高等代數(shù)北大版第章習(xí)題參考答案

1、第 七 章 線 性 變 換1. ?判別下面所定義的變換那些是線性的，那些不是:1) ?在線性空間V中，A,其中V是一固定的向量;其中V是一2 22、3公 X3,X3).固定的向量;2) ?在線性空間V中，A3) ?在 P3 中，A(Xl，x2，x3)4) ?在 P3 中，A(Xi,X2,X3) (2X1X2,X2 X3,Xi)；5) ?在 PX中,Af (x) f(X 1) ；6) ?在Px中，Af(X) f(X0),其中X0 P是一固定的數(shù);7) ?把復(fù)數(shù)域上看作復(fù)數(shù)域上的線性空間，A 。8) ?在Pnn中，AX=BXB中B,C Pnn是兩個(gè)固定的矩陣解1)當(dāng) 0時(shí)，是；當(dāng) 0時(shí),不是。2)

2、當(dāng) 0時(shí)，是；當(dāng) 0時(shí),不是。3)不是.例如當(dāng) (1,0,0), k 2 時(shí)，kA( )(2,0,0), A (k ) (4,0,0),A(k ) kA( )o4)是.因取(xi,x2,x3),(y1,y2,y3)，有A() = a(Xi y1，X2 y2, X3 y3)(2xi2 y1X2y2 , X2 y2 X3 y3, X1 y1 )=(2x1 X2, X2 X3 , X1) (2y1 y2 , y2 y3, y1 )=A + A ,A(k ) A (kx1, kx2, kx3)=kA(),故A是P3上的線性變換。5)是.因任取 f(x) Px,g(x) Px,并令u(x) f(X) g

3、(X)則A( f ( x) g(x) = Au(x)=u(x 1) = f(x 1) g(x 1)=Af(x) + A(g(x), 再令 v(x) kf(x)則 A(kf(x) A (v(x) v(x 1) kf (x 1) k A( f (x),故A為Px上的線性變換。6)是.因任取 f(x) Px, g(x) Px則.A( f(x) g(x)=f(x0) g(x0) A(f(x) A(g(x),A(kf(x) kf(x0) kA(f(x)7)不是，但J如取 a=1,k=I ,則 A(ka)=-i , k(Aa)=i, A ka)kA(a)。BXC BYC AX +AY ,8)是，因任取二矩

4、陣 X,Y Pnn,則 A( X Y) B(X Y)CA(k X)= B(kX) k(BXC) k AX ,故 A是 Pn n 上的線性變換 2.在幾何空間中,取直角坐標(biāo)系oxy,以A表示將空間繞ox軸由oy向oz方向旋轉(zhuǎn)90度的 變換，以B表示繞oy軸向ox方向旋轉(zhuǎn)90度的變換，以C表示繞oz軸由ox向oy方向旋轉(zhuǎn)90 度的變換，證明：A4=B4=C4=E,AB BA,A2B2=B2A2 ,并檢驗(yàn)（AB） 2 =A2 B2 是否成立。解 任取一向量a=(x,y,z)，則有1) 因?yàn)锳a=(x,-z,y),A2a=(x,-y,-z)Ba=(z,y,-x),B2a=(-x,y,-z)Ca=(-y

5、,x,z),C2a=(-x,-y,z)A3a=(x,z,-y),A4a=(x,y,z) ，B3a=(-z,y,x),B4a=(x,y,z) ，C3 a=(y,-x,z),C4 a=(x,y,z) ，所以A4 =B4 =C4 =E。BA(a)= B(x,-z,y)=(y,-z,-x)2) 因?yàn)?AB(a)= A(z,y,-x)=(z,x,y) 所以AB BA。3)因?yàn)?A2 B2 (a)= A2 (-x,y,-z)=(-x,-y,z)，B2A2 (a)= B2 (x,-y,-z)=(-x,-y,z)所以A2 B2 =B2A23) 因?yàn)?(AB) 2 (a)=( AB)( AB(a)_= AB(z

6、,x,y)=(y,z,x)， A2 B2 (a)=(-x,-y,z)，所以 (AB) 2 A2B2。4) 在 Px 中， Af(x) f ' (x), Bf (x) xf(x)， 證明: AB-BA=E。證 任取 f (x) Px ， 則有- - _ . _ _ . _ . ' '( AB-BA) f(x) =ABf(x) -BA f (x) =A( xf (x) -B( f (x) = f (x) xf (x) - xf (x) = f (x)所以AB-BA=E。5) 設(shè) A,B 是線性變換，如果 AB-BA=E 證明：Ak B-BAk=kAk 1 (k>1)。

