2019年高考理科數(shù)學(xué)北京卷理數(shù)(附參考答案和詳解)

1、絕密啟用前6M 7日15:00-17:002019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）總分：150分 考試時間：120分鐘?？荚図樌⒁馐马棧?、本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、 準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證條形碼粘貼在答題卡的指定位置。用2B鉛筆將答題卡上試卷類型A后的方框涂黑。2、選擇題的作答：選出每小題答案后，用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。寫在試題卷、草稿紙、答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3、填空題和解答題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試題卷、草稿 紙、答題卡上的非

2、答題區(qū)域均無效。4、考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并上交。第I卷一、選擇題：本題共8小題，每小題 5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1. （2019北昌 理）已知復(fù)數(shù) z=2+i ,貝U z -z =（）A.6B.而C【解析】因為z =2 +i ,所以z =2 i ,所以z ,Z =（2 +i） 【答案】D2. （2019北京卷理）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的 （開.始）/ R/1 /72?3j-2k=k+1I是/輸出5 /（結(jié)束）A. 1B. 2C；.3D. 5.(2 -i) =5 .故選 D.s值為()；.3D. 4【解析】k=1,s=1;第一次循環(huán)：s=2,判斷

3、k<3,k=2;第二次循環(huán)：s = 2,判斷k<3,k=3;第三次循環(huán)：s=2,判斷k=3.故輸出2,故選B.3. （2019北京卷理）已知直線，/， x =1 3t, l的參數(shù)方程為jy為參數(shù)），則點（1,0）到直線l的距離是AB. 2C.-5“I【解析】由題意可知直線 l的普通方程為4x_3y+2=0,由點到直線的距離公式可得點（1,0）到直線l的距離d J4二3_°2|42 (-3)26 .=.故選D.54. （2019北京卷理）已知橢圓x2y2 1r=1（a Ab >0）的離心率為一，則（）b222_ 2A. a2 =2b2B. 3a2=4b2C.a =2b

4、D. 3a =4b【解析】因為橢圓的離心率為 e =£a1 一一 .22222 一一. 22 .一,所以a =4c .又a =b +c ,所以3a =4b .故選B. 25. （2019北京卷理）若 x, y滿足|x|E1y ,且y之一1,貝U 3x + y的最大值為（）A. 7B.1C.5D. 7【解析】由| x|M1-y ,且y 之1,x -y 1_0,4x+y -1 M0,作出可行域如圖陰影部分所示 y - -1.設(shè) z =3x +y ,則y =-3x +z ,作直線l0 : y = -3x ,并進行平移.顯然當k經(jīng)過點A（2, -1）時，z取得最大第3頁（共12頁）值,Zma

5、x =3父2 -1 =5 .故選 C.6. （2019北京卷理）在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度5 E滿足m2 -mi =-lg ,其中星等為 mk的星的亮度為 Ek（k=1,2）.已知太陽的星等是 -.26.7,天狼星的6 E2星等是1.45,則太陽與天狼星的亮度的比值為（）A. 1010.1B.10.1C. lg10.1D.10,°.15Ei.【解析】由題意知， =6.7, m2 = ".45 ,代入所給公式得 -1.45 -（26.7）lg-1 ,所以2 E2lg巨=10.1 ,所以 且=1010.1 .故選A.E2E2【答案】Au

6、uuujiruur unr uuur7. （2019北京卷理）設(shè)點 A, B, C不共線，則AB與AC的夾角為銳角"是AB + AC > BC ”的 （）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件uur uuir uur【解析】因為設(shè)點 A, B, C不共線，由向量加法的三角形法則，可知 BC=ACAB,所以 uur uur uuruur uur uur uur| AB +AC目BC |等價于| AB +AC |>| AC -AB | ,因模為正，故不等號兩邊平方得uur2 uur2 uu uuuuirz uur2uur uuuuru

7、ur+AB +AC +2| AB| | AC| cosB >AC +AB -2| AC| | AB| cos0 （日為 AB 與 AC 的夾角），整理得uuruuruuruuir4| AB| | AC| cos日>0 ,故cosH >0 ,即日為銳角.又以上推理過程可逆，所以AB與AC的夾角為銳uuu uur uur角"是AB +AC aBC ”的充分必要條件.故選C.【答案】CC : x2 + y2 =什| x | y就是其中之8. （2019北京卷理）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線 一（如圖）.給出下列三個結(jié)論：曲線C恰好經(jīng)過6個整點（即橫、縱坐標均

