新5-8微分方程應(yīng)用

1、第八節(jié)第八節(jié)微分方程的應(yīng)用 第五章 三、運(yùn)動(dòng)路線問(wèn)題三、運(yùn)動(dòng)路線問(wèn)題四、增長(zhǎng)問(wèn)題四、增長(zhǎng)問(wèn)題五、作戰(zhàn)模型五、作戰(zhàn)模型微分方程的應(yīng)用微分方程的應(yīng)用 1. 1. 建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型 列微分方程問(wèn)題列微分方程問(wèn)題建立微分方程建立微分方程( (共性共性) )利用物理規(guī)律利用物理規(guī)律利用幾何關(guān)系利用幾何關(guān)系確定定解條件確定定解條件( (個(gè)性個(gè)性) )初始條件初始條件可能還要銜接條件可能還要銜接條件2. 2. 解微分方程問(wèn)題解微分方程問(wèn)題3. 3. 分析解所包含的實(shí)際意義分析解所包含的實(shí)際意義 某些特定問(wèn)題某些特定問(wèn)題一、物理問(wèn)題一、物理問(wèn)題解解,dtdM衰變速度衰變速度由題設(shè)條件由題設(shè)條件)0(衰

2、衰變變系系數(shù)數(shù) MdtdMdtMdM , dtMdM00MMt 代代入入,CtM1ln,tCeM 即即00CeM 得得,C teMM 0衰變規(guī)律衰變規(guī)律例例2 2繩索僅受繩索僅受重力作用而下垂重力作用而下垂, ,解解 取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖. .考察最低點(diǎn)考察最低點(diǎn) A 到到sg( : 密度密度, , s :弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)) )弧段重力大小弧段重力大小按靜力平衡條件按靜力平衡條件, , 有有,cosHTsa1tan)(gHa sgTsinyxyxd102a1故有故有211yay 設(shè)有一均勻設(shè)有一均勻, , 柔軟的繩索柔軟的繩索, , 兩端固定兩端固定, , 問(wèn)該繩索的平衡狀態(tài)是怎樣的曲線問(wèn)該繩索的

3、平衡狀態(tài)是怎樣的曲線 ? ? 任意點(diǎn)任意點(diǎn)M ( x, y ) 弧段的受力情況弧段的受力情況: : A 點(diǎn)受水平張力點(diǎn)受水平張力 HM 點(diǎn)受切向張力點(diǎn)受切向張力T兩式相除得兩式相除得MsgoyxTHAMsgoyxHA211yya ,aOA 設(shè)設(shè)則得定解問(wèn)題則得定解問(wèn)題: : , 0ayx0 0 xy,xpy)( 令令,xdpdy 則則原方程化為原方程化為pdxad1兩端積分得兩端積分得)1(lnshAr2ppp,shAr1Cpax0 0 xy由由,C01 得得則有則有axysh兩端積分得兩端積分得,ch2Cayax,ayx 0由由02 C得得故所求繩索的形狀為故所求繩索的形狀為axaych)(

4、2axaxeea懸懸 鏈鏈 線線a21p少少時(shí)時(shí)間間整整個(gè)個(gè)鏈鏈條條滑滑過(guò)過(guò)釘釘子子需需多多米米，試試問(wèn)問(wèn)垂垂米米，另另一一邊邊下下垂垂開(kāi)開(kāi)始始時(shí)時(shí)，鏈鏈條條的的一一邊邊下下動(dòng)動(dòng)一一無(wú)無(wú)摩摩擦擦的的釘釘子子上上，運(yùn)運(yùn)一一質(zhì)質(zhì)量量均均勻勻的的鏈鏈條條掛掛在在解解例例3 3oxm8m10,米米鏈鏈條條下下滑滑了了經(jīng)經(jīng)過(guò)過(guò)時(shí)時(shí)間間設(shè)設(shè)鏈鏈條條的的線線密密度度為為xt 則由牛頓第二定律得則由牛頓第二定律得,)8()10(22gxgxdtxdm .x,x,gxgx000099 )()(即即解此方程得解此方程得, 1)(21)(3131 tgtgeetx, 8, x即即整個(gè)鏈條滑過(guò)釘子整個(gè)鏈條滑過(guò)釘子代入

