用空間向量解立體幾何題型與方法

1、用空間向量解立體幾何題型與方法平行垂直問(wèn)題基礎(chǔ)知識(shí)直線l的方向向量為a= (ai, bi, ci).平面 a ,卩的法向量 u= (a3, b3, C3), v= (a4.b4, C4)(1)線面平行：l / a ? a丄u? a u= 0? aa3+ bb3+ oc3= 0(2)線面垂直：l 丄 a ? a / u? a= ku? a1 = ka3, b1= kb3, o = kC3(3)面面平行：a / 3 ? u/ v? u= kv? a3= ka4, b3= kb4, C3= kC4(4)面面垂直：a 丄卩? uX v? u v= 0? a3a4 + b3b4+ C3C4= 0例1、如

2、圖所示，在底面是矩形的四棱錐P- ABCDK P免底面ABCD E, F分別是PC, PD的中點(diǎn),PA= AB= 1, BC= 2.(1)求證：EF/平面PAB證明以A為原點(diǎn)，AB AD AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0) , F(0,0,1)1 1,所以 E 2 , 1 , 21uur1uuuuuuuuiuF0,1, 2 ,EF -2 , 0, 0 ,PB - (1,0 ,-1) , PD - (0,2 ,-1) , AP - (0,0,1)uuurUULTuuuAD=(020)DC-(1,

3、0,0),AB - (1,0,0).uuur1 uuuuuur uuur(1)因?yàn)镋F2 AB ,所以EF / AB ,即 EF/ AB又AB?平面PABEF?平面PAB所以EF/平面PABuuuuuuuuuruuur(2)因?yàn)锳P DC - (0,0,1) (1,0,0) - 0 ,AD DC - (0,2,0) (1,0,0) - 0 ,uuuuuiruuur uuur所以AP丄DC ,AD 丄 DC,即AP丄DCADL DC求證：平面 PADL平面PDC又APH AD=代 AP?平面PAD AD?平面PAD所以DCL平面PAD因?yàn)镈C?平面PDC所以平面PADL平面PDC使用空間向量方法

4、證明線面平行時(shí)，既可以證明直線的方向向量和平面一條直線的方向向量平行，然后根據(jù)線面平行的判定定理得到線面平行，也可以證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；證明面面垂直既可以證明線線垂直，然后使用判定定理進(jìn)行判定，也可以證明兩個(gè)平面的法向量垂直例2、在直三棱柱 ABC ABC中，/ ABG= 90°, BC= 2, CG= 4，點(diǎn)E在線段BB上, 且EB= 1, D, F, G分別為CC, CiB, GA的中點(diǎn).求證：(1) BD丄平面ABD(2)平面EGF/平面 ABDx軸、y軸、z軸建立空間證明：(1)以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA BC BB所在的直線分別為直角坐標(biāo)系，如圖所示，則B(0,

5、0,0) , Q0,2,2) , B(0,0,4)，設(shè) BA= a,則 A( a, 0,0),uuuuuuUUUU所以 BA = (a, 0,0) , BD = (0,2,2) , B1D = (0,2 , - 2),uuuu uuu uuuu uuuB1D BA = 0, B1D BD = 0+ 4-4= 0，即 BD丄 BA BDL BD又BAG BD= B,因此BD丄平面ABDauuur auuur(2)由(1)知，E(0,0,3), G2 ,1 , 4 , F(0,1,4)，則 EG= q,1 , 1 , EF= (0,1,1)uuuu uuuruuuu uuurB1D EG = 0+

6、 2-2 = 0 , B1D EF = 0+ 2 2= 0,即 BDL EG BD丄EF又EGG EF= E,因此BD丄平面EGF利用空間向量求空間角基礎(chǔ)知識(shí)結(jié)合(1)可知平面 EGF/平面ABD(1)向量法求異面直線所成的角：若異面直線a , b的方向向量分別為a , b,異面直線所成| a - b|的角為 0 ,則 cos 0 = |cos a , b> | = | 列向量法求線面所成的角：求出平面的法向量 n ,直線的方向向量a,設(shè)線面所成的角為0 ,則 sin 0 = |cos n, a| =| a|(3)向量法求二面角：求出二面角In| a|a I - 3的兩個(gè)半平面a與卩的法

