波利亞《怎樣解題表》

1、波利亞的怎樣解題表陜西師范大學(xué)羅增儒羅新兵1 喬治波利亞喬治 波利J亞（GeorgePolya, 18871985）是美籍匈牙利數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家.在解題方面，是數(shù)學(xué)啟發(fā)法（指關(guān)于發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方法和規(guī)律，亦譯為探索法）現(xiàn)代研究的先驅(qū).由于他在數(shù)學(xué)教育方面取得的成就和對世界數(shù)學(xué)教育所產(chǎn)生的影響，在他 93歲高齡時，還被I CME （國際數(shù)學(xué)教育大會）聘為名譽主席.作為一個數(shù)學(xué)家，波利亞在函數(shù)論、變分法、概率、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、計算和應(yīng)用數(shù)學(xué)等眾多領(lǐng)域，都做出 了開創(chuàng)性的貢獻，留下了以波利亞”命名的定理或術(shù)語；他與其他數(shù)學(xué)家合著的數(shù)學(xué)分析中的問題和定理、不等式、數(shù)學(xué)物理中的等周問題、復(fù)變量等書堪稱經(jīng)

2、典；而以200多篇論文構(gòu)成的四大卷文集，在未來的許多年里，將是研究生攻讀的內(nèi)容.作為一個數(shù)學(xué)教育家，波利亞的主要貢獻集中體現(xiàn)在怎樣解題（1945年）、數(shù)學(xué)與似真推理（1954年）、數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)（1962年）三部世界名著上，涉及解題理論”、解題教學(xué)”、教師培訓(xùn)”三個領(lǐng)域.波利亞對數(shù)學(xué)解題理論的建設(shè)主要是通過怎樣解題”表來實現(xiàn)的，而在爾后的著作中有所發(fā)展，也在解題講習(xí)班”中對教師現(xiàn)身說法.他的著作把傳統(tǒng)的單純解題發(fā)展為通過解題獲得新知識和新技能的學(xué)習(xí)過程，他的目標(biāo)不是找出可以機械地用于解決一切問題的萬能方法”，而是希望通過對于解題過程的深入分析，特別是由已有的成功實踐，總結(jié)出一般的方法或模式，使得在

3、以后的解題中可以起到啟發(fā)的作用.他所總結(jié)的模式和方法，包括笛卡兒模式、遞 歸模式、疊加模式、分解與組合方法、一般化與特殊化方法、從后往前推、設(shè)立次目標(biāo)、歸納與類比、考慮相關(guān) 輔助問題、對問題進行變形等，都在解題中行之有效.尤其有特色的是，他將上述的模式與方法設(shè)計在一張解題 表中，并通過一系列的問句或建議表達出來，使得更有啟發(fā)意義. 著名數(shù)學(xué)家互爾登在瑞士蘇黎世大學(xué)的會議致詞中說過： 每個大學(xué)生、每個學(xué)者、特別是每個教師都應(yīng)該讀這本引人入勝的書”（195淅2月2日）.2 怎樣解題表波利亞是圍繞 怎樣解題”、怎樣學(xué)會解題”來開展數(shù)學(xué)啟發(fā)法研究的，這首先表明其對問題解決”重要性的突出強調(diào)，同時也表明

4、其對問題解決”研究興趣集中在啟發(fā)法上.波利亞在風(fēng)靡世界的怎樣解題（被譯成14種文字）一書中給出的 怎樣解題表”，正是一部 啟發(fā)法小詞典2 . 1 H怎樣解題”表的呈現(xiàn)弄清問題第一，你必 未知是什么？已知是什么？條件是什么？滿足條件是否可能？要確須弄清問定未知，條件是否充分汕者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？來源網(wǎng)絡(luò)畫張圖，引入適當(dāng)?shù)姆?把條件的各個部分分開.你能否把它們寫下來 ？擬定計劃你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？ 你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？第二，找出已知數(shù)與未知數(shù)之問的聯(lián)系.如果找不出直接的聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問題.你

5、應(yīng)該最終得出一個求解的計劃看著未知數(shù)，試想出一個具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉 的問題.這里有一個與你現(xiàn)在的問題有關(guān)，且早已解決的問題.你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？ 為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素 ？你能不能重新敘述這個問題？你能不能用不同的方法重新敘述 它？回到定義去.如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關(guān)的問題.你能不能想出一個更容易著手的有關(guān)問題 ？一個更普遍的問題？ 一個更特殊的問題？一個類比的問題？你能否解決這個問題的一部分?僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分.這樣對于未知數(shù)能確定 到什么程度？它會怎中¥變化？你能不能從已知