8、為整數(shù)的點）；曲線C上任意一點到原點的距離都不超過22 ；曲線C所圍成的 心形”區(qū)域的面積小于3.其中，所有正確結(jié)論的序號是（）A.BeC.D.【解析】由x10.(2019北京卷理)設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若a2=-3,& =10,則a5=,Sn的最小值為.【解析】因為a2 =a1+d=-3 ,S5=5a1 +10d =-10,所以a1=T,d=1,所以a5=研 +4d =0 ,所以通項公式an=a+(n1)d=n -5 .令 <0 ,得n<5 ,即數(shù)列an的前4項為負，a5=。，第6項及以后的項為正.所以Sn的最小值為S4 =S5 =-10.+y2 =1+|x|

9、y ,當x =0時，y=±1;當y=0時，x = ±1;當y=1時，x = 0, ±1.故曲線C 恰好經(jīng)過 6 個整點：A(0,1) , B(0,-1), C(1,0), D(1,1), E(1,0), F(1,1),所以正確.由基本不22 _等式，當 y >0 時，x2 +y2 =什| x | y =1 + | xy |W1 +-,所以 x2 十y2 £2 ,所以 «x2 + y2 <42 ,故第8題圖如圖，由知矩形 CDFE的面積為2, 4BCE的面積為1,所以曲線 C所圍成的“心形”區(qū)域的面積大 于3,故錯誤.故選C.【答案】

10、C第n卷二、填空題：本題共 6小題，每小題5分。9. (2019北京卷理)函數(shù) f (x) =sin22x的最小正周期是 .【解析】由降帚公式得f (x) =sin2 2x =cos4x+，所以最小正周期 T=.22242【答案】0, 1011. (2019北京卷理)某幾何體是由一個正方體去掉一個四棱柱所得，其三視圖如圖所示.如果網(wǎng)格 紙上小正方形的邊長為1 ,那么該幾何體的體積為 .【解析】由題意知，去掉的四棱柱的底面為直角梯形，底面積 S=(2+4)父2 + 2=6,高等于正方體的 棱長4,所以去掉的四柱的體積為6 M4 =24.又正方體的體積為43 = 64,所以該幾何體的體積為64 -

11、24 =40.【答案】4012. (2019北京卷理)已知l , m是平面a外的兩條不同直線.給出下列三個論斷： l _Lm ; m Pot ； l _La .以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：.【解析】已知l , m是平面a外的兩條不同直線，由 l_Lm與mPa ,不能推出l _Lot，因為l與 a可以平行，也可以相交但不垂直；由 l _Lm與l _La能推出mPt ;由mPa與l _La能推出 l _Lm.故正確的命題是 二或二.【答案】若l _Lm, l _Lo(,則mPa (答案不唯一)13. (2019北京卷理)設(shè)函數(shù) f(x)=ex+ae

12、1; ( a為常數(shù)).若f(x)為奇函數(shù)，則a=;若 f(x)是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是 .【解析】因為f(x)=ex+ae. ( a為常數(shù))的定義域為 R,所以f (0) =e°+ae° =1+a =0 ,所以a = 1.而f (x) =ex ae« =ex ax-,由于f (x)是R上的增函數(shù)，所以f '(x)圭0在R上恒成立. e第6頁(共12頁)又e2x>0,所以a <0 ,即a的取值范圍是（g,0【答案】，（-«,014. （2019北京卷理）李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西 瓜、桃，

13、價格依次為 60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量，李明對這四種水果進行促 銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的80% .當x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為. 【解析】顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，原價應(yīng)為60+80 = 140 （元），超過了 120元可以優(yōu)惠，所以當x=10時，顧客需要支付140-10=130 （元）.由題知，當x確定后，顧客可以得到的優(yōu)惠金 額是固定的，所以顧客支付的金額越少，優(yōu)惠的比例

14、越大.而顧客想要得到優(yōu)惠，最少要一次購買2盒草莓，此時顧客支付的金額為（120x）元，所以列出不等式 （120 x）M80% A120M0.7 ,解得x<15JP x的最大值為15. 【答案】130, 15三、解答題：本題共 80分。115. (2019 北東卷理)在 4ABC 中，a=3, bc=2, cosB=.2(1)求b , c的值；(2)求 sin(B C)的值.1解析】(1)由余弦te理 b2 =a2+c22accosB ,得 b2 =32+c2 -2 M3M6 2因為b =c +2 ,所以(c +2)2 =32 +c2 -2X3XcX；-12解得c =5 .所以b =7 .