7、證 采用數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)k=2 時(shí)A2 B-BA2 =(A2 B-ABA)+(ABA-BA2)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA2=a， 結(jié)論成立。歸納假設(shè)k m時(shí)結(jié)論成立，即AmB-BAm = mAm1。則當(dāng)k m 1時(shí)，有Am 1 B-BAm 1 =(Am 1 B-Am BA)+(A m BA-BAm 1 )=A m (AB-BA)+(A m B-BAm)A=Am E+m Am 1A=(m 1)Am。即 k m 1 時(shí)結(jié)論成立. 故對(duì)一切k 1結(jié)論成立。5 .證明：可逆變換是雙射。證 設(shè)A是可逆變換，它的逆變換為 A1 若a b ,則必有Aa Ao,不然設(shè)Aa=A),兩邊左乘A

8、1 ,有a=b,這與條件矛盾。其次，對(duì)任一向量b,必有a使Aa=b,事實(shí)上，令A(yù)1b=a即可。因此，A是一個(gè)雙射。6 .設(shè)1, 2, n是線性空間V的一組基，A是V上的線性變換。證明：A是可逆變換當(dāng)且僅當(dāng)A 1,A 2, ,A n線性無(wú)關(guān)。證因 A( 1 , 2, n) = ( A 1,A 2, ,A n) = ( 1, 2, n ) A,故A可逆的充要條件是矩陣 A可逆，而矩陣A可逆的充要條件是A i,A 2, ,A n線性無(wú)關(guān)，故A可逆的充要條件是A i,A 2, ,A n線性無(wú)關(guān).。7 .求下列線性變換在所指定基下的矩陣：1)第 1 題 4)中變換 A在基 1=(1,0,0),2 =(0

9、,1,0),3=(0,0,1)下的矩陣；2) o;1, 2是平面上一直角坐標(biāo)系，A是平面上的向量對(duì)第一和第三象限角的平分線的垂直投影，B是平面上的向量對(duì)2的垂直投影，求A,B,AB在基1, 2下的矩陣；3)在空間Px n中，設(shè)變換A為f(x) f(x 1) f(x),1試求 A在基 i = x(x 1) (x 1 1)- (I=1,2,n-1)下的矩陣 A;i!4)六個(gè)函數(shù)1=eaxcosbx, 2=eaxsinbx,3=xeaxcosbx, 4=xeaxsin bx ,1 = 1x2eaxcosbx, 1 = 1eax x2sin bx,的所有實(shí)數(shù)線性組合構(gòu)成實(shí)數(shù)域上一個(gè)六維線性空2 2問(wèn)，

10、求微分變換D在基i(i=1,2,6)下的矩陣；5)已知P3中線性變換A在基1 =(-1,1,1),2 =(1,0,-1),3 =(0,1,1)下的矩陣是101110, 求 A在基 1=(1,0,0),2 =(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩陣；1216)在P3中，A定義如下：A1(5,0,3)A2(0,1,6),A 3( 5, 1,9)其中i (1,0,2)2(0,1,1),3(3, 1,0)求在基 1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩陣;7)同上，求A在1, 2, 3下的矩陣。解1)A 1 =(2,0,1)=21 + 3, A 2 =(-1,1,0)=-1+

11、 2 , A 3 =(0,1,0) 二21 0故在基1, 2,3下的矩陣為01110012)取 1= (1, 0),2 = (0, 1),則 A 1 = 一21 1故A在基1,2下的矩陣為A= 1 2。2 2_ 12 二211+2又因?yàn)锽 1=0, B 2= 2,所以B在基1,2下的矩陣為B= 0 0，另外，（AB）2二A （B 2）0 1=A _ 1=A2=2所以AB在基2下的矩陣為AB=12123）因?yàn)? 1, 1 x, 232!x(x 1) x (n 2)(n 1)!所以A 0 1 1 0,A 1 (x 1) x 0,A n1(x 1)x x (n 3)(n 1)!x(x 1) x (n