5、上式得代入上式得)().809ln(3秒秒 gt例例4 4 有旋轉(zhuǎn)曲面形狀的凹鏡，假設(shè)由旋轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn)有旋轉(zhuǎn)曲面形狀的凹鏡，假設(shè)由旋轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn)O發(fā)出的一切光線經(jīng)凹鏡反射后與旋轉(zhuǎn)軸平行發(fā)出的一切光線經(jīng)凹鏡反射后與旋轉(zhuǎn)軸平行, 求這旋求這旋轉(zhuǎn)曲面的方程轉(zhuǎn)曲面的方程.實(shí)例實(shí)例: : 車(chē)燈的反射鏡面車(chē)燈的反射鏡面-旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面解解軸軸設(shè)設(shè)旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)軸軸 ox如圖如圖),0 , 0(光光源源在在)(:xyyL xyoMTNRL上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)，為為設(shè)設(shè)LyxM),(,yMT 斜斜率率為為為為切切線線,1,yMN 斜率為斜率為為法線為法線,NMROMN yNMRyxyyxyOMN111tantan,

6、022 yyxyy得微分方程得微分方程. 1)(2 yxyxy即即,tantanNMROMN 由夾由夾角正角正切公切公式得式得xyoMTNRL，令令xyu ,112uudxduxu 得得分離變量分離變量,1)1(22xdxuuudu ，令tu 21,)1(xdxtttdt 積分得積分得,ln1lnxCt , 112 xCu即即平方化簡(jiǎn)得平方化簡(jiǎn)得,2222xCxCu 得得代代回回,xyu )2(22CxCy 拋物線拋物線軸軸的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)拋拋物物面面方方程程為為所所求求旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)軸軸為為 ox).2(222CxCzy 例例5 5解解欲向宇宙發(fā)射一顆人造衛(wèi)星欲向宇宙發(fā)射一顆人造衛(wèi)星, , 為使其擺脫

7、地球?yàn)槭蛊鋽[脫地球引引力力, , 初始速度應(yīng)不小于第二宇宙速度初始速度應(yīng)不小于第二宇宙速度, , 試計(jì)算此速度試計(jì)算此速度. .設(shè)人造地球衛(wèi)星質(zhì)量為設(shè)人造地球衛(wèi)星質(zhì)量為 m , 地球質(zhì)量為地球質(zhì)量為M , 衛(wèi)星衛(wèi)星的質(zhì)心到地心的距離為的質(zhì)心到地心的距離為 h , , 由牛頓第二定律得由牛頓第二定律得: : 222ddhmMGthm00dd,vthRht,v0為為( (G 為引力系數(shù)為引力系數(shù)) )則有初值問(wèn)題則有初值問(wèn)題: : 222ddhMGth又設(shè)衛(wèi)星的初速度又設(shè)衛(wèi)星的初速度，已知地球半徑已知地球半徑51063 R,hvtdhd)( 設(shè)設(shè),hdvdvtdhd 22則則代入原方程代入原方程,

8、 , 得得2ddhMGhvvhhMGvvdd2兩邊積分得兩邊積分得ChMGv221利用初始條件利用初始條件, , 得得RMGvC2021因此因此RhMGvv112121202221limvhRMGv12120注意到注意到 為使為使,0v應(yīng)滿足應(yīng)滿足0vRMGv20因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng)h = R (在地面上在地面上) ) 時(shí)時(shí), , 引力引力= =重力重力, , )sm81. 9(22ggmhmMG即即,gRMG2 故故代入代入即得即得81. 910632250gRv) s(m102 .113這說(shuō)明第二宇宙速度為這說(shuō)明第二宇宙速度為 skm2 .11例例6 6xxo解解質(zhì)量為質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端

9、固定的彈簧上的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上, ,在彈性力與阻力作用下做往復(fù)運(yùn)動(dòng)在彈性力與阻力作用下做往復(fù)運(yùn)動(dòng), ,初始初始求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 ,v0速速度度為為. )(txx 坐標(biāo)系如圖坐標(biāo)系如圖, , ,0 xx 設(shè)設(shè) t = 0 時(shí)物體的位置為時(shí)物體的位置為取其平衡位置為原點(diǎn)取其平衡位置為原點(diǎn)00ddvtxt,00 xxt22ddtx02xktxndd2該定解問(wèn)題為該定解問(wèn)題為阻力的大小與阻力的大小與運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)速度成正比速度成正比, ,方向相反方向相反. .建立建立方程方程: :22ddtx02xk特征方程特征方程: :, 022krkir2,1特征根特征根: :tkCtkC

