二次曲面的一般理論

1、第六章 二次曲面的一般理論教學(xué)目的 : 本章討論了一般二次曲面的漸近方向、中心、切線、切平面、徑面 奇向、主徑面與主方向等重要概念，從不同角度對(duì)二次曲面進(jìn)行了分類。研究了二次曲面的幾何性質(zhì)，并通過坐標(biāo)變換和不變量、半不變量?jī)煞N形式， 化二次曲面的一般方程為規(guī)范方程，對(duì)二次曲面進(jìn)行了分類和判定 , 是二次曲面理 論的推廣和擴(kuò)充 .教學(xué)重難點(diǎn) : 通過坐標(biāo)變換和運(yùn)用不變量、半不變量化二次曲面的一般方程為 規(guī)范方程 , 既是重點(diǎn)又是難點(diǎn) .二次曲面 ：在空間 , 由三元二次方程基本概念2 a22 y2 a33 za11x22a12xy 2 a13 xz 2a 23 yz 2a14x 2a24 y2a

2、34za440 (1)所表示的曲面。虛元素：空間中，有序三復(fù)數(shù)組(x,y,z)叫做空間復(fù)點(diǎn)的坐標(biāo)，如果三坐標(biāo)全是實(shí)數(shù) ,那么它對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是 實(shí)點(diǎn) ，否則叫做 虛點(diǎn) 二次曲面的一些記號(hào)F(x,y,z)22 a11 x a22 ya332z2a12 xy2a13 xz2a23 yz2a14 x 2a24 y 2a34 z a44F1(x,y,z)a11xa12ya13za14F2(x,y,z)a12xa23ya23za24F3(x,y,z)a13xa23 ya33za34F4(x,y,z)a14xa24ya34za44(x,y,z)2 a11xa22y2a33z2 2a12xy2a13 xz2a23

3、yz1(x,y,z)a11xa12ya13z3 (x, y, z)ai3Xa23y a33Z4(x, y, z) ai4xa24ya34Z即有恒等式成立：二次曲面F（x, y, z）F(x, y, z)xFi(x, y, z)yF2(x, y,z)zF3(x, y, z)x i(x, y,z)y 2(x, y,z：)zaiiai2ai3ai4的系數(shù)矩陣.ai2Aa22a23a24ai3a23a33a34ai4a24a34a44aiiai2ai3x, y, z) F4(x, y, z)3(x,y, z)而由（x, y,z）的系數(shù)矩陣為ai2ai3a22a23a23a33二次曲面（1）的矩陣 A的

4、第一，第二,第三,與第四行的元素分別是Fi(x, y,z), F2(x, y, z)， F3(x, y, z)，F(xiàn)4(x,y, z)的系數(shù)。Iiai1a22ai2a22a23a24ai3a23a33a34ai4a24a34a44aiiai2ai3ai4aiiai2ai4K2ai2a 22a 24ai4a 24a 44ai1ai2Kiai2aii ai3 a22a22ai3a33a23a23a33aiiai2ai33耳2a22a23ai3a23a 33aiiai4ai4a44a22a24a24a44a33a34a34a44aiiai3ai4ai3a33a 34ai4a34a 44a 22a23a

5、 24a23a33a 34a 24a34a 44§6.1 二次曲面與直線的相關(guān)位置2 2 2F(x, y,z)a11x a22 y a33z 2a12xy 2a13xz2a23 yz 2a14 x 2a24 y 2a34 z a44(1)x x0 Xt與過點(diǎn)(Xo, yo, zo)的直線y y° Yt (2) z z0 Zt將(2)代入( 1)得2(X,Y,Z)t 2 XF1(Xo,yo,zo) YF2 (Xo , yo , zo ) ZF3(Xo,yo,zo) t F(Xo,yo,zo) o (3)現(xiàn)討論直線( 2)與二次曲面( 1)相交的各種情況 :1.(X,Y,Z)0

