三角函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用

1、精品資料歡迎下載第二章 二角函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用三角學(xué)的發(fā)展，由起源迄今差不多經(jīng)歷了三、四千年之久，在古代，由于古 代天文學(xué)的需要，為了計(jì)算某些天體的運(yùn)行行程問題，需要解一些球面三角形，在解球面三角形時(shí)，往往把解球面三角形的問題歸結(jié)成解平面三角形， 這些問題 的積累便形成了所謂古代球面三角學(xué)、古代平面三角學(xué)；雖然古代球面三角學(xué)的發(fā)展早于古代平面三角學(xué)，但古代平面三角學(xué)卻是古代球面三角學(xué)的發(fā)展基礎(chǔ)。三角函數(shù)在數(shù)學(xué)中屬于初等函數(shù)里的超越函數(shù)的一類函數(shù)。它們本質(zhì)上是任意角 的集合與一個(gè)比值的集合的變量之間的映射。 由于三角函數(shù)具有周期性，所以并 不具有單射函數(shù)意義上的反函數(shù)。三角函數(shù)在復(fù)數(shù)中有重要

2、的應(yīng)用，在物理學(xué)中 也是常用的工具。由于三角函數(shù)的周期性，它并不具有單值函數(shù)意義上的反函數(shù)。 三角函數(shù)在復(fù)數(shù)中有較為重要的應(yīng)用。在物理學(xué)中，三角函數(shù)也是常用的工具。在實(shí)際生活中，有許多周期現(xiàn)象可以用三角函數(shù)來模擬，如物理中簡諧振動(dòng)、 交流電中的電流、潮汐等，都可以建立三角函數(shù)的模型利用三角函數(shù)的性質(zhì)解決 有關(guān)問題；很多最值問題都可以轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)來解決， 如天氣預(yù)報(bào)、建筑設(shè)計(jì)、 航海、測量、國防中都能找到神奇的三角函數(shù)的影子。因而三角函數(shù)解決實(shí)際問 題應(yīng)用極廣、滲透能力很強(qiáng)。停車場設(shè)計(jì)問題精品資料歡迎下載如圖ABCD是一塊邊長為100m的正方形地皮，其中ATPN是一半徑為90m的扇形小山，P是

3、弧TN上一點(diǎn)，其 :c余部分都是平地，現(xiàn)一開發(fā)商想在平地上建造一個(gè)有邊、落在BC 與 CD上的長方形停車場PQCR，求長方形停車場PQCR面積的最大值和最小值。；R4 T B分析：矩形PQCR的面積顯然跟P的位置有關(guān)，連AP，延長RP 交 AB 于 M .若直接設(shè)RP 的長度為 x，則PM = 100 x,在APM中,AM二.VO?-(100-x)2， 從而得PQ = MB=100902-(100-x)2，S(100.902-(100-x)2) x，雖然可以得出函數(shù)關(guān)系，但是求解面積的最值 比較復(fù)雜。不妨以角為變量建立函數(shù)關(guān)系。解：如上添加輔助線，設(shè).PAB 二(0：90)，則AM=90 c

4、o , PM =90si n亠RP二RMPM =100-90sinr，PQ =MB =100 90cos 二 .SPQPR (10090cos F(100-90si nR-10000-900(sinrcosR 8100 sin rcos設(shè)si nr cos：-t(1：t 2)，則2t-1102102sin v cos-。代入化簡得S (t- )950.故當(dāng)t =一 時(shí)，Smin= 950 m;99當(dāng)t r 2時(shí)，Smax=14050-9000、2 (m2)通訊電纜鋪設(shè)問題如圖，一條河寬km,兩岸各有一座城市A 和B,A 與 B的直線距離是4km,今需鋪設(shè)一條電 纜連AACDB精品資料歡迎下載與

5、B，已知地下電纜的修建費(fèi)是2萬元精品資料歡迎下載/km,水下電纜的修建費(fèi)是4萬元/km,假定河岸是平行的直線（沒有彎曲），問 應(yīng)如何鋪設(shè)方可使總施工費(fèi)用達(dá)到最少？分析：設(shè)電纜為AD DB時(shí)費(fèi)用最少，因?yàn)楹訉扐C為定值，為了表示AD和BD的長，不妨設(shè).CAD - n解：設(shè).CAD=（0900），貝UAD二secy CB = BD二一tan二,總費(fèi)用為AQoin A y =4 seer2 tan v2.15cos日問題轉(zhuǎn)化為求u =42sinr的最小值及相應(yīng)的9值，cos 9而u=2盧盧n= -2表示點(diǎn)P（0,2）與點(diǎn)Q（cossin rCOST1斜率的一2倍（0:：:900），有圖可得Q在-單位

