數(shù)列解題技巧

1、1 / 19數(shù)列解題技巧第四講數(shù)列與探索性新題型的解題技巧【命題趨向】從2007年高考題可見(jiàn)數(shù)列題命題有如下趨勢(shì)：1.等差（比）數(shù)列的基本知識(shí)是必考內(nèi)容，這類(lèi)問(wèn)題既有選擇題、填空題，也有解答題；難度易、中、難三類(lèi)皆有.2.數(shù)列中an與Sn之間的互化關(guān)系也是高考的一個(gè)熱點(diǎn).3.函數(shù)思想、方程思想、分類(lèi)討論思想等數(shù)學(xué)思想方法在解決問(wèn)題中常常用到，解答試題時(shí)要注意靈活應(yīng)用.4.解答題的難度有逐年增大的趨勢(shì)，還有一些新穎題型，如與導(dǎo)數(shù)和極限相結(jié)合等.因此復(fù)習(xí)中應(yīng)注意：1.數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，學(xué)習(xí)時(shí)要善于利用函數(shù)的思想來(lái)解決.如通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等.2.運(yùn)用方程的思想解等差（比）數(shù)列，是常見(jiàn)題型，

2、解決此類(lèi)問(wèn)題需要抓住基本量ai、d（或q）,掌握好設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程三個(gè)環(huán)節(jié)，常通過(guò)設(shè)而不求，整體代入”來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算.3.分類(lèi)討論的思想在本章尤為突出.學(xué)習(xí)時(shí)考慮問(wèn)題要全面，如等比數(shù)列求和要注意q=1和q乒1兩種情況4.等價(jià)轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中常常運(yùn)用的，數(shù)列也不例外 .如an與Sn的轉(zhuǎn)化；將一些數(shù)列轉(zhuǎn)化成等差（比）數(shù) 列來(lái)解決等.復(fù)習(xí)時(shí)，要及時(shí)總結(jié)歸納.5.深刻理解等差（比）數(shù)列的定義，能正確使用定義和等差（比）數(shù)列的性質(zhì)是學(xué)好本章的關(guān)鍵6.解題要善于總結(jié)基本數(shù)學(xué)方法 .如觀(guān)察法、類(lèi)比法、錯(cuò)位相減法、待定系數(shù)法、歸納法、數(shù)形結(jié)合法，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，定能達(dá)到事半功倍的效果7.數(shù)列應(yīng)用題將

3、是命題的熱點(diǎn)，這類(lèi)題關(guān)鍵在于建模及數(shù)列的一些相關(guān)知識(shí)的應(yīng)用【考點(diǎn)透視】1.理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義，了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公 式寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng).2.理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能運(yùn)用公式解答簡(jiǎn)單的問(wèn)題.3.理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能運(yùn)用公式解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題.4.數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以在高考中占有重要的地位.高考對(duì)本章的考查比較全面，等差數(shù)列，等比數(shù)列的考查每年都不會(huì)遺漏 .解答題多為中等以上難度的試題， 突出考查考 生的思2 / 19維能力，解決問(wèn)題的能力，

4、試題大多有較好的區(qū)分度.有關(guān)數(shù)列的試題經(jīng)常是綜合題， 經(jīng)常把數(shù)列知3 / 19數(shù)列解題技巧識(shí)和指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和不等式的知識(shí)綜合起來(lái)，試題也常把等差數(shù)列、等比數(shù)列，求極限和數(shù)學(xué)歸納法綜合在一起。探索性問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，常在數(shù)列解答題中出現(xiàn)。本章中還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，在主觀(guān)題中著重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類(lèi)討論等重要思想，以及配方法、換元法、待定系數(shù)法等基本數(shù)學(xué)方法.應(yīng)用問(wèn)題考查的重點(diǎn)是現(xiàn)實(shí)客觀(guān)事物的數(shù)學(xué)化，常需構(gòu)造數(shù)列模型， 將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)解決. 【例題解析】考點(diǎn)1正確理解和運(yùn)用數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式理解數(shù)列的概念，正確應(yīng)用數(shù)列的定義，能夠根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公