6、，這時(shí)方程(3)是一個(gè)關(guān)于t的二次方程，它的判別式為：2XF1(X0,y0,z0) YF2(X0, y0,z0) ZF3(X0, y0,z0)(X,Y,Z)F(X0,y0,z0)100，有兩不等實(shí)根，直線與二次曲面有兩不同實(shí)交點(diǎn)；200 ，有兩相等實(shí)根，直線與二次曲面有兩相互重合實(shí)交點(diǎn)；300 ，有兩共軛虛根， 直線與二次曲面有兩共軛虛交點(diǎn)2.(X,Y,Z)010 XF1(X0,y0,z0)YF2(X0,y0,z0)ZF3(X0,y0,z0)0 ,直線與二次曲面有唯一交點(diǎn)；八、20 XF1(X0, y0,z0)YF2(X0,y0,z0)ZF3(X0,y0,z0)0,但 F(X0,y0,z0)0

7、直線與二次曲面無(wú)交點(diǎn)30 XF1(X0, y0,z0)YF2(X0,y0,z0)ZF3(X0,y0,z0)0,且 F(X0,y0)0,直線與次曲面有無(wú)窮交點(diǎn) ,直線在二次曲面上§ 6。2 二次曲面的漸進(jìn)方向與中心1. 二次曲面的漸進(jìn)方向定義 5。2.1: 滿足 (X,Y,Z) 0的方向 X :Y:Z 稱為二次曲面的 漸進(jìn)方向 ,否 則稱為 非漸進(jìn)方向 .對(duì)于給定的二次曲面 F(x,y,z) a11x2 a22y2 a33z2 2a12xy 2a13xz2a23 yz 2a14 x 2a24 y 2a34 z a44(1)x x0 Xt和過點(diǎn)(Xo, yo,Zo)的直線y y Yt(2

8、)z z0 Zt當(dāng)X :Y:Z為曲面(1)的漸進(jìn)方向時(shí)，直線(2)與曲面(1)總有兩個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)X :Y:Z為曲面(1)的漸進(jìn)方向時(shí)，直線(2)與(1)或者只有一個(gè)交點(diǎn)，或者沒 有交點(diǎn)，或者整條直線在曲面上。2。 二次曲面的中心當(dāng) X :Y:Z 為 二 次 曲 面 的 非 漸 進(jìn) 方 向 時(shí) , 即 當(dāng)22(X,Y) a11X 2 2a12 XY a22Y20xx0Xt以非漸進(jìn)方向?yàn)榉较虻闹本€yy0Yt 與二次曲面交于兩個(gè)點(diǎn) ,由這兩點(diǎn)決zz0Zt定的線段叫二次曲面的 弦。定義 6。2。2：若點(diǎn) C 是二次曲面的通過它的所有弦的中點(diǎn)，C 是二次曲面的對(duì)稱中心，那么點(diǎn)C叫做二次曲面的中心.定理6

9、。 2.1若點(diǎn)C(xo，yo，zo)是二次曲面的中心，其充要條件是：F1(x0,y0,z0)a11x0a12 y0a13z0a140F2(x0,y0,z0)a12x0a23 y0a23z0a240(6.21)F3(x0,y0,z0)a13x0a23 y0a33z0a340推論 坐標(biāo)原點(diǎn)是二次曲面的中心，其充要條件是曲面的方程不含有x,y,z的一次項(xiàng)。Fi（x, y,z）二次曲面的中心坐標(biāo)，由方程組F2（x, y,z）F3（x, y,z）a11xai2ya13Za140a12xa23 ya23Za240（6.2-2）axa23 ya33Za34010 r R 3，這時(shí)方程組的系數(shù)行列式ana12

10、a133a12a22a23a13a238330,方程組有惟決定，方程組（6.2 2）叫做二次曲面（1）的中心方程組。根據(jù)（6。2-2）的系數(shù)矩陣A與增光矩陣Ba11a12a13a11a12a13a14Aa12a22a23，B a2a22a23a24的秩r與R，有a13a23a33a13a23933a34解，二次曲面（1）有惟一中心.20 r R 2,（6。2-2）有無(wú)數(shù)多解，這些解可用一個(gè)參數(shù)來(lái)線性表示。曲面有無(wú)數(shù)個(gè)中心，這些中心構(gòu)成一條直線。30 r R 1，（ 6。2 2）有無(wú)數(shù)多解，這些解可用兩個(gè)參數(shù)來(lái)線性表示。曲面有 無(wú)數(shù)個(gè)中心,這些中心構(gòu)成一個(gè)平面。40r R,（6.22）無(wú)解，這時(shí)