6、圓周上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)直線PQ與圓弧4切于點(diǎn)Q時(shí)，u取到最小值。此時(shí)KPQ=3，umin=2、-3，。即水下6電纜應(yīng)從距B城（-15-三）km處向A城鋪設(shè)，圖三因此此時(shí)總費(fèi)用達(dá)最小值32 ,3+2 J5（萬元）。注：本題在求u的最小值時(shí)，除了利用數(shù)結(jié)合的方法外，還可以利用三角函 數(shù)的有界性等方法。探索與思考：1你能用其他方法解決上述兩個(gè)實(shí)際問題嗎？2.通過兩個(gè)例子你能體會(huì)三角函數(shù)在生活中應(yīng)用之大，從而體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義了嗎？食品包裝問題P精品資料歡迎下載當(dāng)且僅當(dāng)tg2八1 tgJ,即tg，二手時(shí)，能使S全和v同時(shí)取到最小值，此時(shí)某糖果廠為了拓寬其產(chǎn)品的銷售市場，決定對(duì)一種半徑為1的糖果的外層包 裝進(jìn)行

7、設(shè)計(jì)。設(shè)計(jì)時(shí)要求同時(shí)滿足如下條件：（1）外包裝要呈一封閉的圓錐形狀；（2）為減少包裝成本，要求所用材料最?。唬?）為了方便攜帶，包裝后每個(gè)糖果的體積最小。問：這些條件能同時(shí)滿足嗎？ 如果能，如何設(shè)計(jì)這個(gè)圓錐的底面半徑和高？此時(shí)所用的外包裝用料是多少？體積是多少？若不能，請(qǐng)說明理由。分析：要求該圓錐的全面積和體積，需要知道它的下底面 半徑AC母線PA及高PC,這些變量之間的關(guān)系可以通過一個(gè) “角”把它們聯(lián)系起來。解：如圖，設(shè).OAC -，則0C = 1,下底面半徑R応AC = R = cot二,母線長丨，咼h = Rtan 2，- -（0）.cos2日4S全二專 Rl 二 R2二恵 R(Rcos

8、2R)KR21(cos22十 1)=兀 cot日(1 -tan2二)1 tan2二二R2h J321 R Rtg2 :-R3tg2r =精品資料歡迎下載R、2，h=2,即當(dāng)圓錐的下底面半徑和高分別為、2、2時(shí)能同時(shí)滿足條件,精品資料歡迎下載外包裝用料是8二，體積是8二3營救區(qū)域規(guī)劃問題如圖，在南北方向直線延伸的湖岸上有一港口A, 機(jī)艇以60km/h的速度 從A出發(fā)，30分鐘后因故障而停在湖里，已知機(jī)艇出發(fā)后先按直線前進(jìn)，以后 又改成正東，但不知最初的方向和何時(shí)改變方向。 如何去營救，用圖示表示營救 的區(qū)域。分析：1要表示出一個(gè)區(qū)域，一般可在直角坐標(biāo)系中表示，所以應(yīng)首先建立 直角坐標(biāo)系；2.題中

9、涉及到方向問題，所以不妨用方向角B作為變量來求解。解：以A為原點(diǎn)，過A的南北方向直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，如圖：設(shè)機(jī) 艇的最初航向的方位角為0，設(shè)OP方向前進(jìn)m到達(dá)點(diǎn)P,然后向東前進(jìn)n到達(dá)點(diǎn)Q發(fā)生故障而拋錨。則m n =30,令點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x, y)，JTAQ= x2+ y2= m2+ n2+ 2mnsin日 m2+ n2+ 2mn =(m + n)2= 900機(jī)艇中途東拐，x2y2: 900.又/x = ( v y v s =m imsin() n _ m n =30,4.x y 一 30“十=?滿足不等式組和的點(diǎn)Q(x,y)所在的區(qū)域，按對(duì)稱性知上圖陰影區(qū)域所示 探索與思考：1.你能用其