5、式典型例題例1 .（2006年廣東卷）在德國(guó)不來(lái)梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商店櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有1層，就一個(gè)球；第2 , 3 , 4,堆最底層（第一層）分別按圖4所示方式固定擺放， 從第二層開(kāi)始， 每層的小球自然壘放在下一層之上， 第n堆第n層就放一個(gè)乒 乓球， 以f（n）表示第n堆的乒乓球總數(shù)，貝 U U f f 3 3f （n）（答案用n表不）.解答過(guò)程：顯然f 3 10.所以：f（n）上往下數(shù)，第1次全行的數(shù)都為1的是第1行，第2次全行的數(shù)都為1的是第3行，第n次全行的數(shù) 都為1的是第 行；第61行中1的個(gè)數(shù)是第1行11第2行101第3

6、行1111第5行110011思路啟迪：從圖中觀(guān)察各堆最低層的兵乓球數(shù)分別是12,3,4,推測(cè)出第n層的球數(shù)。第n堆最低層（第一層）的乒乓球數(shù),a a川&n n 1，第n堆的乒乓球數(shù)總數(shù)相當(dāng)于n堆乒乓球的低層數(shù)之和，即f n a1 ?221 n n 1HIan K2HI n)例2 . （2007年湖南卷理） 將楊輝三角中的奇數(shù)換成1,偶數(shù)換成0,得到如圖所示的0-1三角數(shù)表.從數(shù)列解題技巧4 / 19思路啟迪：計(jì)算圖形中相應(yīng)1的數(shù)量的特征，然后尋找它們之間的規(guī)律。解：第1次全行的數(shù)都為1的是第 2 2 1 1=1行，第2次全行的數(shù)都為1的是第221=3行，第3次全行的數(shù)應(yīng)填2n另外可以變

7、形轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列與等比數(shù)列，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)解決問(wèn)題。例3. ( 2007年北京卷理)(I)求c的值；(II)求&的通項(xiàng)公式.思路啟迪：(1)由a1,a2, a3成公比不為1的等比數(shù)列列方程求c；(2)可根據(jù)遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)，然后分析每一項(xiàng)與該項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系，歸納概括出(II)當(dāng)n 2時(shí)，由于a2a1c,asa22c,anan 1(n所以ana11 2川(n 1)c(眼2,故an2 n(n 1) n2n 2(n2,3,川).都為1的是第231=7行,第n次全行的數(shù)都為1的是第2n1行；第61行中1的個(gè)數(shù)是251考點(diǎn)2數(shù)列的遞推關(guān)系式的理解與應(yīng)用在解答給出的遞推關(guān)

8、系式的數(shù)列問(wèn)題時(shí)，要對(duì)其關(guān)系式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的類(lèi)型進(jìn)行解題。如“逐差法”若anann,且a1；我們可把各個(gè)差列出來(lái)進(jìn)行求和,可得到數(shù)列an的通項(xiàng).ananan 1an 1a2a1a1n n 1川2再看逐商法即生2an1且a1,可把各個(gè)商列出來(lái)求積。an |anan 1an 2村村1 1噎噎 aan 2a1n n 1 n 2 111 中中 n!數(shù)列務(wù)中，a12, an 1ana1cn(c是常數(shù)，n 1,2,3,川)，且a，a?,a3成公比不為1的等比數(shù)列.an與n之間的一般規(guī)律，從而作出猜想，寫(xiě)出滿(mǎn)足前4項(xiàng)的該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式解：(D a12, a22 c , a32 3c ,a1