11、二次曲面（1）無(wú)中心.定義:有唯一中心的二次曲面叫中心二次曲面，沒有中心的二次曲面叫 無(wú)心二次曲面，有無(wú)數(shù)中心構(gòu)成一條直線的二次曲面叫 線心二次曲面，有無(wú)數(shù)中心構(gòu)成一平面的二次曲面叫 面心二次曲面，二次曲面中的無(wú)心曲面、線心曲面與面心曲面統(tǒng)稱為非中心二次曲面.推論 二次曲面（1）成為中心二次曲面的充要條件為I30，成為非中心二次曲面的充要條件為02222務(wù)1與雙曲面篤篤務(wù) ca b c1的13分別為12a00b21222a b cb2122 2a b c所以橢球面與雙曲面都是中心曲面，他們的中心方程組分別為F （x, y, z）x20F1（x,y, z）x20aaF2 （x, y, z）y孑0

12、與F2（x, y,z）yJ0F3（x, y,z）zc0F3（x,y,z）zc0因此，它們的中心都是坐標(biāo)原點(diǎn)（0,0, 0）2拋物面篤a2yb22z。其丨3 =0 01P 00,所以拋物面為非中心二次曲面，它的F3（x,y,z）b0 01,中心方程組有矛盾，因此拋物面為無(wú)心二次曲面例3對(duì)于曲面y2 z2 c2 00 0 0I3=0 1 0 0，所以他是非中心二次曲面，但由于Fi（x,y,z）00 0 1F2（x, y,z）y F3（x, y,z）z，所以曲面有一條中心直線y 0,所給曲面為線心曲面。z 0（曲面實(shí)際上是一個(gè)圓柱面，中心直線就是它的對(duì)稱軸。）作業(yè)：P2542,4,6,8§

13、 6.3 二次曲面的切線與切平面定義 6.3。1：直線與二次曲面相交于互相重合的兩個(gè)點(diǎn) , 那么這條直線叫二次 曲面的 切線. 重合的交點(diǎn)稱之為 切點(diǎn).特殊情形 ：直線全部在二次曲面上，亦稱之為二次曲面的切線 , 直線上每一點(diǎn)均是 切點(diǎn).( 二次曲面的直母線線也是切線。 )一。通過曲面上點(diǎn) (x0,y0,z0) 的切線方程F(x, y,z)2a11xa22 y a33z 2a12xy2a13xz2a23 yz2a14 x2a24 y 2a34 za440(1)xx0Xt通過曲面(1)的點(diǎn)(x0,y0,z0 ) 的直線yy0Yt(2)zz0Zt1. 直線( 2)曲面(1 )相交于連個(gè)重合點(diǎn)的充要

14、條件：2(X,Y,Z) 0XF1 ( x0 , y0 , Z0 ) YF2(x0,y0,Z0) ZF3 ( x0 , y0, Z0 ) 02. 直線( 2)整個(gè)屬于曲面( 1)的充要條件：2(X,Y,Z) 0XF1 ( x0 , y0 , Z0 ) YF2(x0,y0,Z0) ZF3 ( x0 , y0, Z0 ) 0綜合1、2、兩種情況：通過曲面(1)上的點(diǎn)(x0,y0,z0)的直線(2)成為曲面在這個(gè) 點(diǎn)處的切線的充要條件是：2XF1(x0,y0,Z0) YF2(x0,y0,Z0) ZF3 ( x0, y0 , Z0 ) 0(3)10， F1(x0,y0,z0) ， F2(x0,y0,z0

15、) ,F3(x0,y0,z0) 不全為零。由( 2)得X：Y：Z (x x0):(y y0):(z z0) ，代入( 3)得(x x0)F1(x0,y0,Z0) (y y0)F2(x0,y0,z0) (z z0)F3(x0,y0,Z0)0( 6.3-1 )定義 6。3.2 二次曲面在一點(diǎn)處的一切切線上的點(diǎn)構(gòu)成的平面叫做二次曲面的 切平面 ，這一點(diǎn)叫 切點(diǎn) 。20 F1(x0,y0,z0) ， F2(x0, y0,z0) ， F3(x0,y0,z0) 全為零 .(3)恒成立 ,它被任何的方向X :Y:Z所滿足，因此通過點(diǎn)（X。, yo, Zo）的任何一條直線都是二次曲面的切線。定義 6。3。 3

