高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提綱同濟(jì)大學(xué)下冊(cè)

1、一、考試題型1 .填空題6題2 .計(jì)算題8題二、知識(shí)點(diǎn)1.平面及其方程。例題：一平面過點(diǎn)(1 0 1)且平行于向量a (2 1 1)和b (11 0)試求這平面方程解 所求平面的法線向量可取為1 j kn a b 2 1 1 i j 3k 1 1 0所求平面的方程為(x 1) (y 0) 3(z 1) 0 即 x y 3z 4 02 .空間直線及其方程。例題求過占(2 0 3)且與直線 x 2y 4z 7 0垂直的平面方程1/、人工八、-Jc lc )亡金上二LHJ I 口 /J I 工3x 5y 2z 1 0解 所求平面的法線向量n可取為已知直線的方向向量即i j kn (1, 2,4) (

2、3,5, 2) 1 2 416i 14j 11k3 52所平面的方程為16(x 2) 14(y 0) 11(z 3) 0即 16x 14y 11z 65 0例題：求過點(diǎn)(3 1 2)且通過直線(號(hào)j的平面方程解所求平面的法線向量與直線丫 9的方向向量S1 (5 25211)垂直 因?yàn)辄c(diǎn)(3 1 2)和(4 3 0)都在所求的平面上所以所求平面的法線向量與向量S2 (4 3 0) (3 1 2) (1 4 2)也是垂直的因此所求平面的法線向量可取為i j kn s1 s2 5 2 1 8i 9j 22k 1 4 2所求平面的方程為8(x 3) 9(y 1) 22(z 2) 0即 8x 9y 22

3、z 59 03 .旋轉(zhuǎn)曲面。例題：將zOx坐標(biāo)面上的拋物線 z2 5x繞x軸旋轉(zhuǎn)一周求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程解將方程中的z換成G2得旋轉(zhuǎn)曲面的方程y2 z2 5x例題：將zOx坐標(biāo)面上的圓x2 z2 9繞z軸旋轉(zhuǎn)一周求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程解將方程中的x換成收得旋轉(zhuǎn)曲面的方程x2 y2 z2 94 .多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，隱函數(shù)求導(dǎo)。y例題：求函數(shù)z ex的全微分解 dz -z dx x-zdyyYdx x2-eyxdy x例題：設(shè)z u2ln vv 3x y2y求-z x解工上x u x v x1 u22ulnv 1 3y vxln(3x y2y)3x2(3x 2y)y22x2(3x 2y)y2

4、2ulnv(")近(2)2x2ln(3x 2y)y vy例題：設(shè)z ex 2y而xsin t yt3求里 dtdz _z dx _z dy dt x dt y dtex2ycost ex2y( 2)3t2ex 2y(cost 6t2) esint 2t3(cost 6t2)例題：設(shè) sin y ex xy2 0 求 dy dx令 F(x y) sin y ex xy2 則 Fx ex y2 Fy cos y 2xydyFx e2y2 y2exdxFycosy2xycosy2xy例題：設(shè) ln 舊一y2 arctan 求蟲 x dx解 令 F(x, y) In &一y7 arc

5、tan、則 xF 1 2x 1( _X) x yxx2y22k x2y21(y)2x2x2y2x1 2y11 yxy,x2y22, x2y21(y)2xx2y2xdyFx x ydxFy x y5.重積分(直角坐標(biāo)，極坐標(biāo))例題： (x2 y2)d其中 D (x y)| x| 1D解積分區(qū)域可表示為D 1x11 y 1181 3|y| 1于是2- 3 3X2-3X)dh3例題： xcos(x y)d 其中D是頂點(diǎn)分別為(0D0) ( 0)和()的三角形閉區(qū)域解積分區(qū)域可表示為D 0 x 0 y x于是,113x(2cos2x cosx)|00 (2cos2x cosx)dx 2例題：利用極坐標(biāo)

6、計(jì)算下列各題22(1) ex y d ，其中D是由圓周x2 y2 4所圍成的閉區(qū)域解在極坐標(biāo)下22d e00D ( d 2)|02 0 2所以2(e4 1)(e4 1)(3) arctan d Dx限內(nèi)的閉區(qū)域解在極坐標(biāo)下其中D是由圓周x2y2 4x2 y2 1及直線y 0 y x所圍成的第一象()04,12所以04 d64-204d15 .求曲頂柱體體積。例題：求由曲面z_ .22解由zx2?yx2 2y2及z 6 2x2 y2所圍成的立體的體積2 消去 z 得 x2+2y2=6 2x2 y2 即 x2 y2=2 故立體在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)閤2 y2 2因?yàn)榉e分區(qū)域關(guān)于x及y軸均對(duì)稱并且