9、因?yàn)閍1,a2, a3成等比數(shù)列，所以(2 c)22(2當(dāng)c 0時(shí)，a1a2a，不符合題意舍去，故2.數(shù)列解題技巧5 / 19當(dāng)n 1時(shí)，上式也成立,所以ann2n 2(n 1,2,川)小結(jié)：從特殊的事例，通過(guò)分析、歸納、抽象總結(jié)出一般規(guī)律，再進(jìn)行科學(xué)地證明，這是創(chuàng)新意識(shí)的具體體現(xiàn)，這種探索問(wèn)題的方法，在解數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題中經(jīng)常用到，應(yīng)引起足夠的重視例4. （2006年廣東卷）已知數(shù)列*滿(mǎn)足x IX2XnX1-?2Xn1Xn 1X22，n 3,4，右limnxn2，貝U( B )(A)32(B)3(D)思路啟迪：對(duì)遞推關(guān)系變形，運(yùn)用疊加法求得，特別注意的是對(duì)兩邊同時(shí)運(yùn)用解答過(guò)程:2XnXnXnX

10、n 1Xn 2XnX3X2X4X3IIIIINI1XX1X2X3X4相疊加X(jué)X2X1X2XnXn 1.XnXXnXn 12Xn 23XnXnX1,22Xn12X1.lim 2xnxn1nlim 2x1，nlimnXn2,2x16 , X13.解答過(guò)程2:XnXnXn 2得:1+一Xn 12Xn 11Xn 22III *21一X12X1 1TXn 12X1,因?yàn)閘im xnn2.XnnlimXn所以:3.解答過(guò)程 3: 由1Xn- Xn 12X）得：Xn 2XnXn 112Xn 1Xn 2212Xn 2Xn從而乂X3X221-X1 X24X313-2X疊加得：XnX21X122123IIIXnX

11、21Xw1n 21，2lim xnnnnimX2X11X1從而X13.326Xi1x1 6III2X2X1n 1X1X1.6 / 19數(shù)列解題技巧小結(jié)：數(shù)列遞推關(guān)系是近幾年高高數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)，主要是一些能轉(zhuǎn)化為等差等比數(shù)列的遞推關(guān)系式。對(duì)連續(xù)兩項(xiàng)遞推ankan-id n 2,k 1,可轉(zhuǎn)化為adk a;對(duì)連續(xù)三項(xiàng)遞推的關(guān)系an ikandan-in 2ni kn 11 k如果方程x2kx d=0有兩個(gè)根、，則上遞推關(guān)系式可化為an 1ananan 1或an 1ananan 1.考點(diǎn)3數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn之間的關(guān)系與應(yīng)用an與an； Sn 1數(shù)列前和和通項(xiàng)是數(shù)列中兩個(gè)重要的量，在運(yùn)用它們的關(guān)

12、系式anSnSn 1時(shí)，一定要注意條件n 2 ,求通項(xiàng)時(shí)一定要驗(yàn)證a是否適合。解決含an與Sn的式子問(wèn)題時(shí)，通常轉(zhuǎn)化為只含an或者轉(zhuǎn)化為只Sn的式子.例5. ( 2006年遼寧卷)在等比數(shù)列an中，&2,前n項(xiàng)和為Sn,若數(shù)列an1也是等比數(shù)列，則Sn等于( )(A) 2n 12(B)3n(C)2n(D) 3n1命題目的：本題考查了等比數(shù)列的定義和求和公式，著重考查了運(yùn)算能力。過(guò)程指引因數(shù)列an為等比，貝U an2qn1,因數(shù)列an1也是等比數(shù)列，則即an2 ,所以Sn2n ,故選擇答案C.例6.已知在正項(xiàng)數(shù)列(an中，Sn表示前n項(xiàng)和且2足an，求an.思路啟迪：轉(zhuǎn)化為只含an或者只

13、含Sn的遞推關(guān)系式解答過(guò)程1:由已知2盡an，得當(dāng)n=1時(shí)，a1=1；當(dāng)n 2時(shí),an= Sn Sn-1,代入已知有2屆 &S.11, Sn 1&2可0 1.2Sn 1yn1，又an0，SnSn 1?故 JS1y/1 .后卮1，氐是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列， 2時(shí),、2,一、(an 11)(an1)(an 21)，2一 、an(1 q 2q) 0 q 1an 12an 1anan 2anan 2anan 22an 17 / 19n換為n 1得到另外的式子。也可以把n取自然數(shù)中的具例7. (2006年福建卷)已知數(shù)列an滿(mǎn)足a11,an12an1(n e N )(I)求數(shù)列