16、 二次曲面（ 1）上滿足條件Fi（Xo, yo,Zo） F2（Xo,yo,z°） F3（Xo,y°,Zo） 0 的點(diǎn)（x°,y°,Zo）叫做二次曲面 的奇異點(diǎn)，簡(jiǎn)稱奇點(diǎn)，二次曲面的非奇異點(diǎn)叫做二次曲面的 正常點(diǎn).定理6。3。1如果（Xo，yo，zo）是二次曲面（1）的正常點(diǎn)，那么曲面在點(diǎn)（Xo, yo,Zo）處存在惟一的切平面，它的方程是（ 6.31）推論 如果（Xo,y°,Zo）是二次曲面（1）的正常點(diǎn)，那么在（Xo,y°,Zo）處曲面的切平面方程是：a11X0Xa22y0ya33Z0Za12(X0y y0X)a13(X0ZXZ0)

17、(6.33)a23(y0Z yZ0) a14(XX0) a24(yy0)a34(ZZ0)a440例 求二次曲面 F（X,y,Z）222XyZ4Xy4XZ4yZ2X 2y 2Z18 0在點(diǎn) （1,2,3） 的切平面方程 .解法一 因?yàn)?F（1,2,3）14 9 8 122424618 0 ，所以點(diǎn)(1,2,3)F1 ( X， y， Z) X 2y 2Z 1 在二次曲面上，又因?yàn)?F2(X，y，Z)2X y 2Z 1，所以 F1（1，2，3）8， F2（1，2，3）F3(X，y，Z)2X 2y Z 15， F3（1，2，3）2，這說明 （1，2，3） 是已知曲面上 的正常點(diǎn)，所以根據(jù)公式（ 6。

18、31）得曲面在點(diǎn) （1，2，3） 處的切平面方程為8(x 1)5(y2)2(z3)0,即 8x 5y 2z 240解法二 由解法一知 (1，2，3) 是已知曲面上的正常點(diǎn)，所以根據(jù)公式( 6.3-3 ) 得所求切平面的方程是X 2y 3Z 2(2X y) 2(3X Z) 2(3y2Z) (X 1) (y 2) (Z 3)180即 8X 5y 2Z 240作業(yè):P258 3,5,6,8個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途§ 6。 4 二次曲面的徑面與奇向本節(jié)討論二次曲面 F(x,y,z)a11x2 a22y2 a33z2 2a12xy 2a13xz2a23 yz 2a14 x 2a24 y 2a3

19、4 z a44(1)的平行弦的中點(diǎn)軌跡。定理 二次曲面的一族平行弦的中點(diǎn)的軌跡是一個(gè)平面證明：設(shè)X:Y:Z為二次曲面的任意一個(gè)非漸進(jìn)方向，而(心丫。)為平行于x x0 Xt方向X :Y:Z的任意弦的中點(diǎn)，那么弦的方程可以寫成y yo Yt( 2)z z0 Zt面弦的兩端點(diǎn)是由二次方程2(X,Y,Z)t2 XF1(x0,y0,z0) YF2(x0 , y0 , z0 ) ZF3(x0,y0,z0)t F(x0,y0,z0) 0的兩根ti和t2所決定，因?yàn)?xo, yo,Zo)為弦的中點(diǎn)的充要條件是ti t20,即XF1(x0,y0,z0) YF2(x0,y0,z0) ZF3(x0,y0,z0)

20、0 ，把上式中的 (x0,y0,z0) 改寫為(x,y,z) 便 得 平 行 弦 中 點(diǎn) 的 軌 跡 方 程 為 XFi(x, y,z) YF2(x, y,z) ZF3(x,y,z) 0(6.4-1 )即X(aiix ai2yai3zai4 )Y(ai2xa22ya23za24)Z(ai3x a23ya33za34)0或 (aiiX(ai3Xai2Yai3Z)x (ai2Xa22Y a23Z)ya23Y a33Z)z (ai4Xa24Ya34Z)6。4-2)即 i(X,Y,Z)x 2(X,Y,Z)y3(X,Y,Z)z4(X,Y,Z) 0因?yàn)閄 :Y: Z為非漸進(jìn)方向，所以有(X,Y,Z) X