12、 2)(n 1)!x(x 1) x (n 3)(n 1)!(x1) x (n 2)0101所以A在基o,i, n 1下的矩陣為A104)因?yàn)镈 1 =a 1- b 2D 2=b 1-a 2, 6，D 3 = 1+a 3- b 4 ,D 4 = 2+b 3+a 4,D 5 = 3+a 5 -b 6 ,D 6 = 4+b 5+a 6 ，0000100。01abbaab10ba 01所以D在給定基下的矩陣為D= 00a b00ba000000005)因?yàn)? 1 , 2 , 3 )=( 1 , 213)111001 ，所以11111( 1, 2，3)=( 1 , 2, 3)011 =( 1 , 2,

13、3)X，101故A在基1, 2,3下的矩陣為1011111001121101101B=X 11AX= 10111121=220。13026)因?yàn)? 1 , 2 , 3 )=( 11032，3) 01121003)=A(13)02但已知A（3)3)7）因?yàn)椋?(3)J727273767 J7371717=(1, 23)574727720757187207272473) = (1,=(1, 28.在P2 2中定義線性變換A1(X)= cX, A2(X)=X,A2 (X)=A1, A 2, A 3在基 E11, E12, E 21 , E 22下的矩陣。解 因 A1 E11=a E11+cE12,

14、A1E12=a E12+c E 22,A1 E21 =bE11 +dE21 , A1 E22= bE21 +d E22,故 Ai 在基 E11, E 12, E 21 ,E 22下的矩陣為A1=b 0 d00b0d又因A2E11=a E 11+b E12, A2 E12= c E11+dE12,A2E21 = aE21+bE22, A2E22= cE21+d E22,故A2在基E11, E 12, E 21 , E 22下的矩陣為A2 =ab00c d00又因A3E11= a2E11+abE12+acE21 +bcE22，A3E12= acE11+adE12+c2 E21+cdE22，A3E2

15、1= abE11+b2 E12+adE21 +bdE22，A3E22 = bcE11+bdE12+cdE21 +d2 E22，故A3在基Eii , E 12, E 21, E 22下的矩陣為a2acabbcabadb2bdac2 cadcdbccdbdd2A3o3下的矩陣為9.設(shè)三維線性空間V上的線性變換A在基1,2,A=a11a12a21a22a31a32a13a23 ，a331)求 A 在基3, 2,1 下的矩陣；2)求 A 在基1,k 2, 3下的矩陣，其中且；3)求 A 在基12, 2,3 下的矩陣。1) 因 A 3=a33 3 +a23 2a13 1 ，A 2 =a32 3 a22

16、2a12 1 ，A 1 =a31 3 a21 2a11 1 ，故A在基3, 2,a33a32a31a23a22a21a13&2a11o1下的矩陣為B32)因 A 1二a11 1+ a21(k 2) a31 3 ，A (k 2)= k a12 1 + a22 (k 2) + ka32 3A 3 = a3 + 眨(k 2)+ a33k故A在1,k 2, 3下的矩陣為B2a11a21ka31ka12a22ka32a13a23oka333)因2 )=( a1a12)( 13)+( a21a22aia2) 2 +( a31 a32) 3,2 = a12 (12 ) + ( a22ai2)2 +a

17、32 3 ,3=a13(12 ) + ( a23a13)2 +a33 3，故A基12, 2,3下的矩陣為B3a21a11a22a3ia12a11a32a12a12a22a12a32a23a13a13 。3310.設(shè)A是線性空間V上的線性變換，如果Ak10,但 Ak=0,求證:,A , Ak 1 ( k>0)線性無(wú)關(guān)。證設(shè)有線性關(guān)系1112 A1kAk1°,用Ak 1作用于上式，得11 Ak 1 =0(!3An0 對(duì)一切 n k 均成立)又因?yàn)锳k 10,所以110,于是有12A13A21kAk10,再用Ak 2作用之，得12 Ak1 =0.再由，可得12=0.同理，繼續(xù)作用下去

18、，便可得1 1121k 0,即證，A , Ak1 (k>0)線性無(wú)關(guān)。11.在n維線性空間中，設(shè)有線性變換 A與向量 使得An 10,求證A在某組下的矩陣010是1。010證 由上題知, ,A , A2 , An 1 線性無(wú)關(guān)，故, A , A2 , An 1 為線性空間V 的一組基。又因?yàn)锳01 A0 A 2 +0 An1 ，A(A )=0 +0 A+1A 2 +0 An 1 ，A( An 1 ) =0 +0 A +0 A 2 +0 An 1，故 A 在這組基下的矩陣為0101。01012 設(shè) V 是數(shù)域 P 上 的維線性空間，證明：與V 的全體線性變換可以交換的線性變換是數(shù)乘變換。證