10、他方法解決上述兩個(gè)實(shí)際問題嗎？2.通過兩個(gè)例子你能體會(huì)三角函數(shù)在生活中應(yīng)用之大，從而體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意 義了嗎？則丿y = mcosv精品資料歡迎下載足球射門問題攻到前場(如圖，設(shè)球門寬AB=a米，球門柱B到FE的距離BF = b米)，那么 你推進(jìn)到距底線CD多少米時(shí)，為射門的最佳位置？(即射門角 APB最大時(shí)為射門的最佳位置)？請(qǐng)你幫助左前鋒回答上述問題。 分析：本題中要求射門的最佳位置，題目中已對(duì) 題意進(jìn)行了明確，即只要當(dāng)射門角最大時(shí)為最佳位 置。所以設(shè)角后“求解角”的過程是本題的關(guān)鍵。若直接在非特殊LAPB中利用邊來求 APB的最值，顯得比較繁瑣，注意到 APB - APF BPF，而后兩

11、者都在Rl中，故可應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)求解。設(shè)FP =x, . APB=，BPF= (、為銳角)則.AP，tg(J -)二丄A Rtg (a + P) tg Ptg：= tg(二-)-=1 +tg(a + B) g B Ja +b) bxx(a b) bx則y啟2、x b-b=2、：(a +b) b，當(dāng)x =,即x = J(a + b) b時(shí)，y取到v xx最小值2. (a b) b，從而可知(a b) b時(shí)，tg取得最大值，即-時(shí),2、(a b )b :-有最大值。故當(dāng)P點(diǎn)距底線CD為(a b) b米時(shí)，為在訓(xùn)練課上，教練問左前鋒，若你得球后，沿平行于邊線GC的直線EF助DA N精品資料歡迎

12、下載射門的最佳位置。依圖像知，在白天的915時(shí)這個(gè)時(shí)間段可供沖浪愛好者進(jìn)行 沖浪運(yùn)動(dòng)。點(diǎn)評(píng)：本例一開始也可直接建立余弦函數(shù)模型y = A cos t - k。另外，模擬 漢書中的少數(shù)點(diǎn)有誤差是允許的。最值問題三角函數(shù)的最值問題不僅與三角自身的所有基礎(chǔ)知識(shí)密切相關(guān)，而且與代數(shù) 中的二次函數(shù)、一元二次方程、不等式及某些幾何知識(shí)的聯(lián)系也很密切。因此,三角函數(shù)的最值問題的求解，不僅需要用到三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、 圖象以及三角函數(shù)的恒等變形，還經(jīng)常涉及到函數(shù)、不等式、方程以及幾何計(jì)算 等眾多知識(shí)。這類問題往往概念性較強(qiáng)，具有一定的綜合性和靈活性。如圖，ABCD 是一塊邊長為 100 m 的正方

13、形地皮，其中AST是一半徑為AT = 90m的扇形小山，其余部分都是平 地。一開發(fā)商想在平地上建一個(gè)矩形停車場，使矩形的一個(gè)頂點(diǎn)P在弧ST上，相鄰兩邊CQ，CR落在正方形的邊BC，CD上，求矩形停車場PQCR面積的最大值和最小解：設(shè).PAB -(0 _ r _90),延長RP 交 AB 于 M，易得PQ二MB二AB-AM =100 -90cosr，RP = RM PM =100 -90si nr，從而S矩形PQCR=(100 -90cosr)(100 -90 si n力=10000 -9000(si nrCOST) 8100si n rCOST令t =sin vCOST，(1二t；q2)，則S

14、矩形PQCR=10000 -9000t 8100=4050(t - )2950 ,故當(dāng)t=10時(shí)，S矩形PQCR299有最小值950m2； 當(dāng)t 八 2時(shí)，S矩形PQCR有最大值(14050 - 9000 2)m2思維點(diǎn)拔引進(jìn)變量二建立面積函數(shù)后，問題轉(zhuǎn)化為求解三角函數(shù)的最值問題.一條河寬1km,兩岸各有一座城鎮(zhèn)A和B，A 與 B的直線距離是4km,僅需在A B間鋪設(shè)一條電纜。已知地下電纜的修建費(fèi)是2萬元/km,水下電纜的修建費(fèi) 是2萬元/km。假設(shè)河的兩岸呈平行線狀，那么如何鋪設(shè)電纜方可使總是費(fèi)用達(dá) 到最少？精品資料歡迎下載解：如圖所示，設(shè)過A點(diǎn)作對(duì)岸的垂線，垂足為C,若從A到C 再到 B的