21、i(X,Y,Z) Y 2(X,Y,Z) Z 3(X,Y,Z)0因此 i(X,Y,Z)，2(X,Y,Z),3(X,Y,Z)不全為零，所以(6.4-2 )或(6。4-1)為一個(gè)三元一次方程，它代表一個(gè)平面。定義 6.4。1 二次曲面的平行弦的中點(diǎn)軌跡 ,就是( 6。41)或( 6.4-2)所代 表的平面，叫做共軛于平行弦的 徑面。而平行弦叫做這個(gè)徑面的 共軛弦，平行弦的方向叫做這個(gè)徑面的 共軛方向。定理642二次曲面的任何徑面一定通過它的中心（假如曲面的中心存在的話）推論1線心二次曲面的任何徑面通過他的中心線。推論2面心二次曲面的徑面與它的中心平面重合。如果方向X:Y:Z為二次曲面（1）的漸進(jìn)方向

22、，那么平行與它的弦不存在，但如果仍有 /XYZ），2（X,Y,Z）， 3（X,Y,Z）不全為零，那么方程（6.42）任然表示一個(gè)平面，我們把這個(gè)平面叫做共軛于漸進(jìn)方向X :Y:Z的徑面。如果1（x,y,z）a11Xa12丫a13Z02（x,y,z）aXa22丫a23Z0（3）3（x,y,z）aXa23丫a33Z0那么方程（6.42）不表示任何平面。定義6。4.2滿足條件（3）的漸進(jìn)方向X :Y:Z叫做二次曲面（1）的奇異方向，簡(jiǎn)稱奇向定理6。4。3二次曲面（1 ）有奇向的充要條件是130推論 中心二次曲面而且只有中心二次曲面沒有奇向。定理6.4。4 二次曲面的奇向平行于它的任何徑面。證設(shè)二次曲

23、面 （1 ） 的奇向?yàn)閄0:Y0:Z0 ,那么1（Xo,Yo,Zo）2（Xo,Yo,Zo）3（Xo,Yo,Zo） 0 因此Xo 1（X,Y,Z） Yo 2（X,Y,Z） Zo 3（X,Y,Z）X o （an X aYX （anX o aYoX 1（Xo,Yo,Z。）0a13Z ） Y0 （a12Xa22丫 a23Z ） Z0（a13X去3丫 a33Z ）aZo） Y （a12Xo a22Yo a23Zo） Z （a13 X o a23丫0 a33Zo） Y 2（Xo,Yo,Zo） Z 3（X0化,Zo）所以二次曲面的奇向Xo :Yd :Z0平行于它的任意徑面（6.4 2）2 2 2例1求單葉雙

24、曲面務(wù)占令1的徑向.a b c解因?yàn)閱稳~雙曲面為中心曲面，即130。所以它沒有奇向，任取方向XyZX :Y:Z ,那么 1（X,Y,Z）2 ,2（X,Y,Z）2 ,3（X,Y,Z）2 ,abcXYZ4 （X ,Y, Z） 0 ,所以單葉雙曲面共軛于方向X : Y : Z的徑面為一2 x2 y 2 z 0 ,abc顯然它通過曲面的中心（0,0,0）。2 2例2求橢圓拋物面篤爲(wèi)2z的徑面。a b解 因?yàn)闄E圓拋物面為無(wú)心曲面，13 0,所以曲面有奇向X°:Y0：Z。,因?yàn)閄yi（X,Y,Z） 2（X,Y,Z） 3（X ,Y,Z） 0，所以曲面的奇向?yàn)閍bX°:Y°:Z0

25、0:0:1,任取非齊方向X :Y:Z，又有3（X,Y,Z） Z，因此根據(jù)（6042）橢圓拋物面共軛于非齊方向X :Y:Z的徑面為-y Z 0，顯然它平行 a2b2于奇向0:0:1作業(yè)：F262 1（3）,2,4§ 6.5二次曲面的主徑面與主方向，特征方程與特征根定義主徑面：如果二次曲面的徑面垂直于它所共軛的方向，那么這個(gè)徑面就叫做二次曲面的 主徑面定義主方向：二次曲面主徑面的共軛方向（即垂直于主徑面的方向）， 或者二次曲面的奇向，叫做二次曲面的主方向設(shè)二次曲面為 F（x,y,z）a11x2 a22y2 a33z2 2a12xy 2a13xz(1)2a 23 yz 2 a14 x 2