7、向量ni, n2,若二面角a I 3所成的角0為銳角，貝U cos 0 = |cos ni, n2> | =1 Ml n2| 若二面角a I 3所成的角0為鈍角，貝U cos 0 = |cos ni, n2| = 巴.1 ni11 M 例 1、如圖，在直三棱柱 ABC- ABC中, ABLAC AB= AC= 2, AiA= 4,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn).(1) 求異面直線AiB與GD所成角的余弦值；(2) 求平面ADC與平面ABA所成二面角的正弦值.解(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ) xyz，貝U A(0,0,0),巳2,0,0),C(0,2,0) , D(1,1,0)uu

8、uruuuu,A(0, 0,4) , G(0,2,4)，所以 A1B = (2,0 , 4) , CD=(1 , 1, 4).uuuu因?yàn)?cos A1 B ,uuuuC1DuurnA1B -utwuuuu GD18uuuu =3 ：10 uuuu uuuu | . ,| A1B | C1D|20x 1810所以異面直線 AB與CD所成角的余弦值為3 1010uuuruuuu 設(shè)平面 ADC的法向量為 n1 (x , y , z),因?yàn)?AD (1,1,0) , AC1 (0,2,4)uuuruuuu所以 n1 AD 0 , n1 AC1 0,即 x + y 0 且 y+ 2z 0,取 z 1

9、,得 x 2 , y 2,所以，m (2 , 2,1)是平面ADC的一個(gè)法向量.取平面ABA的一個(gè)法向量為 住一(0,1,0).設(shè)平面ADC與平面ABA所成二面角的大小為 0 .由 |cosn1 n20 | 0 | n1|n2|-,9X ；1-3，得 sin因此，平面 ADC與平面ABA所成二面角的正弦值為例 2、如圖，三棱柱 ABC ABC 中，CA= CB AB= AA , / BAA 60° .(1)證明：AB! A C 若平面ABCL平面 AABB, AB= CB求直線 A C與平面BBG C所成角的正弦值.解(1 )證明：取 AB的中點(diǎn)Q連接OC OA, AB因?yàn)镃A= C

10、B所以O(shè)CL AB由于AB- AA, / BAA 60 ° ,故厶AAB為等邊三角形，所以 OAL AB因?yàn)镺6 OA O,所以ABL平面 OAC又 AC?平面 OAC,故 AEL AQ.(2)由(1)知OC AB, 0A丄AB又平面ABCL平面AABB，交線為AB,所以O(shè)CL平面 AABB,故OA OA, 0C兩兩相互垂直.uuuuuu以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA的方向?yàn)閤軸的向，| OA |為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 O xyz. 由題設(shè)知 A(1,0,0) , Ai(0 , '3, 0) , Q0,0 , ：3),耳1,0,0).uuuruuuu uuiuuuiw則

11、 BC = (1,0 , )3) , BB1 = AA1 = ( 1, ,3 0) , A1C = (0 , , ；3).設(shè)n= (x , y , z)是平面BBCC的法向量,uuurn BC = 0 , 則 uuunn BB1 = 0.x +3z= 0 ,x+ i - 3y = 0.可取 n= ( :'3 , 1 ,1).故cosuuua n , ACuuunn AC 10=uuuu =.I nil A1C |運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求空間角的一般步驟：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)； 寫出向量坐標(biāo)；結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算；轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論. 求空間角應(yīng)注意： 兩條異面直線所成

12、的角 a不一定是直線的方向向量的夾角卩,即COS a = |cos卩|. 兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，有可能兩法向量夾角的補(bǔ)角為所求. 例 3、如圖，在四棱錐 S- ABCD , ABL AD AB/ CD CD= 3AB= 3 , 平面SADL平面ABCD E是線段 AD上一點(diǎn)，AE= ED= 3 , SEL AD(1) 證明：平面 SBEL平面SEC(2) 若SE= 1,求直線CE與平面SBC所成角的正弦值.所以AQ與平面BBCC所成角的正弦值為解： 證明：平面 SAD_平面 ABCD平面SADH平面 ABC9 AD，SE?平面SADSEL AD SE1平面 ABCD / B