10、xsincos21利用初始條件得利用初始條件得: :,01xC 故所求特解故所求特解: :tkkvtkxxsincos00A)sin(tkA0 xkv0方程通解方程通解: :1) 無(wú)阻尼自由振動(dòng)情況無(wú)阻尼自由振動(dòng)情況 ( n = 0 )kvC020022020tan,vxkkvxA解的特征解的特征:)sin(tkAx0 xAAxto簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng) A: 振幅振幅, , : 初相初相, ,周期周期: : kT2:mck 固有頻率固有頻率 T0dd00vtxt ,xxt000 下下圖圖中中假假設(shè)設(shè)( (僅由系統(tǒng)特性確定僅由系統(tǒng)特性確定) )方程方程: :特征方程特征方程: :0222krnr22

11、2,1knnr特征根特征根: :小阻尼小阻尼: : n k臨界阻尼臨界阻尼: :n = k 22ddtx02xktxndd2)sincos(21tCtCextn)(22nk trtreCeCx2121tnetCCx)(21( ( n k ) 大阻尼解的特征大阻尼解的特征: 1) 1) 無(wú)振蕩現(xiàn)象無(wú)振蕩現(xiàn)象; ; trtreCeCx21212221knnr, 其中其中22knn0.0)(limtxttxo0 x此圖參數(shù)此圖參數(shù): : 1, 5 . 1kn5 . 10 x073. 50v2) 2) 對(duì)任何初始條件對(duì)任何初始條件即隨時(shí)間即隨時(shí)間 t 的增大物體總趨于平衡位置的增大物體總趨于平衡位置.

12、 .( ( n = k ) 臨界阻尼解的特征臨界阻尼解的特征 : : 任意常數(shù)由初始條件定任意常數(shù)由初始條件定, , tnetCCx)(21)() 1tx最多只與最多只與 t 軸交于一點(diǎn)軸交于一點(diǎn); ; 取何值都有取何值都有無(wú)論無(wú)論21C,C)(lim)3txt即隨時(shí)間即隨時(shí)間 t 的增大物體總趨于平衡位置的增大物體總趨于平衡位置. .0)(lim21tntetCC2)2)無(wú)振蕩現(xiàn)象無(wú)振蕩現(xiàn)象 ; ;yoy例例7 7 從船上向海中沉放某種探測(cè)儀器從船上向海中沉放某種探測(cè)儀器, , 按探測(cè)要求，按探測(cè)要求，需確定儀器的下沉深度需確定儀器的下沉深度 y 與下沉速度與下沉速度 v 之間的函數(shù)之間的函

13、數(shù)關(guān)關(guān)在下沉過(guò)程中還受到阻力和浮力作用在下沉過(guò)程中還受到阻力和浮力作用, ,設(shè)儀器質(zhì)設(shè)儀器質(zhì)體積為體積為B, , 海水比重為海水比重為 , , 儀器所受阻力與下沉儀器所受阻力與下沉速度成正速度成正比比, ,比例系數(shù)為比例系數(shù)為 k ( k 0 ) , 試建立試建立 y 與與 v 所所滿足的微分滿足的微分方程方程, , 并求出函數(shù)關(guān)系式并求出函數(shù)關(guān)系式 y = y (v) . . 提示提示: :建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖. .質(zhì)量質(zhì)量 m體積體積 B由牛頓第二定律由牛頓第二定律B22ddtymvk重力重力 浮力浮力 阻力阻力mgtvtydddd22tyyvddddyvvdd注意注意: : 量為

14、量為m,系系.BgmvkBgmkBgmmvkmyln)(2vkBgmyvvmdd初始條件為初始條件為00yv用分離變量法解上述初值問(wèn)題得用分離變量法解上述初值問(wèn)題得yoy質(zhì)量質(zhì)量m體積體積B得得.,.求求浮浮筒筒的的質(zhì)質(zhì)量量為為周周期期浮浮筒筒在在水水中中上上下下振振動(dòng)動(dòng)的的當(dāng)當(dāng)稍稍向向下下壓壓突突然然放放開(kāi)開(kāi)，鉛鉛直直放放在在水水中中，設(shè)設(shè)圓圓柱柱形形浮浮筒筒，直直徑徑為為例例2s5m08222rs,gsxdtxdm解解kg)195( m.7260 .312h8009的的人人數(shù)數(shù)疫疫苗苗運(yùn)運(yùn)到到時(shí)時(shí)患患此此傳傳染染病病估估算算小小時(shí)時(shí)內(nèi)內(nèi)將將疫疫苗苗運(yùn)運(yùn)到到，試試至至直直升升機(jī)機(jī)將將在在隔隔