6、數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東 西?你能不能想出適合于確定未知數(shù)的其他數(shù)據(jù) ？如果需要的話，你 能不能改變未知數(shù)或數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù) 據(jù)彼此更接近？你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)？你是否利用了整個條件？你是否 考慮了包含在問題中的必要的概念？實現(xiàn)計劃%i. 1第三，實行你的計 劃實現(xiàn)你的求解計劃，檢驗每一步驟.你能否清楚地看出這TH聚是正確的？你能否證明這一 步驟是止確的？第四，驗算所得到的解.你能否檢驗這個論證？你能否用別的方法導(dǎo)出這個結(jié) 果？你能不能一下子看出它來？你能不能把這一結(jié)果或方法用于其他的問題 ？卜面是實踐波利亞解題表的一個示例，能夠展示波利亞解題風(fēng)格的心路歷程，娓娓道來

7、，栩栩如生.2 . 2V怎樣解題”表的實踐例1給定正四棱臺的高 h,上底的一條邊長a和下底的一條邊長 b,求正四棱臺的體積 F.（學(xué)生已學(xué)過棱 柱、棱錐的體積）講解第一，弄清問題.問題1 .你要求解的是什么？要求解的是幾何體的體積，在思Ji中的位置用一個單點f象征性地表示出來（圖1）.問題2 .你有些什么？一方面是題目條件中給出的 3個已知量a、b、h;另一方面是已學(xué)過棱柱、棱錐的體積公式，并積累有求體 積公式的初步經(jīng)驗.把已知的三個量添到圖示處（圖2）,就得到新添的三個點 a、b、h;它們與F之間有一條鴻溝，象征問題尚未解決，我們的任務(wù)就是將未知量與已知量聯(lián)系起來.第二，擬定計劃.J /上I

8、 -一I-。/問題3.怎樣才能求得F? '1二、 ：,. / 1, ' 由于我們已經(jīng)知道棱柱、棱錐的體積公式，而棱臺的幾何結(jié)構(gòu)（棱臺的定義）告訴我們，棱臺是 用一個平行于底面的平面去截棱錐"，從一個大棱錐中截去一個小棱錐所生成的.如果知道了相應(yīng)兩棱錐的體積B和A,我們就能求出棱臺的體積F = B-A. |、qf j 我們在圖示上引進兩個新的點A和B,用斜線把它們與 F聯(lián)結(jié)起來，以此表示這三個量之間的聯(lián)系（圖3,即式的幾何圖示）.這就把求F轉(zhuǎn)化為求A、B.O.I I圖3,1：問題4.怎樣才能求得A與B?1依據(jù)棱錐的體積公式（V= -1,2，、 S h ）,底面積可由已知

9、條件直接求得，關(guān)鍵是如何求出兩個棱錐的高.并且，3一旦求出小棱錐的高 x,大棱錐的高也就求出，為x + h.我們在圖示上引進一個新的點x,用斜線把A與x、a連結(jié)起來，表示 A能由a、x得出，A = - a2x;類3似地，用斜線把 B與b、h、x連結(jié)起來，表示 B可由b、h、x得出，B= 1b2（x + h）（圖4）,這就把求3A、B轉(zhuǎn)化為求x.問題5.怎樣才能求得x?為了使未知數(shù)x與已知數(shù)a、b、h聯(lián)系起來，建立起一個等量關(guān)系.我們調(diào)動處理立體幾何問題的基本經(jīng)驗，進行 平面化”的思考.用一個通過高線以及底面一邊上中點（圖5中，點Q）的平面去截兩個棱錐，在這個截面上有兩個相似三角形能把 a、b、

10、h、x聯(lián)系起來（轉(zhuǎn)化為平面幾何問題）,由VPO iAVQO 2得-x-= ax h bI . j y這就將一個幾何問題最終轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程的求解.解方程，便可由a、b、h表示x,在圖示中便可用斜線將x與a、b、 h連結(jié)起來.至此，我們已在F與已知數(shù)a、b、h之間建立起了一個不中斷的聯(lián)絡(luò)網(wǎng)，解題思路全部溝通. J X-! !第三，實現(xiàn)計劃.作輔助線（過程略）如圖5,由相似三角形的性質(zhì)，得 一=與，解得x=嘰.x h bb-aA，2x=133. I - - 進而得兩錐體的體積為3a h一 ?b3h一 ? b - ab - a（2）回顧這個解題過程可以看到，解題首先要弄清題意， 從中捕捉有用的信息（如