7、被積函數(shù)關(guān)于 x y都是偶函數(shù)所以, 22 X2212 0 dx0(2 x2 y2)dy 80 J(2 x2)3dx 6例題：計(jì)算以xOy平面上圓域x2 y2 ax圍成的閉區(qū)域?yàn)榈锥郧鎧 X2 y2為頂?shù)那斨w的體積解 曲頂柱體在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)?D (xy)|x2 y2 ax在極坐標(biāo)下D ( , )| -2，0acos 所以V(x2 y2)dxdy2 dx2 y2 ax2acos02 cos4 d232a46常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法。例題：判定下列級(jí)數(shù)的收斂性 25 316 0dh解因?yàn)閚im(n 1)(n 4)122 nlim 丁1n n 5n 4而級(jí)數(shù)n1n2收斂故所給級(jí)數(shù)收斂(2

8、)sin2 sin22 sin3sin2nlim解因?yàn)閚sin _2n12nlim nsin 2n2n而級(jí)數(shù)1n 12n收斂故所給級(jí)數(shù)收斂322 22333nn 2n解級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為un3nn 2n因?yàn)?Un 1 .3n 1 n 2n 3 n 3 dlim lim -r lim 1n Un n (n 1) 2n 13n n 2 n 1 2所以級(jí)數(shù)發(fā)散n2 n 1 3n解因?yàn)閘imnun 1unlimn(n 1)2 3n3n 13所以級(jí)數(shù)收斂2n n! n 1 nn解因?yàn)閘im un- limn un n2n 1(n 1)!nn(n 1)n 1 2n n!所以級(jí)數(shù)收斂ntan；n1 2n 1解因

9、為lim unnunlimn(n 1)tan2intan/所以級(jí)數(shù)收斂)2312 limn(消)nlimU2n 121是絕對(duì)收斂還是例題：判定下列級(jí)數(shù)是否收斂？如果是收斂的條件收斂？(1)1 111(1)1 ,2、3、4解這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)（1）n U(1)n1：其中 Un :1 n、n因?yàn)轱@然Un Un+1并且lim unn0 所以此級(jí)數(shù)是收斂的又因?yàn)閨( 1)n %nln 1的p級(jí)數(shù)是發(fā)散的所以原級(jí)數(shù)是條件收斂的(1)n 1n 1 n3n 1解|(n 11)n*l3non 113因?yàn)?lim -3n- 1 1n n 3所以級(jí)數(shù)3n 1聲是收斂的從而原級(jí)數(shù)收斂并且絕對(duì)收斂7.哥級(jí)數(shù)。例題：求下

10、列哥級(jí)數(shù)的收斂域1 x 22（片1解nim |毅| nim "f）" nim忘21故收斂半徑為r 1n21因?yàn)楫?dāng)x 1時(shí) 事級(jí)數(shù)成為(1)n72是收斂的 當(dāng)X 1時(shí)n 2 n一一 1 工，帚級(jí)數(shù)成為1 n 1n2也是收斂的所以收斂域?yàn)? 12n 1解這里級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為Un(1尸狂Un 1x2n 3 2n 1.2因?yàn)閚im |丁| nim |2"行1 x2由比值審斂法當(dāng)x21即|X| 1時(shí)事級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂當(dāng)X2 1即|x| 1時(shí) 曷級(jí)數(shù)發(fā)散故收斂半徑為R 1n 1因?yàn)楫?dāng)x 1時(shí) 事級(jí)數(shù)成為n 1( 1) 277 是收斂的當(dāng)x 1n 11時(shí) 事級(jí)數(shù)成為° J

11、1) 點(diǎn)7 也是收斂的所以收斂域?yàn)?18.函數(shù)展開成事級(jí)數(shù)。例題：將下列函數(shù)展開成 x的哥級(jí)數(shù) 并求展開式成立的區(qū)間(1)sin2x解因?yàn)?sin2x 2 2cos2xcosx( 1)0上x (2n)!(所以.2sin2x1 12 2n(1)n(2x)2n o (2n)!c2n 1 2nx ()例題：將函數(shù)f(x)cos x展開成(x -)的曷級(jí)數(shù)解 cosx cos(x3 3 cos(x -)cos3 sin(x -)sin3將函數(shù)f(x)例題:因此10( °】磊(x 32n (21展開成(x 3)的哥級(jí)數(shù)(x -)2n 1(例題:1131 x 331)n(X)n (03將函數(shù)f(x)- x1_x 1f(x)f(x)X23x 213 (x 4)13n1)n(x 3)n ( 1 x 3 1)6)3x 21x-"21展開成(x