13、E?平面 ABCD： SEI BE / AB丄 AD AB/ CDCD= 3AB= 3, AE= ED= 3，/ AEB= 30°,/ CED= 60° .BEC= 90°,即 BE! CE又 SEH CE= E,： BE!平面 SEC / BE?平面 SBE平面SBEL平面SEC 由知，直線ES EB EC兩兩垂直.如圖，以 E為原點(diǎn)，EB為x軸，EC為y軸,ES為 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系則E(0,0,0) , C(0,23, 0) , S(0,0,1) , B(2,0,0)，所uuu_ uuu-uir_以 CE= (0，- 2 3,0) , CB= (2

14、, - 2 3,0) , CS= (0 , - 2 3 ,1).設(shè)平面SBC的法向量為n= (x, y , z),uuun CB = 0 , 則 uurn CS = 0.2x-2 3y = 0 , 2叮3y + z = 0.令 y = 1,得 x =3 , z = 2 3 ,則平面SBC的一個(gè)法向量為 n= ( .3 , 1,23).設(shè)直線CE與平面SBC所成角的大小為0 ,則sinuuun CE 1 sum =70= | n| |CE|4'故直線CE與平面SBC所成角的正弦值為4.例4、如圖是多面體 ABC ABG和它的三視圖.(1)線段CG上是否存在一點(diǎn) E,使BE!平面AQG?若

15、不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由，若存在,請(qǐng)找出并證明;(2)求平面CAiC與平面AQA夾角的余弦值.解：(1)由題意知AA, AB, AC兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則A(0,0,0),uuiwuuuirA(0,0,2)，政一2,0,0) , C(0，- 2,0) , C( 1, - 1,2)，則 CC1 = ( 1,1,2) , A1C1 =(uuuiuuu1, 1,0) , A1C = (0， 2, 2) 設(shè) E(x, y, z)，則 CE = (x, y + 2 , z),uuuruuu uuuuEC1 = ( 1 x, 1 y, 2 z) 設(shè) CE =入 EC1 (入 >0),

16、x =入一入x ,則y + 2 =入一入y ,z= 2入一入z ,則 E 二 三二1 2 則E 1 +入'1 +入,1 +入'uuu2+ 入BE =寸，2入 2入1 + 1，1+ 入auuuuuuirBE A1C1 = 0 , 由 uuu uuuaBE A1C = 0 ,2+1 2+1 _1+1 + 1+ 1 0 ,2 1 2 11+ 1 +1+ 1 0,解得1 = 2,uuu uuuu所以線段CC上存在一點(diǎn)E, CE = 2 EC1，使 BE!平面 ACC.uuuirm- A1C1 = 0, 設(shè)平面GAC的法向量為m= (x , y , z),則由 uuum- A1C = 0

17、 ,xy=0,2y 2z= 0 ,取 X = 1,則 y= 1, z= 1.故 m (1 , - 1,1),而平面 ACA的一個(gè)法向量為 n= (1,0,0),nr n1 xf3則cos m n= | n n =3，故平面CA1C與平面AQA夾角的余弦值為 有.利用空間向量解決探索性問(wèn)題例1、如圖1，正厶ABC的邊長(zhǎng)為4, CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC和 BC邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將 ABC沿 CD翻折成直二面角 A- DG B(如圖2).(1)試判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由;求二面角E- DF C的余弦值；(3)在線段BC上是否存在一點(diǎn)P,使APL DE如果存在,BP求出BC

18、的值;如果不存在,說(shuō)明理由.(1)在厶 ABC中，由 E,F分別是AC BC中點(diǎn)，得EF/ AB 又 AB?平面 DEF EF平面DEF二AB/平面DEF以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線DB DC DA分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,2),B(2,0,0),Q0, 2 3 , 0) ,E(0,3 , 1) ,F(1, .3 , 0),廠uuur廠uuu=(1 , ,3 , 0) , DE = (0 ,3 , 1), DA = (0,0,2).uuu平面CDF的法向量為 DA = (0,0,2).設(shè)平面EDF的法向量為n= (x , y , z),UULT DFUULTDF n