15、線路鋪設(shè) 電纜，雖然AC最短，但陸上線路BC太長并不合算。設(shè)在BC之間取一點(diǎn)D,CD = x km ,. CAD-二則x =tanr,依題意知總施工費(fèi)用y（萬元）的函數(shù)關(guān)系式為y 4 1 x22（15 - x）=41 tan2二2（A5- tan）,（0乞tan二15）V y=如巫車衛(wèi)檔尿-血）cos2日cos日二匕込215=2（?貶.15）,COSTCOST2 sin 日令u =-:，貝U sin u cos =2cos 日| sinL：） 1 即2-1,解得 u 一、,3Ju2+1當(dāng) u = 3 時(shí)，貝 V tan = . 3,3由（1）知 sin（二）=1 即-2時(shí),ymin=2（、.3

16、15）、11.2（萬元）6I-即先從B鎮(zhèn)沿河岸鋪設(shè)地下電纜至距離B鎮(zhèn)（53）km,處的D點(diǎn),再從3D點(diǎn)向A鎮(zhèn)鋪設(shè)水下電纜，可使得總施工費(fèi)用最少，約為11.2萬元。圖九有sin（二）（精品資料歡迎下載把一段半徑為R的圓木，鋸成橫截面為矩形的木料，怎樣鋸法，才能使橫截精品資料歡迎下載面積最大?分析：如圖所示：設(shè)NCAB=日，貝qAB =2RcosB,CB =2Rsin日S矩形ABCD=AB|_BC =2R sin2v 2R2當(dāng)且僅當(dāng)sin2v -1時(shí)，即4時(shí)，Smax=2R所以在圓木的橫截面上截取內(nèi)接正方形時(shí)，才能使橫截面積最大。 生活中的實(shí)際問題：在這里提供這樣一個(gè)生活中的問題，看看它們與三角函

17、數(shù)的聯(lián)系。探究解決)在一住宅小區(qū)里，有一塊空地，這塊空地可能有這樣三種情況:(1) 是半徑為10米的半圓；(2) 是半徑為10米，圓心角為60的扇形；(3) 是半徑為10米，圓心角為120的扇形；現(xiàn)要在這塊空地里種植一塊矩形的草皮，使得其一邊在半徑上，應(yīng)如何設(shè)計(jì), 使得此草皮面積最大？并求出面積的最大值。分析1:第一種情況， 如圖所示： 連結(jié)0C，設(shè)Z BOC =8， 貝卩BC =10sin日，OB =10cos日AB二2OB = 20cos)此時(shí)，點(diǎn)A、D分別位于點(diǎn)O的左右方52處時(shí)S取得最大值100分析2:第二種情況，連結(jié)OC設(shè)NBOC=O，貝q BC =10sin日，OB=1Ocos日O

18、A 二 BC cot 60 二 sin 二3S巨形=AB BC =(OB -OA) BCAQ f Q= (10cos-sin 10s in3= 100sin vcosv _100 3sin2v(讓學(xué)生S巨形二AB BC = 200sin 7sin2)1S矩形即2v -90：,v -45這時(shí)BO= AO =10cos45A O B精品資料歡迎下載3=50sin 2：-50 3(1 -cos2T3精品資料歡迎下載注sin(2加363試試身手：（看誰做得快又準(zhǔn)確）F表是某地一年中10天測量的白晝時(shí)間統(tǒng)計(jì)表（時(shí)間近似到0.1小時(shí)）日期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日6月21日8月13日9

19、月20日10月25日12月21日日期 位置序號(hào)x15980117126172225263298355白晝 時(shí)間y（小 時(shí)）5.610.212.416.417.319.416.412.48.55.4（I）以日期在365天中的位置序號(hào)x為橫坐標(biāo)，白晝時(shí)間y為縱坐標(biāo)，在給 定坐標(biāo)系中畫出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；（H）試選用一個(gè)形如y= AsinC，x t的函數(shù)來近似描述一年中白晝時(shí)間y與日期位置序號(hào)x之間的函數(shù)關(guān)系.注：求出所選用的函數(shù)關(guān)系式；一年 按365天計(jì)算（川）用（U）中的函數(shù)模型估計(jì)該地一年中大約有多少天白晝時(shí)間大于15.9小時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)刑2氣）=1時(shí)，即分析3:如圖所示：連結(jié)OB,6時(shí)，Smax設(shè)NAOB=T，貝y AB = 10sinB,S巨形=OA AB =100sin v cos v0A = lOcosr=50sin 2=e =-當(dāng)且僅當(dāng)sin2v -1時(shí)，即4時(shí)，Smax=50學(xué)生發(fā)言完畢，老師總結(jié)，將每個(gè)同學(xué)的發(fā)言簡單整理; 例中的題的聯(lián)系。引導(dǎo)學(xué)生分析此題與引精品資料歡迎下載y = Asin（ x：；* ） t由圖形知函數(shù)的最大值為