14、an的通項(xiàng)公式；(n )若數(shù)列bn滿(mǎn)足4b114b2141I4bn1an1bn(n N*),證明：bn是等差數(shù)列；思路啟迪：本小題主要考查數(shù)列基本知識(shí)，考查化歸的數(shù)學(xué)思想方法，考查綜合解題能力。把遞推關(guān)系式變形轉(zhuǎn)化*、解答過(guò)程：(I)解：1& 12an1(n N)，an 112( an1),(II)(II)證法一：4 4b1 14 4b214 4b3 1M4 4bn 1a an1 12(b1炫. bn)nnbn,2(b1b2. bnbn 1) (n 1) (n 1)bn 1.得2(也11) (n 1)b,1nbn，即(n1)bn1nbn20，nbn 2(n 1)bn 12 0.，得nb

15、n 22nbn 1nbn0,因?yàn)镾n2an1,所以2anan122an 1124an2an2aa2 12a2_1， an2anan 12an 1數(shù)列解題技巧20anan 1anan 120，因?yàn)閍n所以anan 12,所以an2n 1.考點(diǎn)4.數(shù)列中與n有關(guān)的等式的理解與應(yīng)用n的式子，注意可以把式子中的對(duì)數(shù)列中的含體的數(shù)1 , 2,3等，得到一些等式歸納證明an1是以a112為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。nan1 2 ._ 2*即an21(n N).4(b1b2bn)2nbn8 / 19*、即bn 22bn ibn0,bn2bn1bn1bn(nN ),故bn是等差數(shù)列.考點(diǎn)5等差、等比數(shù)列的概念

16、與性質(zhì)的理解與應(yīng)用在等差、等比數(shù)列中，已知五個(gè)元素ai,an,n,d或q , Sn中的任意三個(gè)，運(yùn)用方程的思想，便可求出其余兩個(gè)，即“知三求二”。本著化多為少的原則，解題時(shí)需抓住首項(xiàng)ai和公差(或公比q)。另外注意等差、等比數(shù)列的性質(zhì)的運(yùn)用例如(1)等差數(shù)列&中，若m n p q,則ama”apaq；等比數(shù)列an中，若m n p q ,則amanapaq.(2)等差數(shù)列an中，&Sn,S3n&,| |翥S0),因此，歷年所交納的儲(chǔ)備金數(shù)目a1, a2,-是一個(gè)公差為d的等差數(shù)列.與此同時(shí)，國(guó)家給予優(yōu)惠的計(jì)息政府， 不僅采用固定利率，而且計(jì)算復(fù)利.這就是說(shuō)，如果固定年利率

17、為r(r0),那么，在第n年末，第一年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)閍1(1+r)n1,第二年所交納的儲(chǔ)備金就變成a2(1 + r).以Tn表示到第n年末所累計(jì)的儲(chǔ)備金總額(I)寫(xiě)出Tn與Tn-1(n 2)的遞推關(guān)系式；數(shù)列解題技巧9 / 19數(shù)列解題技巧(1)求證Tn=An+ Bn,其中(An是一個(gè)等比數(shù)列，Bn是一個(gè)等差數(shù)列.命題目的：本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本概念和基本方法，考查學(xué)生閱讀資料、提取信息、建立數(shù)字模型的能力，考查應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力解：(I)我們有TnTn1(1 r) an(n2).(II) Tiai,對(duì)n 2反復(fù)使用上述關(guān)系式，得ai(1 r)n 1a2