19、= 0 ,x+ 3y = 0 ,則uult即取 n= (3, .3 , 3),DE n= 0 ,3y + z = 0 ,UUULLcos DA , n= DLL n =_21 ,所以二面角 E- DF C的余弦值為 亠弓 I DA| n|77D芝=3t 2= 0 , t =UUUUUIL存在.設(shè) P(s , t, 0),有 AP = (s , t , 2),則 APuuu uuuBP / PC , (S 2)(2 ,;3 t)uuruuu又 BP = ( S 2, t, 0) , pC = ( s, 2 : 3 t, 0),=st ,/34 uuu 1 uuu :3s +1 = 2.3 把 t

20、 = 3-代入上式得 s= 3, BP = 3 BC ,在線段BC上存在點(diǎn)P,使API DE 此時(shí)，獸=3.BC 31 空間向量法最適合于解決立體幾何中的探索性問(wèn)題，它無(wú)需進(jìn)行復(fù)雜的作圖、 論證、推理，只需通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷2 解題時(shí)，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問(wèn)題 轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定圍的解”等，所以為使問(wèn)題的解決更簡(jiǎn)單、有效， 應(yīng)善于運(yùn)用這一方法例2、.如圖所示，在直三棱柱 ABG AB1C中，/ AC= 90°，AA= BC= 2AC= 2.(1) 若D為AA中點(diǎn)，求證：平面 BCDL平面BCD(2) 在AA上是否存在一點(diǎn) D使

21、得二面角 B- CD C的大小為60 °?解：(1)證明：如圖所示，以點(diǎn) C為原點(diǎn)，CA CB CC所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系則q0,0,0) ，A(1,0,0) ，B1(0,2,2) ，G(0,0,2) ，Q1,0,1)，IfPlDruuiuruuuuuuu即 C.B, = (0,2,0) ，DC, = ( 1,0,1) ，CD = (1,0,1) uuuiruuruuuiruuu由 C1B1 CD = (0,2,0) (1,0,1) = 0 + 0+ 0= 0，得 C1 B1 丄 CD，即 C1B1 丄 CDuuur uuuuuuu uuu由 DC1 CD =

22、( 1,0,1) (1,0,1) = 1 + 0 + 1= 0,得 DC1 丄 CD，即 DC丄CD又DGn CB1= C，. CD!平面BCD.又CD?平面BCD二平面 BCDL平面 BCD(2)存在當(dāng)AD=¥AA時(shí)，二面角 B- CD C的大小為60° .理由如下：uuuuuir設(shè) AD= a,則 D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0 , a), CD = (1,0 , a), CB, = (0,2,2),設(shè)平面BiCD的法向量為mi= (x, y, z),uuur2y+ 2z = 0,x + az= 0,令 z= 1,得 m= (a, 1, - 1).mr CB, = 0 則 uuum

23、r CD = 0uuuuurr| m- CB I 11又 CB = (0,2,0)為平面 CCD的一個(gè)法向量，則 cos 60°= uu = . 2=-,im | CB | 寸a + 2 2解得a=,2(負(fù)值舍去)，故AD= 2 =.在AA上存在一點(diǎn)D滿足題意.建系由條件知AC丄BD>DB AC分別為x, y軸PAL面 ABCD>寫出A, B, C, D坐標(biāo)>空間直角坐標(biāo)系建立的創(chuàng)新問(wèn)題空間向量在處理空間問(wèn)題時(shí)具有很大的優(yōu)越性，能把“非運(yùn)算”問(wèn)題“運(yùn)算”化，即通過(guò)直線的方向向量和平面的法向量解決立體幾何問(wèn)題.解決的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一就是建立空間直角坐 標(biāo)系，因而建立空間直

