初中數(shù)學(xué)一題多解與一題多變

1、數(shù)學(xué)教學(xué)論文：初中數(shù)學(xué)一題多解與一題多變初中數(shù)學(xué)一題多解與一題多變 陳發(fā)銓時代在變遷，教育在進步，理念在更新。前兩年提出考試要改革，有了?指導(dǎo)意見?，于是一批批探索性、開放性和應(yīng)用性試題不斷涌現(xiàn)；如今又提出課程要改革，有了?課程標準?，其中突出了學(xué)生自主探索的學(xué)習(xí)過程，強調(diào)應(yīng)用數(shù)學(xué)和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，鼓勵教師創(chuàng)造性教學(xué)，學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)。 面臨這種嶄新的教育形勢，我們會思考這樣一些問題：教學(xué)要如何從靜態(tài)轉(zhuǎn)為動態(tài)？怎樣有效地指導(dǎo)學(xué)生獨立地分析問題、解決問題，形成有效的學(xué)習(xí)策略，提高效益？該如何引導(dǎo)和組織學(xué)生從事觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新意識，培養(yǎng)創(chuàng)

2、新能力？等等。我個人在實際教學(xué)過程中，對這些問題作過一些深思和一些嘗試，其中比擬突出的是引導(dǎo)學(xué)生進行一題多解和一題多變的訓(xùn)練。下面，我提出幾個實例來分析其引導(dǎo)過程與方法，拋磚引玉，僅供參考。一、一題多解，多解歸一對于"一題多解"，我是從兩個方面來認識和解釋的：其一，同一個問題，用不同的方法和途徑來解決；其二，同一個問題，其結(jié)論是多元的，即結(jié)論開放性問題。一題多解，有利于溝通各知識的內(nèi)涵和外延，深化知識，培養(yǎng)發(fā)散性和創(chuàng)造性思維；多解歸一，有利于提煉分析問題和解決問題的通性、通法，從中擇優(yōu)，培養(yǎng)聚合思維。例1：如圖，D、E在BC上，AB=AC，AD=AE，求證：BD=CE.此題

3、來自?幾何?第2冊69頁例3思路與解法一：從ABC和ADE是等腰三角形這一角度出發(fā)，利用"等腰三角形底邊上的三線合一"這一重要性質(zhì)，便得三種證法，即過點A作底邊上的高，或底邊上的中線或頂角的平分線。其通法是"等腰三角形底邊上的三線合一"，證得BH=CH.思路與解法二：從證線段相等常用三角形全等這一角度出發(fā)，此題可設(shè)法證ABDACE或證ABEACD，于是又得兩種證法，而證這兩對三角形全等又都可用AAS、ASA、SAS進行證明，所以實際是六種證法。其通性是"全等三角形對應(yīng)邊相等"。思路與解法三：從等腰三角形的軸對稱性這一角度出發(fā)，于是用疊

4、合法可證。例2：，如圖，在O中，AD是直徑，BC是弦，ADBC，E為垂足，由這些條件你能推出哪些結(jié)論？要求：不添加輔助線，不添加字母，不寫推理過程思路與解法一：從相等的線段這一角度出發(fā)，可得如下結(jié)論：1.OA=OD；2.BE=CE；3.AB=AC；4.BD=CD.思路與解法二：從相等的角這一角度出發(fā)，可得如下結(jié)論：1.AEC=AEB=BED=CED =ABD=ACD=Rt；2.ABC=ACB；3.DBC=DCB；4.BAD=CAD；5.BDA=CDA；6.BAD=BCD；7.CBD=CAD；8.ABC=ADC；9.ACB=ADB.思路與解法三：從相等的弧這一角度出發(fā)，可得如下結(jié)論：1

5、.弧AB=弧AC；2.弧BD=弧CD；3.弧ABD=弧ACD；4.弧ABC=弧ACB；5.弧BAD=弧DAC.思路與解法四：從全等三角形這一角度出發(fā)，可得如下結(jié)論：1.AEBAEC；2.BEDCED；3.ABDACD.思路與解法五：從相似三角形這一角度出發(fā)，可得如下結(jié)論：ABEACECDEBDEABDACD，即圖中所有的直角三角形兩兩相似。思路與解法六：從比例線段這一角度出發(fā)，可得如下結(jié)論：1. AE·DE=EB·EC2. BE2=EA·ED=EC23. AB2=AE·AD=AC24. BD2=DE·DA=DC2思路與解法七：從其它一些角度去思