19、 因?yàn)樵谀辰M確定的基下，線性變換與n 級(jí)方陣的對(duì)應(yīng)是雙射，而與一切n 級(jí)方陣可交換的方陣必為數(shù)量矩陣kE,從而與一切線性變換可交換的線性變換必為數(shù)乘變換K。13 . A是數(shù)域P上n維線性空間V的一個(gè)線性變換，證明：如果 A在任意一組基下的矩陣都相同，那么是數(shù)乘變換。證 設(shè)A在基1, 2, , n下的矩陣為A=(aj),只要證明A為數(shù)量矩陣即可。設(shè)X為任一非 退化方陣，且(1 , 2 , n )=( 1 , 2, , n )X，則1, 2,L , n也是V的一組基，且A在這組基下的矩陣是X 1AX ,從而有AX=XA這說(shuō)明A 與一切非退化矩陣可交換。 若取X1n則由 AXi=XiA知 a。=0(

20、i j),即得a22a11A=ann再取01000010X2 =00011000由AX 2 = X 2 Ai,可彳馬a11a22ann。故A為數(shù)量矩陣，從而A為數(shù)乘變換14 .設(shè)1, 2, 3, 4是四維線性空間V的一組基，已知線性變換 A在這組基下的矩陣為10211213125522121) 求 A 在基 112 24 , 23 234 , 334 , 42 4 下 的矩陣； 2）求A的核與值域；3）在A的核中選一組基，把它擴(kuò)充為V的一組基，并求A在這組基下的矩陣；4）在A的值域中選一組基，把它擴(kuò)充為V的一組基，并求A在這組基下的矩陣 解 1） 由題設(shè) , 知10002300(1 , 2,

21、3, 4 )=( 1, 2, 3, 4 )，01101112故A在基1, 2, 3, 4下的矩陣為B=X 1AX =10 0 02 3 0 001 1 011 1 210211213125522 12100 0230 001 1 011 1 21031634037103402)先求A 1 (0).設(shè)X12x2x33x4A 1(0),它在1, 2, 3, 4下的坐標(biāo)為(在1, 2, 3, 4下的坐標(biāo)為(0,0,0,0,)，則1021不01213x2_01255x3-022 12x40因 rank(A)=2 ,故由x1 2x3 x403一一可求行基礎(chǔ)斛系為 X1 = ( 2, ,1,0) ,X2=

22、( 1, 2,0,1)若令1 =(4)X1,則1, 2即為A 1(0)的一組基，所以A 1 (0)= L( 1, 2)。再求A的值域AV。因?yàn)锳 1= 1232 4,A 2 =2 22 324,A 3 =2 12 5 34 ,A 4 3 = 1 3 2 5 3 2 4 ,rank(A)=2，故A 1 ,A 2, A 3, A 4的秩也為2,且A 1 ,A 2線性無(wú)關(guān)，故A 1 ,A 可組成AV的基，從而AV=L(A 1 ,A 2)4)由2)知1,2是A 1(0)的一組基,且知1, 2是V的一組基，又1, a 2)=(故A在基2下的矩陣為B=5 92 124)由2)知A易知A 1, A(A 1,

23、 A故A在基A23210102110211021301320121213220010125500100001221200011,1C=112 4,3,4) = (4是V的一組基,2 , 3, 4)0222001000014下的矩陣為001000011112022213521111022200100001592 00232 0015.給定P3的兩組基i(1,0,1)i(1,2,1)2(2,1,0)2(2,2,1),3(1,1,1)3(2, 1, 1)定義線性變換AA i= i(i =1,2,3),1)寫(xiě)出由基1, 2, 3到基1, 2, 3的過(guò)度矩陣；2)寫(xiě)出在基1, 2, 3下的矩陣；3)寫(xiě)出

24、在基1, 2, 3下的矩陣。(0,1,0),解 1)由(1, 2, 3 ) = ( 1, 2, 3 )X ,引入 P2 3o2 2 2)因 的一組基 e =(1,0,0),e2備=(0,0,1),則1, 2, 3)=( e11e2 , e3) 01=(e1,e2, e3)A,所以23)=( e1,e2, e3)1 =( e , e2, %)B=( e , e2, q)A 1 B，1故由基1, 2,3到基3的過(guò)度矩陣為1X=A 1B= 01323212A(3) = (3) = (3)323212323252故A在基1, 2, 3下的矩陣為4)因 A(1, 2,A= 1323。252故A在基16.