24、角坐標(biāo)系問(wèn)題成為近幾年試題新的命題點(diǎn).一、經(jīng)典例題領(lǐng)悟好例 1、如圖，四棱錐 P- ABCDK PA±底面 ABCD BC= CD= 2, AC= 4,n/ ACB=Z ACD=£, F 為 PC的中點(diǎn)，AF丄 PB3(1)求PA的長(zhǎng)；求二面角B- AF- D的正弦值.(1)學(xué)審題一一審條件之審視圖形PF= CFAF丄 PBuuuruuu設(shè)P坐標(biāo) > 可得F坐標(biāo) > AF PB = 0得P坐標(biāo)并求 PA長(zhǎng).uuuruuiruuu(2) 學(xué)審題由 (1) t AD, AF, AB的坐標(biāo)向量m ,住分別為平面FAD平面FA啲法向量uuuuuir>n1 AD =

25、 0 且 n1 AF = 0求得 n1 n2t求得夾角余弦.解(1)如圖，連接BD交AC于 Q因?yàn)锽C= CD即厶BCD為等腰三角形，又 AC平分 uuu uuu uuu/ BCD故ACL BD以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB, OC , AP的方向分別為x軸，y軸，z軸的向，n建立空間直角坐標(biāo)系 O xyz ,貝y OC= CDos = 1.而AC= 4,得 AO- AC OC= 3.又OD=3CDin n=W ,故 A(0, - 3,0) , B(V3 , 0,0) , C(0,1,0) , D-芒,0,0).zuuur因PAL底面ABCD可設(shè)R0 , 3 , z) 由F為PC邊中點(diǎn)，知F0 , 1

26、, ?.又AF =z uuuuuur0, 2, 2 , PB = ( 3 3, - z) , AFL PB 故 AFuuuz2PB = 0，即 6- = 0, z = 2 '3(舍去-2 ,：3),uuuL所以 I PA | = 2 ,.'3.uuur luuu 廠uuur(2)由知 AD= ( ：33,0) , AB= ( ：3,3,0) , AF= (0,2 , ,：3).設(shè)平面FAD的法向量為ni=(xi ,yi ,zi),平面FAB的法向量為圧=(X2 ,y2,Z2),uuuuuir-/3xi + 3yi= 0 ,廠由 ni AD = 0 , ni AF = 0,得：因

27、此可取 ni= (3 , ：3 , - 2).2yi + 護(hù)zi= 0 ,uuuruuur>/3x2 + 3y2= 0 ,由 n2 AB = 0 , n2 AF = 0,得故可取 n2= (3 , :3, 2).2y2 + 3z2= 0 ,故二面角B- AF D的正弦值為3.、78ni n2i| ni| | n2|8從而法向量ni , n2的夾角的余弦值為 cosni , n2建立空間直角坐標(biāo)系的基本思想是尋找其中的線線垂直關(guān)系本題利用ACL BD ,若圖中存在交于一點(diǎn)的三條直線兩兩垂直，則以該點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系在沒(méi)有明顯的垂直關(guān)系時(shí)，要通過(guò)其他已知條件得到垂直關(guān)系，在此基礎(chǔ)上選

28、擇一個(gè)合理的位置建立空間直角坐標(biāo)系，注意建立的空間直角坐標(biāo)系是右手系，正確確定坐標(biāo)軸的名稱BE例2、如圖，在空間幾何體中，平面ACDL平面ABC AB= BC= CA= DA= DC= BE= 2.與平面ABC所成的角為60°,且點(diǎn)E在平面ABC的射影落在/ ABC的平分線上.求證：DE/平面ABC(2)求二面角E- BG A的余弦值.解：證明：(1)易知 ABC ACD都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,取AC的中點(diǎn) O 連接BQ DO貝U BOLAC DOLAC ：平面 ACD-平面 ABC DC丄平面ABC作EF丄平面ABC則EF/ DO 根據(jù)題意，點(diǎn) F落在BO上 ,/ EBF= 60

29、° ,易求得EF= DO=_ 3，四邊形 DEF促平行四邊形， DE/ OF/ DE?平面 ABC OF?平面 ABC - DE/ 平面 ABC 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O xyz ,可求得平面 ABC勺一個(gè)法向量為 m= (0,0,1).可得 C 1,0,0) , 00,3 , 0) , E(0,3 1,3),則 CCB = (1 ,3 , 0),uiuBE = (0 , -，3)uiuruuur設(shè)平面 BCE的法向量為 n2= (x , y , z),則可得 n2 CB = 0 , n2 BE = 0 ,即(x, y , z) (1 ,3 , 0) = 0 , (x ,|n

