《高等數(shù)學Ⅰ》12級半期測試題(極限導數(shù))及答案

1、高等數(shù)學I半期練習題一.填空：(本題共10小題，每題2分，總分20分)_.cosx 1 .1、要使f(x) arccos(2)在乂 0處連續(xù)，應補充止義f(0) .x2、設(shè)y f(x) 生，則其反函數(shù)f 1(x)的導數(shù)f 1(x).1 x2 axsin x e 13、設(shè)f(x)x *x 0在x 0處連續(xù)，則a .a，當 x 04、若 x 0時 y f (x0x) f(x0)與 x(tan x cos2 x)為等價無窮小，則 f (x0) .5、設(shè)在0,1上f (x) 0,則f (0), ff(1) f(0)的大小順序為 , ox X 1c6、設(shè) f (x) (x 2)arctan x 2 x

2、2則左導數(shù) f .0, x 2,2 x227、f (x) ln(xx)je義域為 .x8、設(shè)(x) x3 3x 2, (x) c(x 1)n,且x1 時(x) (x)，則c , n .9、設(shè)f(x)可導，則 lim f(1 sinx) f(1 tanx).x 0x2 .10、設(shè) f (arctan x) 1 x ,則 f (x) .二.選擇：(本題共5小題，每題2分，總分10分)1 .下列函數(shù)彈性不為常數(shù)的是()，其中a , b ,均為常數(shù).aA. y ax b B. y axC.y-D.yx2 .設(shè)F(x) (x x)(ex x 1)( x ，則 F(x)().(A)是奇函數(shù)而不是偶函數(shù)(B

3、)是偶函數(shù)而不是奇函數(shù)(C)是奇函數(shù)又是偶函數(shù)(D)非奇函數(shù)又非偶函數(shù)、.n 1 ( 1)n n23 .設(shè)數(shù)列的通項為 ,則當n 時，是().n(A)無窮大量(B)無窮小量(C)有界變量，但不是無窮小(D)無界變量，但不是無窮大、 2x 皿 df( a2 x2)4 .已知 f (x)f2 則 一( ()a2 x2dx(A) -2(B) .J (C) 2x (D). .22222.a xx| : a x5.設(shè)f (x)的定義域為0,1,則f (x2 1)的定義域為().(A) 1,0(B) 2, 1U1,2 (C) 2, 1U1, .2 ( D) 1,1三.計算：體題共9小題.各6分，共54分）

4、1、顧(、.1 2 L n 、.1 2 L (n 1)2、求極限limx 0.1 xsin x . cosx3x 23、之 lim(x x 1ax b) 1,求 a, b.14、求極限 lim(cos x)x.5、設(shè) f(x) J2 (x 1)xx,計算f(x). arctanx6.設(shè)方程Jx2y2+ y arctane x確定y是x的函數(shù)，求y與y”.7.已知 f(x)arccosx, xax b, x0在x = 0處可導，求常數(shù)a,b.0&設(shè)f (x)滿足f (x)af3(x)，求 f(n)(x).9.設(shè)2 f (x) f (1) xx2,求f (x).四、應用：（共1小題，4分）設(shè)y a

5、x2與yln x相切，求a及切線方程.五、證明：（本題共2小題，每題6分，共12分）1.證明方程x5 7x ，區(qū)間（1,2內(nèi)至少有一個實根.2.若 lim f (x) 0,且 limx x。x x0f(x) A 0,證明：lim g (x) 0. g(x)x x0高等數(shù)學I半期練習題答案一.填空：(本題共10小題，每題2分，總分20分)cosx 1 .1、要使f(x) arccos(2)在* 0處連續(xù)，應補充te義 f(0)2(x 2)2x2、設(shè) y f(x)二之，則其反函數(shù)f 1(x)的導數(shù)f 1(x)1 x.2axsin x e 13、設(shè)f(x)x 3x 0在x 0處連續(xù)，則aa，當 x

6、04、若 x 0時 yf(x0x) f(x0)與 x(tan x cos2 x)為等價無窮小，則f (x。)1 .5、設(shè)在 0,1 上 f (x) 0,則 f (0), f(1), f(1) f (0)的大小順序為 f (0) f(1) f(0) f (1)16、設(shè) f(x) (x 2)arctanx-2，x 2,則左導數(shù) f Q).0, x 2,2TV 。 -7、f (x) ln(x2 x)定義域為6,0)U(1,&.x8、設(shè) (x) x3 3x 2, (x) c(x 1)n,且x1 時(x) (x)，則c 3, n 2 .9、設(shè)f(x)可導,則 limf(1 sinx) f(1 tanx)