11、圖1所示，有棱臺，a、b、h、F共5條信息），同時又要及時提取記憶網(wǎng)絡(luò)中的有關(guān)信息（如回想：棱臺的定義、棱錐的體積公式、相似三角形的性質(zhì)定理、反映幾何結(jié)構(gòu)的運算、調(diào)動求解立體幾何問題的經(jīng)驗積累等不下6條信息），并相應(yīng)將兩組信息資源作合乎邏輯的有效組合.這當(dāng)中，起調(diào)控作用的關(guān)鍵是如何去構(gòu)思出一個成功的計劃（包括解題策略）.由這一案例，每一個解題者還可以根據(jù)自己的知識經(jīng)驗各自進一步領(lǐng)悟關(guān)于如何制定計劃的普遍建議或模式.（3）在解題方法上，這個案例是分析法的一次成功應(yīng)用，從結(jié)論出發(fā)由后往前找成立的充分條件.為了求F,我們只需求A、B（由棱臺體積到棱錐體積的轉(zhuǎn)化 由未知到已知，化歸）；為了求A、B,我

12、們只需求x（由體積 計算到線段計算的轉(zhuǎn)化 由復(fù)雜到簡單，降維）；為了求x,我們只需建立關(guān)于 x的方程（由幾何到代數(shù)的轉(zhuǎn)化 數(shù)形Z合）；最后，解方程求 x,解題的思路就暢通了，在當(dāng)初各自孤立而空曠的畫面上（圖1）,形成了一個聯(lián)接未知與已知間的不中斷網(wǎng)絡(luò) （圖5）,書寫只不過是循相反次序?qū)⒕W(wǎng)絡(luò)圖作一敘述.這個過程顯示了分析與綜 合的關(guān)系， 分析自然先行，綜合后繼；分析是創(chuàng)造，綜合是執(zhí)行；分析是制定一個計劃， 綜合是執(zhí)行這個計劃 I（4）在思維策略上，這個案例是上層次解決”的一次成功應(yīng)用.首先是一般性解決（策略水平上的解決），把F轉(zhuǎn)化為A, B的求解（F = AB）,就明確了解題的總體方向；其次是功

13、能性解決（方法水平的解決）,發(fā)揮組合與分解、相似形、解方程等方法的解題功能；最后是特殊性解決（技能水平的解決），比如按照棱臺的幾何結(jié)構(gòu)作圖、添輔助線找出相似三角形、求出方程的解、具體演算體積公式等，是對推理步驟和運算細節(jié)作實際完成.（5）在心理機制上，這個案例呈現(xiàn)出激活一一擴散”的基本過程.首先在正四棱臺（條件）求體積（結(jié)論）的啟引下，激活了記憶網(wǎng)絡(luò)中棱臺的幾何結(jié)構(gòu)和棱錐的體積公式，然后，沿著體積計算的接線向外擴散，依次激活截面 知識、相似三角形知識、解方程知識（參見圖1圖5）,直到條件與結(jié)論之間的網(wǎng)絡(luò)溝通.這種 擴散一一激活”的觀點，正是數(shù)學(xué)證明思維中心理過程的一種解釋.（6）在立體幾何學(xué)科

14、方法上，這是組合與分解”的一次成功應(yīng)用.首先把棱臺補充 （組合）為棱錐，然后再把棱錐截成（分解）棱臺并作出截面，這種做法在求棱錐體積時曾經(jīng)用過（先組合成一個棱柱、再分解為三個棱錐），它又一次向我們展示能割善補”是解決立體幾何問題的一個訣竅，而平面化”的思考則是溝通立體幾何與平面幾何聯(lián)系的一座重要橋梁.這些都可以用于求解其他立體幾何問題，并且作為一般化的思想（化歸、降維）還可以用于其他學(xué)科.（7）你能否用別的方法導(dǎo)出這個結(jié)果 ？”在信念上我們應(yīng)該永遠而堅定地做出肯定的回答，操作上未實現(xiàn)只是 能力問題或暫時現(xiàn)象.對于本例，按照化棱臺為棱錐的同樣想法，可以有下面的解法.如圖6,正四棱臺 ABCD-