30、1| | n2|帀.y, z) (0 ,-1,3)=0,可取 n2= ( 3 ,3 , 1).故 cos ni , n2ni ni又由圖知，所求二面角的平面角是銳角,故二面角E- BG專題訓(xùn)練1 .如圖所示,在多面體 ABCB A B C D中，上、下兩個(gè)底面 ABCD和ABCDS相平行，且都是形,DD丄底面 ABCD AB/ A Bi, AB= 2A B = 2DD= 2a.(1 )求異面直線AB與DD所成角的余弦值; 已知F是AD的中點(diǎn)，求證： FB丄平面BCCB .解：以D為原點(diǎn)，DA DC DD所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(2a,0,0) , B(

31、2a,2a, 0), C(0,2 a,0) , D (0,0 , a),F(a, 0,0) , B(a, a,a), C(0 , a, a).uuuuuuuuuuuu(1) t AB1 = ( a, a, a) , DD1 = (0,0 , a) , cos AB1uuuu,DD1uuuu uuuurAB1 DD1tWEuuuu| AB1 | I DD1 I所以異面直線AB與DD所成角的余弦值為T-3.3uuunuuu 證明：T BB1 = ( a, a , a), BC = ( 2a, 0,0),uuurFB1 = (0 , a, a),uuur uuuuFB1 BB1 = 0, uuur

32、uuuFB1 BC = 0. FB 丄 BB, FB 丄 BC/ BBQ BC= B,. FB 丄平面 BCCB .2.如圖，在三棱柱 ABC A B C中，AAC C是邊長(zhǎng)為4的形，平面AB= 3, BC= 5.求證：AA丄平面ABC求二面角 Ai- BO B的余弦值;(3)證明：在線段BC上存在點(diǎn)D,使得A丄AB,并求豆的值BC的值解：(1)證明：因?yàn)樗倪呅?AACC為形，所以AA丄AC因?yàn)槠矫?ABCL平面AACC,且AA垂直于這兩個(gè)平面的交線 AC所以AA丄平面ABC 由(1)知AA丄AC AA丄AB 由題知AB= 3, BC= 5, AC= 4，所以AB丄AC如圖，以A為原點(diǎn)建立空間

33、直角坐標(biāo)系A(chǔ)- xyz，則耳0,3,0), A(0,0,4), B(0,3,4),C(4,0,4),uuuuA1B = (0,3 , 4),uuurAG = (4,0,0)設(shè)平面AiBC的法向量為n= (x, y, z),uuunn A1B = 0, 則 uuuun A1C1 = 0.即3y4z=0, 4x = 0.令 z = 3,則 x= 0, y= 4，所以 n= (0,4,3)同理可得，平面 BBC的一個(gè)法向量為m= (3,4,0)所以 cos n, m=富 16| n| m25'由題知二面角 A- BC- Bi為銳角，所以二面角A- BG B的余弦值為2|.25證明：設(shè)D(x,

34、 y, z)是直線BC上一點(diǎn)，且uuu uuuuBD = X BC1 .所以(x, y 3, z)=入(4 , - 3,4) 解得x= 4 入，y= 3 3 入，z = 4 入.uuur所以AD = (4uuu入，3 3入，4入).由ADuuuu-A1B = 0,即卩9 25入=0,解得9X= 2?因?yàn)?25c 0,1，所以在線段BC上存在點(diǎn)D,使得 ADL AiB.BD此時(shí)，BCC=入925.3.如圖(1)，四邊形 ABCDh E是 BC的中點(diǎn)，DB= 2, DC= 1, BC= 5, AB= AD= 2.將圖(1)沿直線BD折起，使得二面角 A- BD C為60°，如圖(2).求