15、離離時(shí)時(shí)狀狀，故故感感染染者者不不能能被被及及這這種種傳傳染染病病沒(méi)沒(méi)有有早早期期癥癥由由于于人人發(fā)發(fā)病病后后有有染染病病，人人一一名名游游客客患患了了某某種種傳傳一一只只游游船船上上有有人人數(shù)數(shù)游游船船上上的的傳傳染染病病患患者者的的例例.分析分析)(800txt 人數(shù)為人數(shù)為時(shí)，未感染該傳染病的時(shí)，未感染該傳染病的在時(shí)刻在時(shí)刻)(txt為為時(shí)感染此傳染病的人數(shù)時(shí)感染此傳染病的人數(shù)設(shè)在時(shí)刻設(shè)在時(shí)刻)()(ddtxtkxtx800則則31120ttx,xt.tx091760e7991800)( 解得解得188e7991800)60(60091760 .x385e7991800)72(72091

16、760 .x二、用微元法建模二、用微元法建模 t例例 10 一容器內(nèi)含有一容器內(nèi)含有100 升清水升清水, 現(xiàn)將每升含鹽量現(xiàn)將每升含鹽量4克克的鹽水以每分鐘的鹽水以每分鐘5升的速率由升的速率由A管注入容器管注入容器, 假設(shè)瞬間假設(shè)瞬間即可混合均勻即可混合均勻, 同時(shí)讓混合液以同樣的速率由同時(shí)讓混合液以同樣的速率由B管流管流出容器出容器(容器內(nèi)的液體始終保持為容器內(nèi)的液體始終保持為100升升), 問(wèn)在任意時(shí)問(wèn)在任意時(shí)刻刻容器內(nèi)溶液的含鹽量是多少容器內(nèi)溶液的含鹽量是多少?dtmdtdm510054)(tmt 時(shí)時(shí)刻刻含含鹽鹽量量為為設(shè)設(shè)任任意意0)0(2020mmdtdm 通解為通解為 400)(

17、20 tCetm . 解解1010020tmtmtmdd例例11 一容器內(nèi)含有一容器內(nèi)含有100 升鹽水升鹽水, 共含鹽共含鹽 10kg. 現(xiàn)現(xiàn)以以 3L/min的速度把凈水由的速度把凈水由A管均勻注入容器管均勻注入容器, 并并以以2L/min的速度讓鹽水由的速度讓鹽水由B管勻速流出容器，問(wèn)管勻速流出容器，問(wèn)1h后容器內(nèi)溶液的含鹽量后容器內(nèi)溶液的含鹽量.dtttmm21000)(d升升量為量為此時(shí)容器內(nèi)共有鹽水的此時(shí)容器內(nèi)共有鹽水的t100)(tmt 時(shí)時(shí)刻刻含含鹽鹽量量為為設(shè)設(shè)任任意意m=3.91kg解解400C)1(400)(20tetm 由初始條件得由初始條件得 解解 設(shè)鼓風(fēng)機(jī)開(kāi)動(dòng)后設(shè)鼓

18、風(fēng)機(jī)開(kāi)動(dòng)后 時(shí)刻時(shí)刻 的含量為的含量為2CO)%(txt,dttt 在在 內(nèi)內(nèi),例例12 12 某車(chē)間體積為某車(chē)間體積為1200012000立方米立方米, , 開(kāi)始時(shí)空氣中開(kāi)始時(shí)空氣中含有含有 的的 , ,為了降低車(chē)間內(nèi)空氣中為了降低車(chē)間內(nèi)空氣中 的含量的含量, , 用一臺(tái)風(fēng)量為每分用一臺(tái)風(fēng)量為每分20002000立方米的鼓風(fēng)機(jī)通立方米的鼓風(fēng)機(jī)通入含入含 的的 的新鮮空氣的新鮮空氣, , 同時(shí)以同樣的風(fēng)同時(shí)以同樣的風(fēng)量將混合均勻的空氣排出量將混合均勻的空氣排出, , 問(wèn)鼓風(fēng)機(jī)開(kāi)動(dòng)問(wèn)鼓風(fēng)機(jī)開(kāi)動(dòng)6 6分鐘后分鐘后, , 車(chē)間內(nèi)車(chē)間內(nèi) 的百分比降低到多少的百分比降低到多少? ?0.1%2CO2CO0