15、AiBiCiDi中，連結(jié)DA i, D Bi, DC 1, DB,將其分成三個四棱錐D-ABiC1D1, D-AA1B1B, D-BB 1cle，其中VD ABCR = 3 b2 h 'VD -AAiB1B = VD-BB1cle （等底等高）為了求Vd.BB，我們連結(jié)ABi,將其分為兩個三棱錐D -AB B 1與D-AAB 1 （圖7）,因,ABBiVD _AA,B1B = VD .ABB1 ' a但 VD_ABB1= VB1_ABD= _ ._a ,h = _ ah ,一一 3 26VD _AA,B1B = VD .ABB1 + VD 出A1B1= 1a2h+ b - 1a

16、2h= 1(a2+ab )h. 6 a 66從而 VABCD M1B1c1D1 = VD _AA1B1B + VD_BB1cle + VD*B1c1D1=(a2+ab )h + l(a2+ab )h + - b2h663=1 （a2+ ab+b2） h. 3 1"r-j X（8）你能不能把這一結(jié)果或方法用于其他問題？”能，至少我們可以由正四棱臺體積公式一般化為棱臺體積公式（方法是一樣的）.注意到可一般化猜想棱臺的體積公式為v 臺=g ( s 1 +4S S2 + S 2) h .3 波利亞的解題觀對于波利亞的怎樣解題表及有關(guān)著作，人們從不同的角度闡發(fā)了對波利亞解題思想的認(rèn)識（見參考文

17、獻），我們將其歸結(jié)為5個要點.3 . 1 程序化的解題系統(tǒng)怎樣解題表，就 怎樣解題”、教師應(yīng)教學(xué)生做些什么”等問題，把 解題中典型有用的智力活 動”，按照正常人解決問題時思維的自然過程分成四個階段 一一弄清問題、擬定計劃、實現(xiàn)計劃、 回顧，從而描繪出解題理論的一個總體輪廓，也組成了一個完整的解題教學(xué)系統(tǒng).既體現(xiàn)常識性， 又體現(xiàn)由常識上升為理論（普遍性）的自覺努力.這四個階段首先是一個四步驟的宏觀解題程序，其中實現(xiàn)計劃”雖為主體工作，但較為容易完 成，是思路打通之后具體實施信息資源的邏輯配置，我們所需要的只是耐心”；其次，弄清問題”是認(rèn)識問題、并對問題進行表征的過程，應(yīng)成為成功解決問題的一個必要

18、前提； 與前兩者相比，回 顧”是最容易被忽視的階段，波利亞將其作為解題的必要環(huán)節(jié)而固定下來，是一個有遠見的做法， 在整個解題表中 擬定計劃”是關(guān)鍵環(huán)節(jié)和核心內(nèi)容.:擬定計劃”的過程是在 過去的經(jīng)驗和已有的知識”基礎(chǔ)上，探索解題思路的發(fā)現(xiàn)過程，波利亞 的建議是分兩步走：第一，努力在已知與未知之間找出直接的聯(lián)系（模式識別等）；第二，如果找不出直接的聯(lián)系，就對原來的問題做出某些必要的變更或修改，引進輔助問題，為此， 波利亞又進一 步建議：看著未知數(shù)，回到定義去，重新表述問題，考慮相關(guān)問題，分解或重新組合，特殊化，一 般化，類比等，積極誘發(fā)念頭，努力變化問題.這實際上是闡述和應(yīng)用解題策略并進行資源的提

19、取 與分配.于是，這個系統(tǒng)就集解題程序、解題基礎(chǔ)、解題策略、解題方法等于一身，融理論與實踐于一 體.3 . 2 啟發(fā)式的過程分析（D還在當(dāng)學(xué)生的時候，波利亞就有一個問題一再使他感到困惑：是的，這個解答好像還行，它看起來是正確的，但怎樣才能想出這樣的解答呢？是的，這個實驗好像還行，它看起來是個事實， 但別人是怎樣發(fā)現(xiàn)這樣的事實？而且我自己怎樣才能想出或發(fā)現(xiàn)它們呢？”從解題論的觀點看，這實 際上是既提出了 怎樣解題”又提出了怎樣學(xué)會解題”的問題，波利亞說，這 終于導(dǎo)致他寫出本 書”指怎樣解題）.波利亞認(rèn)為數(shù)學(xué)有兩個側(cè)面”，用歐幾里得方式提出來的數(shù)學(xué)看來像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)； 但在創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)