15、1 一3(2)由 cosB = 一得 sinB =.2 2由正弦定理得sinC =csinB =53.b 14在 ABC中，/B是鈍角，所以ZC為銳角.所以cos，。瑞4 3所以 sin(B -C) =sinBcosC -cosBsinC =16. ( 2019 北京卷理)如圖，在四棱錐P-ABCD 中，PA_L 平面 ABCD, AD_LCD, AD PBC ,PF 1PA=AD=CD=2, BC=3. E為PD的中點，點F在PC上，且 =.PC 3(1)求證：CD _L平面PAD;(2)求二面角F-AE-P的余弦值；(3)設(shè)點G在PB上，且PG=2.判斷直線 AG是否在平面 AEF內(nèi)，說明

16、理由.PB 3【解析】(1)因為PA_L平面ABCD,所以PA1CD .又因為AD 1CD ,所以CD _L平面PAD .(2)過A作AD的垂線交BC于點M .因為PA，平面ABCD,所以 PA_LAM , PA_LAD.如圖建立空間直角坐標系 A-xyz,則 A(0,0,0) , B(2,1,0), C(2,2,0) , D(0,2,0) , P(0,0,2).因為E為PD的中點，所以 E(0,1,1).uuiruuiruur所以 AE =(0,1,1) , PC =(2,2,二),AP =(0,0,2).uuur i uur 2 22 uuir uur uur 2 2 4所以PF =_PC

17、=_,一I, AF=ap+pf= _,_,_I.33 333 3 3(uurjy+z = 0,設(shè)平面AEF的法向量為n =(x, y, z),則UUur °,即224n AF=0,3x 3y 3z=0.令 z =1 ,則 y = 1 , x =.于是 n = (1, 1,1).又因為平面 PAD的法向量為 p =(1,0,0),所以 cos<n, p hI n II P I 3第14頁(共12頁)由題知，二面角F-AE-P為銳角, 所以其余弦值為3(3)直線 AG在平面 AEF內(nèi).因為點G在PB上，且PG =2PB 3uuuPB=(2,-1,-2),uuir 2 uuu 4 所

18、以 PG =£PB =-33uuur uuu uuirAG =AP PGJ4 _2 2 )3, 3, 3由(n)知，平面 AEF的法向量n =(1,",1) .uuir4 2 2所以 AG n = + + =0 .3 3 3所以直線AG在平面AEF內(nèi).17. (2019北京卷理)改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來，移動支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學(xué)生上個月A, B兩種移動支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機抽取了 100人，發(fā)現(xiàn)樣本中 A, B兩種支付方式都不使用的有 5人，樣本中僅使用 A和僅使用B的學(xué)生 的支付金額分布情況如下：(0,1000(

19、1000,2000大于2000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人(1)從全校學(xué)生中隨機抽取 1人，估計該學(xué)生上個月 A , B兩種支付方式都使用的概率；(2)從樣本僅使用 A和僅使用B的學(xué)生中各隨機抽取 1人，以X表示這2人中上個月支付金額大于 1000元的人數(shù)，求 X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)已知上個月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機抽查 3人,發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于 2000元.根據(jù)抽查結(jié)果，能否認為樣本僅使用 A的學(xué)生中本月支付金 額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由.【解析】(1)由題意知，樣本中僅使用 A的學(xué)生有18+9+3=30人

20、，僅使用B的學(xué)生有10十14+1=25人，A, B兩種支付方式都不使用的學(xué)生有5人.故樣本中A , B兩種支付方式都使用的學(xué)生有10030255 = 40人.所以從全校學(xué)生中隨機抽取 1人，該學(xué)生上個月 A, B兩種支付方式都使用的概率估計為£0=0.4.100(2) X的所有可能值為0, 1 , 2 .記事件C為 從樣本僅使用 A的學(xué)生中隨機抽取1人，該學(xué)生上個月的支付金額大于1000元”，事件D為 從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機抽取1人，該學(xué)生上個月的支付金額大于1000元”.由題設(shè)知，事件 C, D相互獨立，且P(C) =9堂=0.4 , P(D) =14±1 =0.6