18、(1 r)n 2an 1(1 r) an,在式兩端同乘1 + r,得(1r)Tnai(1 r)na?(1 r)n 1an i(1 r)2an(1 r).一，得rTnai(1 r)nd(1 r)n 1(1 r)n 2(1 r) and(1 r)n1 r ai(1r)nan,rair dnda/ dTn2(1 r) n2.rr r如果記An曳(1 r)n,Bn丑建dn,rr r則TnAnBn,其中|An|是以 丑擺(1 r)為首項(xiàng)，以1 r(r 0)為公比的等比數(shù)列；r|Bn|是以-首項(xiàng)，:為公差的等差數(shù)列.r r r2.解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問(wèn)的結(jié)論可作為下面論證的已知條件，在后面求

19、解的過(guò)程中適 時(shí)應(yīng)用.考點(diǎn)6等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的理解與應(yīng)用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式要深刻理解，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是關(guān)于n的二次函數(shù).等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式sna11 qWqn( q 1 ),因此可以改寫(xiě)為Snaqnb (a b 0)是關(guān)于n的指數(shù)n1 q1 q1 q函數(shù)，當(dāng)q 1時(shí)，Snnai.例10 .(2007年廣東卷理)已知數(shù)列(an的前n項(xiàng)和Sn=n2 9n,第k項(xiàng)滿(mǎn)足5ak8，則k=A. 9B. 8C. 7D . 6思路啟迪：本小題主要考查數(shù)列通項(xiàng)和等差數(shù)列等基本知識(shí)，考查邏輯思維能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.解：此數(shù)列為等差數(shù)列，an & &12n 1

20、0，由52k-10 2時(shí)，由akSkSk1八aa2及a21匚akak 12ak1) 2ak .因?yàn)閍k0,所以ak 1ak 12.從而a2m 11 (m 1) 2 2m 1.a2m2 (m1) 2 2m , mak(n)因?yàn)閍kbk 1bk所以bkbkbk 1bk 1bk 21bi1 -1 C n考點(diǎn)8數(shù)列綜合應(yīng)用與創(chuàng)新問(wèn)題ak 1(1)k(nk 1)(n k 2) 1k (k 1)2 1【C：(k1,2, ,n).nb3IIIbn -ncnCnC3III ( 1)n1Cnn0 ncnC2( 1)nC： -.故b1b2n(1)k1數(shù)列與其它數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合性問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，全面考察數(shù)學(xué)知識(shí)的掌

21、握和運(yùn)用的情況，以及分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力和思維的靈活性、深刻性、技巧性等，涉及的數(shù)學(xué)思想方法又從一般到特殊和從特殊到一般的思想、函數(shù)與方程的思想、探索性思想等。例14 . (2006年湖南卷)在m (mA 2)個(gè)不同數(shù)的排列P1P2Pn中，若1 i vj Pj(即前面某數(shù)大于后面某數(shù))，則稱(chēng)Pi與Pj構(gòu)成一個(gè)逆序.一個(gè)排列的全部逆序的總數(shù)稱(chēng)為該排列的逆序數(shù).記排數(shù)列解題技巧14 / 19數(shù)列解題技巧15 / 19列(n 1)n(n 1) 321的逆序數(shù)為an,如排列21的逆序數(shù)a11 ,排列321的逆序數(shù)a36.求a4、a5,并與出an的表達(dá)式；命題目的：考查排列、數(shù)列知識(shí)過(guò)程導(dǎo)引：由已知得

22、a410, a515 ,ann (n 1)2 1n(n 1)2例15.設(shè)f (x)是定義在(0,)上的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù).已知對(duì)于任意正數(shù)x,都有ff(x)2x1,且f(x)f(1)0.f (a 2),并求a的值;(n)(m)L,n N，證明數(shù)列a是等差數(shù)列；kn是曲線(xiàn)y f (x)在點(diǎn)(n2,f (n2)處的切線(xiàn)的斜率(nN)，數(shù)列、的前n項(xiàng)和為an2.思路啟迪：根據(jù)已知條件求出函數(shù)f x的關(guān)系式，求出an的遞推關(guān)系式然后可求解題中要求.解答過(guò)程：(I)取x1,f(a再取x a 2 f則a 2,或1(舍去).(n)設(shè)f(x)2)x1,再令t即xt2t - x0,t 2,或x則f (x) t2,an