26、a24 y2 a34 za440方向X:Y:Z如果是（1）的漸進(jìn)方向，那么它成為（1）的主方向的條件是an Xa12Ya13ZaXa22丫a23Z(2)a13Xa23Ya33Z成立，即X :Y :Z必須是（1）的奇向。如果X :Y:Z是（1）的非漸進(jìn)方向，那么它成為（1）的主方向的條件是與它的共軛徑面(anXa0x (a12Xa22丫a23Z)y(a13Xa23丫a33Z)z (a/a?4丫a34Z)垂直,所以有(anX a, d3Z):(a12X a?2Y azsZaX &23丫 &33乙)X :Y:Za1 XaYa13ZX從而得a12Xa22Ya23Z Y(6。5-1)(a

27、11寫成a12 Xa3 XQ3X玄23丫a33ZZ顯然，如果在（6。5-1）中取 0,那么就得到（2），因此方向X :Y:Z成為二次曲面（1）的主方向的充要條件是存在使得（6.5 1）成立，把（6.5 1）改)Xa12Ya13Z0(6。5-2)(a22 )Ya23 Z0323丫(a33) Z0a11a12a13a12a22a23(6。 53)這是一個(gè)關(guān)于X,Y,Z的其次線性方程組,因此X,Y,Z不能全為零，因此即 3 I1 212130（6。54）定義6。5。3方程（6.5-3）或（6。5-4）叫做二次曲面的特征方程，特征方程的根叫 做二次曲面的特征根.從特征方程（6.5 3）或（6。5-4）

28、求得特征根,代入（6.5-1）或（6。5-2）， 就可以求出相應(yīng)的主方向X,Y,Z,當(dāng)0時(shí)，與它相應(yīng)的主方向?yàn)槎吻娴钠嫦虍?dāng)0時(shí)，與它相應(yīng)的主方向?yàn)榉瞧嬷鞣较颍?將非奇主方向X : Y : Z代入（6.4 1）或（6.42）就得共軛于這個(gè)非奇主方向的主徑面例1求二次曲面3x2 y23z22xy2xz2yz 4x 14y 4z 230 的主方向與主徑面。I2這個(gè)二次曲面的矩陣是31121117113227223，則I13 1二次曲面的特征方程為1將4代入（6。5-2）解該方程組得對(duì)應(yīng)于特征根12，12Y3YY0，所以特征根為4,3,04的主方向?yàn)閄 :Y:Z 1:0:（ 1），將其代入（6.4

29、1）或者（6.42）并化簡(jiǎn)的共軛于這個(gè)主方向的主徑面為:Y Z 02 將 3 代入(6.5-2)得X 2Y Z 0X Y 0解該方程組得對(duì)應(yīng)于特征根3的主方向?yàn)閄 :Y:Z 1 : ( 1):1，將其代入（6。41）或者（6。4-2）并化簡(jiǎn)的共軛于這個(gè)主方向的主徑面為:3X Y Z 03 將0代入( 6。52)得X Y Z 0X Y 3Z 0解該方程組得對(duì)應(yīng)于特征根曲面的奇向。0的主方向?yàn)?X :Y:Z 1: 2 :1，這一主方向?yàn)槎味吻嫣卣鞲男再|(zhì) :定理 二次曲面的特征根都是實(shí)數(shù)。定理 特征方程的三個(gè)根至少有一個(gè)不為零，因而二次曲面總有一個(gè) 非奇主方向。推論 二次曲面至少有一個(gè)主徑面

30、作業(yè)： P269 1(1) (4),2§ 6.6 二次曲面方程的化簡(jiǎn)與分類本節(jié)利用空間直角坐標(biāo)變換，討論二次曲面的化簡(jiǎn)與分類。一?？臻g直角坐標(biāo)變換設(shè)在空間給出了兩個(gè)由標(biāo)架 O;i, j,k 與 O;i, j ,k 決定的右手直角坐標(biāo)系， 為了敘述方便，我們把前面的一個(gè)叫做舊坐標(biāo)系 , 后面的一個(gè)坐標(biāo)系叫做新坐標(biāo)系 它們之間的位置關(guān)系完全可以由新坐標(biāo)系的原點(diǎn)在舊坐標(biāo)系的坐標(biāo)，以及新坐標(biāo) 系的坐標(biāo)向量在舊坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)所決定 . 在這里我們先討論兩種特殊的坐標(biāo)變 換，然后研究一般坐標(biāo)變換（ 1） 移軸設(shè)標(biāo)架O;i,j,k與O;i,j,k的原點(diǎn)0與O不同，O在極坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為（xo,yo