7、 2f(1).x 0x10、設(shè) f (arctan x) 1 x2,則 f (x)2 tan xsec2 x .二.選擇：(本題共5小題，每題2分，總分10分)1 .下列函數(shù)彈性不為常數(shù)的是( A ),其中a , b ,均為常數(shù).aA. y ax b B. y axC.y-D.yx2 .設(shè)F(x) (x x)(ex x 1)( x ，則 F(x)( C ).(A)是奇函數(shù)而不是偶函數(shù)(B)是偶函數(shù)而不是奇函數(shù)(C)是奇函數(shù)又是偶函數(shù)(D)非奇函數(shù)又非偶函數(shù)、.n 1 ( 1)n n23 .設(shè)數(shù)列的通項為4 ,則當n 時，4是(D ).n(A)無窮大量(B)無窮小量(C)有界變量，但不是無窮小(

8、D)無界變量，但不是無窮大4.已知f (x)2x=2：則 xdf ( . a x )dxx2x (C)-x2(D)22.a x1(A) -2(B) 22.a x5.設(shè)f （x）的定義域為0,1,則（x2 1）的定義域為（C ）.(A) 1,0(B) 2, 1U1,2 (C) 、,2, 1U1, .2 (D) 1,1三.計算：體題共9小題.各6分，共54分）1、lim( J 2 L nnlimn,1 2 L (n 1) nlimn1-2-Ln%.12-Ln(n 1)n2 nlimn1T2n112 2n2、求極限lxm0.1 xsin x.1 xsin x, cosx2x1 xsin x cosx

9、x2(、1 xsin x . cosx)1 .一 lim2 x 01rl.-lim2 x 01 xsin x cosx2x xsin x 2- xlxm01 cosx2x4、 3x23、設(shè) lim( x xax b)1,求 a, b.lim(xlimx3x2 2x 123x2 2ax2 axxb)ax bx1lim x當3 當a 由b(3 a)x2 (b a)x 2 bx 1a 0M,上式3M,上式二ba 1,得 b 1,矛盾4、求極限 lim(cos、x)x 01 lim(cos x)x x 01 cos x 1lim(1 cos x 1)cos x 1 x x 01e 25、設(shè) f(x)

10、J2 (x 1)xx,計算f(x). arctanx設(shè)yxx,則yxx(ln x 1)設(shè)y2尸、1)2，則 ln ya arctan x1 3 2x(x 1)22y23ln 2 3 arctan x x 11rx ln 2 2ln( x 1) ln arctan x 312；(1 x )arctan xf (x) lj2X(x 1)2ln 2 2 xx(lnx 1)3 arctanx x 1 (1 x )arctanx arctany6.設(shè)方程Jx2y2e x確定y是x的函數(shù)，求y與y”.解:ey arctanx1 (-)2xyx y2x化簡得(x yy) x2y2yarctan e x(yx

11、 y)又y”2(xy y)(x y)2(1 y)(x y) (x y)(1 y)(x y)2將y代入上式化簡得2(x2 y2)(x y)27.已知 f(x)arccos x,ax b,x 0在x = 0處可導，求常數(shù)a,b .x 0解：因為f(x)在x = 0處可導必連續(xù)，所以踴 f (x)x 0lim f(x)x 0f(0)又因為f(x)在x = 0處可導，所以1fx 0也存在a, a 11f (0).arccosxlim+x 0 x(ax b)-lim 2x 0v8、設(shè) f(x)滿足 f (x) af 3(x)，求 f (x).2 一一 2 _ 5f (x) 3af (x) f (x) 3

12、a f (x)一2 _ 4_3 _ 7f (x) 3 5a f (x)f (x) 3 5a f (x)-_3_6_3一9f (x) 3 5 7a f (x) f (x) 3 5a f (x)L L L Lf (x) (2n 1)!anf(2n 1)(x)2 一9.設(shè)2 f (x) f(1) x ,求f (x). x2f出 x3f(x)f(x)2x2f (x)4x312xV f(x)寫 9x3 3x23x3四、應用:（共1小題,4分）設(shè)y ax2與yln x相切，求a及切線方程.設(shè)切點為(x0, y0),則ax2 lnx0, 2ax01-,axoXo所以切點為（信工）,斜率k 心，切線y 12 .g 2ln Xo3x2, Xo. e, a、. e)2e五、證明:（本題共2小題，每題6分,共12分）1.證明方程X5 7x ，區(qū)間（1,2內(nèi)至少有一個實根.設(shè) f(x) x57x 4,則他)在(由零值定理知在（1,2）至少存在一點)連續(xù)，又 f(1)10 0,使f( ) 0,即方程f(x)f(2)0即x5147x04有實根.2.若 li