23、x1 nf(n) 2由an 1an12,nN，所以t1又xan2(3)由(2)得f(x)xf(t是等差數(shù)列.2-) t f (x), x2x t -xf(1) a 0 ,f (x)knf(n2)所以Sn2(1HI又當(dāng)2時(shí),kn_2n(n 1)n213)III214,Sn2.數(shù)列解題技巧16 / 191.17 / 19例16 . ( 2007年廣東卷理)已知函數(shù)f (x)x2x 1 ,是方程f(x)=0的兩個(gè)根(f (x)是f(x)的導(dǎo)數(shù)；設(shè)ai1 ,an 1f(an)an -f(an)(n=1,2, )求，的值；(2)證明：對(duì)任意的正整數(shù)n,都有&a;(3)記bnIn*an(n=1,2

24、,.),求數(shù)列(bn的前n項(xiàng)和Sn.a,的值；(2)注意先求f(x) ; (3)注意利用，的關(guān)系.解：(1) .1f(x)5_,2x x151,22(2)f(x)2x 1,an 1an5= 1(2an1)4-, a142an12- a25 10同,樣a3522(1)注意應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系求思路啟迪:,是方程(3)an(anan 11a2a 12an1f(x)=0的兩個(gè)根(an 1(an2 an1an112 an(2an1) - (2an1)2an11 ,由基本不等式可知1電土廠(chǎng)0(當(dāng)且僅當(dāng)(n=1,2, )ai)(an2anan(an12an1同理an 12an1213 -5一，bn 12bn

25、,又燈In - In-產(chǎn)1352lnS 2(2n1)ln3-5 .【專(zhuān)題訓(xùn)練與高考預(yù)測(cè)】.選擇題1.已知(an是等比數(shù)列，且an0 ,a2a4+2 a3a5+a4a6=25 ,那么a3+ a5的值等于(A.5B.10C.15.D.202.在等差數(shù)列(an中,已知a1+a2+a3+a4+a5= 20 ,那么a3等于(A.4B.5C.6D7.3.等比數(shù)列(an的首項(xiàng)a1= 1,前n項(xiàng)和為Sn,若金&力，則32lim Sn等于()n2A.-32 B.-3C.2D. 24.已知二次函數(shù)y=a(a+1)x2- (2a+1)x+1，當(dāng)a=1 ,n,時(shí)，其拋物線(xiàn)在x軸上截得的線(xiàn)段長(zhǎng)依數(shù)列解題技巧18

26、 / 191.19 / 19數(shù)列解題技巧次為di,d2,dn,，則lim (di+d2+ +dn)的值是()nA.1B.2C.3D.4二. 填空題5.已知a,b,a+b成等差數(shù)列，a,b,ab成等比數(shù)列，且0logm(ab)0,S132,nCN*).試問(wèn)當(dāng)m為何值時(shí)，3 3lim(bnlgan) iim3(bib2烷島bn 11)成立？nn18.已知數(shù)列(bn是等差數(shù)列，bi=1,bi+ b2+- +bi0=145.(1)求數(shù)列(bn的通項(xiàng)bn；(2)設(shè)數(shù)列(an的通項(xiàng)an=loga(1+ 1)(其中a0且a豐1),記Sn是數(shù)列(an的前n項(xiàng)和，試比較Sn與bn1logabn+1的大小，并證明

27、你的結(jié)論.3 319.某公司全年的利潤(rùn)為b元，其中一部分作為獎(jiǎng)金發(fā)給n位職工， 獎(jiǎng)金分配方案如下：首先將職工按工作業(yè)績(jī)(工作業(yè)績(jī)均不相同)從大到小，由1到n排序，第1位職工得獎(jiǎng)金元，然后再將余額除以n發(fā)給n n第2位職工，按此方法將獎(jiǎng)金逐一發(fā)給每位職工，并將最后剩余部分作為公司發(fā)展基金.(1)設(shè)ak(1 kak+i(k=1,2,n 1),并解釋此不等式關(guān)于分配原則的實(shí)際意義；(3)發(fā)展基金與 n n 和 b b 有關(guān)，記為 P Pn(b b),對(duì)常數(shù)b,當(dāng) n n 變化時(shí)，求 肺 F F(b b).n【參考答案】一 .選擇題1.解法一：因?yàn)?an是等比數(shù)列，設(shè)(an的公比為q,由an0知q0

