定積分及換元積分法與分部積分法

1、.定積分的換元積分法與分部積分法教學(xué)目的：掌握定積分換元積分法與分部積分法難點(diǎn)：定積分換元條件的掌握重點(diǎn)：換元積分法與分部積分法由牛頓萊布尼茨公式可知，定積分的計(jì)算歸結(jié)為求被積函數(shù)的原函數(shù)在上一章中，我們已知道許多函數(shù)的原函數(shù)需要用換元法或分部積分法求得，因此，換元積分法與分部積分法對(duì)于定積分的計(jì)算也是非常重要的1定積分換元法定理 假設(shè)(1) 函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)；(2) 函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)且不變號(hào)的導(dǎo)數(shù)；(3) 當(dāng)在變化時(shí)，的值在上變化，且，則有 (1)本定理證明從略在應(yīng)用時(shí)必須注意變換應(yīng)滿足定理的條件，在改變積分變量的同時(shí)相應(yīng)改變積分限，然后對(duì)新變量積分例1 計(jì)算解 令，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，于是

2、例2 計(jì)算aaOxy解 令，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故 圖58 顯然，這個(gè)定積分的值就是圓在第一象限那部分的面積(圖58)例3 計(jì)算解法一 令，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，于是解法二 也可以不明顯地寫出新變量，這樣定積分的上、下限也不要改變即 此例看出：定積分換元公式主要適用于第二類換元法，利用湊微分法換元不需要變換上、下限例4 計(jì)算解 注去絕對(duì)值時(shí)注意符號(hào) =例5 計(jì)算解 設(shè)，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，= 例6 設(shè)在上連續(xù)，證明：(1) 若為奇函數(shù)，則；(2) 若為偶函數(shù)，則證 由于,對(duì)上式右端第一個(gè)積分作變換，有故(1) 當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，故(2) 當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，故利用例6的結(jié)論能很方便地求出一些定積分的值 例如2定積分的分部積分法設(shè)函數(shù)與均在區(qū)間上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，由微分法則，可得等式兩邊同時(shí)在區(qū)間上積分，有 (2)公式(2)稱為定積分的分部積分公式，其中與是自變量的下限與上限例7 計(jì)算解 令，則故例8 計(jì)算解 例9 計(jì)算解 =例10 計(jì)算解 即 注移項(xiàng)得故 例11 計(jì)算解 先用換元法，令，則 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 于是再用分部積分法，得小結(jié)：1定積分換元積分定理：假設(shè)(1) 函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)；(2) 函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)且不變號(hào)的導(dǎo)數(shù)；(3) 當(dāng)在變化