21、.3025所以 P(X =2) =P(CD) =P(C)P(D) =0.24 ,p(x =1)=p(cDuCd)=p(c)p(D)p(C)p(d)=0.4(1-0.6)(1-0.4)0.6 =0.52,所以X的分布列為X012P0.240.520.24故 X 的數(shù)學(xué)期望 E(X) =0X0.24 +1 X0.52 +2x0.24=1 .(3)記事件E為 從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機抽查 3人，他們本月的支付金額都大于2000元”.假設(shè)樣本僅使用 A的學(xué)生中，本月支付金額大于2000元的人數(shù)沒有變化，則由上個月的樣本數(shù)據(jù)得1. 1P(E)=. c30406030答案示例1:可以認為有變化.理由如下

22、：P(E)比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生.一旦發(fā)生，就有理由認為本月的支付金額大于2000元的人數(shù)發(fā)生了變化.所以可以認為有變化.答案示例2：無法確定有沒有變化.理由如下：事件E是隨機事件，P(E)比較小，一般不容易發(fā)生，但還是有可能發(fā)生的，所以無法確定有沒有變 化.y =kx -1.2由 4 0 得 x2 +4kx_4=0 . x2 =sy設(shè) M(Xi,y) , N(X2,y2),則 X1X2 =K .直線OM的方程為y ="x.x1令y = -1 ,得點A的橫坐標Xax；y1同理得點B的橫坐標xB =x2y2uur設(shè)點 D(0,n),則 DA = -, 1uur uuir

23、DA DB注(n 1)2yy2x1x2M4uurDBx2.，一1 -n2、+(n+1)21622(n，1) = K (n 1). x*2uur uuir令 DA DB =0,即-4 +(n+1)2 =0,貝U n=1n = -3.綜上，以AB為直徑的圓經(jīng)過 y軸上的定點(0,1)和(0,與).12919. (2019北東卷理)已知函數(shù) f (x) =x-x? +x .4(1)求曲線y=f(x)的斜率為1的切線方程；(2)當 xW-2,4時，求證：x-6 <f(x) <x;(3)設(shè)F(x) qf (x)(x+a)|(aw R)，記F(x)在區(qū)間-2,4上的最大值為 M (a).當M

24、(a)最小時，求 a的值.-2x +1 .【解析】(1)由 f (x) =x3 一x2 +x得 f (x) =x2 44令 f (x) =1 ,即 3x2 4，、8-2x +1 =1 ,得 x =0 或 x = 3又 f(0) =0 ,所以曲線y=f(x)的斜率為1的切線方程是y =乂與y 一一 =x 一,27即 y=x 與 y =x _%27(2)令 g(x) =f (x) -x , x W-2,4.1 323 2-由 g(x) =- x x 得 g (x) =- x -2x .44令 g '(x) = 0 得 x=0 或 x =3g (x) , g(x)的情況如表:x-2(0)0o

25、,8< 3J8381- ,4 113 J4.g (x)+g(x)-6Z064-27Z0g(x)的最小值為-6,最大值為0.故-6 <g(x) <0 ,即 x _6 < f (x) <x .(3)由(n)知，當 a<4時，M(a)之F(0) =|g(0) a|=-a>3;當 a> 4時，M (a) >F(2) Tg(-2) a|=6+a>3;當 a = 4 時，M(a) =3 .綜上，當M (a)最小時，a=邙 .20. (2019北京卷理)已知數(shù)列 an從中選取第項、第i2項、L、第im項(ii <i2 HL <%),若

26、ah <叱<L <aim,則稱新數(shù)列 為，鼻2, L ,再為an的長度為m的遞增子列.規(guī)定：數(shù)列 4的任 意一項都是an的長度為1的遞增子列.(1)寫出數(shù)列1, 8, 3, 7 , 5, 6 , 9的一個長度為4的遞增子列；(2)已知數(shù)列禺的長度為p的遞增子列的末項的最小值為am,長度為q的遞增子列的末項的最小值為 an0 .若 p <q，求證：am0 <anc ；(3)設(shè)無窮數(shù)列4的各項均為正整數(shù)，且任意兩項均不相等.若 an的長度為S的遞增子列末項的 最小值為2s-1 ,且長度為s末項為2s-1的遞增子列恰有 2s，個(s=1,2L ),求數(shù)列an的通項公 式.【解析】(1) 1, 3, 5,6.(答案不唯一)設(shè)長度為q末項為an,的一個遞增子列為an ,斗2 , L , aqan0 .由 p <q ,得 arpcan).因為an的長度為p的遞增子列末項的最小值為 I。，又a1 , a2 , L , ap是an的長度為p的遞增子列，所以 am0 <arp .所以 am0 ：: a