25、證明3)=A(1, 2,3)X二(1 , 2,3)X,1, 2,3下的矩陣仍為X.相似,其中(*2,in)是 1,2,n的一個(gè)排列。證設(shè)有線性變換A,使A( 1, 2 , n) = (n)=(1, 2,n) D1,i1 , i2 ,in ) = (i1 , i2in二(i1,i2, inD，in于是D1與D2為同一線性變換A在兩組不同基下的矩陣，故i2相似。n17.如果A可逆,證明AB與BA相似。in證 因A可逆，故A 1存在，從而A 1 (AB)A=( A1A)BA=BA 所以AB與BA相似。相似。.一 A18.如果A與B相似，C與D相似，證明： 0X 10X01這里1 =10Y 10 Y1

26、9.求復(fù)數(shù)域上線性變換空間 陣為：V的線性變換A的特征值與特征向量.已知A在一組基下的矩1)A=2)A=3)A=11111111111111114)A=5)A=6)A=7)A=解1)設(shè)A在給定基2下的矩陣為A,且A的特征多項(xiàng)式為22-5 -14=(7)(2),故A的特征值為7,-2。先求屬于特征值=7的特征向量。解方程組4x1 4x25x1 5x20一，1,它的基礎(chǔ)解系為,01因此A的屬于特征值7的全部特征向量為k 1 (k0),其中再解方程組5x15x1僅04x20它的基礎(chǔ)解系為4，因此A的屬于特征值-2的全部5特征響向量為k2(k0),其中2 =4 1 -5 2 02)設(shè)A在給定基2下的矩

27、陣為A,且當(dāng)a=0時(shí),有A=0,所以E2,故A的特征值為2=0o解方程組0X10X10X20X2它的基礎(chǔ)解系為0，因此A的1屬于特征值0的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量為故A以V的任一非零向量為其特征向量。當(dāng)a 0時(shí),2=(ai)(ai),故A的特征值為尸ai ,2 = - ai o當(dāng)產(chǎn)ai時(shí)，方程組aix1ax1aX20的基礎(chǔ)解系為iaix201,故A的屬于特征值ai的全部特征向量為k 1（k 0）,其中1=-i 1+ 2。當(dāng)2=- ai時(shí)，方程組aix1ax20ax1aix20的基礎(chǔ)解系為,故A的屬于特征值-ai的全部特征向量為k2 (k0),其中 2 = i 1+ 23）設(shè)A在給定基4下的矩陣為A

28、,因?yàn)槎?) 3(2),故A的特征值為2, 42時(shí)，相應(yīng)特征方程組的基礎(chǔ)解系為X1110 ,X201010,X310 ,故A的屬于特01征信2的全部特征向量為k1 1 + k2 2 + k(k1*2*3不全為零），其中1=1+2,2= 1 +2時(shí)，特征方程組的基礎(chǔ)解系為X41111,故A的屬于特征值-2的全部特征向量為k 4 (k0),其中 4 = 1- 2 - 34）設(shè)A在給定基3下的矩陣為A,因3 4 224 =(2)(故A的特征值為1=2,2=1+V3,當(dāng)1=2時(shí),方程組3x1x1x16x22x22x23x30x3 0的基礎(chǔ)解系為3x30,故A的屬于特征值2的全部特征向量為k 1 (k

29、0）,其中產(chǎn)2 1-(4 ，3)x1 6x當(dāng)=1 + J3時(shí)，方程組x1 (1 <3) x23x30X30的基礎(chǔ)解系為Xi2X2 (23)X3 031 ，故A的屬2 . 3于特征值1 + 43的全部特征向量為k 2 （k0)，其中 2=3 1- 2+(2 33) 3。(4=1-73時(shí)，方程組X1Xi.3)Xi 6x2 3x30(1 73)X2 X3 0的基礎(chǔ)解系為2x2 (2 .3)X3 031 ，故A的屬2 3于特征值1百的全部特征向量為k 3 （k0),其中 3=3 1 2+(2 內(nèi))305）設(shè)A在給定基1,3下的矩陣為A，因二（1)2(1),故A的特征值為1,1,方程組X1X1X3