20、看來卻像是一門實驗性的歸納科學(xué).這兩個側(cè)面都像數(shù)學(xué)本身一樣古老. 但從某一點說來，第二個側(cè)面則是新的，因為以前從來就沒有照本宣科地把處于發(fā)現(xiàn)過程中的數(shù)學(xué)照原樣提供給學(xué)生，或教師自己，或公眾.”他以數(shù)十年的時間悉心研究數(shù)學(xué)啟發(fā)法， 其怎樣解題” 的基本思想就可以概括為 知識+啟發(fā)法在解題表中，波利亞給出了 舊發(fā)法小詞典”，讓讀者通過閱讀詞典來開闊思路、指導(dǎo)實踐，自 己學(xué)會怎樣解題.這些看法來源于波利亞對數(shù)學(xué)教育宗旨的認(rèn)識， 波利亞認(rèn)為，數(shù)學(xué)教育應(yīng) 教會年輕人去思考”, 培養(yǎng)學(xué)生的 獨立性、能動性和創(chuàng)新精神”；他認(rèn)為一個人在學(xué)校所受的教育應(yīng)該受益終生， 他贊成， 良好的教育應(yīng)該 系統(tǒng)地給學(xué)生自己發(fā)

21、現(xiàn)事物的機會”，應(yīng)該幫助學(xué)生自己再發(fā)現(xiàn)所教的內(nèi)容”，學(xué) 東西的最好途徑是親自去發(fā)現(xiàn)它”；他特別重視發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，強調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)要加強思 維訓(xùn)練，要發(fā)展學(xué)生運用所學(xué)知識的能力，發(fā)展技能、技巧、有益的思考方式和科學(xué)的思維習(xí)慣， 他反復(fù)指出，數(shù)學(xué)教育的目的不僅僅是傳授知識，還要發(fā)展學(xué)生本身的內(nèi)蘊能力教師要 教學(xué)生證明問題”，也要 教他們猜想問題波利亞提出 合情推理”的概念，號召： 讓我們教猜想吧！”（2）在解題表的展開中，波利亞則通過剖析典型例題的思維過程來研究發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方法和規(guī)律”.波利亞不斷地提問、不斷地建議，怎樣才能想出這樣的解答呢？“我自己怎樣才能想出或發(fā)現(xiàn)它們呢？”既驅(qū)使人們?nèi)シ?/p>

22、析解題過程，又要求人們?nèi)タ偨Y(jié)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.波利亞在數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn) 序言中提出： 領(lǐng)會方法的最佳時機，可能是讀者解出一道題的時候，或是閱讀它的解法的時候， 也可能是閱讀解法形成過程的時候波利亞書中的例題，其實就是對典型例題進行解題過程的分析，就是暴露數(shù)學(xué)解題的思維過程， 也就是教人怎樣學(xué)會解題在例1中，數(shù)學(xué)操作與思維開展相結(jié)合的圖解或闡釋，使我們既領(lǐng)會 到了這樣的意圖，也見到了這樣的行動.波利亞對解題過程淋漓盡致的剖析，實質(zhì)上已接觸到心理層面，但沒有用到多少教育學(xué)或思維 學(xué)的相關(guān)名詞，基本上都是其數(shù)學(xué)前沿研究中切身體驗的自然流露，數(shù)學(xué)功底和過程體驗發(fā)揮了重 要作用.這正是數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)教育的優(yōu)勢，處處

23、有數(shù)學(xué)的真刀真槍”，絕非紙上談兵”.波利亞說 貨源充足和組織良好的知識倉庫是一個解題者的重要資本 ”，在 知識”與 組織良好”之間，波利 亞更強調(diào)后者，他說 良好的組織使得所提供的知識易于用上，這甚至可能比知識的廣泛更為重要.” 用現(xiàn)在的話來說，波利亞在這里強調(diào)了 原有的知識經(jīng)驗”和 優(yōu)化的認(rèn)知結(jié)構(gòu)”對問題解決的基礎(chǔ)作3 . 3 開放型的念頭誘發(fā).波利亞解釋說： 我們表中的問題和建議并不直接提到念頭；但實際上，所有的問題和建議都 與它有關(guān)（可以說解題表中的每一個問句，都是從認(rèn)知或元認(rèn)知的角度向讀者啟發(fā)解題念頭.）， 弄清問題是為好念頭的出現(xiàn)做準(zhǔn)備；擬訂計劃是試圖引發(fā)它；在引發(fā)之后，我們實現(xiàn)它；