19、.03%2CO2CO該車(chē)間該車(chē)間 濃度的改變量微元為濃度的改變量微元為 2CO03. 0200012000 dtdx),(2000txdt 2CO的通入量的通入量%,.dt03020002CO的排出量的排出量%,txdt)( 2000),03. 0(61 xdtdx,03. 061tCex , 1 . 0|0 tx,07. 0 C,07. 003. 061tex ,056. 007. 003. 0|16 ext6分鐘后分鐘后, 車(chē)間內(nèi)車(chē)間內(nèi) 的百分比降低到的百分比降低到%.056. 02CO量量不超過(guò)不超過(guò) 0.06 % ? ?解解: : 設(shè)每分鐘應(yīng)輸入設(shè)每分鐘應(yīng)輸入,m3k t 時(shí)刻車(chē)間空氣

20、中含時(shí)刻車(chē)間空氣中含2CO,m3x為則在則在,ttt內(nèi)車(chē)間內(nèi)內(nèi)車(chē)間內(nèi)2CO25005400ddkxktx很快混合均勻后很快混合均勻后, , 以相同的流量排出以相同的流量排出 ) )得微分方程得微分方程tk10004. 0txk54005400( (假定輸入的新鮮空氣假定輸入的新鮮空氣與原有空氣與原有空氣的改變量微元為的改變量微元為 ,m630303,2CO的的的新鮮空氣的新鮮空氣應(yīng)輸入多少才能在應(yīng)輸入多少才能在 30 30 分鐘后使車(chē)間空分鐘后使車(chē)間空2CO氣氣中中2CO040%.現(xiàn)現(xiàn)以以含含輸入輸入, , %.120其中含其中含例例13 已知某車(chē)間的容積為已知某車(chē)間的容積為問(wèn)每分鐘問(wèn)每分鐘的

21、含的含t = 30 時(shí)時(shí)5406. 0540010006. 0 x2504ln180k25005400ddkxktx5412. 00tx解定解問(wèn)題解定解問(wèn)題)04. 008. 0(545400tkex因此每分鐘應(yīng)至少輸入因此每分鐘應(yīng)至少輸入 250 250 3m新鮮空氣新鮮空氣 . .初始條件初始條件540010012. 00tx5412. 0得得 k = ? 例例14 有高為有高為1米的半球形容器米的半球形容器, 水從它的底部小水從它的底部小孔流出孔流出, 小孔橫截面積為小孔橫截面積為1平方厘米平方厘米(如圖如圖). 開(kāi)始開(kāi)始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水時(shí)容器內(nèi)盛滿了水, 求水從小孔流出過(guò)程中容器求水從

22、小孔流出過(guò)程中容器里水面的高度里水面的高度h(水面與孔口中心間的距離水面與孔口中心間的距離)隨時(shí)隨時(shí)間間t的變化規(guī)律的變化規(guī)律.解解 由力學(xué)知識(shí)得由力學(xué)知識(shí)得,水從孔口流水從孔口流出的流量為出的流量為,262. 0ghSdtdVQ流量系數(shù)流量系數(shù)孔口截面面積孔口截面面積重力加速度重力加速度) 1 (,262. 0dtghdV1 S,cm2)2(,)200(2dhhhdV比較比較(1)和和(2)得得:dhhh)200(2 ,262. 0dtgh cm100horhdhh dhhh)200(2 ,262. 0dtgh 即為未知函數(shù)的微分方程即為未知函數(shù)的微分方程.可分離變量可分離變量,d)100(

23、100()(220hhhvh而,)200(262. 03dhhhgdt ,)523400(262. 053Chhgt ,100|0 th,101514262. 05 gC).310107(265. 45335hhgt 所求規(guī)律為所求規(guī)律為?)()(51形形式式應(yīng)應(yīng)是是什什么么曲曲線線液液體體的的表表面面均均勻勻下下降降液液體體流流出出時(shí)時(shí)為為了了使使出出孔孔，使使容容器器內(nèi)內(nèi)的的液液體體流流的的，在在容容器器底底部部開(kāi)開(kāi)一一小小軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周產(chǎn)產(chǎn)生生繞繞設(shè)設(shè)容容器器是是由由平平面面曲曲線線例例xfy,.yxfy ,262. 0gySdtdVQ,kdtdy.cxy4,xkgyS.22620則則,)d(d2yyxV 而分析分析例例1616 設(shè)河邊點(diǎn)設(shè)河邊點(diǎn) O 的正對(duì)岸為點(diǎn)的正對(duì)岸為點(diǎn) A , ,河寬河寬 OA = h, , 一鴨子從點(diǎn)一鴨子從點(diǎn) A 游向