是平行四邊形.三、當(dāng)已知條件出現(xiàn)在四邊形的對角線上時(shí)，考慮采用兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”例3如圖3,在DABCD中，AC、BD相交于 O, EF過O 分別交 AD、BC于E、F, GH過。分另AB、CD交于G、H.試 說明四邊形EGFH是平行四邊形.圖3解：在CABCD中，因

25、為AB/CD,所以/ 1 = 72,因?yàn)?OA=OC, / 3=/4,所以 AOGACOH,所以 OG=OH,同理OE=OF,精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案所以四邊形EGFH是平行四邊形.構(gòu)造平行四邊形解題山東 鄒殿敏平行四邊形是一種特殊的四邊形，它的對邊平行且相等， 對角相等，對角線互相平分.許多幾何問題可以通過添加輔助 線，構(gòu)造平行四邊形加以解決.一、求線段的長例1如圖1 ,在正 ABC中，P為邊AB上一點(diǎn)，Q為邊AC上一點(diǎn)，且AP=CQ.今量得A點(diǎn)與線段PQ的中點(diǎn)M之間 的距離是19cm,則P點(diǎn)到C點(diǎn)的距離等于 cm.分析：作QD/AB,交BC于點(diǎn)D,連接PD, MD.由 ABC 為正三角形，易知

26、 BP=BD, AP=DQ,所以四邊形 APDQ為平行四邊形.所以 AMD是平行四邊形 APDQ的對角線.所以AD=2AM=2X19=38 (cm).由ABA0CBP 可彳# PC=AD ,所以 PC=38cm .例2如圖2,在梯形 ABCD中，AD/BC, AB=CD,延長CB 至ij E,使 EB=AD ,連接 AE,求證：AE=AC.分析：連接BD .由AD與BE平行且相等，易知四邊形AEBD 是平行四邊形，所以 BD=AE,因?yàn)锳C=BD,所以AE=AC.精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案三、證明線段和差問題例3如圖3, AABC中，D, F是AB邊上兩點(diǎn)，且AD = BF, 作DE/BC, FG/BC,分另交 AC于點(diǎn)E, G.求證：DE + FG=BC.分析：作 G