24、回顧此過程和求解的結(jié)果，我們試圖更好地利用它.”他強調(diào)指出：老師為學(xué)生所能做的最大的好事是通過 比較自然的幫助，促使他自己想出一個好念頭.”在怎樣解題一書里，出現(xiàn) 念頭”這個詞不下四五十次.念頭有什么用 碘利亞說：它會給你指出整個或部分解題途徑也許有些念頭會把你引入歧 途”，但這并不可怕，在明顯失敗的嘗試和一度猶豫不決之后”會 突然閃出一個 好念頭最糟糕 的是沒有任何念頭，還 笨頭呆腦地干等著某個念頭的降臨，而不會做任何事情去加速其來到.”這里說的念頭不僅在字面上比 問題表征”更為淺白，而且在內(nèi)涵上更為豐富，其實質(zhì)是開展積 極活躍的思維活動，產(chǎn)生念頭與找出解題途徑完全可以理解為同義語.那么產(chǎn)生

25、念頭的基礎(chǔ)是什么 呢?波利亞的回答是： 過去的經(jīng)驗和已有的知識（解題力量）如果我們對該論題知識貧乏，是不 容易產(chǎn)生好念頭的.如果我們完全沒有知識，則根本不可能產(chǎn)生好念頭.”波利亞一再提到 好念頭”，其實這就是直覺、頓悟或靈感，想出一個好念頭是一種 靈感運動 想像力有了一個突然的跳躍，產(chǎn)生了一個好念頭，這是天才的一次閃爍"，是我們觀點上的重大突變，我們看問題方式的一個驟然變動，在解題步驟方面的一個剛剛露頭的有信心的預(yù)感” .波利亞關(guān)于念頭的種種議論，正是開展積極思維活動的激發(fā)與激活.3. 4 探索性的問題轉(zhuǎn)換：；j這里說的 問題轉(zhuǎn)換”，在怎樣解題一書中亦叫 變化問題”、題目變更”，它揭

26、示了探索解 題思路的數(shù)學(xué)途徑，也體現(xiàn)了解題策略的實際運用.波利亞強調(diào)：解題的成功要靠正確思路的選擇，要靠從可以接近它的方向去攻擊堡壘，為了找出哪個方面是正確的方面，哪一側(cè)是好接近的一 側(cè)，我們從各個方面、各個側(cè)面去試驗，我們變更問題.”變化問題使我們引進了新的內(nèi)容，從而 產(chǎn)生了新的接觸，產(chǎn)生了和我們有關(guān)的元素接觸的新可能性.”新問題展現(xiàn)了接觸我們以前知識的 新可能性，它使我們做出有用接觸的希望死而復(fù)蘇.通過變化問題，顯露它的某個新方面，新問題使我們的興趣油然而生在 怎樣解題”表中，波利亞擬出了啟引我們不斷轉(zhuǎn)換問題的 30多個問句或建議：把問題轉(zhuǎn)化 為一個等價的問題，把原問題化歸為一個已解決的問

27、題， 去考慮一個可能相關(guān)的問題，先解決一個 更特殊的問題、或更一般的問題、或類似的問題那些啟發(fā)新念頭的問句，也往往與問題轉(zhuǎn)換有 關(guān).如果我們不用 題目變更，幾乎是不能有什么進展的”-這就是波利亞的結(jié)論.3 . 5 樸素的數(shù)學(xué)解題元認(rèn)知觀念.元認(rèn)知是對認(rèn)知的再認(rèn)知，包括元認(rèn)知知識，元認(rèn)知體驗和元認(rèn)知監(jiān)控.雖然元認(rèn)知概念提出 較晚，但元認(rèn)知思想早就存在，在波利亞的解題思想中存在著樸素的元認(rèn)知觀念.波利亞解題表的大量問句或建議， 都不是問別人，而是自己給自己提問題、提建議， 這是解題 者的自我詰問、自我反思.問題中的一部分，其對象針對具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，屬于認(rèn)知性的；另一部 分則以解題者自身為對象，屬于