6、考，還可得如下一些結(jié)論：1. AE2+BE2=AB2=AC2=AE2+EC22. BE2+ED2=BD2=CD2=CE2+DE23. BAC+BDC=180º4. BAE+ABE=90º5.6.以上兩例分別從解法和結(jié)論發(fā)散性地分析與解決問題，其中例2雖然不要求寫推理過程，但實際在分析過程中蘊含著異常豐富的思維和推斷過程，如此便能很好地鍛煉觀察、猜測、推斷、驗證等探求能力和有效地開展創(chuàng)造性思維能力。二、一題多變，多題歸一知識是靜態(tài)的，思維是活動的；例、習(xí)題是固定的，而它的變化卻是無窮的。我們可以通過很多途徑對課本的例、習(xí)題進行變式，如：改變條件、改變結(jié)論、改變數(shù)據(jù)或圖形；條件

7、引申或結(jié)論拓展；條件開放或結(jié)論開放或條件、結(jié)論同時開放等。通過一題多變、多題歸一的訓(xùn)練，可以把各個階段所學(xué)的知識、知識的各個方面緊密聯(lián)系起來，加深對知識的理解，認識和體會數(shù)學(xué)是一個整體，但更重要的是可以起到以一當十，解一道題懂一類題，提高效率的目的，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、創(chuàng)新意識和探索精神，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力，學(xué)會學(xué)習(xí)。例3：，如圖，AB是O的直徑，CD是弦，AECD，垂足為E，BFCD，垂足為F，求證：EC=DF.(此題來自?幾何?第3冊84頁第12題)變式一：如圖，AB是O的直徑，CD是弦，AECD于E，BFCD于F，BF交O于G，下面的結(jié)論：1.EC=DF；2.DE=CF；3.AE=GF；

8、4.AE+BF=AB中，正確的有  A.1、4 B.2、3、4 C.1、2、3 D.1、2、3、4變式二：把直線EF和直徑AB的相對位置加以變化，即圖形變化，條件和結(jié)論均不變，便得新題，變化后的圖形如下：變式三：把直線EF和圓的位置關(guān)系由一般的相交變?yōu)橄嗲?，即圖形特殊化處理，原題可以引申為：如圖，直線MN和O切于點C，AB是O的直徑，AC是弦，AEMN于E，BFMN于F，1求證：AC平分BAE；2求證：AB=AE+BF；3求證：4如果O的半徑為5，AC=6，試寫出以AE、BF的長為根的一元二次方程.變式四：把直線EF動起來，由相切變?yōu)橄嘟?，在運動變化過程中猜測并推斷原有的結(jié)論是否仍成

9、立，即把原來的封閉型試題演變?yōu)閯討B(tài)幾何探索題。題目如下： （1） 如圖，AB是O的直徑，直線L與O有一個公共點C，過A、B分別作L的垂線，垂足為E、F，那么EC=CF.（2） 上題中當直線L向上平行移動時，與O有了兩個交點C1 、C2 ，其它條件不變，如圖，經(jīng)過推證，我們會得到與原題相應(yīng)的結(jié)論：EC1=FC2；（3） 把L繼續(xù)向上平行移動，使與弦C1C2與AB交于點PP不與A、B重合，在其它條件不變的情形下，請你在圓中將變化后的圖形畫出來，標好對應(yīng)的字母，并寫出與1、2相應(yīng)的結(jié)論等式，判斷你寫的結(jié)論是否成立，假設(shè)不成立，說明理由；假設(shè)成立，給予證明。結(jié)論:_。 證明結(jié)論成立或不成立的理由:象以上這種一題多解與一題多變的題例，在我們的教學(xué)過程中，如果有意識的去分析和研究，是舉不勝舉、美不勝收的。我想，拿到一個題目，如果這樣深入去觀察、分析、解決與反思，那必能起道以一當十、以少勝多的效