35、證：AE!平面BDC 求直線AC與平面ABD所成角的余弦值.解： 證明：取BD的中點(diǎn)F,連接EF,AF,則AF= 1,EF=AFE= 60°由余弦定理知 AE=”2+ 1 2 2X 1X 2cos 60/ AE+ EF= aF,. AEL EF AB= AD F 為 BD中點(diǎn)BDLAF 又 BD= 2,DC= 1,BC= 5,.bD + dC= bC,即BDL CD又E為BC中點(diǎn),EF/ CD - BDL EF 又 EFA AF= F, BDL平面 AEF 又 BDL AE/ BE EF= F,. AE!平面 BDCA0, 0，C 1,2, 0B1,-2, 0 ,1UUlUuuuD

36、1,-2,0,DB=(2,0,0),DA =設(shè)平面ABD勺法向量為n= (x, y,z),uuur2x= 0,n DB =0由uuur得13n DA =0x+y+p：=0 ,以E為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則11則 y = 3,又取 z =3,11 _i, 2,n= (0， 3,3) 3 UUUT2 , AC =1,2,-i3- cos n,uuurACuuur nAC=uuur =| n| AC |故直線AC與平面ABD所成角的余弦值為-404如圖所示，在矩形 ABCDK AB= 3店,AD= 6, BD是對(duì)角線，過(guò)點(diǎn) A作AE! BD垂 足為Q交CD于 E,以AE為折痕將厶ADE向

37、上折起，使點(diǎn) D到點(diǎn)P的位置，且PB 41.(1)求證：PC!平面ABCE求二面角E- AP B的余弦值.解：(1)證明：由已知得AB= 3 5 , AD= 6, BD= 9.在矩形 ABCD中 , / AE1 BD Rt AOD Rt BADDO ADAD= BD DO= 4， BO= 5.在厶 POB , PB= .41 ,PO= 4 , BO= 5, PO+ BO= PB , PC! OB 又 POL AE, AEH OB= 0, PC!平面 ABCE(2) T BO= 5,. AO= AB OB= 2 5.以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則只0,0,4)uuuuuuPA =

38、(25 , 0, 4) , PB = (0,5 , 4).,A(2 . 5 , 0,0)n1 設(shè)n1= (x , y , z)為平面APB的法向量.則n1 uuuPA = 0 , uuuPB = 0 ,即 2,5x-4z= 0,5y 4z = 0.取x = 2 5得ni = (2 5 , 4,5).又 壓=(0,1,0)為平面AEP的一個(gè)法向量,461 cos n1 , n2 > = 一，In 1| 1 n2| 詬x 161故二面角E- AP B的余弦值為*卩.ni n25.如圖，在四棱錐 P- ABCD ,側(cè)面 PADL底面 ABCD側(cè)棱 PA= PD= 2 , PAL PD面ABC助

39、直角梯形，其中 BC/ AD ABL AD，AB= BC= 1, O為AD中點(diǎn).(1) 求直線PB與平面POC所成角的余弦值；(2) 求B點(diǎn)到平面PCD的距離；(3)線段PD上是否存在一點(diǎn)Q使得二面角Q AG D的余弦值為 罟?若存在，求出QD勺值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解： 在厶PAD中, PA= PD O為AD中點(diǎn)，所以 POL AD又側(cè)面PADL底面 ABCD 平面PAD平面 ABC住AD PC?平面PAD所以PCL平面 ABCD又在直角梯形 ABCD ,連接 CC易得CCL AD所以以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CC CD CP所在直線分別為x, y, z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則R0,0,1), A

40、(0，- 1,0),耳1 , - 1,0),qi,o,o), D(0,1,0),uuuuuu PB = (1 , - 1, - 1)，易證 CAL平面 PCC- CA = (0，- 1,0)是平面 PCC勺法向量， uuu uuucos PB , CCA PBn 毎 =3. 直線PB與平面PCC所成角的余弦值為-T6.| PB | CA |33uuuuuu(2) PD = (0,1 , 1) , CP = ( 1,0,1).設(shè)平面 PDC勺一個(gè)法向量為 u= (x, y, z),uuuu CP =- x+ z = 0,則 uuu取z = 1,得u= (1,1,1). B點(diǎn)到平面 PCD的距離為