28、元認(rèn)知性的.比如，你以前見過它嗎？"你是否知道一個與此有關(guān)的問題？”這里有一個與你現(xiàn)在的問題有關(guān)，且早已解決的問題.你能不能利用它？”等等，都不涉及問題的具體內(nèi)容，都是針對解題主體、 對其解題思維活動的反思，都屬于元認(rèn)知提問， 而不完全 是認(rèn)知提問.波利亞解題表中的 回顧”也并不完全是常規(guī)解題中的 檢驗”，主要是有分析地領(lǐng)會所得的解法 （參見例1的回顧），它包含著把 問題及其解法”認(rèn)知）作為對象進行自覺反思的元認(rèn)知意圖.至于 解題表本身所給出的解題程序（一種程序性知識），所體現(xiàn)的解題策略（一種策略性知識）及所進行的 元認(rèn)知提問，都屬于元認(rèn)知知識.波利亞對具體范例的分析，基本上是對 問

29、題及其解法”的再認(rèn)知， 已反映出開發(fā)元認(rèn)知的樸素 意圖.波利亞的另一些問句，如你能不能重新敘述這個問題？你能不能用不同的方法重新敘述 它？"你能不能改變未知數(shù)或數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近？”接近度）, 你能不能一下子看出它來？”地感）等，則屬于樸素的元認(rèn)知體驗.至于解題表本身，則自始至終體現(xiàn)著元認(rèn)知調(diào)控.綜上所述，解題系統(tǒng)”是波利亞解題思想的整體框架，分析解題過程”是波利亞解題思想的思 維實質(zhì)，念頭誘發(fā)”是波利亞解題思想的外在表現(xiàn)， 問題轉(zhuǎn)換”是波利亞解題思想的具體實現(xiàn)，樸 素的元認(rèn)知觀念是波利亞解題思想的心理學(xué)基礎(chǔ). 而這一切的背后，豐富的數(shù)學(xué)前沿研究經(jīng)歷

30、和發(fā) 現(xiàn)體驗是波利亞解題思想的物質(zhì)基礎(chǔ)，現(xiàn)代啟發(fā)法是波利亞解題思想的靈魂，揭示發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方法和規(guī)律”是波利亞解題思想的目標(biāo).4 波利亞解題研究的發(fā)展4 . 1 反思數(shù)學(xué)上存在證明的方法與發(fā)現(xiàn)的方法， 在邏輯實證主義占主導(dǎo)地位的歷史時期， 關(guān)于數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn) 方法的研究一度陷于停頓，波利亞的貢獻就在于自覺承擔(dān)起復(fù)興數(shù)學(xué)啟發(fā)法的重任，并提出合情推理，為數(shù)學(xué)啟發(fā)法的現(xiàn)代研究提供了必要基礎(chǔ).20世紀(jì)80年代初期，美國數(shù)學(xué)教育界興起的 問題解決”研究是對波利亞現(xiàn)代啟發(fā)法的直接繼承， 曾經(jīng)有 對波利亞的重新發(fā)現(xiàn)”、數(shù)學(xué)啟發(fā)法幾 乎成了問題解決的同義詞”等提法.但是，已有數(shù)學(xué)實踐卻未能獲得預(yù)期的成功，盡管學(xué)生已

31、經(jīng)具 備了必要的數(shù)學(xué)知識，也已經(jīng)了解了相關(guān)的方法原則，或者說已執(zhí)行了解題表的建議，卻仍不能有 效地解決問題，這不能不引起數(shù)學(xué)教育界的反思.（D波利亞構(gòu)建的 四階段”解題系統(tǒng)具有開創(chuàng)性的意義，但局限于 四階段”對學(xué)會 數(shù)學(xué)地思維” 而言是不是有點簡單化了 ？對數(shù)學(xué)問題解決全過程的探索可能比解題表所簡潔描述的復(fù)雜得多.（2）數(shù)學(xué)啟發(fā)法的現(xiàn)代復(fù)興及其所取得的成功，無論怎樣評價都不算過分，但啟發(fā)法能不能看 成影響問題解決能力的惟一要素？知識+啟發(fā)法”之外可能還有更多的因素需要重視（如無認(rèn)知調(diào) 節(jié)”、觀念”等），好念頭”的出現(xiàn)可能也需要從方法論的角度做出更為自覺的分析.G）波利亞從數(shù)學(xué)內(nèi)部研究數(shù)學(xué)問題解