30、X30的基礎(chǔ)解系為0，故A的屬于特征值1的全部特征向量為1 k2 2（k1,k2不全為零），其中當(dāng)31時(shí),方程組X1 X32X2X1 X300的基礎(chǔ)解系為0，故A的屬于特征值-1的全部特征向量為k 3（k0），其中316）設(shè)A在給定基3下的矩陣為A，因2(14) 二(.14i)(«4i)，故A的特征值為10,. 14i, 3v'14i o當(dāng)10時(shí)，方程組2x22x1X1X3 3x3 3X200的基礎(chǔ)解系為031，故A的屬于特征值0的全部特2征向量為k 1（k 0），其中12 3。當(dāng)2 Ji4i時(shí)，該特征方程組的基礎(chǔ)解系為6 . 14i r.2 3"14i，故A的屬于

31、特征值V14i的10全部特征向量為 k 2（k 0）,其中 2 （6 VT4i） 1 （ 2 3V14i） 2 10 3。6 . 14ii當(dāng)J14i時(shí),該特征方程組的基礎(chǔ)解系為2 3"14i，故A的屬于特征值 vUi10的全部特征向量為k 3（k 0）,其中3(6 14i) 1( 2 3、14i) 2 10 3。7）設(shè)A在給定基1, 2, 3下的矩陣為A,因2),00 =(1)2(2故A的特征值為12 1, 323當(dāng)12 1 ,該特征方程組的基礎(chǔ)解系為6，故A的屬于特征值1的全部特征向20量為 k 1(k 0),其中 13 1 6 2 20 3。0當(dāng)32,該特征方程組的基礎(chǔ)解系為0，

32、故A的屬于特征值-2的全部特征向量為1k 2（k 0）,其中 23o20.在上題中，哪些變換的矩陣可以在適當(dāng)?shù)幕伦兂蓪?duì)角形？在可以化成對(duì)角形的情況下，寫(xiě)出相應(yīng)的基變換的過(guò)度矩陣 T,并當(dāng)算T 1AT。解 已知線形變換A在某一組基下為對(duì)角形的充要條件是有 n個(gè)線形無(wú)關(guān)的特征向量，故上 題中1）6）可以化成對(duì)角形，而7）不能.下面分別求過(guò)渡矩陣To一.14 一一 . ， 、 ， 一 141)因?yàn)?1, 2) ( 1, 2) 4，所以過(guò)渡矩陣T= 14 ,15155T 1AT= 919493 4115 2192)當(dāng)a0時(shí)，已是對(duì)角型0時(shí),有（1, 2)T 1AT=i2 i21212過(guò)渡矩陣T=3）

33、因?yàn)椋?) = (3,4)T 1AT=4）因?yàn)椋ㄟ^(guò)渡矩陣5）因?yàn)椋?T 1AT6）因?yàn)椋?,T=12 0123) =(1,2,3)1 , 2,3) =(120123)( 1,2,2,3)3)ai00ai1 AT過(guò)渡矩陣T=.3過(guò)渡矩陣1T= 01，1114i3 14i10.14i3 14i ,1021000 50B，0 05即過(guò)渡矩陣為T(mén)=36 .14i614i12 3,14i2 3. 14i21010000且T1AT 0 、14i000. 14i21.在 Pxn(n>1)中，求微分變換D的特征多項(xiàng)式，并證明D在任何一組基下的矩陣都不可能是對(duì)角陣。2n 1解 取P岡n的一組基1,x, ,

34、., ,則D在此基下的矩陣為 2 (n 1)!010.0001.0D=,.000.1000.01 0 . 001 . 0從而 E D n,0 00 .1故D的特征值是0(n重)，且D的屬于特征值0的特征向量 只能是非零常數(shù)。從而線性無(wú)關(guān)的特征向量個(gè)數(shù)是1,它小于空間的維數(shù) 對(duì)角形。n,故D在任一組基下的矩陣都不可能是22.設(shè) A= 03 4 ,求 Ak。1解：因?yàn)?E A 004234(1)(5)(5),43故A的特征值為1 1, 25,5 ,且A的屬于特征值 1的一個(gè)特征向量為X (1,0,0) , A的屬于特征值5的一個(gè)特征向量為X2(2,1,2) , A的屬于特征值-5的一個(gè) 特征向量為