31、,zo）,但是ii , j j ,k k，這時(shí)新坐標(biāo)系可以看成由O;i,j,k平移到使O與O重合而得來(lái)，我們把這種情況下的坐標(biāo)變換叫做移軸。yj zk (x x0)i (y y0)j (z z0)k設(shè)P為空間任意一點(diǎn),它在O;i,j,k與O;i,j,k下的坐標(biāo)分別是（x,y,z）與(x,y,z) ，那么 OPxiyjzk，( 1)OP xi yjzkxiyj zk( 2)此外又有 OOx0iy0jz0k(3)OP OOOP(4)將（1）（2）（ 3）三式代入（4）得xixxx06.61 )所以得yyy0zzz0這就是空間直角坐標(biāo)系的 移軸公式 從（6。6-1）解出（x,y,z）就得到用舊坐標(biāo)表

32、示新坐標(biāo)的坐標(biāo)變換公式，即移軸的xxx0逆變換公式y(tǒng)yy0zzz0（2）轉(zhuǎn)軸設(shè)兩個(gè)右手標(biāo)架O;i,j,k與O;i,j,k的原點(diǎn)相同，但坐標(biāo)向量不同，這時(shí)新 坐標(biāo)系可以看成由舊坐標(biāo)系繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)， 使得i, j,k分別與i , j ,k重合得到的，我們把 這種情況下的坐標(biāo)變換叫做轉(zhuǎn)軸。具有相同原點(diǎn)的兩坐標(biāo)系之間的位置關(guān)系完全由新、舊坐標(biāo)軸之間的交角來(lái) 決定，列表如下：X軸（i）丫 軸（j）Z 軸（k）x 軸（i ）111y 軸（j）222 （ 5）z 軸（k ）333ii cos1j cos1kcos1從表（5）我們知道ji cos2j cos2kcos2（ 6）ki cos3j cos3kcos

33、3設(shè)空間任意一點(diǎn)P,它的舊坐標(biāo)為（x,y,z），在新坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)為（x,y,z）， 那么有空間直角坐標(biāo)變換的轉(zhuǎn)軸公式：xx cos 1y cos 2z cos 3yx cos 1y cos 2z cos 3（6。 63）xx cos 1y cos 2z cos 3轉(zhuǎn)軸的逆變換公式為：xx cos 1y cos 1zcos 1yx cos 2y cos 2zcos 2（6。zx cos 3y cos 3zcos 36 4）轉(zhuǎn)軸的正交條件222COS1 cos2cos 31222cos1 cos2cos 31222cos1 cos2cos 31cos1 cos 1cos2 cos 2cos3 c

34、os 30cos1 cos 1cos2 cos 2cos3cos 30cos1 cos 1cos2 cos 2cos3 cos 302(6。6-5)COS2 2cos 1 coscos2 cos2cos 212221cos3 cos3cos 3cos1 cos2cos1 cos 2cos1 cos 20cos2 cos3cos2 cos 3cos2 cos 30cos3cos1cos3 cos 1cos3 cos 10111222與(6 。66)又因?yàn)椋╥jk ） （i j k） 1，可得（6.6-3 ）與（6.6-4 ）的系數(shù)行列式cos 1cos2cos3cos 1cos2cos3cos

35、1cos2cos3（3） 般變換公式cos1cos1cos1cos2cos2cos2cos3cos3cos31(6.6 7)設(shè)在空間給出了由標(biāo)架O;i, j,k決定的舊坐標(biāo)系與由標(biāo)架 O;i,j,k決定的新坐標(biāo)系，且0在舊坐標(biāo)系的坐標(biāo)為（Xo，yo，zo），兩坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸之間的交角由表 格（5）決定，那么在這種一般情況下，由舊坐標(biāo)系變換到新坐標(biāo)系可以分兩步來(lái) 完成，可以先移軸，使原點(diǎn)0與坐標(biāo)系的原點(diǎn)0重合，變成輔助坐標(biāo)系0 xy z 然后再由輔助坐標(biāo)系轉(zhuǎn)軸變到新坐標(biāo)系。則空間直角坐標(biāo)變換的一般公式為：Xx cos 1 y cos2z cos 3X。yx cos 1 y cos2z cos 3