32、決并強調(diào)解題實踐是一個值得繼承的研究方向（與那些連數(shù)學(xué)題都沒有出現(xiàn)的解題研究形成鮮明對照， 也與那些對中學(xué)教材作業(yè)題都不那么過關(guān)的研究者形 成鮮明對照），但局限于 解題”、專注于技能技巧是不是狹窄了點？至少 問題發(fā)現(xiàn)（提出）”、實際應(yīng) 用”都與解決問題有同樣的重要性.4 . 2 發(fā)展近十幾年來，通過反思和對解題實踐活動的深入考察， 數(shù)學(xué)教育界已經(jīng)在 問題解決”的全過程 和 高級數(shù)學(xué)思維”的內(nèi)外部機制等研究方面取得了新的進展， 中國式的 問題解決”也初成特色，這 些都構(gòu)成了對波利亞的超越.（1 ）美國學(xué)者舍費爾德在名著數(shù)學(xué)解題一書中，提出了一個新的理論框架，描述了復(fù)雜 的智力活動的四個不同性質(zhì)的

33、方面.認(rèn)識的資源.即解題者所已掌握的事實和算法；啟發(fā)法.即在困難的情況下借以取得進展的常識性的法則”；調(diào)節(jié).它所涉及的是解題者運用已有知識的有效性 （即現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)中所說的元認(rèn)知）；信息系統(tǒng).即解題者對于學(xué)科的性質(zhì)和應(yīng)當(dāng)如何去從事工作的看法.（2）中國的數(shù)學(xué)教學(xué)歷來重視解題訓(xùn)練、中國的數(shù)學(xué)教師歷來重視解題研究，20世紀(jì)80年代，隨著美國 問題解決”口號傳入中國，波利亞的解題理論受到了重視也得到了發(fā)展.早在20世紀(jì)40年代，波利亞的怎樣解題就曾有過中譯本 （周佐嚴(yán)譯，中華書局出版），到 60年代曾有人翻譯數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)但由于種種原因未能完成（見江澤涵.關(guān)于波利亞的怎樣解 題和數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)的一些往事.

34、中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) （皖），1983, 2, P. 4） , 8 0年代以來，波 利亞的三部著作都已翻譯發(fā)行，其中的解題觀點已成為許多同行研究解題的指導(dǎo)思想，國內(nèi)一些學(xué)者多次召開了波利亞數(shù)學(xué)思想的討論會，徐利治教授還提出研究波利亞的兩項重要任務(wù)：一是培養(yǎng)和造就一批波利亞型的數(shù)學(xué)工作者，二是按照波利亞的思想改革數(shù)學(xué)教材和教學(xué)方法（后來有“MM教育方式”的理論與實踐，見文8 ）. 20世紀(jì)90年代，張奠宙教授組織 數(shù)學(xué)教育高級研討班”， 提出 提倡問題解決”作為進一步改革中國數(shù)學(xué)教育 突破口 ”的設(shè)計（數(shù)學(xué)素質(zhì)教育設(shè)計.數(shù)學(xué)教學(xué)， 1993, 3）.這一切，促進了中國特色的解題研究（參見文6、7等），并

35、初步形成了 中國 的數(shù)學(xué)問題解決”特色.主要表現(xiàn)有：注重研究數(shù)學(xué)解題的思維過程：強調(diào)數(shù)學(xué)方法論研究；提倡數(shù)學(xué)解題策略研究；應(yīng)用問題、數(shù)學(xué)建模教學(xué)研究；開放題、情景題的教學(xué)研究及其在考試中的大規(guī)模運用；提倡探究性學(xué)習(xí)，進行問題教學(xué)”、情景教學(xué)”、開放性教學(xué)”.與此相關(guān)的是兩個舉世矚目的事實：1992年，國際教育成就評價" IAEP©表報告，在21個參加數(shù)學(xué)測試和科學(xué)測試的國家和地 區(qū)中，中國內(nèi)地以總平均80分的成績名列第一，領(lǐng)先于第二名的中國臺灣省和韓國7分之多.在參加國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽的 19年中（19852003）,中國中學(xué)生參賽104人次，得獎102 人次（得獎率達98%）,其中金牌77個（占