35、X 3 (1, 2,1)1 21于是只要記T=(X1, X2, X3)10 12，則 T 1AT0 21100且 B k05k000(5)k于是 Ak TBkT 112110k0 12 0 50 2100k 11251(05k 114(025k11(0100(5)k 00112552155k 1 k 1k1)54 ( 1)1kk 1k 11)2 51 ( 1)k 1K 1k1)54 ( 1)23.設(shè)1, 2, 3, 4是四維線性空間V的一個(gè)基,線性變換A在這組基下的矩陣為23211271） 求 A 的基 112234,221323,33,44 下的矩陣;2）求A的特征值與特征向量；3）求一可逆

36、矩陣T,使T1AT成對(duì)角形。12 0 0(1, 2 , 3, 4 ) X ，一 .一，2 3 0 0斛 1) 由已知行(1, 2, 3, 4)(1,2, 3, 4)111010 0 1故求得A在基1, 2, 3, 4下的矩陣為006510 054B=X AX7300-220052一 .c 12) A 的特征多項(xiàng)式為f( ) | E A | E B 2(-)(1)，所以A的特征值為i 2 0, 3 J 4 i。2A的屬于特征值0的全部特征向量為ki i k2 2,其中ki,k2不全為零，且A的屬于特征值i 一 . 、一一-的全部特征向重為k323,其中A的屬于特征值3）因?yàn)樗罂赡骊嚍門(mén)=24.

37、1)設(shè)34 i 2 23 +6i的全部特征向量為k4 4,其中k44)234) i0i i0i42i63ii22 3i0i i0i42i63ii2i AT為對(duì)角矩陣。2是線性變換A的兩個(gè)不同特征值,2是分別屬于2的特征向量，證明:i 2不是A的特征向量;2）證明：如果線性空間V的線性變換A以V中每個(gè)非零向量作為它的特征向量，那么 A是 菽乘變換。證i)由題設(shè)知A( i) i i, A( 2 )2 2 ,且 i 2 ,2是A的特征向量,則存在 0使A( i2) =A( i再由i, 2的線性無(wú)關(guān)性，知2 ,這是不可能的。2不是A的特征向量2)設(shè)V的一組基為1, 2,，口，則它也是A的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的

38、特征向量，故存在特征值 1, 2 ,., n, 使A( i) i i (i 1,2,., n)。由1)即知12n k。由已知，又有A( ) k ( V),即證A是數(shù)乘變換。25.設(shè)V是復(fù)數(shù)域上的n維線性空間，A, B是V上的線性變換，且 AB=BA ,證明：1) 如過(guò) 0 是 A 的一個(gè)特征值，那么V 0 是 B 的不變子空間；2) A， B 至少有一個(gè)公共的特征向量。證 1) 設(shè) V 0，則 A 0 ， 于是由題設(shè)知A(B )=B(A )=B( 0 )0(B )，故 B V 0 ，即證 V 0 是 B 的不變子空間。3)由1)知V。是B的不變子空間，若記B|V0=B0,則B0也是復(fù)數(shù)域上線性

39、空間Vo的一個(gè)線性變換，它必有特征值0, 使 B0B= 0B ( B V 0, 且 B 0)，顯然也有A(B)=° B,故B即為A與B的公共特征向量。26.設(shè)V是復(fù)數(shù)域上的n維線性空間，而線性變換 A在基1, 2,., n下的矩陣 是一若當(dāng)塊。證明：1) V中包含1的A子空間只有V自身；2) V中任一非零A子空間都包含口；3) V不能分解成兩個(gè)非平凡的 A子空間的直和。 證 1) 由題設(shè) , 知1A( 1, 2 ,., n )=( 1, 2 ,., n )，1A112A223A n1 n1 nan n設(shè)W為A子空間，且1W則A 1 W進(jìn)而有2 A 11 W A 2W，A22 W A

40、3W，A n1n 1W，故 W=L 1, 2,., n=V。2）設(shè)W為任一非零的A-子空間,對(duì)任一非零向量W,有不妨設(shè)10 , 則 A 1A 12A 2. nA n1 (12 )+ 2(23)+ + n n1 22 3. n 1 n W于是1223n1 n同理可得1324n2 n W ，1 n W從而n W即證V中任一非零的A-子空間W部包含3）設(shè)W，W2是任意兩個(gè)非平凡的 A子空間，則由2）知n W1 且 n W2 ,于是n W W2,故V不能分解成兩個(gè)非平凡的 A-子空間的直和。27求下列矩陣的最小多項(xiàng)式：300111) 0 1 0 ,2)31001131313131313001解1）設(shè)A