28、,因a2a4+2 a3a5+ a4a6=25 ,所以,aiq aiq3+2aiq2aiq4+aiq3aiq5=25 ,即a2(1+ q2) 2=25 , a1q2(1+ q2) =5 ,得a3+ a5= a1q2+a1q4= a1q2(1+ q2) =5 .故選擇答案A .解法二:因(an是等比數(shù)列，a2a4= a2, a4a6= a2,原式可化為a3+2 a3a5+ a5=25,即(a3+ a5)=25.因an0 , a3+ a5= 5 ,故選擇答案A2.解法一：因?yàn)?an是等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為a，公差為d ,由已知a1+ a2+a3+a4+a5= 20有5 a1+10d = 20 ,22

29、/ 19數(shù)列解題技巧a1+2d = 4,即a3= 4.故選擇答案A.解法二：因an是等差數(shù)列，所以ai+ a5= a2+ a4=2 a3 ,由已知a1+a2+a3+a4+a5= 20彳尋5 a3= 20 , a3= 4.故選擇答案A3.解析：利用等比數(shù)列和的性質(zhì).依題意，為 史，而ai= 1,故q豐1,&32- q5=上，即q=.322 2lim Sn -n1 q故選擇答案B.4.解析:當(dāng)a=n時(shí)y=n(n+1)x2 (2n+1)x+1由I X1 X2 |=七，得dn=1, - d1+d2+ +dn故選擇答案A.故填答案：（一8 ,8）6.解析：利用 S 奇/S 偶=n_1得解.n故填

30、答案:第11項(xiàng)an=29.7解析：設(shè)Cn| Z1SnC1lim Sn n故填答案S10S531 32S5321，根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)知32S5,S10- S5,S15- S10,，也成等比數(shù)列,且它的公比為q5,8.解析：由題意所有正三角形的邊長(zhǎng)構(gòu)成等比數(shù)列an,可得an=a,2n1正三角形的內(nèi)切圓構(gòu)成等比數(shù)列rn,1112 2 3lim (d1d2n1,11- 1 -n(n 1)2 21dn) lim (1 )131.n,二、5.解析：解出a、b,解對(duì)數(shù)不等式即可.Cn數(shù)列解題技巧23 / 19c= |jm 2兀(r1+ r2+ - + rn)=3拓a2,面積之和S=|im兀n(n2+r22+/

31、)=_a29.解析：第一次容器中有純酒精a b即a(1 b)升，第二次有純酒精a(1 b)-aa升，故第n次有純酒精a(1 E)n升.a故填答案:a(1 - b)na10.解析：從2001年到2005年每年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值構(gòu)成以95933為首項(xiàng)，以7.3%為公比的等比數(shù)列，- a5=95933(1+7.3%)4120000(億元).故填答案:120000.三、11.解：因?yàn)?an為等比數(shù)列，所以S10,S20S10,S30 S20是等比數(shù)列.即5, 15 5, S3015是等比數(shù)列，得5 (S30 15 ) =102,S30=35.12.-解：設(shè)等差數(shù)列(an共有2n 1項(xiàng)，S1=80 , S2=75，貝U -=- = - ,S2n 175 15得n=16，所以2n 1=2 X 16 1=31即此數(shù)列共有31項(xiàng).又由(an的項(xiàng)數(shù)為2n 1,知其中間項(xiàng)是an,故an= S1- S2=80 75=5 ,a16=5.13.解：設(shè)等差數(shù)列(an中，前m項(xiàng)的和為Sm,其中奇數(shù)項(xiàng)之和為S1,偶數(shù)項(xiàng)之和為S2,由題意得Sm=77, S2=33 , S1= Sm S2= 44