41、d =uuurm= (x, y, z)，又 AC = (1,1,0) , AQ= (0 ,入 + 1,1 一入),u PD = y z = 0,uuu| BP u| 亞1 u|= 3 .uuu X PD(0< X <1)uuu-PD = (0,1 ,1),(3)假設(shè)存在一點(diǎn)Quuur則設(shè)PQ =uuuuuuuuuuuu- PQ = (0 , X，X ) = CQ CP ,- CQ = (0 ,X , 1 X), Q0 , X , 1 X )設(shè)平面CAQ勺一個(gè)法向量為uuurAC = x+ y = 0,則 uuur取 z= X +1,得 (1 入，入1,入 +AQ = X + 1y+

42、1 入 z = 0.1),又平面CAD勺一個(gè)法向量為n = (0,0,1)，二面角Q AG D的余弦值為 ,3所以|cosm n1 =晉晉=于，得3 X- 10X + 3= 0,解得X= 2或入=3(舍),PQ 1SA!底面ABCD AB垂直所以存在點(diǎn)Q且QD= 2.6如圖，在四棱錐 S ABCD中，底面ABCD!直角梯形，側(cè)棱于 AD和 BC SA= AB= BC= 2, AD= 1. M是棱 SB的中點(diǎn).求證：AM/平面SCD求平面SCD與平面SAB所成二面角的余弦值;設(shè)點(diǎn)N是直線CD上的動(dòng)點(diǎn)，MNf平面SAB所成的角為B,求sine的最大值.解：以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

43、貝UA(0,0,0) , B(0,2,0),Q2,2,0), D(1,0,0),uuuuuuuuuuS(0,0,2) , M0,1,1) 所以 AM = (0,1,1) , SD = (1,0 , - 2) , CD = ( 1, - 2,0).uuuSD n=0,x-2z 0,則uuu即令z 1，貝U x 2, y1,CD n=0,x 2y 0.uuuuuuuu于疋 n (2 , 1,1). AM n 0, AM丄n.又AM平面SCD>c AM/平面 SCDA設(shè)平面SCD的法向量是n= (x, y, z),(2)易知平面SAB勺一個(gè)法向量為 m = (1,0,0).設(shè)平面SCD與平面S

44、AB所成的二面角為n 1 n1, 0, 02, - 1, 12 缶則|cos 0 I = |m| |n| =1= 1匚6 =_3，即 cos03 '平面SCD與平面SAB所成二面角的余弦值為uuuu 設(shè) Nx, 2x 2,0)( x 1,2)，貝y MN = (x, 2x- 3,- 1).又平面SAB的一個(gè)法向量為 n1 = (1,0,0),sin ex, 2x- 3,- 11, 0, 0：'x2+2x-3 2+-12 1x5x2 - 12x+ 10當(dāng)x= 5，即 x= 3時(shí)，(sin7、如圖，四邊形 ABEF和四邊形 ABC%是直角梯形，/ FAB=Z DAB= 90

45、6;, AF= AB=BC= 2, AD= 1, FALCD(1)證明：在平面 BCE上，一定存在過(guò)點(diǎn) C的直線I與直線DF平行;求二面角F- CD A的余弦值.ti解：證明：由已知得,BE/ AF BC/ AD BEn BC= B, AM AF= A,平面BCE/平面 ADF設(shè)平面 DF(n平面BCE= l，則I過(guò)點(diǎn)C平面BCE/平面 ADF平面DFCH平面BCE= I ,平面DFCH平面 ADF= DF DF/ I，即在平面 BCE上一定存在過(guò)點(diǎn) C的直線I，使得DF/ I ./ FAX AB FAL CD AB與 CD相交， FAL平面 ABCD故以A為原點(diǎn)，AD AB AF分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.UULTUULT DF - ( 1,0,2) , DC - (1,2,0).知得，C(1,0,0) , q2,2,0) , F(0,0,2),設(shè)平面DFC的一個(gè)法向量為 n- (x ,uuirDF - 0 ,UULT dC = 0y, z),x = 2z ,x =-2y,不妨設(shè)z= 1.則 n= (2 , - 1,1)，不妨設(shè)平面ABC啲一個(gè)法向量為 m (0,0,1).cosm n>-而帀=_-m- n16 ,十宀宀i-,由于二面角F- C