41、 0 10,因?yàn)锳2-E=0,所以2 1是A的零化多項(xiàng)式，但100A-E 0,A+E 0,故A的最小多項(xiàng)式為mA( )2 1。2)因?yàn)閒( ) | E A 4,所以A的最小多項(xiàng)式為，2, 3, 4之一，代入計(jì)算可得A 的最小多項(xiàng)式為mA( )2 °二補(bǔ)充題參考解答1.設(shè)A,B是線性變換，A2 = A, B 2=B證明：1)如果(A+B 2 =A+B 那么 AB=02)如果，AB=BA那么(A+B-AB)2=A+B-AB.證 1)因?yàn)?A2 = A, B 2 =B, ( A+B 2 =A+B由(A+B 2 =(A+B) (A+B尸 A 2 +AB+BA+ B2,故 A+B= A +AB

42、+BA+ B,即 AB+BA=0.又 2AB=AB+AB=AB-BA=2屆-B2 A= A2 B+ABA= A (AB+BA尸 A0=0所以AB=0.2)因?yàn)?A2 = A, B 2=B, AB=BA所以(A+B-AB)2 = ( A+B-AB) ( A+B-AB)=A2 +BA- AB A+ AB+ B2- AB 2 -A 2 B-BAB +ABAB=A+AB - AA B + AB+ B- AB-AB-ABB +AABB=A+AB - A B + AB+ B- AB-AB-AB +AB=A+B- AB。2 .設(shè)V是數(shù)域P上維線性空間，證明：由V的全體變換組成的線性空間是n2維的。證 因 E

43、J Em, E21,L , E2n,L , EM,L Enn 是 Pnn 的一組基，Pnn 是 n2 維的。V的全體線性變換與Pn n同構(gòu)，故V的全體線性變換組成的線性空間是 n2維的。3 .設(shè)A是數(shù)域P上n維線性空間V的一個(gè)線性變換，證明：1)在Px中有一次數(shù) n2的多項(xiàng)式f(x),使f(A) 0;2)如果f(A) 0,g(A) 0,那么d(A) 0,這里d(x)是f (x)與g(x)的最大公因式.；3) A可逆的充分必要條件是：有一常數(shù)項(xiàng)不為零的多項(xiàng)式f(xHf(A) 00證1)因?yàn)镻上的n維線性空間V的線性變換組成的線性空間是n2維的，所以n2+1個(gè)線2性變換An ,An 又 A(amA

44、m1 a1E) E,a0故A可逆。4.設(shè)A是線性空間V上的可逆線性變換。,、，A,E , 一定線性相關(guān)，即存在一組不全為零的數(shù)an2,an2 1,L ,4©0使an2 An +an2 1An 1+La1A+a0 E=0,22n n 1 .令 f(x) an2x an2 1x L ax a。，且 ai(i 0,1,2,L ,n2)不全為零， (f(x) ) n2。這就是說(shuō)，在Px中存在一次數(shù)n2的多項(xiàng)式”刈，使£3)00即證。2)由題設(shè)知 d(x) u(x)f(x) v(x)g(x)因?yàn)?f (A) 0,g(A) 0,所以 d(A) u(A)f(A) v(A)g(A)=0。3

45、)必要性.由1)知，在Px中存在一次數(shù)n2的多項(xiàng)式f(x)，使f(A) 0o即一 2一 2 (an2 An +an2 1 An 1+La1 A+a0 E=0,2一2 .右 a0 0,則 f(x) an2xan2 1x La1x a0 即為所求。右 a0 0 ,22an2 An +an2 1 An +La A+a0 E=0,因 A 可逆，故存在A 1,(A 1)j (Aj) 1也存在，用(Aj) 1右乘等式兩邊，得 an2An j +an2 1 An j 1 +, , +aj E=0 2n2 j令 f(x) an2 x+an2 1 x+- +aj (aj 0),即 f(x)為所求。充分性.設(shè)有一常數(shù)項(xiàng)不為零的多項(xiàng)式n2n2