36、y。(6。6-8)Xx cos 1 y cos2z cos 3z0上式的逆變換公式是:X(x x0) cos 1(yy°)cos1 (zz0) cos1y(x x0)cos 2(yy°)cos2 (zz)cos2(6.6 9)z(x x°)cos 3(yy°)cos3 (zz0) cos3注：它們的系數(shù)分別滿足正交條件（6.6-5） （ 6.6 6），它們的系數(shù)行列式都等于1。二次曲面的化簡(jiǎn)與分類定理6。6.1適當(dāng)選取坐標(biāo)系，二次曲面的方程總可以化為下列五個(gè)簡(jiǎn)化方中的一個(gè):()anX2()anX2()anx2(V)a11x22(V)anx2a22y2a3

37、3Za4422a22y2a34z20,a22ya440,2a22 y0,a440,0,911a22a330;a11a22a340；310220;a11 a240；an0;定理 適當(dāng)選取坐標(biāo)系，二次曲面的方程總可以化為下列十七種標(biāo)準(zhǔn)方程的一種形式:1222xyz2.22abc222xyz2.22abc222xyz2.22abc222xyz222abc222xyz222abc222xyz2 22abc22x2丄22zab22xy2J.22zab12130415160782 x（橢球面）（虛橢球面）（點(diǎn)或稱虛母線二次錐面）（單葉雙曲面）（雙葉雙曲面）（二次錐面）（橢圓拋物面）（雙曲拋物面）y2b2（

38、橢圓柱面）共軛虛平面）102Xa2 y b2122Xy11.20ab2212X2y.21ab2213X2y.20ab（虛橢圓柱面）（交于一條實(shí)直線的一對(duì)（雙曲柱面）（一對(duì)相交平面）14 X2 2py （拋物柱面）15 x2 a2（一對(duì)平行平面）16 x2a2（一對(duì)平行的共軛虛平面）17 x20（一對(duì)重合平面）作業(yè):P28612,3§ 6。7應(yīng)用不變量化簡(jiǎn)二次曲面的方程.不變量與半不變量F(x, y,z)anx2 玄22丫2 玄33乙2 Zaxy Zaxz2a23 yz 2ai4x 2a?4 y 2a34za440( 1)定義：由(1 )式的左端F(x, y,z)的系數(shù)組成的一個(gè)非常數(shù)

39、函數(shù)f,如果經(jīng)過直角坐標(biāo)變換(6。6 8)， F(x,y,z)變?yōu)?F (x,y ,z)時(shí)，有 f(a)i, ai2 , 844) f(aii, ai2 , 844), 那么這個(gè)函數(shù)f就叫做二次曲面(i)在直角坐標(biāo)變換(6。6-8)下的不變量。如果這個(gè)函數(shù)f 只是經(jīng)過轉(zhuǎn)軸變換不變，那么這個(gè)函數(shù)叫做二次曲面(i)在直角坐標(biāo)變換下的半不變量。定理 671二次曲面(i)在空間直角坐標(biāo)變換下，有四個(gè)不變量112,13,14與兩個(gè)半不變量Ki,K2，即11 aiia22a33aiiai2aiiai3ai3a33a22a23a23a33aiiai2913ai2a22a23ai3a23a33ai2a22I3

40、Kia11ai2ai3ai4ai2a22a23a24ai3a23a33a34ai4a24a34a444a22a24a24a44a33a34ai1ai2ai4K2ai2a22a24ai4a24a44ai1ai4ai4a44ai1ai3ai4ai3a33a34ai4a34a44a34a44a22a23a24a23a33a34a24a34a44推論在直角坐標(biāo)變換下，二次曲面的特征方程不變，從而特征根也不變定理 6。7.2 K1是第V類二次曲面在直角坐標(biāo)變換下的不變量，而K2是第III ,第w與第V二次曲面在直角坐標(biāo)變換下的不變量。二. 二次曲面五種類型的判別定理如果給出了二次曲面（1），那么用不變量來(lái)判別曲面（1）為何種 類型的充要條件是：第I類曲面：I30 ；第II類曲面：I30,丨40；第III類曲面：I30，丨40,120；第 IV 類曲面：1